2.
Determinantes
2.1.
Introducci´
on
El determinante es un n´umero que asociamos a toda matriz cuadrada, que nos ayuda, como Gauss (pero con m´as fuerza y eficacia a veces) a decidir sobre dependencia lineal, rangos, sistemas, . . . . Tambi´en sus aplicaciones en la geometr´ıa anal´ıtica del espacio van a ser sorprendentes.
Vamos a definir los determinantes por inducci´on en el orden: comenzaremos con los de orden 2, a partir de estos definiremos los de orden 3, a partir de los de orden 3 introduciremos los de orden 4 y as´ı sucesivamente. Al final estaremos en condiciones de definir los determinantes de orden ✭✭n✮✮en funci´on de los definidos de orden ✭✭n−1✮✮.
2.2.
Determinantes de orden 2. Definici´
on
Si A= a b c d
!
definimos el determinante deA como el n´umero:
|A|=det A= a b c d =ad−bc
!El determinante no es cualquier n´umero! Si vamos a resolver el sistema de ecuaciones que tiene a la matrizAcomo matriz de coeficientes:
ax+by=e cx+dy=f ) ×−c ✘✘−acx✘−bcy= −ec ×a ✘✘acx+ady= af (ad−bc)y=af−ce
→para poder despejar y necesitamosad−bc6= 0
es decir, la condici´on para que el sistema tenga soluci´on ´unica es
✞ ✝
☎ ✆
det A6= 0 pues entonces podremos despejar→y=af−ce
ad−bc
2.3.
Determinantes de orden 2. Propiedades:
2.3.1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
Demostraci´on: A= a b c d ! → |A|=ad−cb At= a c b d ! → |At|=ad−bc y por tanto |At|=|A|
2.3.2. El determinante es funci´on lineal de sus l´ıneas (filas o columnas).
Es decir, usando la notaci´on en columnas y aplic´andolo a la 2a columna: det(A, B+B′
) =det(A, B) +det(A, B′
) det(A, rB) =r·det(A, B)
a1 b1+b′ 1 a2 b2+b′ 2 = a1 b1 a2 b2 + a1 b′ 1 a2 b′ 2 a1 b1+b′ 1 a2 b2+b′ 2 =a1(b2+b′ 2)−a2(b1+b′ 1) =a1b2+a1b′ 2−a2b1−a2b ′ 1= a1 b1 a2 b2 + a1 b′ 1 a2 b′ 2 y que a1 r·b1 a2 r·b2 =r· a1 b1 a2 b2 a1 r·b1 a2 r·b2 =a1rb2−a2rb1=r(a1b2−a2b1) =r· a1 b1 a2 b2 Y esto vale para la l´ınea (fila o columna) que se desee. Veamos ejemplos sencillos: x z 3 +y 5 +t = x z 3 5 + x z y t (la 2a
filadesdobla al determinante en dos)
2x 3y 2z 3t = 3· 2x y 2z t = 6 x y z t (sacamos un “3” por la 2a columna y un “2” por la 1a ) 3x 3y 3z 3t = 9 x y z t (sacamos un “3” de la 1a columna y otro “3” de la 2a )
Nota 1: Al multiplicar un determinante por un n´umero queda multiplicada por dicho n´umero la l´ınea que queramos, pero s´olo una linea.
Nota 2: Si cambio de signo una l´ınea, el determinante entero cambia de signo.
2.3.3. Si dos l´ıneas (dos filas o dos columnas), son iguales el determinante es nulo.
Demostraci´on: a b a b =ab−ab= 0
2.3.4. Si se intercambian entre s´ı dos l´ıneas el determinante cambia de signo.
Demostraci´on: det(B, A) = b1 a1 b2 a2
=b1a2−b2a1=−a1b2+a2b1=−(a1b2−a2b1) =−
a1 b1 a2 b2 =−det(A, B)
2.3.5. Si a una l´ınea se le suma una CL de las dem´as, el determinante no var´ıa.
Demostraci´on:
det(A, B+rA) =det(A, B) +det(A, rA) =det(A, B) +r✘✘det(A, A) =✘✘✘ det(A, B) (observa c´omo hemos aplicado las propiedades anteriores.)
Nota: La propiedad se podr´ıa tambi´en enunciar as´ı: el determinante no cambia si sustituimos una l´ınea por una CL de todas donde la sustituida lleva coeficiente “1” (reflexiona sobre este detalle).
