LOCALIZACIÓN Y CUANTIFICACIÓN DE DAÑO EN ESTRUCTURAS RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN

LOCALIZACIÓN Y CUANTIFICACIÓN DE DAÑO EN ESTRUCTURAS

Héctor Guerrero Bobadilla1_{, José Alberto Escobar Sánchez}2 _{y Roberto Gómez Martinez}3 RESUMEN

Se presenta el Método de la Matriz de Transformación (MMT), el cual es una herramienta útil para localizar y cuantificar daño estructural en términos de la pérdida de rigidez de los elementos estructurales de un edificio. En el desarrollo de este trabajo se ha logrado obtener una solución más refinada y rápida a la del MMT tradicional, que permite localizar elementos estructurales dañados y cuantificar la magnitud de este daño con mayor precisión.

ABSTRACT

An enhaced version of the Transformation Matrix Method (TMM), to locate and quantify structural damage in terms of the loss of stiffness of the structural elements of framed buildings is presented. In this paper, it has been achieved a more refinement and faster solution than the traditional TMM, this solution allows to localize the damaged structural elements and to quantify the magnitude of the damage with more accuracy.

INTRODUCCIÓN

En términos de seguridad estructural, resulta muy importante contar con modelos matemáticos que permitan evaluar el nivel de daño que presentan las estructuras. Para ello, el Método de la Matriz de Transformación (Escobar et al., 2001, 2005) es capaz de localizar y cuantificar la cantidad de daño en los elementos estructurales, partiendo de un estado inicial sin daño y converge al estado de daño que posee la estructura y sus elementos estructurales.

Este método está basado en la construcción de un modelo analítico base y en la medición de las propiedades dinámicas de las estructuras. Lo segundo representa una ventaja muy importante, pues permite obtener la rigidez de la estructura para un estado de daño sin la necesidad de tener una exposición directa de los elementos estructurales (Escobar et al., 2001, 2005). Esto se refleja principalmente en economía y tiempo de medición, pues en algunas ocasiones los recubrimientos, equipo y maquinaria, no permiten tener una apreciación física del nivel de daño.

Es importante remarcar que existen diferentes incertidumbres en la medición de las propiedades dinámicas de las estructuras y en la construcción de modelos analíticos. Estas incertidumbres pueden afectar directamente los resultados obtenidos por el método mostrado en este trabajo. Para evitar estos errores es necesario emplear técnicas para refinar los modelos de estructuras y mediciones de parámetros dinámicos (Murià Vila et al. 1997).

1 Becario, Instituto de Ingeniería - UNAM, Ciudad Universitaria, Coyoacán 04510 México, DF, México, Tel. 56 23 36 00, ext. 8408, correo electrónico: [email protected]

2 Investigador, Instituto de Ingeniería - UNAM, Ciudad Universitaria, Coyoacán 04510 México, DF, México, Tel. 56 23 36 00, ext. 3612, correo electrónico: [email protected]

3 Investigador, Instituto de Ingeniería - UNAM, Ciudad Universitaria, Coyoacán 04510 México, DF, México, Tel. 56 23 36 00, ext. 8050, correo electrónico: [email protected]

El MMT consiste básicamente en desarrollar un modelo analítico de la estructura en cuestión para establecer un estado sin daño, medir los parámetros dinámicos de la estructura en su estado de daño actual, y localizar y cuantificar el daño que presentan sus elementos estructurales.

Por otro lado, en la práctica no es posible instrumentar todos los grados de libertad de una estructura. Por esta razón es necesario trabajar con matrices de rigidez condensadas en sus primeros grados de libertad (Baruch y Bar Itzhack, 1978), lo que se logra con la matriz de transformación geométrica.

EL MÉTODO DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

Debido a que no es posible instrumentar todos lo grados de libertad en las estructuras, no se pueden determinar todas sus frecuencias y modos de vibrar. Por esta razón, es necesario condensar los grados de libertad de las estructuras a fin de reducirlos. Para ello, se emplea la matriz de transformación [T], que está en función de los grados de libertad primarios y secundarios, esto es:

      − = ₋ ] [ ] [ ] [ ] [ 21 1 22 K K I T (1)

donde la matriz de rigidez global de la estructura [K] está definida como:       = ] ][ [ ] ][ [ ] [ 22 21 12 11 K K K K K (2)

[K11], [K12], [K21] y [K22] son submatrices obtenidas de la partición de la matriz [K], y se pueden determinar

mediante la ecuación de equilibrio estático:

            =       } { } { ] ][ [ ] ][ [ } { } { 2 1 22 21 12 11 2 1 u u K K K K f f (3) donde {f1} es el vector de cargas asociado a los desplazamientos medidos; {f2} es el vector de cargas asociado

a los desplazamientos no medidos; {u1} es el vector de desplazamientos medidos; {u2} es el vector de

desplazamientos no medidos.

