Método novedoso para resolver ecuaciones diferenciales lineales de
segundo y tercer orden no homogéneas con coe…cientes constantes
Ramírez Arce Greivin, gramirez@itcr.ac.cr
Setiembre, 2007
Resumen:
Este artículo parte de un nuevo método propuesto por Rivera (2006) para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogéneas con coe…cientes constantes. Vamos a establecer las relaciones y diferencias de este método con el de coe…cientes indeterminados y el de variación de parámetros.
Además, aplicaremos las ideas generales del método para deducir la solución general de la ecuación diferencial y000+a
2y00+a1y0+a0y=b(x).
Palabras claves: ecuación diferencial, coe…cientes indeterminados, variación de parámetros.
1
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Rivera (2006) establece que la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden y00+a
1y0+a0y = b(x)está dada por:
y(x) =c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yhomogenea +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2xb(x)dx dx | {z } yparticular
donde 1y 2 son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial homegénea.
Partamos de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que tienen la forma y0+a(x)y = b(x)
dondea(x) yb(x) son funciones continuas en un intervaloI:Multiplicamos por una función arbitrariav(x)a
ambos lados de la igualdad:
v(x)y0+v(x)a(x)y=v(x)b(x) (1)
Para que el lado derecho de la igualdad anterior sea la derivada del producto y v(x) necesitamos que
v0(x) =v(x)a(x):Pero esta es una ecuación diferencial cuya solución esv(x) =eRa(x)dx y que llamamos factor
integrante. Volviendo a(1)tenemos: y0+a(x)y=b(x) e R a(x)dx y0+eRa(x)dx a(x)y=eRa(x)dx b(x) h y eRa(x)dxi0=eRa(x)dx b(x) y eRa(x)dx= Z b(x) eRa(x)dxdx+c y=e Ra(x)dx Z b(x) eRa(x)dxdx+ce Ra(x)dx
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
y0 3x2y=x2
Se tiene v(x) =eR 3x2dx=e 3x
3 3 =ex
3
Multiplicando a ambos lados de la igualdad porex3
se tiene: ex3y0 ex33x2y=x2ex3 h yex3i0 =x2ex3 yex3= Z x2ex3 dx y=e x3 Z x2ex3 dx y=e x3 e x3 3 +ce x3 y= 1 3+ce x3
En general, la solución de la ecuación diferencial
y0+a(x)y=b(x) (2)
está dada por
y=ce Ra(x)dx | {z } yh(x) +e Ra(x)dx Z b(x) eRa(x)dxdx | {z } yp(x) Dondeyh(x) =ce R
a(x)dx es la solución de la ecuación homogénea asociada de(2)(esto esb(x) = 0)
Yyp(x) =e
R
a(x)dxRb(x) eRa(x)dxdxes una solución particular de la ecuación(2).
Para determinar la solución particular yp(x) anterior se puede utilizar el método de coe…cientes
indeter-minados siempre que b(x) sea un polinomio, una función exponencial, la función seno, la función coseno o
combinación de ellas.
Así por ejemplo, en la ecuación diferencialy0+ 2y=x; utilizando el método de coe…cientes indeterminados,
será fácil hallar la solución particular de la formayp(x) = x+ ; y esta esyp(x) = x2 14
En la ecuación diferencialy0+2y=ex;la solución particular tendrá formay
p(x) = ex; y esta esyp(x) =13ex
En la ecuación diferencialy0+ 2y= cos x; la solución particular tendrá formay
p(x) = cos x+ sen x; y
esta esyp(x) =25cos x+15 sen x
En la ecuación diferencial y0+ 2y =xex; la solución particular tendrá forma y
p(x) = xex+ ex; y esta
esyp(x) =13xex 1 9ex
¿Pero que pasa sib(x)no es una función como las anteriores?
No se puede aplicar el método de coe…cientes indeterminados.