2.3.6. Los vectores fila (o los vectores columna) son LI s´ı y s´olo s´ı el determinante es no nulo.
Demostraci´on: Por filas y suponiendoa16= 0 (∗) a1 a2 b1 b2 ! Gauss → a1F2−a2F1 a1 a2 0 ✞ ✝ ☎ ✆ a1b2−a2b1 ¡el determinante! F1yF2LI ↔ (aplicando Gauss)a1b2−a2b16= 0 ↔ det6= 0
(*) Sia1= 0 b16= 0→ 0 a2 b1 b2 ! → b1 b2 0 a2 ! ✞ ✝ ☎ ✆ det6= 0 ↔ LI (depende dea2) b1= 0→ 0 a2 0 b2 ! → ✞ ✝ ☎ ✆ det= 0 y siempre LD
2.4.
Determinantes de orden 3. Definici´
on
Vamos a definir los determinantes de orden “3” en funci´on de los ya definidos de orden “2”, y a probar sus propiedades utilizando las ya probadas en orden “2”. Lo haremos de forma que todo sea perfectamente extensible a determinantes de orden “4”, en funci´on de los de orden “3”, a los de orden “5” en funci´on de los de orden “4”, . . . y as´ı sucesivamente a los de cualquier orden “n” en funci´on de los del orden anterior “n−1”.
Sea A∈ M3×3 A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= (aij)
llamaremosmenor complementariodel elementoaij, al determinanteαij de la submatriz que queda si
enA suprimimos la fila “i” y la columna “j”
por ejemplo, si A= 1 3 5 4 7 8 2 9 11 → α11= 7 8 9 11 α21= 3 5 9 11 α23= 1 3 2 9 y llamaremosadjuntoal mismo menorretocado con el signo seg´un la definici´onAij = (−1)i+j·αij
en el ejemplo anterior con A= 1 3 5 4 7 8 2 9 11 → A11= (−1) 1+1· α11= + 7 8 9 11 A21= (−1)2+1·α21=− 3 5 9 11 A23= (−1)2+3·α23=− 1 3 2 9 llamaremos determinante deA desarrollado porF1 al n´umero a11·A11+a12·A12+a13·A13 llamaremos determinante deA desarrollado porF2 al n´umero a21·A21+a22·A22+a23·A23 llamaremos determinante deA desarrollado porF3 al n´umero a31·A31+a32·A32+a33·A33
llamaremos determinante deA desarrollado porC1 al n´umero a11·A11+a21·A21+a31·A31 llamaremos determinante deA desarrollado porC2 al n´umero a12·A12+a22·A22+a32·A32 llamaremos determinante deA desarrollado porC3 al n´umero a13·A13+a23·A23+a33·A33 Pero observa qu´e pasa al aplicar las definiciones anteriores a nuestro ejemplo:
A= 1 3 5 4 7 8 2 9 11 |A|F1 = 1· 7 8 9 11 −3· 4 8 2 11 + 5· 4 7 2 9 = 5−84 + 110 = 31 |A|C3= 5· 4 7 2 9 −8· 1 3 2 9 + 11· 1 3 4 7 = . . . = 31
el determinante da siempre el mismo n´umero dando igual por qu´e l´ınea hayamos desarrollado. En general: |A|=a11· a22 a23 a32 a33 −a12· a21 a23 a31 a33 +a13· a21 a22 a31 a32 =
=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31) +a13(a21a32−a22a31) = =a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33−a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
En el resultado obtenido (desarrollemos por donde desarrollemos) es la suma (con signos convenientes) de todos los posibles triples productos donde aparece un ´unico factor de cada fila y un ´unico factor de cada columna.
En el caso 3×3 podemos aplicar y memorizar la famosaregla de Sarrus que ilustra el siguiente ejemplo:
Con signo “+” 1 3 5 4 7 8 2 9 11 y con signo “-” 1 3 5 4 7 8 2 9 11 , o sea: 1 3 5 4 7 8 2 9 11 = [1·7·11+2·3·8+4·9·5]−[2·7·5+4·3·11+1·8·9] = 1·7·11+2·3·8+4·9·5−2·7·5−4·3·11−1·8·9 = 31
2.5.
