Tema 6.- Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios

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Tema 6.-

Nociones preliminares: anillos,

cuer-pos. Anillos de polinomios

6.1 Anillos y cuerpos

Definici´on 6.1.1.– Un anilloes una terna (A,+,·) formada por un conjunto

Ay dos operaciones binarias +,· veriﬁcando:

1. El par (A,+) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos normalmente “cero (0)”.

2. La operaci´on binaria·es asociativa y tiene elemento neutro, que llamare-mos normalmente “uno (1)”.

3. La operaci´on· esdistributiva a la derecha y a la izquierda respecto de la operaci´on +, i.e. para todosx, y, z∈A, se tiene (x+y)·z=x·z+y·z,

x·(y+z) =x·y+x·z.

Si adem´as la operaci´on·es conmutativa, diremos que el anillo es conmutativo. Nota 6.1.2.–

1. En general se usará la expresión “seaA un anillo”, sobreentendiendo las operaciones. La operación ·se notará normalmente por simple yuxtapo-sición.

2. En un anilloAse tiene 0·x=x·0= 0para todox∈A. 3. Si en un anilloAse tiene 1 = 0, entoncesA={0}. 4. Para todox, y∈A, ese tienex(−y) = (−x)y=−(xy).

5. Si A₁, . . . , A_n son anillos, el producto cartesiano A₁ × · · · ×A_n posee una estructura natural de anillo, donde las operaciones est´an deﬁnidas componente a componente.

Ejemplo 6.1.3.–

1. Z, Q, R, Cson anillos conmutativos. La estructura de anillo de Z viene determinada por la de grupo aditivo: el producto de dos enterosxy coinci-de con el múltiplo dey con coeficientex. As´ı pues, la estructura de anillo de Z no añade nada nuevo a la de grupo. Esto es falso paraQ, R y C en los que, obviamente, la estructura multiplicativa no viene determinada por la aditiva.

2. El conjunto M(n) de las matrices n×n sobre Q, R o C es un anillo, con respecto a la adici´on y la multiplicaci´on ordinaria de matrices. No es conmutativo.

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3. En el grupo (Zn,+) (ver ejemplo 9.1.3, 5) podemos deﬁnir un producto

de la siguiente manera:

(a, b)∈Zn×Zn→a·b:= resto de la divisi´on deabentren.

De esta formaZn es un anillo.

Definición 6.1.4.– SeaAun anillo. Unaunidades un elemento que posee un simétrico multiplicativo (a la izquierda y a la derecha), que llamaremosinverso. El conjunto de las unidades deAes un grupo para el producto y se notaráA∗. Uncuerpoes un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de cero es una unidad, i.e. A∗=A− {0}. (En algunos textos también se llaman cuerpos aquellos anillos no necesariamente conmutativos tales que todos sus elementos no nulos son unidades. En otros textos a estos anillos se les llama anillos de división).

Ejemplo 6.1.5.–

1. Las unidades deZson 1,−1. Los anillosQ, R,Cson cuerpos.

2. El grupo de las unidades del anilloM(n, k) conk=Q,R´oCesGL(n, k). Definici´on 6.1.6.– Sea A un anillo. Un subanillo de A es un subconjunto

B ⊂A que es un subgrupo de (A,+), que es estable para la operaci´on ·y tal que 1∈B.

SiAes un cuerpo, diremos que B es unsubcuerpodeAsi es un subanillo y adem´asx−1∈B para todox∈B− {0}.

A partir de ahora sólo trabajaremos con anillos conmutativos. As´ı pues, la palabra ‘anillo’ significará siempre anillo conmutativo.

Definición 6.1.7.– SeaAun anillo. Un elementox∈Ase llamará undivisor de cerosi y sólo si es distinto de cero y existe y ∈ A, y = 0 , tal que xy = 0 . Un anillo sin divisores de cero se llama undominio de integridad. Un elemento

x∈ Ase llamar´a nilpotente si es distinto de cero y existe un entero n >0tal quexn_{= 0. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el}

producto de elementos no nulos:

a= 0, ab=ac⇒b=c.

