DISEÑAR LA ENTRADA DE UN APARCAMIENTO SUBTERRANEO Resumen
El objetivo de esta tarea es diseñar una rampa que facilite la entrada a un garaje, situado en un nivel inferior a la altura de la calle. Hay que considerar que no solo pueden entrar vehículos a motor sino también, por ejemplo, carritos de bebes, sillas de ruedas, etc. Debería tenerse en cuenta, que de forma natural, esa entrada desde la calle hasta el garaje ha de ser lo mas corta posible
Esta tarea está inspirada (y es la continuación) del Problema del Parking diseñado y propouesto por el equipo Español de Mascil (http://www.mascil-project.eu/classroom-material)
El problema trabaja con matemáticas aplicadas al contexto de la construcción de carreteras, diseño de coches, arquitectura y control de tráfico (bandas sonoras)
Se espera que el alumnado explore esta situación, que se presenta en la vida real, a través de modelos de papel, y utilización de software de geometría dinámica
Partiendo de sus experimentos potencia su intuición sobre la situación que están modelando, formulan y verifican sus propias hipótesis y finalmente, proponen y encuentran una solución aceptable.
Las tareas
Primera parte: Entrando en el garaje
El alumnado ha de diseñar una pendiente en línea recta que conecte la calle y el garaje del sótano, como se muestra en la Figura 1.
Fig. 1
El objetivo es facilitar el aparcamiento desde la calle hasta el garaje del sótano de diferentes tipos de vehículos y otros objetos móviles tales como: cochecitos de bebé, sillas de ruedas, etc. La intención es que la rampa desde la calle hasta el sótano sea lo más corta posible. Esto podría lograrse modificando la pendiente de la misma. Para entender qué tipo de dificultades aparecen cuando la pendiente se hace más pronunciada se invita a los estudiantes que experimenten con diferentes pendientes (dibujadas en una hoja de papel) y utilicen modelos preliminares en 2D y coches de juguete "tortuga-car", como los de la figura 2 (o equivalentes)
Fig. 2 Esto es lo que ocurriría
Fig. 3
Los bajos de nuestro cochecito golpearían en la zona en donde comienza la rampa y este podría dañarse.
Para incrementar las oportunidades de exploración y experimentación se les pide a los estudiantes que trabajen con las siguientes simulaciones de geometría dinámica
http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/html/d22185.html http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/ggb/d22185.ggb
Aquí los estudiantes pueden variar la longitud del coche, el tamaño de las ruedas de los coches y la inclinación de la pendiente. Este es un recurso basado en GeoGebra http://www.geogebra.org/download.
Para debatir con los estudiantes:
Aspectos a considerar que facilitarían el aparcamiento
• ¿Ruedas más grandes o más pequeñas?
• ¿Vehículo mas largo o mas coro?
• ¿Pendiente mas o menos pronunciada?
Como medir
• El tamaño de las ruedas (concepto de circunferencia y su radio)
• La rampa (Pregunta a tus alumnos sobre como se expresa la pendiente de una
rampa y como medirla) Daños en el coche
• ¿Qué partes del coche se dañarían si la pendiente es demasiado pronunciada
(frontal, superior, parte trasera, parte inferior)?
• ¿Cuál es la pendiente más pronunciada sobre la que puede pasar el coche sin
sufrir daños ?
• ¿Cuál es la parte inferior del coche que queda más “expuesta” al golpe?
La experimentación demuestra que, si el punto medio de la línea inferior del coche sobrepasa el inicio de la rampa, se puede aparcar de forma segura
Tarea para casa
a.) Mide el radio de las ruedas de un cochecito para bebes y también del automóvil de tus padres.
b.) Mide la pendiente de una escalera de casa o del colegio. Expresa estas medidas en porcentaje y en grados.
Orientaciones para determinar y expresar la pendiente
Existen diferentes medidas para la pendiente. Se mide en porcentajes "%" y en grados "º". Por ejemplo para explicar una señal de tráfico que indica una pendiente del 10% podemos utilizar el siguiente esquema.