Determinantes de orden 3. Propiedades:
2.5.1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
Ilustraci´on-Demostraci´on: Para que sea m´as f´acil de seguir ponemos n´umeros, pero no los usamos como tales: |A|= 2 3 5 1 7 8 9 2 6 |At|= 2 1 9 3 7 2 5 8 6
Como el resultado de un determinante es el mismo desarrollemos por donde desarrollemos, calculamos|A|
|A|= 2 3 5 1 7 8 9 2 6 = 2· 7 8 2 6 −3· 1 8 9 6 + 5· 1 7 9 2 |At|= 2 1 9 3 7 2 5 8 6 = 2· 7 2 8 6 −3· 1 9 8 6 + 5· 1 9 2 7 Y as´ı|A|=|At| pues los peque˜nos son iguales ya que la propiedad se cumple en orden 2
2.5.2. El determinante es funci´on lineal de sus l´ıneas (filas o columnas).
Es decir, usando la notaci´on en columnas y aplic´andolo a la 2a
columna: det(A, B+B′
, C) =det(A, B, C) +det(A, B′
, C) det(A, rB, C) =r·det(A, B, C)
Demostraci´on: queremos probar: a1 b1+b′ 1 c1 a2 b2+b′ 2 c2 a3 b3+b′ 3 c3 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 + a1 b′ 1 c1 a2 b′ 2 c2 a3 b′ 3 c3 a1 r·b1 c1 a2 r·b2 c2 a3 r·b3 c3 =r a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 y esto va a ser elemental si desarrollamos por C2 para probar ambas afirmaciones (la elecci´on de C2 es obvia). a1 b1+b′ 1 c1 a2 b2+b′ 2 c2 a3 b3+b′ 3 c3 =(b1+b′ 1)A12+ (b2+b′ 2)A22+ (b3+b′ 3)A32= =b1A12+b′ 1A11+b2A22+b ′ 2A22+b3A32+b ′ 3A32= =b1A12+b2A22+b3A32+b′
1A12+b′ 2A22+b′ 3A32= a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 + a1 b′ 1 c1 a2 b′ 2 c2 a3 b′ 3 c3 a1 r·b1 c1 a2 r·b2 c2 a3 r·b3 c3
=rb1A12+rb2A22+rb3A32=r(b1A12+b2A22+b3A32) =r a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
Nota 1: Al multiplicar un determinante por un n´umero queda multiplicada por dicho n´umero la l´ınea que queramos, pero s´olo una linea.
Nota 2: Si cambio de signo una l´ınea, el determinante entero cambia de signo.
2.5.3. Un determinante con dos filas iguales o dos columnas iguales es nulo.
Demostraci´on: Supongamos iguales, por ejemplo,C1 yC3. Desarrollaremos porC2 para poder aplicar la misma propiedad ya probada en orden 2:
a1 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 =−b1· ✚✚ ✚✚ ✚ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ a2 a2 a3 a3 +b2· ✚✚ ✚✚ ✚ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ a1 a1 a3 a3 −b3· ✚✚ ✚✚ ✚ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ a1 a1 a2 a2 = 0
2.5.4. Si se intercambian entre s´ı dos l´ıneas el determinante cambia de signo.
Demostraci´on: Supongamos que hemos intercambiado entre s´ı las columnasC1 yC2:
det(B, A, C) = b1 a1 c1 b2 a2 c2 b3 a3 c3 =c1 b2 a2 b3 a3 −c2 b1 a1 b3 a3 +c3 b1 a1 b2 a2 = =c1 − b2 a2 b3 a3 ! −c2 − b1 a1 b3 a3 ! +c3 − b1 a1 b2 a2 ! = =−c1 a2 b2 a3 b3 +c2 a1 b1 a3 b3 −c3 a1 b1 a2 b2 =− a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 =−det(A, B, C)
donde hemos aplicado como siempre la propiedad ya probada en orden 2.
2.5.5. Si a una l´ınea se le suma una CL de las dem´as, el determinante no var´ıa.
Demostraci´on:Supongamos, por ejemplo, que a laC3le a˜nadimos la combinaci´onαC1+βC2. O enunciado de otro modo: IntercambiamosC3 por la CL de todas 1·C3+αC1+βC2, donde, como vemos ella, C3 aparece con coeficiente “1”.
det(A, B, C+αA+βB) =det(A, B, C) +det(A, αA, C) +det(A, B, βB) =
=det(A, B, C) +α✭✭✭det(A, A, C) +✭✭✭ β✭✭✭det(A, B, B) =✭✭✭ det(A, B, C) (observa c´omo hemos aplicado las propiedades anteriores.)
