Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

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A

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N

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DNI:

_______________________________________________________________________________________________

Cálculo II. Graduado en Ingeniería

Prof. Manuel Hervás

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Calificación:

CÁLCULO II.

Ejercicio de Examen Final

Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización

FECHA: 12/06/12

TIEMPO RECOMENDADO: 40 m

Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO:

ENUNCIADO

Se considera la función real de variables reales

3 3 2 2 si ( , ) (0, 0) ( , ) 0 si ( , ) (0, 0) x y x y f x y x y x y        1. Estudiar su continuidad.

2. Calcular las derivadas parciales en un punto genérico ( , )x y y en particular en el punto (0, 0). Obtener f(0,0). 3. Estudiar la diferenciabilidad de la función f x y( , ). En particular analizar si es diferenciable en el punto

(0,0)

4. Calcular la derivada direccional D fu (0,0), siendo

u

cos

i

sen j

un vector unitario. Calcular también D fv (1,1) siendo v i j.

5. Dado el punto P(1,1,1) de la gráfica de f x y( , ), hallar utilizando técnicas de optimización la mínima distancia de dicho punto al plano

2x2y z 1. Comprobar que se trata de un mínimo absoluto.

NOTA:

Los apartados 1, 2, 3 y 4 valen en conjunto 1,5 puntos. El apartado 5 vale 1 punto. Sólo puntúan los resultados que vayan acompañados de justificaciones teóricas.

RESULTADOS 1. CONTINUIDAD

La función f x y( , ) es continua ( , )x y (0,0). Ya que se trata del cociente de 2 funciones continuas. Estudiemos la continuidad en el punto (0, 0)

3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 0 Acotado cos

lim lim lim cos 0

cos x y sen x y sen x ysen                  La función es continua en (0,0). 2. DERIVADAS PARCIALES

2 2 2 3 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 ( , ) 3 2 3 2 ( , ) x y x x y x x y x x y xy f x y x y x y y x y y x y y x y yx f x y x y x y               3 2 0 0 3 2 0 0 0 ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim lim 1 (0, 0) 0 (0, ) (0, 0) (0, 0) lim lim 1 x h h y k k h f h f h f h h f i j k f k f k f k k                         

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A

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N

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Cálculo II. Graduado en Ingeniería

Prof. Manuel Hervás

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3. DIFERENCIABILIDAD

La función f x y( , ) es diferenciable ( , )x y (0,0) ya que se trata del cociente dos funciones diferenciables. La función aunque es continua en (0,0) pero las derivadas parciales en (0,0) no lo son por lo que no se verifica la condición suficiente de diferenciabilidad, por tanto hay que utilizar el criterio que da la condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad.

2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0, 0) (0, 0) ( 0) (0, 0) ( 0) lim x y 0 x y f x y f f x f y x y           3 3 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0, 0) (0, 0) ( 0) (0, 0) ( 0) lim x y lim x y x y x y x y f x y f f x f y x y x y x y                

2 2 3 2 2 2 2 3/ 2 3 ( , ) (0,0) 2 2 0 cos cos

lim lim cos cos

x y xy yx sen sen sen sen x y                     

Como el límite no es 0 la función no es diferenciable en (0, 0). 4. DERIVADA DIRECCIONAL

Al no ser diferenciable f x y( , ) en (0,0) para calcular D fu (0,0) se debe hacer, de acuerdo con la definición, mediante límite.