Otro ejemplo, para el caso siguiente el porcentaje de la rampa se determina: %:
Existen muchos recursos para explorar la relación entre el grado de la pendientes y el porcentaje de la misma. Por ejemplo:
http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/html/d22190.html http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/ggb/d22190.ggb http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/html/d22191.html http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/ggb/d22191.ggb http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/html/d22192.html http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/ggb/d22192.ggb http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/html/d22193.html http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/ggb/d22193.ggb http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/html/d22194.html http://www.math.bas.bg/omi/cabinet/content/bg/ggb/d22194.ggb
Segunda parte: Investigando la pendiente
El alumnado investiga la pendiente a través de diferentes tareas.
En las tareas propuestas la inclinación de la pendiente se mide en grados solamente. En la Fig. 4 se muestra una rampa con una pendiente de 32º
Fig. 4
Guía del profesor/a para trabajar con las tareas
Tarea 1. Si las ruedas de coche (utilizaremos pequeños coches de juguete a escala) tienen un radio de 8 cm y la distancia entre los centros de las ruedas es de 72 cm (como se
muestra en la figura 2) ¿Crees que este coche pasará de forma segura sobre la rampa? (En este caso la rampa fue diseñada con una pendiente de 34°)
Calle
Fig. 5
Para explorar esta y las sucesivas tareas, el alumnado puede utilizar el archivo asociado EE2.ggb.
Se debe llamar la atención de los estudiantes en relación al hecho de que, si la línea inferior del cochecito “toca” en el punto de corte con la línea horizontal de la calle y la línea de inicio de la rampa, la aplicación mostrará un color naranja y el signo "X" aparecerá en el punto de cruce. Esto significa que el cochecito no puede superar la pendiente y el aparcamiento es imposible.
A través de la exploración con la ayuda del EE y los datos de la tarea 1 se podría concluir que el cochecito no puede superar la pendiente y el aparcamiento en el sótano no es posible en este caso.
La reducción, con la ayuda de la α-slider, la inclinación de la pendiente a 25 ° hace que el
aparcamiento sea posible.
La reducción de la pendiente con la ayuda del “α-slider”, a 25º da lugar a que el coche
Tarea 2. Tenemos tres maquetas de coches con diferentes características, tal y como se muestra en la siguiente tabla:
Coche Radio de las
ruedas
Distancia entre en centro de las ruedas
C1 8 cm 72 cm
C2 10 cm 99 cm
C3 13 cm 111 cm
¿Cuál es la máxima pendiente de la rampa que permitiría pasar de forma segura a los tres coches?
Posible respuesta. A través del EE 8utilizando el scroll de la pendiente) determinan la pendiente de la rampa que permitiría aparcar en cada caso. A modo de ejemplo
Coche Radio de las
ruedas
Distancia entre en centro de las ruedas Máxima pendiente C1 8 cm 72 cm 25 º C2 10 cm 99 cm 23 º C3 13 cm 111 cm 26 º
Por lo tanto para poder aparcar los tres coches habrá que elegir la rampa con el menor de los valores, esto es: 23 º.
Otra cuestión que puede surgir está relacionada con la tarea 1. Al aumentar el tamaño de las ruedas del coche (manteniendo la longitud del coche y la pendiente) el aparcamiento puede realizarse de forma segura. Por ejemplo, experimentando con el scroll de la aplicación, se puede determinar que, si el radio de las ruedas es 12, entonces es posible aparcar.
Tarea 3. Si la distancia entre los centros de las ruedas de los coches es de 72 cm, ¿cuál seria el radio mínimo de las ruedas que permitiría pasar con seguridad sobre la rampa de 34º?
Al explorar la tarea con el EE, podemos encontrar una aproximación a 10.7. El número exacto es 36 sin17º , que equivale aproximadamente a 10.525, pero esta información no hay porqué dársela a los estudiantes en este momento. Como tarea para casa podrían explorar situaciones análogas.
Otra aproximación a la investigación es podría ser mantener el radio de las ruedas y la pendiente sin cambios y reducir la distancia entre los centros de las ruedas del coche, como se hizo en la tarea 1. Por ejemplo, una longitud de 50 cm (en lugar de 72 cm) da lugar a que el coche pase fácilmente por la rampa de 34º.