Nota importante: La propiedad se podr´ıa tambi´en enunciar as´ı: el determinante no cambia si sus-tituimos una l´ınea por una CL de todas donde la sustituida lleva coeficiente “1” (reflexiona sobre este detalle).
Nota: Esta propiedad es la que nos permite calcular con facilidad determinantes de cualquier orden, pues con ella, aplicando “casi-Gauss”, “haremos ceros” en casi toda una l´ınea antes de desarrollar por dicha l´ınea. Por ejemplo:
3 2 1 4 ✞ ✝ ☎ ✆ 1 2 1 0 0 1 7 4 2 3 2 1 = Pivotamos con ✞ ✝ ☎ ✆ 1 C2→C2−2C1 C3→C3−C1 = 3 −4 −2 4 ✞ ✝ ☎ ✆ 1 0 0 0 0 1 7 4 2 −1 0 1 = desarrollamos porF2 = =−1· −4 −2 4 1 7 4 −1 0 1 = C1→C1+C3 y desarrollamos despu´es porF3 =− 0 −2 4 5 7 4 0 0 1 =− 0 −2 5 7 =−10
Nota: Observa c´omo la l´ınea que suprimimos aparece siempre en la CLsustitutacon coeficiente “1”. Si no lo hici´esemos as´ı estar´ıamos alterando el valor del determinante.
Nota 2: Si hici´esemos un cambio del tipoF2→3F2−2F1 ¿qu´e pasar´ıa? . . . , piensa, . . . , efectivamente todo el determi-nante habr´ıa quedado multiplicado por “3”.
2.5.6. Los vectores fila (o los vectores columna) son LI s´ı y s´olo s´ı el determinante es no nulo. Demostraci´on: A= a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 Gauss −→ A ∗ = a∗ 1 a ∗ 2 a ∗ 3 0 b∗ 2 b ∗ 3 0 0 c∗ 3
¿qu´e pasa con el determinante al aplicar Gauss? si reflexionamos con calma nos daremos cuenta de que al aplicar el m´etodo de Gauss el ´unico cambio es que el determinante queda multiplicado por un n´umero no nulo cada vez, pues la fila que suprim´ıamos aparec´ıa en la combinaci´on sustituta con coeficiente no nulo. Todos los cambios pueden resumirse en el producto por un factor k6= 0, es decir:
|A∗ |=a∗ 1·b ∗ 2·c ∗ 3=k· |A|
pero si los vectores fila son LI, con Gauss habremos obtenido
✗ ✖ ✔ ✕ a∗ 16= 0 b∗ 26= 0 c∗ 36= 0 ⇒ |A| 6= 0(puesk6= 0) y rec´ıprocamente, si|A| 6= 0, comok6= 0 ⇒ ✗ ✖ ✔ ✕ a∗ 16= 0 b∗ 26= 0 c∗ 36= 0
⇒ ¡los vectores fila son LI!
2.6.
Determinantes de orden 4 y superiores.
Todo lo desarrollado anteriormente es de forma id´entica (salvoSarrus) extensible a los determinantes de orden 4 en funci´on de los de orden 3, y a los de orden 5 en funci´on de los de orden 4, y . . . , en general, a los de orden “n” en funci´on de los de orden “n−1”.
2.7.
Un c´
alculo con cierta fama: el determinante de Vandermonde
Un ejemplo interesante de c´alculo de un determinante (observa que cambiamos la costumbre del pivote
fijo) es el siguiente: 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 = F4−aF3 F3−aF2 F2−aF1 1 1 1 1 0 b−a c−a d−a 0 b2 −ab c2 −ac d2 −ad 0 b3− ab2 c3− ac2 d3− ad2 = = b−a c−a d−a (b−a)b (c−a)c (d−a)d (b−a)b2 (c−a)c2 (d−a)d2 =
= (b−a)(c−a)(d−a) 1 1 1 b c d b2 c2 d2 = F3−bF2 F2−bF1 (b−a)(c−a)(d−a) 1 1 1 0 c−b d−b 0 c2− bc d2− bd = (b−a)(c−a)(d−a) c−b d−b (c−b)c (d−b)d
= (b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b) 1 1 c d = ☛ ✡ ✟ ✠
= (b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)
2.8.