3 3 3 2 3 3 0 0 cos ( cos , ) (0, 0)

(0, 0) lim lim cos

u sen f sen f D f sen                   

Sin embargo f x y( , ) es diferenciable en (1,1) por lo que se puede usar v (1,1) (1,1)

v D f f v    1 1 1 1 1 1 1 (1,1) (1,1) (1,1) ; (1,1) (1,1) 2 2 2 2 2 2 2 x y v v f f i f j i j D f f i j i j v                 5. DISTANCIA

Si no se exigiese realizar el problema mediante técnicas de optimización resultaría

0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 4 ( , ) 3 2 2 1 Ax By Cz D d P A B C                 

Mediante optimización se exige que sea mínima la distancia de un punto genérico ( , , )x y z

al punto (1,1,1)P

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

dx  y  z Al sustituir la z del plano: z 1 2x2y y teniendo en cuenta que la raíz es una función creciente que tiene los mismos extremos que el radicando se obtiene como función a optimizar:

2

2 2 2 2 2 2 ( , ) ( 1) ( 1) 1 2 2 1 ( 1) ( 1) 4 h x ydx  y   xy  x  y  xy 2( 1) 8( ) 0 10 8 2 1 Punto crítico: 2( 1) 8( ) 0 8 10 2 9 x y h x x y x y x y h y x y x y                       

Se comprueba que es un mínimo relativo mediante el test de las derivadas segundas

10 10 8 1 1 8 , 36 0 ; 10 0 MÍNIMO RELATIVO 8 10 9 9 10 xx xy xx yy h h H h h                 

Intuitivamente se observa que el mínimo relativo debe ser un mínimo absoluto ya que debe haber un punto en el plano que esté más cerca del punto

P

(1,1,1)

de la superficie.

2 2 2 1 5 1 1 5 1 1 5 4 9 Sustituyendo en ( , ) se obtiene , , 1 1 1 1 9 9 9 9 9 9 9 3 9 x z f x y z Q d y                  

(3)

 

 

 

 

A

PELLIDOS:

  

      

N

OMBRE:

  

       

DNI:

      

_______________________________________________________________________________________________

 

Cálculo II. Graduado en Ingeniería      

Prof.

 

Ramón

 

Rodríguez

  

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Calificación:

 

CÁLCULO

 

II.

  

Final

 

convocatoria

 

ordinaria

 

de

 

Junio

 

 

Tema

 

3:

 

Funciones

 

vectoriales

        

   

FECHA:

 

12/06/12

 

 

      

TIEMPO

 

RECOMENDADO:

 

1/2

 

Hora

   

      

Puntuación/TOTAL:

 

2,5/10

  

 

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: 

ENUNCIADO

 

 

Una

 

partícula

 

se

 

mueve

 

a

 

lo

 

largo

 

de

 

una

 

curva

 

γ

(t)=r(t)

 

definida

 

por:

 

 

 

 

 

Para

 

el

 

instante

 

t=1,

 

determinar:

 

a)

Su

 

velocidad,

 

rapidez

 

y

 

aceleración

 

(0,5

 

puntos)

 

b)

Los

 

vectores

 

tangente,

 

normal

 

y

 

binormal

 

a

 

la

 

trayectoria

 

en

 

ese

 

instante

 

(1

 

punto)

 

c)

La

 

curvatura

 

y

 

la

 

torsión

 

de

 

la

 

curva

 

en

 

ese

 

punto

 

(1

 

punto)

 

  

RESULTADOS 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 3 : 2 ( ) , , 3 R R t t t t t γ γ + ⎛ ⎞ → = ⎜ ⎝ ⎠

(4)

 

 

 

 

A

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N

OMBRE:

  

       

DNI:

      

_______________________________________________________________________________________________

 

Cálculo II. Graduado en Ingeniería      

Prof.

 

Ramón

 

Rodríguez

  

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O

 

bien,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

bien,

 

 

 

                

 

 

¡¡

 

BUEN

 

TRABAJO

 

!!