Encontrar la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada de(2)no parece tan complicado; hasta
nos hemos olvidado un poco de ello, la di…cultad está en encontrar una solución particular. Este problema de encontrar una solución particular también se traslada a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden como veremos a continuación.
2
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
Considerérese la ecuación diferencial de segundo orden con coe…cientes constante no homogénea de la forma
y00+a
1y0+a0y=b(x) (3)
cona0 ya1 constantes reales yb(x)una función continua en un intervaloI:
Se parte de la ecuación diferencial homogénea
y00+a
1y0+a0y= 0 (4)
cona1 y a0 constantes reales.
Para resolver esta ecuación Rivera (2006) sugiere descomponera1como a1= +
Así, y00+ ( + )y0+a0y= 0 (y00+ y0) + ( y0+a0y) = 0
Para el primer paréntesis el factor integrante es =eR dx=e x:
Multiplicando la igualdad anterior por el factor integrante se tiene:
e xy00+e x y0+e x( y0+a
0y) = 0
(e xy0)0+e x y0+e xa
0y= 0
Se quiere que el segundo sumando y el tercer sumando sean el resultado de la derivada de un producto. Lo será si:
(e x )0 =e xa0
) e x=e xa0
) =a0
Así, se toman y tales que
+ =a1
=a0
Al resolver el sistema las soluciones son: =a1 p a2 1 4a0 2 =a1 p a2 1 4a0 2 (5)
Así, y son únicos.
Resolver esto es similar que resolver 2 a1 +a0= 0;pues ambas son ecuaciones características asociadas a
(3):La solución de 2 a1 +a0= 0esf ; go equivalentemente la solución de 2+a1 +a0= 0esf ; g:
Así, para resolver y00+a
1y0+a0y = 0; resuelvo 2+a1 +a0 = 0; que es la ecuación característica de la
ecuación diferencial(3).
Con esto la ecuación diferencial (4)se transforma en
(e xy0)0+ ( e xy)0= 0
(e xy0+ e xy)0= 0; integrando se tiene
e xy0+ e xy=c2
y0+ y=c2e x; y esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Por lo tanto
y(x) =c1e x+c2e x
Z
Si 1 y 2son las raíces de la ecuación característica, entonces la solución general de la ecuación diferencial
homogénea es:
y=c1e 1x+c2e 1x
Z
e( 2 1)xdx
Si 1 y 2son números reales, eny=c1e 1x+c2e 1x
Z
e( 2 1)xdxse dan dos casos:
i. Si 16= 2entonces
y=c1e 1x+c2e 2x
ii. Si 1= 2= entonces
y=c1e x+c2xe x
Si 1y 2son números complejos conjugados 1= + i; 2= i ; entoncesy=c1e 1x+c2e 1x
Z e( 2 1)xdx y=c1e 1x+c2e 1x Z e( 2 ix)dx;haciendo la sustituciónu= 2 ix y=c1e 1x+ c2 2 ie 1x Z eudu y=c1e 1x+c3e( + i)x e( 2 ix)+c y=c1e 1x+c3e( + i)x e( 2 ix)+c y=c1e( + i)x+c3e( + i)x e( 2 ix)+c y=c1e( + i)x+c3e( i)x+c4e( + i)x
y=c5e x(cos ( x) +isen( x)) +c3e x(cos ( x) isen( x))
y=Ae xcos ( x) +Be xsen( x)
Para hallar la solución particular se toma la ecuación diferencial lineal de orden dos no homogénea con coe…cientes constantes.
