NEWTON.MA.nb 1. Método de Newton

(1)

Método de Newton

Para aproximar soluciones a la ecuación f(x)=0, hemos visto hasta ahora los métodos de la bisección

y la secante.

El método de Newton proviene de utilizar el punto en el que la tangente a la curva corta al eje OX

para aproximarnos a la solución en lugar de considerar el que proporciona una secante a la misma

(método de la secante).

Se construye una solución a partir de un punto x[0] definiendo x[n] como el punto en el que la recta

tangente a la curva y=f(x) en el punto {x[n-1],f(x[n-1])}, corta al eje OX. Este punto viene dado

por la ecuación:

x

@

n_

D

:=x

@

n-1

D

-

H

f

@

x

@

n-1

DD •

f¢

@

x

@

n-1

DD L

;

En la gráfica que sigue se pueden ver los 4 primeros pasos de este método en la localización de

una solución de la ecuación f(x)=e^x -3x =0 comenzando en x[0]=3. (Intenta localizar la otra

solución empezando en x[0]=0).

1.25 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3 2 4 6 8 10

Ejemplo 1:

Vamos a aplicar el método de Newton para encontrar aproximaciones a las tres raices del

polinomio :

g(x)= 5 x^3 -20 x +3,

partiendo de puntos próximos a las mismas, observados en la gráfica de g(x).

(2)

Plot

@

g

@

x

D

,

8

x,-2.2, 2

<D

-2 -1 1 2 -10 -5 5 10 15 x

@

n_

D

:=x

@

n-1

D

- €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€g

@

x

@

n-1

DD

g¢

@

x

@

n-1

DD

Vamos a

localizar las tres raíces de g(x)=0 cerca de 0,-2 y 2,

respectivamente, usando el método de Newton. Después vamos a

ver que ocurre cuando iniciamos el método cerca de los puntos

estacionarios (aprox. -1.15 y 1.15).

Las listas que van tras la definición del punto de inicio x[0], contienen los distintos

los valores {iteracion: n , x[n], g[x[n]]}

(Cambia la precisión en N[x[n],16] y el número máximo (5) de iteraciones, para que se muestren

más cifras decimales si quieres observar mejor como se van fijando las cifras de la solución)

(3)

Table

@8

iteracion : n, N

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

g

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

98iteracion : 0, 0, 3.<,8iteracion : 1, 0.15, 0.016875<, 9iteracion : 2, 0.1508582326764145, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€1.660428199024393 106 =, 9iteracion : 3, 0.1508583171394956, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€1.614336981113732 1014 = , 9iteracion : 4, 0.1508583171394964, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€1.525957946685116 1030 = , 9iteracion : 5, 0.1508583171394964, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€1.363450276491802 1062 ==

La solución proxima a 0 es x1=0.1508583171394964.

x

@

0

D

:=2 Table

@8

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

g

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

98iteracion : 0, 2., 3.<, 8iteracion : 1, 1.925, 0.166640625<, 8iteracion : 2, 1.920317028190041, 0.0006327217529648963<, 9iteracion : 3, 1.92029911130006, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€9.24672826610055 109 = , 9iteracion : 4, 1.920299111038211, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€1.974974263069054 1018 = , 9iteracion : 5, 1.920299111038211, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€9.00965438188391 1038 ==

La solución próxima a 2 es x2=1.920299111038211

x

@

0

D

:= -2

(4)

Table

@8

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

g

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

98iteracion : 0,-2., 3.<,8iteracion : 1, -2.075,-0.170859375<, 8iteracion : 2,-2.071167729725941, -0.0004568295367206959<, 9iteracion : 3,-2.071157428252053, -€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€3.29689064286609 109 = , 9iteracion : 4,-2.071157428177707, -€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€1.717182172894437 1019 = , 9iteracion : 5,-2.071157428177707, -€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€4.65843488861307 1040 ==

La solución próxima a -2 es x3=-2.071157428177707

Si el punto inicial está cerca de los extremos relativos la sucesión de este método de Newton no

converge tan rapidamente, aunque las sucesiones siguen aproximandonos

a una de las soluciones.

(Aumenta el número de iteraciones (de 5 a 15 o 25))

g¢

@

x

D

-20+15 x2

Los extremos de g(x) se alcanzan en + - Sqrt[20/15]

N

A$ %

%

€€€€€€€€€

%

20

%

15 , 3

E

1.154700538379251 x

@

0

D

:=1.15 Table

@8

@

x

@

n

DD

, N

@

g

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

88iteracion : 0, 1.15,-12.395625<, 8iteracion : 1,-75.13076923076859, -H2.11892228780832 106L<, 8iteracion : 2,-50.09904894583795, -627716.7173689539<, 8iteracion : 3,-33.41719775059505, -185915.101087303<, 8iteracion : 4,-22.30494268665017, -55035.61354842035<, 8iteracion : 5,-14.91032361818156, -16272.94155020515<< x

@

0

D

:= -1.15

(5)

Table

@8

@

x

@

n

DD

, N

@

g

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

88iteracion : 0,-1.15, 18.395625<, 8iteracion : 1, 112.0538461538452, 7.032538487170958 106<, 8iteracion : 2, 74.71048170892044, 2.083549861663628 106<, 8iteracion : 3, 49.81885258870484, 617238.1760919172<, 8iteracion : 4, 33.2303397766979, 182812.3174861384<, 8iteracion : 5, 22.18016016906518, 54118.0998984942<< Null

Ejemplo:

Fallo del método de Newton.

