S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M É T O D O D E G A U S S
1 . S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N T R E S I N C Ó G N I T A S Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de ecuaciones:
donde aij son números reales llamados coeficientes; los bi son números reales llamados términos independientes y x, y, z son las incógnitas.
Se llama solución del sistema a una terna de números (a,b,c) tales que al sustituir x por a, y por b y z por c se verifican simultáneamente las tres ecuaciones.
Un sistema es compatible si tiene por lo menos una solución. Si es única, se dice compatible determinado, mientras que si tiene más de una, entonces hay infinitas y el sistema es compatible indeterminado. Los sistemas que no tienen ninguna solución se dice que son incompatibles.
Para resolver un sistema de este tipo emplearemos el método de reducción o método de Gauss. Para eso tendremos que transformar el sistema original en otro equivalente.
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Para obtener un sistema equivalente a otro dado, se pueden realizar las siguientes operaciones: Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número real distinto de
cero.
Sumar o restar a una ecuación del sistema, otra multiplicada por un número. Suprimir una ecuación del sistema, si es combinación lineal de las restantes. Intercambiar ecuaciones.
Cambiar de orden las incógnitas.
2 . M É T O D O D E G A U S S
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente, pero escalonado. Para conseguir esto se efectúan, según convengan, las transformaciones elementales anteriormente citadas. Todas ellas pueden realizarse directamente sobre la matriz asociada al sistema. Sólo la última exige la cautela de anotar dónde va a parar cada incógnita, y de no cambiar de lugar la última columna. Es decir:
Podemos escribir el sistema de ecuaciones empleando una notación matricial. La matriz ampliada del sistema sería:
21 22 23 2 31 32 33 3 11 12 13 a x a y a z b 1 a x a y a z b a x a y a z b + + = ü ï + + = ý ï + + = þ
0
0
0
Si hay alguna fila toda ella formada por ceros, se suprime.
El sistema de ecuaciones, o su matriz asociada, adopta finalmente una de las formas siguientes:
representan números distintos de cero.
representan cualquier número.
Hay tantas ecuaciones válidas cómo incógnitas. De forma escalonada, obtenemos un valor numérico para cada incógnita. El sistema tiene solución única. Es, por lo tanto, un sistema compatible y determinado.
Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro, con el que las otras se darán en función de ellas. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
Si aparece una fila de ceros excepto el último valor, que es distinto de cero, significa que se llegó a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k ≠ 0, lo cual es una igualdad imposible. En este caso, el sistema es incompatible: no tiene solución.
Ejercicios resueltos :
1) Resolver por el método de Gauss el sistema: ï ï = + + = + = + 11 7 5 3 2 4 3 5 2 z y x z y x z y x Solución: 2 1 0 0 2 1 1 0 3 1 2 1 4 2 11 0 2 1 1 0 3 1 2 1 11 7 1 5 4 3 5 2 3 1 2 1 11 7 1 5 3 1 2 1 4 3 5 2
En la última fila tendremos que z = -2 y sustituyendo en las anteriores quedará que y =0, x=5.
2) Resolver por el método de Gauss el sistema: ï ï = + = + = + 11 10 4 8 5 10 7 3 z y x z y x z y x 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 b a a a b a a a b a a a
Solución: 0 0 0 0 21 17 7 0 10 7 3 1 42 34 14 0 21 17 7 0 10 7 3 1 21 17 7 42 34 14 0 10 7 3 1 11 10 4 1 8 1 1 5 10 7 3 1 0
El sistema es compatible, pero indeterminado. Queda así: + = = z y z y x 17 21 7 7 10 3 .
Despejando x, y en las dos ecuaciones, y poniendo z en función de un parámetro, la solución del sistema sería:
) ( , 7 17 3 , 7 2 1 k y k z k k R x= + = + =
3) Resolver por el método de Gauss el sistema: ï ï = = + = 11 21 8 3 15 2 7 2 3 z y x z y x z y x Solución: 7 0 0 0 11 19 5 0 7 2 3 1 4 19 5 11 19 5 0 7 3 1 11 21 8 1 3 15 1 2 7 2 3 1 0 2
ES un sistema incompatible, pues se llegó a la ecuación 0x + 0y + 0z = -7, lo que es imposible.