Sea y00+a1y0+a0y=b(x)con a1 y a0 constantes reales
Rivera (2006) sugiere hacer + =a1 obteniendo:
y00+ ( + )y0+a
0y=b(x) y00+ y0+ y0+a
0y=b(x) Multiplicando por el factor integranteu=e xse tiene
e xy00+e x y0+e x y0+e xa
0y=e xb(x)
(y0e x)0+e x y0+e xa
0y=e xb(x) (6)
Si =a0; esto implica que(e x )0 = e x=a0e x
De(6)se tiene(y0e x)0+ (e x y)0=e xb(x)siempre que
+ =a1 =a0 (y0e x+e x y)0=e xb(x) y0e x+e x y= Z e xb(x)dx +c2
y0+ y=c2e x+e x
Z
e xb(x)dxMultiplicando por el factor integrantee
R dx=e x e x y0+e x y=c2e( )x+e( )x Z e xb(x)dx e x y 0 =c2e( )x+e( )x Z e xb(x)dx e x y= Z c2e( )x+e( )x Z e xb(x)dx dx+c1 y=e xc1+c2e x Z e( )xdx+e x Z e( )x Z e xb(x)dx dx
Así, y=c1e x +c2e x
Z e( )xdx | {z } yh +e x Z e( )x Z e xb(x)dx dx | {z } yp
Al resolver la ecuación característica de la ecuación diferencial homegénea se tenía
2+a 1 +a0= 0 1= y 2= Por lo tanto,y=c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yh +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2xb(x)dx dx | {z } yp
Por ejemplo, al resolver la ecuación diferencialy00 y0 2y=e3x; de su ecuación característica se tiene que:
2
2 = 0
1= 2y 2= 1
La solución de la ecuación diferencial es:
y=e2xc1+c2e2x Z e( 1 2)xdx | {z } yh +e2x Z e( 1 2)x Z exb(x)dx dx | {z } yp y=e2xc1+c2e2x Z e 3xdx | {z } yh +e2x Z e 3x Z exe3x dx dx | {z } yp y= c1e2x +c2e x | {z } yh +e2x Z e 3x Z e4x dx dx | {z } yp y= c1e2x +c2e x | {z } yh +e 2x 4 Z exdx | {z } yp =y= c1e2x +c2e x | {z } yh +e 3x 4 |{z} yp
¿Pero que pasaría si la ecuación diferencial a resolver esy00+y= tan x?
Las soluciones de la ecuación característica 2+ 1 = 0son 1 =i y 2 = i :Entonces la solución de la
ecuación diferencial será:
y=eix c1+c2eix Z e( i i)xdx | {z } yh +eix Z e( i i)x Z eixtanx dx dx | {z } yp
Podemos calcular las integrales anteriores de manera que i sea una constante, o bien usar la identidad: e + i=e (cos +i sen ) y=eix c1+c2eix Z e 2ixdx | {z } yh +eix Z e 2ix Z eixtanx dx dx | {z } yp y=Acosx+B sen x | {z } yh +eix Z e 2ix Z eixtanx dx dx | {z } yp (7)
La integralR eixtanx dxpuede calcularse utilizandoeix= cosx+i senx:Así:
R
eixtanx dx=R(cosx+i senx) tanx dx
=R sen x+i sencos2xx dx= cosx+iR sencos2xxdx (8)
PeroR sencos2xxdx=R 1 coscosx2xdx=R cos1xdx R cosxdx
= ln(secx+ tanx) sen x+c
Volviendo a(8)tenemos
R
eixtanx dx= cosx+iln(secx+ tanx) isen x+C:
Volviendo a(7)las integrales se han complicado aún más, pues debíamos resolver
Z
e 2ixR eixtanx dx dx=
Z
e 2ix( cosx+iln(secx+ tanx) isen x+C) dx:
Entonces, ¿qué tiene de bueno esta fórmula para calcular la solución de cualquier ecuación diferencial lineal de orden dos no homogénea, cuando la complicación de las integrales no facilita las cosas?