El rango de una matriz usando determinantes
Aplicando la ´ultima propiedad tenemos que el rango de una matriz es el orden del mayormenor no nulo que podamos encontrar en ella.
Para hallar el rango usando determinantes haremos un proceso de ida y vuelta pensando en filas y columnas alternativamente, ganando una a una filas linealmente independientes o desechando filas dependientes. Vamos a ilustrar nuestra forma de trabajar con unos ejemplos:
Ejemplo 1: Comencemos con la matriz 3×4
C1 C2 C3 C4 F1 F2 F3 2 1 2 4 2 2 1 5 4 3 3 9
F1 me da rango “1”, a˜nadoF2 y conF1 yF2 consideroC1 yC2 y obtenemos
C1C2 F1 F2 2 1 2 2 6 = 0
luego {F1, F2} nos dan rango “2”
a˜nadimos al juegoF3y pensamos en{F1, F2, F3}. Probamos conC1, C2yC3y . . .
C1 C2 C3 F1 F2 F3 2 1 2 2 2 1 4 3 3 = 0
por lo que C3 no a˜nade rango a C1, C2 en {F1, F2, F3}, pero ¿y C4? . . .
C1 C2 C4 F1 F2 F3 2 1 4 2 2 5 4 3 9 = 0 as´ı que
tampoco C4. Ni C3 ni C4 han ayudado a queF3 suba el rango, con lo que F3 no a˜nade rango y este se
queda en “2”, y lo garantiza C1 C2 F1 F2 2 1 2 2 6 = 0
Ejemplo 2: Ahora la matriz 4×4 C1 C2 C3 C4 F1 F2 F3 F4 1 3 2 4 2 6 3 8 3 9 5 12 4 12 6 7
F1 y C1 me dan de salida rango “1” por ser a11 = 1 6= 0 a˜nado F2 (en este momento es como si s´olo
existieranF1 yF2). ConsideroC1 yC2 y obtenemos
C1C2 F1 F2 1 3 2 6 = 0
as´ı que en {F1, F2} C2 no a˜nade rango al rango “1” que tengo, probemos conC3 C1 C3 F1 F2 1 2 2 3 6
= 0 ¡bien!,C1yC3nos dan rango “2” en{F1, F2}, a˜nadamosF3 y veamos si conseguimos
en{F1, F2, F3} una columna que de rango “3” al rango “2” garantizado porC1 yC3
probamos conC2y . . . C1 C2 C3 F1 F2 F3 1 3 2 2 6 3 3 9 5
= 0 por lo queC2no nos sirve en{F1, F2, F3}para a˜nadir rango
a C1 y C3. Probamos conC4 y . . . C1 C3 C4 F1 F2 F3 1 2 4 2 3 8 3 5 12
= 0 . Tampoco,F3 no tiene m´as columnas que le
puedan ayudar, queda descartada, no a˜nade rango. La tachamos incluso de la matriz con una raya suave para no usarla m´as.
Estudiemos ahora si con F4 hay m´as suerte:
probamos con C2 y . . . C1 C2 C3 F1 F2 F4 1 3 2 2 6 3 4 12 6
= 0 por lo que C2 no nos sirve en {F1, F2, F4} para a˜nadir
rango a C1 yC3. Probamos conC4 y . . .
C1 C3 C4 F1 F2 F4 1 2 4 2 3 8 4 6 7 6
= 0 ¡s´ı!C1, C3 yC4 nos dan el rango “3”
2.9.
El determinante del producto
Otra propiedad important´ısima es que
|A| · |B|=|A·B|
aunque la demostraci´on no es f´acil puedes hacer el siguiente ejercicio:
Ejercicio:
1). Comprueba que tal propiedad se cumple paraA= 1 0 4 1 2 3 1 2 4 y B= 3 1 2 2 5 2 0 1 3 Soluci´on:|A| · |B|= 1 0 4 1 2 3 1 2 4 · 3 1 2 2 5 2 0 1 3 = (8 + 8−8−6)·(45 + 4−6−6) = 74 |A·B|= 1 0 4 1 2 3 1 2 4 · 3 1 2 2 5 2 0 1 3 = 3 5 14 7 14 15 7 15 18 = 756 + 525 + 1470−1372−675−630 = 74
2.10.