Ejemplo 6.1.8.–

1. Las unidades no son divisores de cero. As´ı, todo cuerpo es un dominio de integridad.

2. Zes un dominio de integridad.

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4. El elemento 2 es nilpotente enZ₄.

Definici´on 6.1.9.– Sea Aun anillo. UnidealdeAes un subconjuntoI deA

que veriﬁca:

1. I es un subgrupo del grupo aditivo deA. 2. Para todoa∈I , x∈Ase tienexa∈I. Nota 6.1.10.– SeaI⊂Aun ideal deA. Se tiene:

1. SiI contiene una unidad, entoncesI=A.

2. SiA es un cuerpo, sus ´unicos ideales son{0} yA.

3. El grupo cocienteA/Iadmite una estructura can´onica de anillo. En efecto, basta ver que la f´ormula

(a+I)(b+I) =ab+I

deﬁne una operaci´on enA/I. Sia+I=a+Iyb+I=b+Iesa−a∈I, yb−b∈I. As´ı

ab−ab =ab−ab+ab−ab=a(b−b) + (a−a)b∈I,

lo que prueba nuestro aserto.

4. Los ideales de Z y los subgrupos son la misma cosa, pues la estructura multiplicativa viene determinada por la aditiva.

Definici´on 6.1.11.– Sea I un ideal deA. Decimos queI es primo sixy ∈I

implica quex∈Io bieny∈I.

Proposici´on 6.1.12.– SeaAun anillo,Iideal deA. EntoncesA/Ies dominio de integridad si y solamente siI es un ideal primo.

Definici´on 6.1.13.– Si Aes un anillo yS ⊂Ano vac´ıo. El ideal generado o engendrado porS es el menor ideal enA que contiene aS. Lo notaremos por (S) o bienS. Es f´acil ver que

S={x₁a₁+· · ·+xnan |x1, . . . , xn∈A, a1, . . . , an∈S}.

SiS={a}el ideal de llamaprincipal. Todo ideal deZes principal.

Definición 6.1.14.– SeanA, Banillos,f :A→Buna aplicación. Se dirá que

f es unhomomorfismode anillos si veriﬁca:

1. Para todosx, y∈A, esf(x+y) =f(x) +f(y). 2. Para todosx, y∈A, esf(xy) =f(x)f(y). 3. f(1) = 1.

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Un homomorﬁsmo biyectivo se llama unisomorfismo.

Proposici´on 6.1.15.– Sea f:A→B un homomorﬁsmo de anillos. Se tienen las siguientes propiedades:

1. ker(f) :={a∈A|f(a) = 0}es un ideal deA, yf es inyectivo si y s´olo si ker(f) ={0}.

2. Siu∈Aes una unidad, entoncesf(u) es una unidad enB. En particular cualquier homomorﬁsmo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo.

3. Im(f) ={b∈B | ∃a∈A, f(a) =b}es un subanillo de B.

Proposici´on 6.1.16.– Primer teorema de isomorf´ıa. Sea f : A → B un morﬁsmo de anillos. EntoncesA/ker(f) es isomorfo a Im(f).

Proposici´on 6.1.17.– Segundo teorema de isomorf´ıa. SeaAun anillo,I⊂A

un ideal, yB ⊂Aun subanillo. EntoncesB+I es un subanillo deA, I es un ideal deB+I,B∩I es un ideal deB, y existe un isomorﬁsmo de anillos

(B+I)/I∼=B/(B∩I).

Proposici´on 6.1.18.– Tercer teorema de isomorf´ıa. Sea A un anillo y sean

I, J ideales deAconi⊂J. EntoncesJ/I es un ideal deA/I y

A/J ∼= (A/I)/(J/I).

6.2 Anillos de polinomios

SeaZ+ el conjunto de enteros no negativos. SiAes un anillo, llamamosA[X] al conjunto de funcionesf :Z+→Atales quef(n) = 0para todon∈Z+ salvo un número finito de ellos. Definimos las operaciones

(f+g)(n) =f(n) +g(n) (f g)(n) =n_m₌₀f(m)g(n−m).