Se responde a esta pregunta analizando los casos que se pueden presentar, dependiendo de 1y 2;para la
solución de la ecuación diferencialy00+a
1y0+a0y=b(x)cona1 y a0 constantes reales, que es en general:
y(x) =e 1xc1+c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yh +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2xb(x)dx dx | {z } yp (9)
a. Si 1 y 2son números reales diferentes entonces, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea son:
y1(x) =e 1x yy2(x) =e 2x y=e 1xc1+c2e 2x +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2xb(x)dx dx Para Z e( 2 1)xRe 2xb(x)dx dx=I:Sea u=Re 2xb(x)dx dv=e( 2 1)xdx du=e 2xb(x) v= e ( 2 1)x 2 1 I= e ( 2 1)x 2 1 Z e 2xb(x)dx 1 2 1 Z e 2xe( 2 1)xb(x)dx = e ( 2 1)x 2 1 Z e 2xb(x)dx 1 2 1 Z e 1xb(x)dx Volviendo a(9) y(x) =e 1xc 1+c2e 2x +e 1x e( 2 1)x 2 1 Z e 2xb(x)dx 1 2 1 Z e 1xb(x)dx
y(x) =e 1xc1+c2e 2x + e 2x 2 1 Z e 2xb(x)dx e 1x 2 1 Z e 1xb(x)dx y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) + y2(x) 2 1 Z b(x) y2(x) dx y1(x) 2 1 Z b(x) y1(x) dx (10)
b. Si 1= 2= son números reales iguales entonces, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea son:
y1(x) =e x yy2(x) =xe x y=c1e x +c2xe x +e x Z Z e xb(x)dxdx ParaI=Z R e xb(x)dx dx:Sea u=Re xb(x)dx dv=dx du=e xb(x) v=x y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) +y2(x) Z b(x) y1(x) dx y1(x) Z xb(x) y1(x) dx
c. Si 1 y 2 son números complejos conjugados entonces, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea
son:
y1(x) =A cos x y y2(x) =B sen x
En forma similar al trabajo desarrollado en la parte a. se tiene con 1= + i y 2= ique:
y(x) =Acosx+B sen x | {z } yh +e( + i)x Z e( i ( + i))x Z e ( i)xb(x)dx dx | {z } yp y(x) =Acosx+B sen x | {z } yh +e( + i)x Z e 2 ix Z e + ixb(x)dx dx | {z } yp Para Z e 2 ixR e + ixb(x)dx dx=I:Sea u=Re + ixb(x)dx dv=e 2 ix du=e + ixb(x) v=e 2 ix 2 i i i = ie 2 ix 2 I= ie 2 ix 2 Z e + ixb(x)dx Z ie 2 ix 2 e + ixb(x) dx I= ie 2 ix 2 Z e + ixb(x)dx i 2 Z e + ixb(x) dx
La complejidad de las integrales anteriores será la misma que se obtiene si resolvemos la ecuación diferen-cial original mediante el método de variación de parámetros. Se pueden resolver dependiendo de la función
b(x)tomando aicomo una constante cualquiera, o bien, usando el hecho de que
El siguiente ejemplo muestra la relación de complejidad de las integrales si se calcula por ambos métodos.
Ejemplo
Resolver la ecuacióny00+y= cotx (11)
Las soluciones de la ecuación característica 2+ 1 = 0son:
1=i; 2= i
La ecuación diferencial homogénea tiene soluciones: y1(x) = cosx yy2(x) =sen x
La solución de la ecuación diferencial(11)es:
y(x) =c1cosx+c2sen x+eix Z e 2ixR eixcotx dx dx Sea u=Reixcotx dx dv=e 2ixdx du=eixcotx v= e 2ix 2i i i = i 2e 2ix Así, eix Z e 2ixReixcotx dx dx=eix i 2e 2ixZ eixcotx dx Z i 2e ixcotxdx = i 2e ixZ eixcotx dx eix 2 Z e ixcotxdx = i 2e ix Z
(cosx+i sen x) cotx dx e
ix
2
Z
(cosx i sen x) cotxdx
= i
2(cosx i sen x)
Z
(cosx+i sen x) cotx dx cosx+i sen x
2
Z