Vamos a perturbar la función g(x) del ejemplo anterior de manera que la nueva función

h(x):

- tenga las mismas raices (g(x)=0 si, y sólo si, h(x)=0);

- varíe poco en el intervalo [-3,2] donde estan las raíces; y

- tenga asintotas horizontales en el Infinito

h

@

x_

D

:=

H

5 x3-20 x+3

L

E-0.1 x2

Simplify

@

h¢

@

x

DD

1.H-20.-0.6000000000000001 x+19. x2-1. x4L

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

E0.1 x2

Viendo la gráfica de h(x) en el intervalo [-8.5,8.5] observamos dónde están

los CUATRO puntos estacionarios, y cómo es su comportamiento asintótico.

(6)

Plot

@

h

@

x

D

,

8

x,-8.5, 8.5

<D

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 -40 -20 20 40

Como para g(x), vamos a localizar las tres raíces de h(x)=0 cerca de 0,-2 y 2, respectivamente,

usando el método de Newton y después vamos a ver que ocurre

cuando iniciamos el método cerca de los puntos críticos (aprox. -1.15 y 1.15).

x

@

n_

D

:=x

@

n-1

D

- €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€h

@

x

@

n-1

DD

h¢

@

_x

@

_n_-₁

DD

x

@

0

D

:=0 Table

@8

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

h

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

98iteracion : 0, 0, 3.<,8iteracion : 1, 0.15, 0.01683707393282563<, 9iteracion : 2, 0.1508582105800836, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€2.090049732277635 106 = , 9iteracion : 3, 0.1508583171394948, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€3.190173771668787 1014 = , 9iteracion : 4, 0.1508583171394965,-€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€4.430796905095538 1016 = , 9iteracion : 5, 0.1508583171394964, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€4.430796905095538 1016 == x

@

0

D

:=2

(7)

Table

@8

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

h

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

98iteracion : 0, 2., 2.010960138106918<, 8iteracion : 1, 1.922680412371134, 0.05821692472161783<, 8iteracion : 2, 1.920301548260684, 0.00005952300816812629<, 9iteracion : 3, 1.920299111040775, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€6.261517523991635 1011 = , 9iteracion : 4, 1.920299111038211, €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€4.91407747920091 1015 = , 8iteracion : 5, 1.920299111038211, 0.<= x

@

0

D

:= -2 Table

@8

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

h

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

98iteracion : 0,-2., 2.010960138106918<, 8iteracion : 1,-2.072815533980583, -0.04790354988488671<, 8iteracion : 2,-2.071158212939522, -0.00002266143970495626<, 9iteracion : 3,-2.071157428177884, -€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€5.089602733905818 1012 = , 8iteracion : 4,-2.071157428177707, 0.<,8iteracion : 5, -2.071157428177707, 0.<=

Ahora cerca de los extremos relativos la sucesión x(n) no es convergente:

x

@

0

D

:=1.15 Table

@8

@

x

@

n

DD

, N

@

h

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

88iteracion : 0, 1.15,-10.86007898797801<, 8iteracion : 1, 5.760620723964863, 30.5454843305403<, 8iteracion : 2, 7.467735501407308, 7.327449680166705<, 8iteracion : 3, 8.40076336019001, 2.410530180022707<, 8iteracion : 4, 9.16462607921462, 0.825700032464873<, 8iteracion : 5, 9.83354772070856, 0.2880513935852582<< x

@

0

D

:= -1.15

(8)

Table

@8

@

x

@

n

D

, 16

D

, N

@

h

@

x

@

n

DDD<

,

8

n, 0, 5

<D

88iteracion : 0,-1.15, 16.11681061126188<, 8iteracion : 1,-5.67148291981523, -31.9016943545802<, 8iteracion : 2,-7.479571247815386, -7.212641164090895<, 8iteracion : 3,-8.41103551480691, -2.373221915320403<, 8iteracion : 4,-9.17387843800778, -0.813021654112631<, 8iteracion : 5,-9.84205716214993, -0.2836527850350923<<

Gráficamente, los pasos 0-5 de este ultimo caso se pueden representar en

la siguiente gráfica. Podemos adivinar en ella que la sucesión x[n] converge

a -Infinito.

-10 -8 -6 -4 -2 -50 -40 -30 -20 -10 10