Entonces, la matriz de rigidez condensada de la estructura, se puede obtener mediante la siguiente transformación: ] ][ [ ] [ ] [K ₌ T T K T ₍₄₎

Por otro lado, la matriz de rigidez de una estructura para un estado de daño [Kd], puede escribirse como:

[ ] [

]

[ ]

i nej i i wd d K dk K K

∑

= − = 1 (5) donde [Kwd] es la matriz de rigidez de la estructura para un estado sin daño; nej, es el número de elementos

estructurales; dkies un parámetro adimensional que representa la degradación de rigidez del i-ésimo elemento

estructural (0 <dki<1); [K]j es la matriz de rigidez sin daño del elemento i de la estructura. La matriz de

rigidez lateral

[ ]

Kd que corresponde a un estado de daño de la estructura es calculada como:

[ ] [

]

[ ]

i nej i i wd d K dk K K

∑

= − = 1 (6)

la matriz de rigidez global entre los grados de libertad primarios y secundarios;

[

Kwd

]

=

[ ] [

Twd T Kwd

][ ]

Twd y

[ ]

K

i=

[ ] [ ][ ]

T

wd T

K

T

wd . Los subíndices d y wd corresponden a un estado con y sin daño respectivamente. Con la finalidad de calcular la matriz de rigidez lateral de la estructura en la ecuación 4, como primera aproximación, se puede suponer que la matriz de transformación para un estado de daño [Td], no difiere de la

correspondiente a un estado sin daño [Twd]. Así, un proceso iterativo permite detectar los elementos

estructurales dañados por aproximaciones sucesivas (Escobar, et al., 2001, 2004, 2005).

La matriz de rigidez lateral de una estructura dañada es de orden mxm, y debido a su simetría, tiene nti=m(m+1)/2 términos independientes. Desarrollando la ecuación 6 para cada uno de los términos de cada matriz, se obtiene:

{ } { }

kwd − kd =

[ ]

Sk

{ }

dk (7)

donde

{ }

kwd ,

{ }

kd , y

{ }

dk son vectores de orden ntix1 que contienen: los términos independientes de la matriz de rigidez lateral sin daño, los términos independientes de la matriz de rigidez lateral con daño, y la degradación de rigidez de lo elementos estructurales, respectivamente; y [Sk] es una matriz de orden ntixnej

que contiene los términos k_ij.

En general, el número de ecuaciones nti es diferente del número de incógnitas nej, el sistema de ecuaciones anterior es inconsistente. Es probable que no exista un vector que proporcione una solución exacta al sistema de la ecuación 7; en otras palabras, es probable que el vector

{ }

kwd -

{ }

kd no sea una combinación lineal de las columnas de [Sk]. Entonces, el sistema de la ecuación 7 puede ser resuelto como un problema de

programación lineal.

Localización y cuantificación de daño en estructuras tridimensionales

La matriz de rigidez global correspondiente a un estado de daño en el marco j de una estructura es:

[ ] [

]

[ ]

ij nej i ij j wd j d K dk K K

∑

= − = 1 (8)

donde dkij es la degradación de rigidez del elemento i del marco j. En este caso, la matriz de rigidez

condensada de la estructura tridimensional correspondiente a un estado de daño se obtiene como:

[ ] [

]

[ ]

d r Nr r r wd d Kt dk K Kt

∑

= − = 1 (9) donde:

[

]

_∑

[ ] [ ] [

][ ] [ ]

= = Nm j j j d wd T j d T j wd C T K T C Kt 1

[ ]

_∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

∈= = Nm j rj j j d rj T j d T j r d C T K T C K 1

En la ecuación anterior, Nres el número de elementos en la estructura; Nm es el número de marcos; y [C]j es la

matriz de transformación de desplazamientos. Esta matriz define una relación entre los grados de libertad laterales del marco j con los grados de libertad primarios de la estructura tridimensional. De la ecuación 8 es posible establecer un sistema de ecuaciones lineales cuando se desarrolla una ecuación para cada término de la matriz diferente de cero. Esto es:

{ } { }

ktwd − ktd =

[ ]

Sk

{ }

dk (10) donde [Sk] es una matriz formada por los términos

k

dr. Como las matrices de transformación de

desplazamientos son independientes del estado de daño de los marcos, el procedimiento para resolver la ecuación 10 es similar al usado para marcos planos. Como una aproximación inicial a la solución, se considera que las matrices de trasformación corresponden a un estado sin dañado.

