( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALES Y REDES DE COLAS

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( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALES Y REDES DE COLAS

• INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS. Concepto de red abierta y cerrada.

Redes abiertas y Teorema de Jackson.

• MODELOS NO EXPONENCIALES

Cola M/G/1: Fórmula de Pollaczeck-Khintchine. Cola G/M/1: casos Ek/M/1, Hip/M/1, Hyp/M/1. Uso de QTS_EXCEL.

• APROXIMACIONES PARA COLAS GI/G/s. Aproximación de Allen-Cuneen.

Aproximaciones para colas congestionadas (Heavy Traffic)

0 1 2 • • • n-1 n n+1 • • • λ0 λ1 λ2 λn-1 λn λn+1 µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2

(

)

(

)

(

)

(

)

M

M

M

M

n n n n n n n n n n n n n n

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

n

n

emergente

Tasa

incidente

Tasa

Estado

⋅

+

=

⋅

+

⋅

⋅

+

=

⋅

+

⋅

⋅

+

=

⋅

+

⋅

⋅

+

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

−

=

+ + − − − − − − −

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

λ

µ

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1

1

2

1

0

Hay tantas ecuaciones como valores pueda presentar

N

(

t

)

, por tanto, si en el S.E. sólo pueden haber como máximo K clientes,

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1

;

2

1

0 2 1 1 1 0

=

=

=

−

_n

_C

C

n n n

K

K

K

_,

_,

µ

µ

µ

λ

λ

λ

K

K

K

₁

_,

₂

_,

0 0 2 1 1 1 0

⋅

=

⋅

=

=

−

_P

_C

_P

_n

P

_n n n n

µ

µ

µ

λ

λ

λ

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ =

=

0

⋅

=

→

=

0 0 0 0

1

1

n n n n n

P

n

C

P

P

_C

+∞

<

∑∞ =0 n

C

n Las probabilidades de estado

estacionario quedan definidas si:

En caso de que el S.E. pueda contener sólo K clientes como máximo, el sumatorio se extiende de n=0 a n=K y siempre será finito.

EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/1

COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones: 1. En promedio la afluencia

de clientes al S.E.

sobrepasa la capacidad de trabajo del Sistema de Servicio:

N(t) PRESENTA UNA TENDENCIA CRECIENTE

2. El Sistema de Servicio tiene suficiente capacidad de trabajo frente a la afluencia de clientes:

N(t) puede crecer en ocasiones, pero el S.E. siempre retorna al

estado 0 (vacío) t N(t) N(t) t ρ ≥ 1 ρ <1

• Tiempos entre llegadas τ i.i.d. de ley exp. con parámetro λ. • s > 1 servidores iguales.

• Tiempo de servicio

x

i.i.d. según una ley exp. de parámetro µ.

   + = ⋅ − = ⋅ = = = K K K , , , , , , , , 1 1 2 1 2 1 0 s s n s s n n n n n

µ

µ

µ

λ

λ

MODELO M/M/s 0 1 2 • • • s-1 s s+1 • • • λ λ λ λ λ λ µ 2µ 3µ sµ sµ sµ

El modelo M/M/s/K

Sistema de espera con limitación de capacidad que presupone: 1. Tiempos entre llegadas _τ i.i.d. exp. de parámetro λ =n λ .

2. Tiempos de servicio x i.i.d. exp. de parámetro µ . 3. Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.

4. El número de clientes al sistema de espera es ≤ K.

El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser ≤ K

Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde:

➨ Siempre alcanzará régimen estacionario.

0 1 2 • • • s-1 s s+1 • • •

λ λ λ λ λ λ

µ 2µ 3µ sµ sµ sµ

MODELO M/M/s/./N S.E. con población finita (N) que presupone:

• Tiempo de permanencia en la población de los clientes i.i.d según ley exp. de parámetro _λ

• Tiempos de servicio por servidor i.i.d. según ley exp. de parámetro µ.

• Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.

• Una población finita de clientes limitado al valor N. Para simplificar se supone N > s.

Es un S.E. cerrado: Hay siempre N clientes (población+S.E.) Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población

Población

REDES DE COLAS EXPONENCIALES

➨ Sistemas de colas exponenciales formando una red de montaje de

ordenadores o coches, por ejemplo.