(cosx i sen x) cotxdx
Simpli…cando la expresión anterior se obtiene:
cosxRcosxdx sen xR cossen x2xdx, que no es más que lo que se obtiene con variación de parámetros. Así, yp(x)= cosx
R
cosxdx sen xR cos2x
sen xdx=sen x ln(cscx cotx) (12)
Por lo tanto,y(x) =c1cosx+c2sen x+sen x ln(cscx cotx)
Resolviendo la ecuación diferencial anterior mediante el método de variación de parámetros se tiene que las soluciones de la ecuación diferencial homogénea son:
y1(x) = cosx yy2(x) =sen x
La solución de la ecuación homogénea es: yh(x) =Acosx+B sen x:
Variando parámetros conseguimos una solución particular
yp(x) =A(x) cosx+B(x)sen x
Se debe resolver el sistema
8 < : A0(x)y1(x) +B 0(x)y2(x) = 0 A0(x)y0 1(x) +B 0(x)y02(x) = cotx cosx sen x
sen x cos x = cos
2x+sen2x= 1
Mediante la regla de crámer
A0(x) = 0 sen x cot x cos x 1 = cosx Así,A(x) = R cosxdx= sen x+c
B 0(x) = cosx 0 sen x cot x 1 = cos2x senx Así, B(x) =R cos2x
senxdx= ln(cscx cotx) + cosx+c
Se puede notar, que las dos integrales anteriores son las mismas que se tuvieron que resolver en (12)
Así, y(x) =Acosx+B sen x+A(x) cosx+B(x)sen x
=Acosx+B sen x+ sen xcosx+sen x(ln(cscx cotx) + cosx)
Por lo tanto,y(x) =Acosx+B sen x+sen xln(cscx cotx)
Con la solución del caso particular anterior, se puede empezar a intuir la relación que existe entre el método que se ha desarrollado con el método de variación de parámetros. A continuación se trabajará en esa relación.
Relación entre el método de Rivera y el método de variación de parámetros
Veremos que con el método que sugiere Rivera se obtienen las mismas integrales que con el método de variación de parámetros, a diferencia de que no se le dice al estudiante, en ningún momento, que debe variar parámetros para encontrar la solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea.
Variación de parámetros
Sea la ecuación diferencial y00+a1y0+a0y=b(x) (13)
Seany1 yy2 soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea
y00+a1y0+a0y= 0 (14)
Es decir,yh(x) =c1y1(x) +c2y2(x)siendoc1 yc2 constantes arbitrarias en la solución de(13):
Mediante variación de parámetros y usando notación funcional obtenemos que la solución de la ecuación
diferencial(13)es:
y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) + R y1b(x)
W[y1;y2] dx y2
R y2b(x)
y1y20 y2y01 dx y1 (15)
Obtengamos la relación que existe entre la solución anterior con respecto al nuevo método propuesto.
Tomemos del punto 2a. y1(x) = e 1x y y2(x) = e 2x: Calculando el wroskiano para estas dos soluciones
tenemos: e 1x e 2x 1e 1x 2 e 2x = 2 e 2xe 1x 1e 1x e 2x = e( 2+ 1)x ( 2 1): Sustityendo en(15) y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) + R e( 2+ 1)e 1xxb((x) 2 1) dx e 2x R e 2x b(x) e( 2+ 1)x ( 2 1) dx e 1x y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) + e 2x 2 1 R b(x) e 2x dx e 1x 2 1 R b(x) e 1x dx =c1y1(x) +c2y2(x) + y2(x) 2 1 R b(x) y2(x) dx y1(x) 2 1 R b(x) y1(x) dx
3
Ecuaciones diferenciales lineales de tercer orden