E J E R C I C I O S
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones e indica de qué tipo son: 1) ï ï = + + = = + 8 5 2 4 20 3 11 2 z y x y x z y x 2) ï ï = = + + = + + 0 0 6 z x z y x z y x 3) ï ï = + = = + + 7 2 1 6 y x z y z y x
(Sol: (1,7,-2)) (Sol: S. Incompatible) (Sol: (5-2a,1+a,a))
4) ï ï = + = + = + + 1 2 2 3 z y x z y x z y x 5) ï ï = + = + + = + 6 2 2 4 3 z y x z y x z y x 6) ï ï = + + = = + + 8 3 4 6 z y x z y x z y x
7) ï ï = + + = + = + 11 7 5 3 2 4 3 5 2 z y x z y x z y x 8) ï ï = + = + = + 11 10 4 8 5 10 7 3 z y x z y x z y x 9) ï ï = = + = 11 21 8 3 15 2 7 2 3 z y x z y x z y x
( Sol: (5,0,-2)) ( Sol: (1+2a, -3+17a,7a)) ( Sol: S. incompatible)
10) ï ï = + + = = + + 2 2 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x 11) ï ï = + = + = + 4 2 2 3 16 5 2 z x z y x y x 12) ï ï = + + = + + = + + 0 3 3 3 5 1 2 3 z y x z y x z y x
( Sol: (1,-2,3)) ( Sol: (-2,4,6)) ( Sol: (3/2, -2,1/2))
13) ï ï = + + = + + = + 1 3 3 5 1 2 3 1 z y x z y x z y x 14) ï ï = + = + = + 6 2 16 2 6 6 3 4 3 z y x z y x z y x 15) ï ï = + = = + + 5 2 10 9 2 z y x z y x z y x
( Sol: (-1-3a,2+4a,a)) ( Sol: (-1,1,-2)) ( Sol: (-1,1,8))
16) ï ï = + + = + = + 2 3 2 4 2 1 2 z y x z y x z y x 17) ï ï = + = = + 0 4 0 3 0 3 2 z y x y x z y x 18) ï ï = + + = + = + 10 3 11 2 z y x y x z x
( Sol: S. Incompatible) ( Sol: (a, 3a, 7a)) ( Sol: (-3,6,7))
19) ï ï = + = + = + + 1 7 4 2 5 2 4 2 3 z y x z y x z y x 20) ï ï = + + = = + 2 3 2 1 1 z y x y x z y 21) ï ï = + = + + = + + 3 2 2 3 2 2 4 3 2 5 z y x z y x z y x
( Sol: (3/2,-1/2,0)) ( Sol: -a,-1-a,a)) ( Sol: (1,1,-1))
22) ï ï = + + = + = + 5 2 6 4 3 2 z y x y x z y x 23) ï ï = = + = + + 0 2 0 2 0 z y x z y x z y x 24) ï ï = + = + = + 6 8 12 z x z y y x
( Sol: (5,1,-3)) ( Sol: (0,0,0)) ( Sol: (5,7,1))
25) ï þ ï ý ü = + + = + + = + + 15 5 8 2 10 3 5 5 2 3 z y x z y x z y x 26) ï þ ï ý ü = + = = + + 1 5 2 3 9 3 2 6 z y x z y x z y x
2. Una familia tiene unos ingresos al mes de 3250 € por los sueldos de la madre, el padre y el hijo. Si la madre gana el doble que el hijo, el padre 2/3 del que recibe la madre, ¿cuánto gana cada uno de los miembros de la familia?
( Soluc: 1000 € el padre, 1500 € la madre, 750 € el hijo)
3. En una caja registradora encontramos billetes de 50 €, 100 € y 200 €, siendo el número total de billetes igual a 21, y la cantidad total de dinero 1800 €. Sabiendo que el número de billetes de 50 € es el quíntuplo de los de 200 €, calcula el número de billetes de cada tipo.
( Soluc: 10, 9, 2 billetes respect.)
4. En una función de teatro se recaudan 5200 €, vendiéndose 200 entradas de tres precios distintos: 30 €, 25 € y 10 €. Sabiendo que el número de localidades más económicas suponen un 25% del número de localidades de 25 €, calculla el número de localidades de cada clase.