A[X] tiene estructura de anillo con ellas (ejercicio). A[X] se denomina el ani-llo de polinomios en la indeterminada X y coeficientes en A. Nótese que la indeterminada X no aparece en la definición de A[X]. Para ver que nuestra definición coincide con la que estamos acostumbrados, definimos X como una función sobreZ+ de la forma

X(m) =

1 sim= 1 0sim= 1

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Entonces la funci´onXn ₌_X n ·. . .·X veriﬁca Xn(m) = 1 sim=n 0sim=n

Entonces todo elementof ∈A[X] se puede escribir de manera ´unica como

f =

n≥0

f(n)Xn

donde la suma se refiere a un número finito de sumandos, donde no se anulaf. Observemos que la funciónX0identifica la función 1 :Z+→Adefinida por

1(m) = 1 sim= 0 0sim >0 Se tiene que _  n≥0 a_nXn     n≥0 b_nXn  = n≥0 c_nXn donde cn= n m=0 ambn−m.

El grado de f(X) es el mayor n tal que a_n es no nulo. Si grado(f(X)) = n

escribiremosf(X) =n_k₌₀a_kXk_{. El coeﬁciente}_a

nse denomina coeﬁciente l´ıder

def(X). Si es igual a 1, decimos quef(X) es un polinomio m´onico. Asignamos grado(0) =−∞, y por conveniencia en el manejo de f´ormulas establecemos que

−∞< ny−∞+n=−∞para cualquiern∈Z+. S

De forma completamente an´aloga se puede deﬁnir el anillo de polinomios en varias variablesA[X₁, . . . , Xn] =A[X1, . . . , Xn−1][Xn], y todo elemento de este

anillo se puede escribir

f(X₁, . . . , Xn) =

ﬁnita

ai1...inX1i1· · ·Xnin.

Definici´on 6.2.1.– Sea A un anillo y k un subcuerpo de A (i.e. k es un subanillo deAque es un cuerpo). Dado un polinomiof(X) =adXd+· · ·+a0∈ k[X] y dadoα∈Adeﬁnimos “el valor def(X) enα” como:

f(α) =adαd+· · ·+a0∈A.

Diremos queαes unara´ız(o uncero) def(X) sif(α) = 0 .

Proposici´on 6.2.2.– (Propiedad universal de los anillos de polinomios) Sea

φ : A → B un homomorfismo de anillos y b ∈ B. Entonces existe un único homomorfismo de anillos Φ :A[X]→B tal que Φ(X) =byP hi(a) =φ(a) para todoa∈A.

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Ejemplo 6.2.3.– Si en la definición anterior tomamosA=k[X] yα=X+a, cona∈k, el homomorfismo de “sustitución”

f(X)∈k[X]→f(X+a)∈k[X] es de hecho un automorﬁsmo de anillos.

Por ejemplo, sea k =Q; la sustituci´on de X por X−1 lleva al polinomio

X2+X+ 1 sobre

(X−1)2+ (X−1) + 1 =X2−X+ 1,

y la sustituci´on deX porX+ 1 lleva aX2−X+ 1 sobre (X+ 1)2−(X+ 1) + 1 =X2+X+ 1.

Lema 6.2.4.– SeaAun anillo yf(X), g(X)∈A[X]. Entonces 1. grado(f(X) +g(X))≤max{grado(f(X)),grado(g(X))}. 2. grado(f(X)g(X))≤grado(f(X)) + grado(g(X)).

3. La igualdad se tiene en el caso anterior si los coeﬁcientes l´ıderes def(X) yg(X) no son divisores de cero. En particular, cuandoA es un dominio de integridad.

Corolario 6.2.5.– SiA es un dominio de integridad, entonces 1. A[X] es un dominio de integridad.