Considerérese la ecuación diferencial de tercer orden con coe…cientes constante no homogénea de la forma
y000+a
2y00+a1y0+a0y=b(x) (16)
cona0; a1 ya2constantes reales y b(x)una función continua en un intervalo I: Llegaremos a que la solución general de la ecuación diferencial anterior está dada por: y(x) =c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yhomogenea +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2x c 3e x +e x Z e xb(x)dx dx dx | {z } yparticular
Se parte de la ecuación diferencial homogénea de(16)
Seay000+a2y00+a1y0+a0y= 0 (17)
cona0; a1 ya2constantes reales
Descomponemosa2 comoa2= + ya1 comoa1= +
Así,y000+ ( + )y00+ ( + )y0+a
0y= 0 y000+ y00+ y00+ y0+ y0+a
0y= 0
Multiplicando la igualdad anterior por el factor integrantee xse tiene:
(y000+ y00)e x+ ( y00+ y0)e x+ ( y0+a0y)e x= 0
(y00e x)0+ ( y00e x+ y0e x) + ( y0e x+a0ye x) = 0 (18)
Se quiere que la suma del segundo paréntesis y la suma tercer paréntesis sean el resultado de la derivada de un producto. Lo será si por un lado:
( e x)0 = e x= e x
) =
Y por otro lado ( e x)0 = e x=a
0e x
=a0
Así, se toman ; ; ; tales que
8 > > < > > : + =a2 + =a1 = 0 =a0
Para que la ecuación(18)quede como:
(y00e x)0+ ( e xy0)0+ ( e xy)0 = 0
(y00e x+ e xy0+ e xy)0= 0;integrando se tiene
y00+ y0+ y =c
3e xy esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden
Por lo tanto si 1 y 2son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea anterior
se tiene: y(x) =c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yhomogenea +e 1x Z e( 2 1)x Z c3e 2xe xdx dx | {z } yparticular
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencialy000+y00 10y0+ 8y= 0
Haciendo 8 > > < > > : + = 1 + = 10 = 0 = 8 obtenemos = 1; = 2; = 2y = 8
La ecuación diferencial queda como
y00+ y0+ y =c3e x
y00+ 2y0 8y=c
3ex
Cuyas soluciones de la ecuación característica 2+ 2 8 = 0son 1= 2 y 2= 4
Así la solución de la ecuación diferencial es
y(x) =c1e2x +c2e2x Z e( 4 2)xdx | {z } yhomogenea +e2x Z e 6x Z c3e4xexdx dx | {z } yparticular
y(x) =c1e2x +c2e 4x +c3ex
Para hallar la solución particular se toma la ecuación diferencial lineal de orden tres no homogénea con coe…cientes constantes.
Sea y000+a2y00+a1y0+a0y=b(x) (19)
cona0; a1 ya2constantes reales
Descomponemos a2 comoa2= + ya1comoa1= +
Así, y000+ ( + )y00+ ( + )y0+a0y=b(x)
y000+ y00+ y00+ y0+ y0+a
0y=b(x)
Multiplicando la igualdad anterior por el factor integrantee x se tiene:
(y000+ y00)e x+ ( y00+ y0)e x+ ( y0+a0y)e x=e xb(x)
(y00e x)0+ ( y00e x+ y0e x) + ( y0e x+a0ye x) =e xb(x) (20)
Se quiere que la suma del segundo paréntesis y la suma tercer paréntesis sean el resultado de la derivada de un producto. Lo será si por un lado:
( e x)0 = e x= e x
) =
Y por otro lado
( e x)0 = e x=a0e x
=a0
Así, se toman ; ; ; tales que
8 > > < > > : + =a2 + =a1 = 0 =a0
Para que la ecuación(20)quede como:
(y00e x)0+ ( e xy0)0+ ( e xy)0 =e xb(x)
(y00e x+ e xy0+ e xy)0=e xb(x);integrando se tiene
y00+ y0+ y =c3e x +e x
Z
y esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden.