Algoritmo

El MMT puede resumirse como:

1. Para un estado sin daño, se calculan las matrices [K]i, [Kwd] y [T]

2. Se calculan las matrices condensadas

[ ]

K =

[ ] [

T T K_wd

][ ]

T y

[ ]

K _i=

[ ] [ ] [ ]

T T K _iT 3. El vector

{ }

kwd y la matriz

[ ]

Sk de términos independientes son formados. 4. Se resuelve el sistema de ecuaciones

{ } { }

kwd − kd conocido =

[ ]

Sk

{ }

dk para {dk}.

5. Con el vector {dk}, la matriz de rigidez global [Kd] y su correspondiente matriz de transformación [T] son

calculadas.

6. Se condensa la matriz [Kd] y se forma un vector

{ }

kd aprox de términos independientes.

7. Si la diferencia entre

{ }

kd conocido y

{ }

kd aprox es menor que una tolerancia establecida, el proceso termina; de

lo contrario, el proceso regresa al paso 3.

Figura 1: Algoritmo para la localización y cuantificación de daño con el MMT. FIN

NO

Calcular matrices ][T y [Km] para un estado sin daño Calcular la matriz [Ke]_i Calcular [S_k], {k_d} y {k_m}

Resolver la ec. 7 para {dk} Calcular las matrices [K_d] y ][T

con el vector {dk}

Calcular la matriz [Kd] y el vector

aprox d

k

}

{

] [ ] [Kd Km E= − SI

Con la finalidad de tener un criterio que permita terminar el proceso es necesario medir la aproximación alcanzada en cada iteración. Inicialmente, si no hay daño en la estructura (paso 1 del algoritmo), el proceso iterativo puede converger a un estado de daño definido por el vector

{ }

kd conocido. Esto puede ser logrado si la

matriz de transformación empleada en el paso 3 de la iteración n+1 es calculada por una fracción de la suma de los estados de daño obtenidos en las iteraciones anteriores n y n-1, por ejemplo:

1

1 (1 ) −

+ = n+ − n

n dk dk

dk β β (11)

De una manera equivalente al método de bisección, en cada iteración el algoritmo propuesto encuentra un valor óptimo de β(de valores propuestos por el usuario). De esta forma, la matriz de transformación muestra un cambio gradual que permite la localización de elementos dañados por aproximaciones sucesivas. A fin de medir la aproximación lograda en cada iteración, se emplea la siguiente ecuación:

{ }

{ }

2

min k_{d known} k_{d approx}

e= − (12)

Otra forma de terminar el proceso es establecer una tolerancia que permita comparar los términos de los vectores del paso 7 del algoritmo. En estructuras con pocos elementos estructurales es posible determinar y cuantificar los elementos dañados.

Adicionalmente, puesto que un elemento estructural puede presentar daño o no, es posible mejorar la solución directa del sistema de ecuaciones del paso 4 asignando daño cero a elementos con un valor de degradación de rigidez menor a un valor especifico. Este criterio mejora la localización de elementos dañados usando el MMT.

Con la finalidad de reconstruir la matriz de rigidez lateral, correspondiente a un estado de daño de la estructura, son necesarios parámetros modales.

MEJORAMIENTO DEL MÉTODO DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

Con el objetivo de mejorar la convergencia del método, la solución puede acelerarse con la siguiente ecuación: 1 1 1 − − + = −∆ _{∆ −}−_∆ n n n n n n n dk dk dk dk (13)

donde ∆ny∆n-1 son la tasa de cambio de dk para las iteraciones n y n-1 respectivamente. Así, la ecuación 13

remplaza a la ecuación 11.

APLICACIÓN DEL MÉTODO

Con el objetivo de evaluar el MMT, se estudió el marco de tres niveles y una crujía (Biggs, 1964) que se presenta en la figura 2, cuyas propiedades de los elementos estructurales son: E=20,7 GPa; I=8324 _cm4_,

2 , 4140 =

J cm4, 3A=161, cm2.

Para analizar el estado de daño del marco, se simuló el estado de daño asimétrico degradando la rigidez de las vigas y columnas de la estructura el porcentaje mostrado en la figura 2. Al aplicar el MMT se calculó la degradación de rigidez los elementos.

dk=20

dk=20 dk=25

dk=15

Figura 2: Estado de daño simulado.

