Simulaci´
on Num´
erica
En este apartado veremos ejemplos para la simulaci´on de la ecuaci´on de Advecc´on difusi´on en 1D con el esquema explicito y con el esquema com-pletamente implicito o de Crank Nicolson, observaremos que para ciertos par´ametros la ecuaci´on con el esquema explicito es inestable en unos casos y estatable en otros casos, pero con el esquema de Crank Nicolson siempre es estable.
Cabe mencionar que el esquema implicito de Crank Nicolson nos produce un sistema de ecuaciones sim´etrico y definido positivo con matriz del sistema sparsa de alto orden, y para resolverlo hemos elegido y desarrollado topicos concerniente al m´etodo de la Gradiente Conjugada; as´ı como otros m´etodos de resoluci´on, apropiados para estos casos de grandes sitemas de ecuaciones lineales. Luego veremos ejemplos de aplicaci´on de la ecuaci´on de advecci´on difusi´on a la contaminaci´on en las aguas de un r´ıo
∂t ∂x ∂x2
Con el esquema explicito:
Ujm+1 = λ+Cr 2 Ujm−1+ (1−2λ)Ujm+ λ− Cr 2 Ujm+1
Es Consistente de orden 1 para el tiempo y de orden 2 para el espacio. Es Estable para 0< Cr≤ P e 2 <1 1 4 ≤λ < 1 2 donde Cr=α ∆t ∆x P e= α∆βx λ= CrP e y Es Convergente.
Teorema 24 (An´alisis de la Ecuaci´on de Convecci´on Difusi´on Transitorio)
La ecuaci´on de convecci´on difusi´on
∂u ∂t +α ∂u ∂x =β ∂2u ∂x2 x∈ h0, bi t ∈[0, T] (5.1)
Con el esquema implicito de Crank-Nicolson
(−Cr 4 − λ 2)u n+1 i−1+(1+λ)u n+1 i +( Cr 4 − λ 2)u n+1 i+1 = ( Cr 4 + λ 2)u n i−1+(1−λ)uni+(− Cr 4 + λ 2)u n i+1
Es Consistente de orden 2 para el tiempo y de orden 2 para el espacio. Es incondicionalmente estable paraCr =α∆∆xt P e=α∆βx y
Es Convergente. Ejemplo ∂c ∂t +a ∂c ∂x =k ∂2c ∂2x 0< x <1 c(x,0)=c0(x) 0< x <1 c(0,t)=0 c(1,T)=1
Figura 5.1: Similaci´on del la soluci´on de la ecuaci´on de advecci´on difusi´on con el esquema explicito y par´ametros a = 1;k = 1;cr = 0,0079;pe2 = 0,005 es inestable
Figura 5.2: Simulaci´on de la superficie que genera la soluci´on de la ecuaci´on de advecci´on difusi´on en este caso inestable
Figura 5.3: simulaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on de advec-ci´on difusi´on a = 1;k = 1;cr = 0,0079;pe2 = 0,005;t = 0,001con el esquema de Crank Nicolson es estable
Figura 5.4: Simulaci´on de la superficie que genera la soluci´on de advecci´on di-fusi´on con el esquema de Crank Nicolson con los par´ametroscr = 0,0079;pe2 = 0,005;t= 0,001 vemos que es estable pero el esquema explicito es inestable
co(x) =
2x, 0< x <1/2 2(1−x), 1/2< x < 1
Ej. Veamos el mismo caso pero con diferentes par´ametroscr = 0,0049;pe2 = 0,0050 en este caso el esquema Explicito e implicito son estables
Figura 5.5: Simulaci´on de la superficie que genera la soluci´on de la ecuaci´on de advecci´on difusi´on con el esquema explicito y par´ametros cr = 0,0049;pe2 = 0,0050 en este caso el esquema es estable
Figura 5.6: Simulaci´on de la superficie que genera la soluci´on de la ecuaci´on de advecci´on difusi´on con el esquema de Crank Nicolson
Figura 5.7: Superficie de concentraciones para la soluci´on Exacta
Figura 5.8: superficie de concentraciones para la soluci´on aproxiamda obteni-das con nuestro programa con cr = 0,1222 pe= 32 se espera inestabilidad pues no cumple los criterios de buen comportamiento dados (soluci´on apro-ximada
Figura 5.9: superficie de concentraciones para la soluci´on exacta
Figura 5.10: superficie de concentraciones para la solucion aproximada ob-tenidas con nuestro programa con cr = 0,1222 pe = 32,7273 se esperaba inestabilidad pues no se cumplen los criterios de etabilidad planteados.
Figura 5.11: comportamiento oscilatorio de las soluciones aproximadas con el esquema explicito para cr = 1,0 pe = 0,5 y cr = 0,5 pe = 0,25datos obtenidos del Instituto Mexicano de Tecnologia del agua,experimento sobre el r´ıo Copper Creeck
Figura 5.12: Comparacion de las concentraciones obtenidas con el programa disper en su versi´on unidimensional y la soluci´on anal´ıtica a lo largo del cause del r´ıo cooper extraido de la revista Internacional de Contaminaci´on ambiental de Mexico 2007
Figura 5.13: Concentraciones obtenidas con nuestro programa que se aproxi-ma al software profesional disper cabe indicar que los par´ametros para esta simulaci´on son aproximadamente los mismo que los del experimento anterior pues no los pude obtener exactamente
5.2.
La Ecuaci´
on de Black Scholes
Consideremos un opci´n de compra (call) con vencimiento el 15de mayo de 1998 . Queremos calcular el valor de la opcin el d´ıa 23 de abril de1998, para lo cual disponemos de los siguientes datos: Valor del precio de ejercicio E = 10000. El precio de cruce de las negociaciones. hora de negociaci´on. Volatili-dad anualizada. Precio del subyacente. Tipo de inter´es diario anualizado. A la hora de calcular el precio de la opci´on de compra se considerarn vo-latilidades medias diarias, por lo que se tomar´a la media de las volatilida-des diarias de las operaciones realizadas en un d´ıa. Es decir, a partir de los datos de los que disponemos, se divide cada volatilidad entre la ra´ız de los d´ıas h´abiles de un a˜no. σdiaria = σanual√252 Del mismo modo, se con-siderar´an tipos de inter´es diarios, para lo cual se considera capitalizaci´on compuesta.(1 +rdiario) = (1 +ranual)252.
Figura 5.14: simulaci´on Esquema explicito St ∈ [3400,30000] ∆x = ∆t = 0,015 las simulaciones fueron hechas con datos aproximados de los gr´aficos de la fuente [UC] y nuestro programa.
Figura 5.16: simulaci´on de la soluci´on aproximada esquema explicito,fuente [UC]
Figura 5.17: soluci´on aproximada, esquema explicito, con los datos xi = −1,4, xf = 0,2, n´umeros de pasos de tiempo y espacio es 10,∆t = 0,01, Ui = 0, r= 0,05, σ= 0,3