( Soluc. 100, 80, 20 loc. respect.)
5. Una pastelería vendió 27 tartas. El número de las de chocolate duplicó a las de tartas de nata y entre las dos excedieron en 3 a las ventas de tartas de queso. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo?
( Soluc: 10 choc, 5 nata, 12 queso)
6. Se invirtieron 10 000 € en tres productos financieros. Entre el segundo y el tercero son los 2/3 del primero, y entre el primero y el tercero, el 70% del total de la inversión. Calcula la cantidad que se invirtió en cada producto.
( Sol: 6000 €, 3000 €, 1000 € respect.)
7. Una tienda vendió 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384 €. El precio original era de 12€, pero también vendió copias defectuosas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula a cuántas copias se le aplicó el 30% de descuento. ( Sol: 120 copias)
8. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de euros. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con el que su beneficio total sería de 600 000€. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de euros. ¿Cuánto le costó cada objeto? ( Sol: 500 000 €, 500 000 €, 1 millón de euros, respect.)
9. Una empresa dispone de 27200 € para actividades de formación de sus cien empleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se decidió organizar tres cursos: A, B y C. La subvención por persona para el curso A es de 400 €, para el curso B es de 160 €, y de 200 € para el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, ¿cuántos empleados siguen cada curso? ( Sol: 40, 20, 40 empleados respectivamente)
10.Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, calcula cuántos billetes hay de cada tipo.
( Sol: 50, 25, 20 billetes respect.)
11.En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: fresa, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 €, y el precio de cada helado es de 4 € el de fresa, 5 € el de chocolate y 6 € el de nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre los helados de chocolate y nata tiene que haber el 20 % más que los de fresa. Calcula cuántos tiene que haber de cada sabor por semana.
(Soluc: 50, 20 40 helados respect.)
12.En cierto comercio, un cliente compra 5 kg de manzanas, 3 kg de patatas y 2 kg de café, gastando un total de 11,12 €. Otro cliente compra 2 kg de manzanas, 2 kg de patatas y 1 kg de café, gastando 5,41 €. Un tercer cliente compra 4 kg de patatas y 5 kg de café por 19,23 €. Calcula el precio de cada artículo.
(Soluc: 60 cént, 30 cént, 3,61 €)
13.Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de altos ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de altos ejecutivos de la delegación de Barcelona fuera igual a la de Madrid tendrán que trasladarse tres de Madrid a Barcelona. Además, el número de los de Madrid, excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos altos ejecutivos están destinados en cada ciudad?
( Soluc: 16, 10, 5 respect.)
14.Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C, para la elaboración de tres pizzas P1, P2, P3. P1 se elabora con una unidad de A, 2 de B y 2 de C; P2 con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C; y P3 con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 7,2 € para P1, 6,15 € para P2 y 7,35 € para P3. Sabiendo que el margen comercial (beneficio) es de 2,4 €, calcula cuánto le costa a dicha marca cada unidad de A, B y C.
15.Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y el tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20% más que la suma de la mitad del pedido por el primero más la tercera parte del pedido por el tercero. ¿Cuáles fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos?
( Soluc: 21, 15, 6 respect.)
16.Un aficionado a la Bolsa invirtió 12000 € en acciones de tres empresas A, B y C. Después de un año, la empresa A pagó un dividendo del 6 %, la B del 8 % y la C del 10%. Como consecuencia de eso, cobró un total de 976 €. Si en la empresa C invirtió el doble que en la A, ¿cuánto invirtió en cada empresa?
( Soluc: 800€, 9600 €, 1600 €, respect.)
17.Los sueldos de un padre, la madre y un hijo sumados dan 3250 €. La madre gana el doble que el hijo, y el padre gana los 2/3 de lo que gana la madre. Calcula cuánto gana cada uno.
( Soluc: padre: 1000 €, madre: 1500 €, hijo: 750 €)
18.Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3525 €. Calcular cuántos viajeros pagaron el total del importe del billete, que vale 15 €, cuántos pagaron el 20% del billete, y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que pagaron el 20% es el doble del número de viajeros que paga el billete entero.