Tarea 4. Para un radio de las ruedas de 8 cm y una pendiente de 34º: ¿cuál es la máxima longitud entre los centros de las ruedas que permitiría pasar de forma segura sobre la rampa?
La exploración con el EE muestra que la solución está comprendida entre 54 y 55 cm. La solución precisa es 8/sin 17º pero esta información no es necesaria para los estudiantes en este momento. Un valor aproximado es 54.725 cm. Este es un valor como se muestra en la figura 6.
A partir de este momento utilizaremos el término "vértice" para designar el “punto” donde comienza la rampa.
En esta momento podemos solicitar a los estudiantes que midan (en la Fig. 6, y con la ayuda de las herramientas proporcionadas por GeoGebra) las distancias entre el vértice y los centros de las ruedas. Esto demostrará que las dos distancias aproximadamente son iguales entre si y, por tanto, igual a la mitad de la distancia total entre el centro de las ruedas. Del mismo modo, podríamos medir el ángulo entre la línea que conecta los centros de las ruedas y la línea horizontal, por un lado, y el ángulo entre la línea del coche y la línea de la pendiente, por el otro. Los dos ángulos deben ser casi iguales y, en realidad, igual a la mitad del ángulo de inclinación. Esto siempre ocurre en la "situación crítica" (como en la Fig. 6) y no depende ni del valor del radio de las ruedas ni del ángulo de la pendiente Esto hecho podría ser un reto a descubrir por los estudiantes mientras se trabajan en la tarea utilizando el EE2.ggb.
Tarea 5. Existen ruedas de diferentes tamaños, tal y como se muestra en la siguiente tabla. Para cada tamaño de rueda encuentra la distancia entre los centros de las mimas que
permita pasar sobre la rampa de 34º. Para esta distancia determinada, comprueba si los bajos del coche tocan el vértice de la rampa al entrar en el aparcamiento. En el
denominado “momento del toque” mide el ángulo entre los bajos del coche y la línea horizontal de la calle.
Radio de las ruedas
Máxima distancia entre los centros de las ruedas para
pasar la rampa Ángulo máximo de la rampa en el “momento del toque“ 8 cm 10 cm 13 cm 15 cm
Task 7. (Tareas para casa) igual a la tarea 4 pero con una rampa de 40º
Consideremos ahora un “modelo de coche” algo más realista, tal y como se muestra en la figura 7.
Tarea 7. ¿Sería posible aparcar un coche de las características técnicas mostradas en la figura 7 si la rampa de entrada es de 28º? ¿ Sería posible aparcar un coche de las
características técnicas mostradas en la figura 8 si la rampa de entrada es de 28º Se debe prestar también atención no solo a la entrada sino a la salida de la rampa. Se recomienda utilizar el entorno EE3.ggb
Fig. 7
De hecho, en la realidad, la línea que hemos de considerar no es la que conecta
imaginariamente el centro de las ruedas. Puede ser que esta distancia sea menor, como se indica en la figura 9.
Ref: http://stamm.snimka.bg/automobiles/tehnicheski-shemi.523901.19987698 )
Fig. 9
Al explorar el problema del aparcamiento hemos de considerar la distancia real entre el suelo y las partes más bajas del chasis del automóvil. Esta es el llamado "margen de altura” o “despeje” al suelo del coche. He aquí lo que dice Wikipedia sobre este concepto:
(http://en.wikipedia.org/wiki/Ride_height):
El margen de altura (también conocido como distancia al suelo o área despejada) es el espacio entre la base del automóvil y el suelo en la zona de contacto con la rueda, o dicho de otra forma, la distancia mas corta entre una superficie plana y nivelada y cualquier parte del vehículo en contacto con el suelo. Esta distancia se determina para un vehículo
Esta distancia es un factor crítico para determinadas características del vehículo. Por ejemplo, para todos los vehículos, pero especialmente para los coches, representa una solución de compromiso entre maniobrabilidad, conducción y estabilidad.