Una ´
ultima y sorprendente propiedad de los determinantes
Considera el determinante
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
y cambiemos en ´elC2 por la indeterminada columna
X= α β γ δ
para desarrollar ahora por dichaC2:
a11 α a13 a14 a21 β a23 a24 a31 γ a33 a34 a41 δ a43 a44
=αA12+βA22+γA32+δA42
Observa que siX =C2obtenemos el determinante
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
=a12A12+a22A22+a32A32+a42A42=|A|
pero siX =C1 o X=C3o X =C4 obtendr´ıamos “0” pues:
a11 a11 a13 a14 a21 a21 a23 a24 a31 a31 a33 a34 a41 a41 a43 a44
=a11A12+a21A22+a31A32+a41A42= 0
a11 a13 a13 a14 a21 a23 a23 a24 a31 a33 a33 a34 a41 a43 a43 a44
a11 a14 a13 a14 a21 a24 a23 a24 a31 a34 a33 a34 a41 a44 a43 a44
=a14A12+a24A22+a34A32+a44A42= 0
por corresponder siempre a un determinante con dos columnas id´enticas.
podemos por tanto enunciar la siguiente curiosa propiedad que nos ser´a muy ´util m´as adelante para deducir como calcular la inversa de una matriz con determinante no nulo:
La suma de los productos de una l´ınea por los adjuntos de dicha l´ınea es, como sabemos el determinante, pero la suma de los productos de los elementos de una l´ınea por los adjuntos de otra distinta es “0”
2.11.
Consejos para estudiar el rango de una matriz cuando depende de un
par´
ametro.
Los siguientes consejos, ilustrados con ejemplos resueltos, son muy ´utiles como normas fijas para estudiar el rango de una matriz cuando esta tiene par´ametros indeterminados:
Consejo no
1:Si la matriz es cuadrada comienza siempre haciendo el determinante.
Consejo no 2: Si no es cuadrada, ataca el menor m´as c´omodo y de dimensiones mayores que puedas
encontrar.
Ejercicios:
2). Estudiemos en funci´on deael rango de A= 2 −1 3 5 −1 a 1 1 2 Soluci´on:
como es cuadrada comenzamos calculando|A|=−4−a+ 15 + 3 + 10−2a=−3a+ 24 =−3(a−8) y por tanto a6= 8→ |A| 6= 0→ rango “3” y sia= 8 ¡quitamosay ponemos 8!
2 −1 3 5 −1 8 1 1 2 el menor marcado 2 −1 5 −1 6
= 0 nos garantiza rango “2”, y as´ı ser´a definitivamente, pues para
a= 8 ya sabemos que|A|= 0
3). Estudia en funci´on dek el rango deA= 3 1 1 0 1 k 1 1 4 1 k 0
Soluci´on:comenzamos con
3 1 0 1 k 1 4 1 0 =− 3 1 4 1
= 16= 0 siempre, para cualquierk→ rango “3”
(obviamente con s´olo 3 filas no puede tener m´as rango).
4). Estudia en funci´on dem el rango deM = 2 1 m m 3 18 ! Soluci´on: 2 1 m 3
2 1 6 6 3 18 ! → 2 1 6 0 0 0 !
rango “1” (aqu´ı Gauss es m´as r´apido), en resumen
(
sim6= 6 rango 2 sim= 6 rango 1
5). Estudia en funci´on dek el rango deA= k −3 2 2 3 k 4 6 4 Soluci´on: k −3 2 2 3 k 4 6 4 = 12k−12k+ 24−24 + 24−6k2 =−6k2 + 24 =−6(k2 −4) =−6(k+ 2)(k−2) as´ı sik6=−2 yk6= 2 rango “3” sik=−2 quitoky pongo -2 −2 −3 2 2 3 −2 4 6 4 → −2 −3 2 0 0 0 0 0 0
rango “1” (aqu´ı Gauss es m´as r´apido)
sik= 2 quitoky pongo 2 2 −3 2 2 3 2 4 6 4 → −2 −3 2 0 6 0 0 12 0 → −2 −3 2 0 6 0 0 0 0 rango “2”, si usamos
Gauss, aunque con observar
2 −3 2 3 = 126= 0 tenemos rango “2” en resumen sik6=−2 yk6= 2 rango 3 sik=−2 rango 1 sik= 2 rango 2
6). Estudia en funci´on dek el rango deA= 1 2 1 1 1 2 1 3 k 2 4 2 Soluci´on: 1 2 1 1 1 2 2 4 2 = 0, pero 1 2 1 1 1 2 1 3 k =k+ 4 + 3−1−6−2k=−k→sik6= 0 rango “3”. sik= 0→ 1 2 1 1 1 2 1 3 0 2 4 2 1 2 1 1
=−16= 0 nos garantiza el rango “2”, que no puede ser mayor pues ya hemos
visto que conF3oF4sal´ıa determinante 0. Resumiendo: rango “2”∀k
2.12.