➨ Podemos considerar dos tipos de redes de S.E.:

a) ABIERTAS. reciben entradas de clientes procedentes de una o varias

poblaciones externas y que tienen salidas hacia el exterior;.

b) CERRADAS. No reciben entradas de poblaciones externas ni tienen salidas

al exterior. Número constante de clientes circulando dentro de la red. Ejemplo.

Red abierta de S.E.

Ejemplo. Ssitema M/M/s/./N: Pobl. 2 1 2 3 Pobl. 1 Exter. 1 2

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Redes abiertas. Teorema de Jackson

➨ Condiciones bajo las que las redes abiertas de S.E. presentan propiedades

para efectuar un análisis por descomposición.

1.El S.E. (nodo) i tiene un número de servidores si de características idénticas

entre sí. Los tiempos de servicio de cada servidor tienen distribución exponencial de probabilidades con capacidad individual de servicio µ_i.

2.La capacidad de la cola en cada S.E. es ilimitada.

3.Los clientes que han estado servidos en el nodo i se reparten entre los nodos j ∈ E(i), emergentes del i y, con probabilidades pij > 0 constantes a lo

largo de toda la evolución del sistema. 4. el tiempo asociado al arco (i,j) es cero.

➨ Si todas las llegadas externas están distribuidas poissonianamente y se

verifican las condiciones anteriores entonces se llaman redes de Jackson y sobre ellas puede aplicarse el resultado del teorema de Jackson (1957) .

Teorema de Jackson. Sea una red abierta de S.E. verificando las condiciones para la descomposición anteriores, con soluciones del sistema:

N

j

p

r

N i i ij j j

1

,

,

1

=

K

∑

+

=

=

λ

λ

_{tales que}

_λ

_i

_<

_s

_i

_⋅

_µ

_{i para todo S.E.}

i=1,…,N.

Entonces cada S.E. se comporta como una cola M/M/si con

entradas de clientes con tasa

λ

i y que presentará en estado

estacionario una distribución de probabilidades propia de las colas M/M/s e independiente de la de los otros sistemas dentro de la red. 1 2 1 1 21 11 1 1









































+





















=





















λ

λ

λ

λ

N NN N N N N N

p

p

p

p

p

p

r

r

M

L

M

O

M

M

L

M

M

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    = = = → + + = + = = 45 10 10 3 / 2 2 / 1 2 / 1 5 10 3 2 1 3 2 1 3 1 2 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ           =                          − − − →                     +           =           0 5 10 3 / 1 1 2 / 1 0 1 2 / 1 0 0 1 3 / 2 1 2 / 1 0 0 2 / 1 0 0 0 0 5 10 3 2 1 3 2 1 3 2 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ Pobl. 2

1

2

3

Pobl. 1 1/2 Exter. 1/2 ₁ 2/3 1/3 r₁=10 r₂= 5

Se dispone de servidores con tasa individual de servicio µ = 12.

Determinar en cada nodo el

número mínimo de servidores de forma que la red de S.E. presente estado estacionario. Calcular las demoras medias en todos los S.E. de la red.

Las entradas en los S.E. 1, 2 y 3 son respectivamente: 10, 10, 45. Por tanto: 1.Para el nodo 1, si s1= 1 , ρ1 = λ1/µ1 = 10/12 <1.

2.Para el nodo 2, si s2= 1 , ρ2 = λ2/µ2 = 10/12 <1.

3.Para el nodo 3, hay que dotarlo de s3= 4 servidores: ρ3 = λ3/(s3 ⋅µ3) =

45/(4⋅12) <1.

Los nodos 1 y 2 con un solo servidor son colas de tipos M/M/1 con las mismas tasas de entrada:

P0= 1- ρ1 = 1-10/12 = 1/6;

El nodo 3 se comporta como una cola M/M/4; Si θ=λ3/µ3 =45/12 entonces:

2 / 1 , 5 1 ₁ 1 2 1 1 1 2 1 = = = = − = = λ ρ ρ _L W W L L

006561

0

16 12 45 4 4 1 57 20 0 4 4 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 0 ( )

,

! , ! !

=

=

=

        ⋅ +         ∑ ∞ = + + + + − − i i P θ θ θ θ ρ

(

1

)

12 57 0 288 1 3 2 0 . , , !  ₋ = = =    = λ ρ ρ µ λ q q s q L P s L W

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MODELOS DE COLAS NO EXPONENCIALES

➨ Los modelos de colas que se han visto hasta el momento

estaban basados en los procesos de nacimiento y muerte.