2. Las unidades deA[X] son las unidades deA.

Nota 6.2.6.– Sea f(X) = a0+a1X +. . .+anXn ∈ A[X] y g(X) = b0+

b1X +. . . bm−1Xm−1+Xm un polinomio m´onico, de grado m ≥ 1. Si n ≥

m, sea q1(X) = anXn−m. Entoncesf1(X) = f(X)−g(X)q1(X) tiene grado

menor o igual que n−1. Si grado(f₁(X)) ≥ m, repetimos el proceso con

f₁(X). Tras un n´umero ﬁnito de pasos llegamos a un polinomio f_s(X) de grado estrictamente menor quem. Si llamamosq(X) =q₁(X) +. . .+q_s(X) y

r(X) =f(X)−q(X)g(X) obtenemos una ecuaci´on

f(X) =g(X)q(X) +r(X)

donde grado(r(X))<grado(g(X)). Este proceso no es m´as que la tradicional divisi´on de polinomios.

Proposici´on 6.2.7.– Algoritmo de divisi´on. Sea A un anillo, f(X), g(X)∈

A[X] cong(X)m´onico. Entonces existen unos ´unicos q(X), r(X) ∈ A[X] con grado(r(X))<grado(g(X)) tales que

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Decimos queg(X) divide af(X) si en lo anterior se obtiener(X) = 0 . Corolario 6.2.8.– SeaAun anillo ya∈A. Entonces para cualquierf(X)∈

A[X] existeq(X)∈A[X] tal que

f(X) = (X−a)q(X) +f(a).

Corolario 6.2.9.– Sea f(X) ∈ A[X] y a ∈ A. Entonces f(a) = 0 si y solamente siX−adivide af(X).

Corolario 6.2.10.– Sea Aun dominio de integridad yf(X)= 0∈A[X] un polinomio de gradon. Entonces existen a lo m´asnra´ıces def(X) enA. Corolario 6.2.11.– SeaAun dominio de integridad yf(X), g(X)∈A[X] de grado menor o igual quen. Sif(a) =g(a) paran+ 1 valores distintos dea∈A, entoncesf(X) =g(X).

Definición 6.2.12.– Seaf(X)∈A[X] un polinomio no nulo ya∈Auna ra´ız def(X). EntoncesX−adivide af(X) enA[X]. Al máximo enteros >0tal que (X−a)s|f(X) se le llama lamultiplicidad deacomo ra´ız def(X). Se dirá que a es una ra´ız simple de f(X) si s = 1. En caso contrario se dirá que es múltiple.

Definici´on 6.2.13.– SeaAun anillo y

f(X) =Xn₊_a

1Xn−1+. . .+an−1X+an∈A[X].

Se deﬁne laderivada por la regla formal

f(X) = d

dXf(X) =nX

n−1_{+ (}_n₋₁₎_a

1Xn−2+. . .+an−1.

De la misma forma que en C´alculo elemental, se prueban las siguientes propieda-des de la derivaci´on de polinomios:

1. (f(X) +g(X))=f(X) +g(X). 2. Sia∈A, es (af(X))=af(X).

3. (f(X)g(X))=f(X)g(X) +f(X)g(X)

Las derivadas de orden superiorf(i)₍_X_{) se deﬁnen como las derivadas sucesivas}

def(X).

Proposici´on 6.2.14.– Seak el cuerpoQ,Ro C, f(X)∈k[X] un polinomio no nulo y α∈ k una ra´ız de f(X). La multiplicidad de la ra´ızα de f(X) es el enterostal quef(i)₍_α_{) = 0, para todo}_i_{= 0}_,₁_{, . . . , s}₋_{1 y}_f(s)₍_α₎_{= 0 (por}

derivada de orden cero se entiende el polinomio).

Definici´on 6.2.15.– Sea Aun dominio de integridad. Diremos que Aes un dominio eucl´ıdeosi existe una aplicaci´onδ:A\ {0} →Ntal que:

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1. Sia, b∈A\ {0}ya|b, entoncesδ(a)≤δ(b).

2. (Divisi´on entera con resto respecto de δ)DadosD, d ∈A,d= 0 , existen

c, r∈A tales queD=dc+ryr= 0 o bienδ(r)< δ(d).

Por el comentario anterior es obvio que Z y k[X] son dominios eucl´ıdeos, paraδ(a) =|a| en el primer caso, yδ(f) = grado(f) en el segundo.

En la segunda propiedad de la definición no se exige que el “cociente”cy el “resto”rsean únicos. De hecho después veremos ejemplos en los que no se da esta unicidad.