Por lo tanto si 1 y 2son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea anterior
se tiene: y(x) =c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yhomogenea +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2x c 3e x +e x Z e xb(x)dx dx dx | {z } yparticular
4
Conclusiones
(a) La solución de la ecuación diferencial lineal de primer ordeny0+a(x)y=b(x) está dada por
y=ce| R{za(x)dx} yh +e Ra(x)dx Z b(x) eRa(x)dxdx | {z } yp
(b) Si 1 y 2 son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea de orden dos
con coe…cientes constantesy00+a1y0+a0y= 0, entonces la solución general de esta ecuación diferencial
homogénea es:
y=c1e 1x+c2e 1x
Z
e( 2 1)xdx
Si 1 y 2son números reales, eny=c1e 1x+c2e 1x
Z
e( 2 1)xdxse dan dos casos:
i. Si 16= 2entonces
y=c1e 1x+c2e 2x
ii. Si 1= 2= entonces
y=c1e x+c2xe x
Si 1y 2son números complejos conjugados 1= + i; 2= i ; entoncesy=c1e 1x+c2e 1x
Z
e( 2 1)xdx
queda como:
y=c1(cos ( x) +isen( x))e x+c2e x(cos ( x) isen( x))
y=Ae xcos ( x) +Be xsen( x)
(c) Si 1 y 2 son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial de orden dos homogénea
con coe…cientes constantesy00+a1y0+a0y=b(x), entonces la solución general de esta ecuación diferencial
homogénea es: y=e 1xc1+c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yh +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2xb(x)dx dx | {z } yp
i. Si 1 y 2 son números reales diferentes entonces, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea
y1(x) =e 1x yy2(x) =e 2x; y la solución de la ecuación diferencial original será: y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) + y2(x) 2 1 Z b(x) y2(x) dx y1(x) 2 1 Z b(x) y1(x) dx
ii. Si 1= 2= son números reales iguales entonces, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea
son:
y1(x) =e x yy2(x) =xe x ; y la solución de la ecuación diferencial original será:
y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) +y2(x) Z b(x) y1(x) dx y1(x) Z xb(x) y1(x) dx
iii. Si 1y 2son números complejos conjugados entonces, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea
son:
y1(x) =A cos x y y2(x) =B sen x; y la solución de la ecuación diferencial original será: y(x) =Acosx+B sen x | {z } yh +e( + i)x ie 2 ix 2 Z e + ixb(x)dx i 2 Z e + ixb(x) dx | {z } yp
(d) Si 1 y 2 son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial de orden dos homogénea
con coe…cientes constantesy00+ y0+ y=c
3e x que resulta de hacer
8 > > < > > : + =a2 + =a1 = 0 =a0
en la ecuación diferencialy000+a2y00+a1y0+a0y= 0; entonces su solución es:
y(x) =c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yhomogenea +e 1x Z e( 2 1)x Z c3e 2xe x dx dx | {z } yparticular
(e) Si 1 y 2 son las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial de orden dos homogénea
con coe…cientes constantesy00+ y0+ y=c
3e x +e x
Z
e xb(x)dx que resulta de hacer
8 > > < > > : + =a2 + =a1 = 0 =a0 en la ecuación diferencialy000+a
2y00+a1y0+a0y=b(x); entonces su solución es:
y(x) =c1e 1x +c2e 1x Z e( 2 1)xdx | {z } yhomogenea +e 1x Z e( 2 1)x Z e 2x c 3e x +e x Z e xb(x)dx dx dx | {z } yparticular
(f) El método desarrollado por Rivera tiene inmerso los métodos de coe…cientes indeterminados y el de variación de parámetros, sin embargo, la virtud del nuevo método es que ya no debe depender de:
i:ciertas funcionesb(x)para poder usar coe…cientes indeterminados
ii: la conveniencia de variar los parámetros en la solución de la ecuación diferencial homogénea,
para conseguir las soluciones particulares de una ecuación diferencial lineal de orden dos no homogénea con coe…cientes constantes.
Además, queda por analizar para las ecuaciones diferenciales lineales de tercer orden los posibles casos que
pueden ocurrir dependiendo de 1 y 2: Será también un reto para el lector determinar la generalización del
método de Rivera.
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Agradezco a Geonanny Figueroa y a Silvia Calderón (profesores del Instituto Tecnológico de Costa Rica) por las observaciones hechas antes de la publicación de este trabajo. Además, agradezco a Antonio Rivera (Investigador del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional de México) por motivarme a profundizar en esta temática.
