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5.3. Distribuciones Derivadas de la Normal

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Academic year: 2021

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5.3.

Distribuciones Derivadas de la Normal

El prop´osito de esta secci´on es enunciar varios teoremas importantes que nos dir´an que realizando diferentes transformaciones de la v.a. normal podremos obtener variables aleatorias como laJi-cuadrada, laT de Student ´

o laF de Fisher. M´as adelante en los cap´ıtulos de Intervalos de Confianza y Pruebas de Hip´otesis estas trans-formaciones ser´an esenciales para entender los m´etodos que desarrollaremos. Adem´as, tambi´en definiremos los cuantiles de cada una de estas distribuciones y mostraremos la forma de calcularlos utilizandoR.

Sabemos que siZ ∼N(0,1) entonces a partir de ella podemos calcular cualquier probabilidad para cualquier

X ∼N(µ, σ2), puesZ = X−µ

σ . Anteriormente vimos que utilizando Rsi buscamos Φ(z) para alg´unz∈ R,

podemos usar la funci´onpnormde la siguiente forma: Φ(z) =FZ(z) =PZ(Z≤z) =pnorm(z,0,1)

Adem´as de la probabilidad acumulada, otra cantidad importante son los cuantiles (o percentiles) de la distribu-ci´on normal est´andar.

Definici´on

Si Z∼N(0,1) yα∈(0,1) sea zα el n´umero real que cumple con

P(Z > zα) = 1−Φ(zα) =α (5.1)

a zα se le llama el 100(1−α) percentil ´o cuantil de la distribuci´on normal

est´andar.

De 5.1 vemos que para encontrar el percentilzα, podemos despejar Φ(zα), de donde Φ(zα) = 1−αy buscar en

tablas de la distribuci´on normal est´andar el valor zα que acumule una probabilidad de 1−α. En Rpodemos

calcularzαhaciendo lo siguiente. El valor zα tal que Φ(zα) = 1−α, se encuentra directamente con la funci´on

zα=qnorm(1−α,0,1). Por ejemplo si queremos calcularz0.025, entoncesα= 0.025⇔1−α= 0.975, utilizando

la funci´on deR

z0.025=qnorm(0.975,0,1)≈1.96

Y podemos verificar lo anterior de forma muy sencilla Φ(1.96) =pnorm(1.96,0,1)≈0.975. De forma general podemos representar al cuantilzαcomo se muestra en la Figura 5.1.

z fZ ( z ) α 1− α zα

(2)

De la Figura 5.1 podemos ver claramente el significado del cuantilzα. A la izquierda dezαhay un ´area de 1−α

y a la derecha dezαhay un ´area de α.

Vamos a pasar a la primer distribuci´on derivada de la normal.

Teorema 1 SiZ1, Z2, . . . , Zn sonn variables aleatorias independientesN(0,1), entonces

n

X

i=1

Zi2∼χ2n (5.2)

En dondeχ2

n es una Ji-cuadrada conngrados de libertad.

Del Teorema 1 se puede ver que si se tiene una sola v.a.Z∼N(0,1), entoncesZ2=χ2 1

Definici´on

Si W es una v.a.χ2

n entonces para todaα∈(0,1) la cantidadχ2α,n se define

como el n´umero real tal que

P(W > χ2

α,n) = 1−P(W ≤χ2α,n) =α (5.3)

aχ2

α,nse le llama el 100(1−α) percentil ´o cuantil de la distribuci´on Ji-cuadrada

con ngrados de libertad.

El significado del cuantil para la Ji-cuadrada con n grados de libertad es exactamente el mismo que para la normal est´andar. Esto se muestra en la Figura 5.2

w fW ( w ) α 1− α χα,n 2 Figura 5.2:Cuantilχ2

α,n de la Ji-cuadrada conngrados de libertad

Para calcular los cuantiles de la Ji-cuadrada enRvemos que de la ecuaci´on 5.3, se tiene queP(W χ2α,n) = 1α, entonces el n´umero realχ2

α,n que satisface esta ecuaci´on lo calculamos de la siguiente forma

χ2α,n=qchisq(1−α, n)

Como comentario final acerca de la Ji-cuadrada, s´olo tenemos que hacer notar que los valores que la v.a.χ2

n son

(3)

quex2 ≥0∀x∈R. Por lo que con esta distribuci´on jamas tendremos que preocuparnos por los valores negativos. Nuestra siguiente distribuci´on se origina a partir de una transformaci´on de normal est´andar y la Ji-cuadrada. Teorema 2 SiZ N(0,1),W χ2n y adem´asZ y W son v.a. independientes, entonces

Z

p

W/n ∼Tn

En dondeTn es la v.a. T de Student con ngrados de libertad.