La matriz inversa
Recuerda que dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n llamamos inversa de A, si tal matriz existe, a la
matriz A−1∈ M
n×n que cumple A·A−1=A−1·A=In
Por comodidad vamos a trabajar todo el tiempo con A∈ M3×3
Recuerda la ´ultima y sorprendente propiedad de los determinantes y efect´ua el siguiente producto de
matrices:
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
·
A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33
f´ıjate en que la matriz de adjuntos ha sido traspuesta con toda intenci´on para que al efectuar el producto los elementos de cada fila vayan multiplicados por el adjunto correspondiente; hag´amoslo:
a11A11+a12A12+a13A13 a11A21+a12A22+a13A23 a11A31+a12A32+a13A33 a21A11+a22A12+a23A13 a21A21+a22A22+a23A23 a21A31+a22A32+a23A33 a31A11+a32A12+a33A13 a31A21+a32A22+a33A23 a31A31+a32A32+a33A33
y aplicando ahora que la suma de los productos de una l´ınea por los adjuntos de dicha l´ınea es el determi-nante, y la suma de los productos de los elementos de una l´ınea por los adjuntos de otra distinta es “0”, obtenemos |A| 0 0 0 |A| 0 0 0 |A| =|A| · 1 0 0 0 1 0 0 0 1
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
·
A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33
=|A| · 1 0 0 0 1 0 0 0 1 o lo que es lo mismo A·Adj(A)t=|A| ·I
y por tanto cuando|A| 6= 0 podremos multiplicar a ambos lados por 1
|A| 1 |A|·A·Adj(A) t = 1 ✚|A✚| ·✚ ✚ |A| ·I y obtendremos finalmente A· 1 |A|·Adj(A) t=I (pues 1
|A| al ser un n´umero s´ı conmuta)
por tanto la inversa ser´a
A−1 = 1
|A| ·Adj(A) t
es decir, si |A| 6= 0 existir´a A−1 y la calcularemos haciendo la matriz de los adjuntos, trasponi´endola y dividiendo todos los n´umeros por el determinante.
Ejercicios:
7). Halla la inversa, si existe, deA= 3 1 −2 2 −1 3 1 2 −3 Soluci´on: Comenzamos con|A|= 3 1 −2 2 −1 3 1 2 −3 = 9−8 + 3−2−18 + 6 =−10 como|A| 6= 0 existeA−1
Adj(A) = + −1 3 2 −3 − 2 3 1 −3 + 2 −1 1 2 − 1 −2 2 −3 + 3 −2 1 −3 − 3 1 1 2 + 1 −2 −1 3 − 3 −2 2 3 + 3 1 2 −1 = −3 9 5 −1 −7 −5 1 −13 −5
y ahora para obtener la inversa la trasponemos y dividimos todo por el determinante:
A−1= 1 |A|·Adj(A) t =−1 10· −3 −1 1 9 −7 −13 5 −5 −5 = 3 10 1 10 − 1 10 −9 10 7 10 13 10 −1 2 1 2 1 2
(de ambas formas vale).
Hagamos la comprobaci´on:
A·A−1= 3 1 −2 2 −1 3 1 2 −3 · −1 10 · −3 −1 1 9 −7 −13 5 −5 −5 = −1 10 · 3 1 −2 2 −1 3 1 2 −3 · −3 −1 1 9 −7 −13 5 −5 −5 =
¡ojo! aunque el producto de matrices no es conmutativo, el producto de “n´umero por matriz” s´ı que los es (y es muy
f´acil comprobarlo) =−1 10· −9 + 9−10 −3−7 + 10 3−13 + 10 −6−9 + 15 −2 + 7−15 2 + 13−15 −3 + 18−15 −1−14 + 15 1−26 + 15 =− 1 10· −10 0 0 0 −10 0 0 0 −10 = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
=I3 prueba t´u ahora queA