PRACTICA 1 – Ajuste por mínimos cuadrados
(v2) Sergio Andrés García – 8-ene-2018 Cuando obtenemos datos de un experimento obtenemos una nube de puntos (xk, yk)
con una forma determinada, y
con la forma de la curva deducíamos su posible ecuación,
y con la transformación adecuada (tomando logaritmos) podíamos conseguir una nube de puntos en forma de recta, que tendrá de ecuación y = m·x + b, la cual DIBUJÁBAMOS A MANO en Física I, de forma que aproximadamente pasara por el medio de la nube de punto, y de ahí, gráficamente, obteníamos los parámetros m, b. El problema es que hacíamos la recta a ojo, y muchas veces de forma imprecisa. Además, los
parámetros se obtenían gráficamente, lo cual contribuía adicionalmente a mayores errores.
Para cada valor de xk
habrá una pequeña diferencia dk entre el valor de yk experimental y el valor ye estimado
sobre la recta: dk = ye – yk
El método de los mínimos cuadrado ajusta los parámetros automáticamente para que la suma de los cuadrados de esas diferencias dk sean las mínimas.
Es decir, busca que S = dk2 = (ye – yk)2 sea mínimo Dijimos:
S = (ye – yk)2
S = (m·xk + b – yk)2
Para hallar el mínimo, hay que derivar e igualar a cero.
Como hay dos variables a averiguar, m, b, habrá que hacer: y
Mejor desarrollamos el sumatorio antes de derivar, para que las derivadas sean más entendibles
[ec.1, incógnitas: m,b]
[ec.2, incógnitas: m,b]
Donde tengo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: m, b
Por ejemplo, uso sustitución despejando b de la [ec.1]:
y sustituyo este resultado en la [ec.2]:
En vez de con tanto sumatorio, mejor trabajar conxp, el promedio de las xk, eyp, el promedio de las yk:
EN RESUMEN: 1º Calcular: 2º Calcular:
b = yp – m·xp 3º Calcular: b = yp – m·xp
4º Escribir la ecuación de la recta de ajuste por mínimos cuadrados: y = m·x + b
sustituyendo m, b por los valores antes calculados Conviene hacerse una tabla que facilite los cálculos. x
k yk xk 2
xk·yk 11,8 30,2 139,24 356,36
PARA HACER EN CASA INDIVIDUALMENTE:
1º: Tomar foto de los datos que te suministra el profesor en la pizarra
2º: A partir de estos datos calcular la recta de ajuste, a mano, por mínimos cuadrados. - Ayúdate de una tabla
- No basta con llenar la tabla, has de detallar los cálculos de las fórmulas usadas. - Si hay varias filas de cálculos similares, puedes hacer sólo al menos una fila.
3º Para saber si lo has hecho bien o mal, entra en Excel, haz una gráfica de dispersión XY, y agrega una línea de tendencia lineal, y que muestre la ecuación en el gráfico.
- Si te sale lo mismo es que está bien, y si no, es que está mal 4º El informe ha de tener estructura de reporte,
con los OBJETIVOS (a partir de unos datos aparentemente lineales obtener la recta de ajuste por mínimos cuadrados),
poned el MARCO TEORICO (explicando los fundamentos del ajuste por mínimos cuadrados,
poned las FORMULAS y CALCULOS UTILIZADOS, como excepción se permitirá poner la GRÁFICA a computador, ya que se hizo en Excel;
y la CONCLUSIÓN, donde diremos que tal nos ha salido el ajuste, y comentando el valor de R2 que tan generosamente nos da Excel.
ATENCIÓN
: NO HACER LO QUE PONE A CONTINUACIÓN
Sólo lo pongo para comparar con lo que pone el libro y ver que usamos otras fórmulas:
Incomprensiblemente el manual continúa ajustando las ecuaciones, llegando a las siguientes fórmulas, que aunque correctas, hay que hacer muchos más cálculos:
b = yp – m·xp
Con:
Si nos hacemos una tabla que facilite los cálculos.
xk yk xk-xp yk-yp (xk-xp)(yk-yp) (xk-xp) 2 11,8 30,2 4,125 12,025 49,603125 17,015625
4,3 6,9 -3,375 -11,275 38,053125 11,390625
Vemos que tiene dos columnas más. Imagina que tenemos 10 puntos, 10 parejas (xk, yk)
COMENTARIO PARA PRÁCTICAS FUTURAS DONDE LAS LEYES NO SERÁN LINEALES Ya en Física I aprendiste a reconocer la posible ecuación de una curva:
Otro día haremos el ajuste de algún fenómeno que siga la ecuación exponencial (como la práctica del enfriamiento de Física I) o potencial (como la práctica del péndulo de Física I) Caso de que aparente ser potencial:
Vamos a rectificar, tomando logaritmos a ambos lados.
Puedo tomar logaritmo natural (ln), o en base 10, (log), pero se recomienda logaritmo natural.
y = a·xn quieres saber a, n ln(y) = ln(a·xn )
ln(y) = ln(a) + ln(xn ) ln(y) = ln(a) + n·ln(x ) Y = A + n · X
Para aplicar el método de mínimos cuadrados,
deberás añadir dos columnas: X = ln(x) Y=ln(y); entonces en vez de usar como datos x,y usarás X,Y
El método nos dará los valores m, b de la recta de ajuste Y = m·X + b. Comparando con la ecuación rectificada de la potencial: Y = n·X + A +
La pendiente m de la recta será: n
de la potencial
El valor b, que es el punto de corte con eje OY será A, de aquí: a =
e
A. Y ln(y)Caso de que la curva aparente ser exponencial:
Vamos a rectificar la función exponencial, tomando logaritmos a ambos lados.
Puedo tomar logaritmo natural (ln), o en base 10, (log), pero se recomienda logaritmo natural. y = a·ek·x
ln(y) = ln(a·ek·x) ln(y) = ln(a) + ln(ek·x ) ln(y) = ln(a) + k·x Y = A + k·x
Para aplicar el método de mínimos cuadrados, deberás añadir una columna: Y=ln(y);
entonces en vez de usar como datos x,y usarás x,Y
El método nos dará los valores m, b de la recta de ajuste Y = m·x + b. Comparando con la ecuación rectificada de la exponencial: Y = k·x + A
La pendiente m de la recta será: k
de la exponencial
El valor b, que es el punto de corte con eje OY, aquí será A, por tanto: a =