La v.a. T de Student se comporta de forma muy parecida a la normal y puede tomar el valor de cualquier n´umero real. De hechoTn para nsuficientemente grande y la normal est´andar son casi la misma distribuci´on.

De este comentario tenemos que la v.a.Tn es sim´etrica y por lo tanto

P(Tn<−t) =P(Tn > t) = 1−P(Tn ≤t)∀t ∈ R

Definici´on

Si T es una v.a. Tn entonces para todaα ∈ (0,1) la cantidad tα,n se define

como el n´umero real tal que

P(T > tα,n) = 1−P(T ≤tα,n) =α (5.4)

a tα,n se le llama el 100(1−α) percentil ´o cuantil de la distribuci´on T de

Student con ngrados de libertad. EnRtα,n se puede calcular de la siguiente forma

tα,n=qt(1−α, n)

Los cuantilestα,nse puede interpretar viendo la Figura 5.3

t fT ( t ) α 1− α tα,n Figura 5.3:Cuantilt2

α,n de la T de Student conngrados de libertad

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Teorema 3 Si χ2

n y χ2m son dos variables aleatorias independientes conn y m grados de libertad,

respectiva-mente, entonces χ2 n/n χ2 m/m ∼ Fn,m

En donde a la v.a.Fn,mse le conoce como la F de Fisher con ny mgrados de libertad.

Una propiedad importante de la F se desprende del teorema anteriorFm,n= F1

n,m.

Definici´on

SiFes una v.a.Fn,mentonces para todaα∈(0,1) la cantidadfα,n,mse define

como el n´umero real tal que

P(F > fα,n,m) = 1−P(F ≤fα,n,m) =α (5.5)

a fα,n,m se le llama el 100(1−α) percentil ´o cuantil de la distribuci´on F de

Fisher connymgrados de libertad.

Para calcular el cualtilfα,n,menRlo hacemos de ls siguiente manera

fα,n,m=qf(1−α, n, m)

Para llevar la misma secuencia que en la definici´on de los cuantiles anteriores, se muestra la Figura 5.4 para tener una interpretaci´on defα,n,m.

f gF ( f ) α 1− α fα,n,m

Figura 5.4:Cuantilfα,n,m de la F de Fisher connymgrados de libertad

Para cerrar esta secci´on enunciaremos dos corolarios que hacen uso de los teoremas anteriores. Corolario 1 SeaX1, X2, . . . , Xn una m.a. de una poblaci´onN(µ, σ2)

Como X¯ ∼N(µ,σ2 n)⇒Z= ¯ X−µ σ/√n ∼N(0,1) (Justificaci´on en clase) Y = σ12 Pn i=1(Xi−X¯)2=(n−1)S 2 σ2 ∼χ2n−1 (Justificaci´on en clase) V = √ Z Y /n−1 = √n( ¯X−µ)

S2 ∼Tn−1 (Del Teorema 2 y clase pues S

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El corolario 1 nos servir´a para construir intervalos de confianza y pruebas de hip´otesis paraµ.

Corolario 2 Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a. de una poblaci´on N(µ1, σ12) y Y1, Y2, . . . , Ym una m.a. de una poblaci´on N(µ2, σ2

2), por el corolario 1 se tiene que W1 = σ12 1 Pn i=1(Xi −X¯)2 = σ12 1(n−1)S 2 X ∼ χ2n−1 y W2 = 1 σ2 2 Pm i=1(Yi−Y¯)2 = σ12 2(m−1)S 2

Y ∼χ2m−1, si las muestras aleatorias son independientes una de otra

entoncesW1 yW2 son independientes una de otra y por el teorema 3

G= W1/n−1 W2/m−1 = 1 σ2 1S 2 X 1 σ2 2S 2 Y ∼Fn−1,m−1

El corolario 2 nos servir´a m´as adelante para construir intervalos de confianza y pruebas de hip´otesis acerca del cociente de varianza de dos poblaciones normales.

Es muy importante que el estudiante adem´as de saber c´omo se calculan los cuantiles de cada distribuci´on en Rtambi´en sepa hacerlo utilizando tablas, esto principalmente porque el examen se realizar´a utilizando tablas, aunque en la pr´actica el uso deRser´a el m´as conveniente.

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