 

Utilice

 

la

 

parte

 

trasera

 

para

 

desarrollar

 

en

 

ella

 

un

 

resumen

 

los

 

cálculos

 

correspondientes

 

 

(

)

(

) (

(

)

)

(

)

(

) (

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 2 2 6,12, 12 ´( ) ´(1) 1 2 2 ( ) (1) , , , ya que: '( ) '(1) 324 3 3 3 8 16 8 16 8 16 2 2 1 4 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ´( ) , , 2 1 2 1 2 1 2 8 4 8 , 2 1 2 T t T N t N T t T t t t t t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t − − ⎛− − ⎞ = ⇒ = = = ⎜ ⎝ ⎠ ⎛ + + + ⎞ ⎜ + − + − − ⎟ ⎜ + + + ⎟ =⎜ ⎟= ⎜ + + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + = +

(

+

) (

)

(

)

3 3 2 3 8 6 4 2 3 2 4 8 , 1 2 1 64 128 96 32 4 '( ) 2 1 t t t t t t t T t t− − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ + + + + = + 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , , 3 3 3 B t =T t xN t = ⎜⎛− ⎞ ⎝ ⎠ 3

´( )

´(1)

18 / 3

2

( )

(1)

´( )

´(1)

3

9

T t

T

k t

k

r t

r

=

=

=

=

(

)

2

´( )· ´´( )

´´´( )

8

2

( )

(1)

36

9

´( )

´´( )

r t

r t

r

t

t

r t

r t

τ

=

×

τ

=

=

×

(5)

A

PELLIDOS:

N

OMBRE:

DNI:

_______________________________________________________________________________________________

Cálculo II. Graduado en Ingeniería

Prof. Santiago de Vicente

Página 1 de 2

Calificación:

CÁLCULO II.

Examen Final Convocatoria Ordinaria

Tema 4: Integración Múltiple

FECHA: 12/06/12

TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora

Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO:

ENUNCIADO

Hállese el momento de inercia de un disco homogéneo de radio unidad con respecto a un eje perpendicular a él y pasando por su circunferencia.

Nota: Se recomienda tomar el eje en el origen de coordenadas, pero no es absolutamente necesario hacerlo así.

RESULTADOS

¡¡ BUEN TRABAJO !!

(6)

A

PELLIDOS:

N

OMBRE:

DNI:

_______________________________________________________________________________________________

Cálculo II. Graduado en Ingeniería

Prof. Santiago de Vicente

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Ejemplos 4 (p.1025) y (p. 1031) del Capítulo 15 del Libro de Texto

Se toma como eje de giro el situado en el origen de coordenadas y perpendicular al plano donde se sitúa el disco (eje ).

Entonces, el momento de inercia con respecto a este eje de giro es:

∬ ( ) ( )

Donde ( ) es la densidad en cada punto (constante al ser el disco homogéneo) y:

( )

es el cuadrado de la distancia del punto de coordenadas ( ) al eje situado en el origen.

El dominio plano de integración es el círculo limitado por la circunferencia ( ) . Dada la geometría del dominio

de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la ecuación de la circunferencia queda:

Entonces, el momento de inercia pedido viene dado por:

∬ ( ) ∫ ∫ ∫ [ ] ∫ ( ) ∫ ( ( ))

(7)

A

PELLIDOS:

N

OMBRE: DNI: GRUPO:

_______________________________________________________________________________________________

Cálculo II. Graduado en Ingeniería

Calificación:

EXAMEN de CÁLCULO II.

Convocatoria Ordinaria

Tema 5: Cálculo Vectorial

FECHA: 12/06/12

TIEMPO RECOMENDADO: 30 Minutos

Puntuación / Total: 2.5 / 10

ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS:

ENUNCIADO

PUNTUACIÓN

RESULTADO

4

Calcule de dos formas distintas el trabajo que realiza una partícula sometida al campo de

fuerzas:

F(x,y,z) = (y-z)i+(z-x)j+(x-y)k

cuando da una vuelta sobre la trayectoria descrita por la intersección de las superficies: x2+4y2=1

z=x2+y2

2,5 Puntos

(8)

A

PELLIDOS:

N

OMBRE: DNI: GRUPO:

_______________________________________________________________________________________________

Cálculo II. Graduado en Ingeniería

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