Una distancia al suelo mayor significa que el centro de gravedad del coche está localizado a mayor altura, lo que implica menos precisión y en determinadas circunstancias menor estabilidad Es estos casos, sin embargo, el vehículo presenta la ventaja de ser más seguro sobre superficies irregulares, ya que al tener una zona despejada mayor, es menos probable que el vehículo toque el suelo. Esta característica también afecta a la propia aerodinámica del vehículo. Esta es la razón por los coches deportivos suelen tener espacios libres muy bajos, mientras que los vehículos todo terreno y vehículos utilitarios deportivos tienen un valores superiores. Ejemplos de valores extremos de esta característica podemos
encontrarlos en el Ferrari F40 y en el Hummer.
Tarea 8. Busca la “la distancia al suelo” del coche de tus padres y determina la pendiente máxima sobre la que podría pasar para aparcar en el garaje del sótano.
Tarea 9. Diseña un badén (banda sonora) cuya altura sea mayor que la ”distancia al suelo” del coche de la tarea anterior pero que permita pasar por encima de el sin que el coche sufra daños.
Puedes encontrar más información sobre las bandas sonoras en: http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_bump
Material adicional “Supercar's Worst Enemy – Speed bump” en https://www.youtube.com/watch?v=GSUU5xOMAU8
Sugerencia para la planificación de las sesiones Primera parte
5 min Organiza la clase en pequeños grupos de trabajo. (3-4 estudiantes). Presenta
el problema. Deja algunos minutos al alumnado para que piense en los factores importantes y relevantes del diseño.
5 min El alumnado expone sus ideas y se establece un debate.
Aspectos a considerar que facilitarían el aparcamiento
• ¿Ruedas más grandes o más pequeñas?
• ¿Vehículo mas largo o mas coro?
• ¿Pendiente mas o menos pronunciada?
25 min Reparte coches de papel a los estudiantes para que experimentación. Deja
algo de tiempo para que los estudiantes trabajen en grupos. Camina alrededor de los grupos de trabajo y discute con ellos sobre los elementos clave del problema. Algunas preguntas importantes pueden ser:
Como medir
• El tamaño de las ruedas (concepto de circunferencia y su radio)
• La longitud del coche (distancia entre el centro de las ruedas)
• La rampa (Pregunta a tus alumnos sobre como se expresa la pendiente de una
rampa y como medirla) Daños en el coche
• ¿Qué partes del coche se dañarían si la pendiente es demasiado pronunciada
(frontal, superior, parte trasera, parte inferior)?
• ¿Cuál es la pendiente más pronunciada sobre la que puede pasar el coche sin
sufrir daños ?
• ¿Cuál es la parte inferior del coche que queda más “expuesta” al golpe?
La experimentación demuestra que, si el punto medio de la línea inferior del coche sobrepasa el inicio de la rampa, se puede aparcar de forma segura
15 min Deja que los grupos presenten sus avances sobre el problema y expongan sus hipótesis. Presta atención a las preguntas mencionadas anteriormente.
Tareas para casa: Determina el radio de las ruedas de un cochecito para bebes y también del coche de tus padres. Determina la pendiente de una escalera de casa o de la escuela. Expresa estos resultados de la pendiente en porcentaje y en grados.
Segunda parte (primer día)
10 min Organiza la clase en grupos de trabajo pequeños (3-4 estudiantes) e
introducir el problema. Haz un pequeño resumen de la primera parte y reparte las tareas de esta segunda
35 min Deja algo de tiempo para que los estudiantes trabajen en grupos. Camina
alrededor de los grupos de trabajo y discute con ellos sobre los elementos clave de las tareas, ofreciendo la guía adecuada en cada caso.
5 min Haz un pequeño resumen de los principales obstáculos encontrados para
resolver la tarea. Presenta las tareas para casa Segunda parte (segundo día)
5 min Organiza la clase en grupos de trabajo pequeños (3-4 estudiantes) como el
día anterior Resuelve y orienta sobre las dudas que se hayan generado. Reparte las tareas de esta segunda
30 min Deja tiempo para que los estudiantes trabajen en las tareas. Camina
alrededor de los grupos de trabajo y discute con ellos sobre los elementos clave de las tareas. (Vea las notas en la guía del profesor sobre elementos clave)