En la figura 3 se presenta la evolución de los resultados del método para el elemento dañado 15%. Primero se utilizó el método tradicional (figura 3) desarrollado con la ecuación 11 y, después un análisis con la ecuación 13. Como se puede observar, en el primer caso la convergencia al estado de daño es muy lenta, es decir se realizaron prácticamente 100 iteraciones. En cambio, para el segundo caso (figura 4) se llegó al estado de daño con sólo 10 iteraciones.

Figura 3: Tasa de cambio del modelo estudiado con el método tradicional de detección de daño. En este análisis se ha podido apreciar que el uso de la ecuación 13, ha permitido acelerar la convergencia del método mediante el uso de la ecuación 13. Este refinamiento del método permite llegar al estado de daño del elemento mostrado por lo menos diez veces más rápido.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 20 40 60 80 100 Iteration number D eg rad at io n o f s ti ff ne ss (d k) Número de iteración D egradació n de rig idez ( dk )

Figura 4: Tasa de cambio del modelo estudiado con el MMT empleando la ecuación 13.

En la figura 5 se muestra la variación del error en cada iteración para el MMT tradicional y para el MMT mejorado. Se puede apreciar que en la iteración 12, el error alcanzado por el MMT refinado con la ecuación 13 es mucho menor que el logrado con el MMT tradicional.

Figura 5: Comparación del error entre el MMT tradicional y el MMT refinado.

Finalmente, en la figura 6 se observa el estado de daño alcanzado por el método tradicional y el refinado al realizar 10 iteraciones en el modelo mostrado en la figura 2. Se puede apreciar que el MMT refinado logra más exactitud que el tradicional.

Número de iteración 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 5 10 15 20 Iteration number D eg ra da ti on of s ti ffne ss (dk) Número de iteración Degra d ac ión de rigi dez ( dk ) 1.0E-09 1.0E-08 1.0E-07 1.0E-06 1.0E-05 1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Iteration number er ro r Original TMM Improved TMM MMT Refinado MMT Trad. Número de iteración

a) MMT tradicional b) MMT refinado

Figura 6: Detección de daño en el modelo estudiado con el MMT tradicional y el MMT refinado. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El método de la Matriz de Transformación mejorado permite localizar y cuantificar daño en elementos estructurales de marcos. Con base en los resultados obtenidos para el caso de daño estudiado se pueden establecer las siguientes conclusiones

El uso de la ecuación 13 en el método de la Matriz de Transformación ha permitido obtener una solución más rápida y exacta del estado de daño de los elementos estructurales en estructuras como la mostrada en la figura 2.

Contrario a otros métodos detección de daño, los cuales requieren de un gran consumo de recursos computacionales, sobre todo cuando se tienen estructuras con una gran cantidad de grados de libertad con elementos dañados, el método mostrado en este trabajo resulta ser muy adecuado gracias a la velocidad de convergencia que presenta.

Este método también resulta ser una importante herramienta en la localización y cuantificación de daño en estructuras, además de que permite tomar decisiones encaminadas a la seguridad adecuada de las construcciones.

AGRADECIMIENTOS

Se agradecen los comentarios y la revisión crítica de Maritza Galiote Juárez. REFERENCIAS

Baruch M., y Bar Itzhak I.Y. (1978), “Optimal weighted orthogonalization of measured modes”, AIAA Journal, 16, 4, 346-351, abril.

Biggs J.M., (1964), “Introduction to structural dynamics”, McGraw-Hill, New York, EUA.

Escobar J.A., Sosa J.J. y Gómez R., (2001), “Damage detection in framed buildings”, Canadian Journal of Civil Engineering, 28, pp 1-13.

Escobar J.A., Fierro F. y Gómez R., (2004), “Damage detection in building structures”, 13th World Conference on Earthquake Engineering, Vancouver, B.C., Canadá.

dk=19,9 error=0,05 dk=24,2 error=3,4 dk=9,9 error=33,9 dk=20,5 error=2,6 dk=20 e=0,0 dk=24 error=3,8 dk=15,3 error=2,3 dk=19,5 error=2,7

Escobar J.A., Sosa J.J. y Gómez R., (2005), “Structural damage detection using the transformation matrix”, Computers and Structures, 83, pp 357-368.

Murià D., Fuentes L. y González R., (2000), “Incertidumbre en la estimación de las frecuencias naturales de vibración de edificios de la ciudad de México”, Información tecnológica, 11, 3, pp 117-184.