Suponían tiempo entre llegadas y tiempo de servicio de tipo exponencial.

Las hipótesis pueden resultar inapropiadas para modelizar determinadas situaciones:

1.Las llegadas programadas a la consulta de un médico.

2.Las colas que se forman cíclicamente en los semáforos de las

ciudades.

3.En el caso del servicio, si el tiempo que requiere cada cliente es

El modelo M/G/1

➨ Los S.E. que responden a modelos M/G/1 son aquellos que:

1. Las llegadas tienen una tasa constante igual a λ. Los tiempos

entre llegadas al sistema son i.i.d. exponencialmente.

2. Los tiempos de servicio tienen una distribución de

probabilidad común cualquiera y son mútuamente

independientes, de esperanza matemática 1/_µ y varianza _σ2 .

3. El sistema de espera dispone de un único servidor: s =1.

➨ Para conseguir un estado estacionario es suficiente que el

factor de carga del sistema _ρ = _λ/_µ <1.

ρ

−

=

1

0

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➨ La fórmula de Pollaczek-Khintchine determina la esperanza

matemática de la longitud de cola en régimen estacionario: Lq.

(

)

(

)

(

ρ

)

ρ

ρ

ρ

σ

λ

σ µ

−

+

=

−

+

⋅

=

1

2

1

1

2

2 2 2 2 2 2 q

L

ρ=1 ρ Lq

A partir de las fórmulas de Little se obtienen el resto de

magnitudes, L, W, W_q.

La fórmula refleja la influencia de la dispersión de los tiempos de servicio (varianza _σ2) en el comportamiento del S.E.:

A mayor σ2 mayor será la longitud media de cola Lq a igualdad

➨ Caso particular M/M/1, tenemos 2

2 1

µ

σ = _{y la fórmula de}

Pollaczek-Khintchine se convierte en,

(

)

(

)

(

) (

ρ

)

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

µ

λ

ρ

ρ

σ

λ

−

=

−

=

−

+

⋅

=

−

+

⋅

=

1

1

2

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2 2 2 2 q

L

coincidiendo con el resultado encontrado anteriormente.

➨ Caso particular M/E_k/1: la distribución de los tiempos de

servicio es Erlang de parámetros k y _µ = 1/E[

x

], su varianza es

1/kµ2, al aplicar la fórmula de Pollaczek-Khintchine:

(

)

(

)

(

ρ

)

ρ

ρ

ρ

µ

λ

ρ

ρ

σ

λ

−

+

=

−

+

⋅

=

−

+

⋅

=

1

2

1

1

2

1

2

2 2 2 2 2 2 2

k

k

k

L

_q

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➨ En el caso M/D/1, la distribución de los tiempos de servicio es

constante, de media 1 µ unidades de tiempo (µ servicios por

unidad de tiempo) y varianza _σ 2 ₌ 0 , la fórmula de

Pollaczek-Khintchine determina la expresión de la longitud media de la cola como,

(

)

(

ρ

)

ρ

ρ

ρ

σ

λ

−

=

−

+

⋅

=

1

2

1

2

2 2 2 2 q

L

.

L

q

≤

L

q

≤

L

q

D

E

k

M

M/D/1 system-size probabilities 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 probability

M/E(k)/1 system-size probabilities

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 size probability

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E(k)/M/1 system-size probabilities 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 probability

CDF for E(k)/M/1 line waiting times

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 cdf

CDF for E(k)/M/1 system waiting times 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 cdf

APROXIMACIÓN DE LA COLA GI/G/s

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Exacta para M/M/s, M/G/1

_{τ1 τ2 τ3} … … _{τk-1 τk}

t

Tiempo entre incidencias (revisión o avería) de un motor: _{τ ≤} 14

Tiempo entre averías de un motor: _τ'

P(τ' ≥14) = 0,88

Simulación de 1000 períodos:

P(τ' ≥14) = 0,88

→ 88% de las incidencias: revisiones

Práctica 4

Utilización de la suite: qts_excel

Se procede a un análisis aproximado para cada año mediante un

modelo de colas tipo G/M/1.

Se adopta una distribución de los tiempos entre llegadas _τ para

cada año del tipo:

Población

Sistema de Espera Exterior

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Distribución del tiempo de permanencia en el taller

W=1,43 σw=1,25

Ocupación media

Opción: no renovar taller E[x] _≈0,5 semanas

SIMULACIÓN DEL SISTEMA:

(durante 650 semanas)