Tema III. Propagación de ondas sísmicas: Ondas Superficiales. Anelasticidad y anisotropía. I. Propagación en un medio semiinfinito: Ondas Rayleigh

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Tema III.

Propagación de ondas sísmicas: Ondas Superficiales. Anelasticidad y anisotropía.

I. Propagación en un medio semiinfinito: Ondas Rayleigh II. Propagación en un medio y una capa: OndasLove

III. Modos de las ondas Love.

IV. Propagación de las ondas Rayleigh en medios estratificados.

V. Dispersión de ondas. Velocidad de fase y grupo.

Determinación de la velocidad de grupo y de fase. Método de frecuencias instantaneas.

Determinación de la velocidad de grupo y de fase. Método de análisis de Fourier.

VI. Curvas de dispersión y estructura de la tierra. VII. Anelasticidad y amortiguamiento.

Factor de calidad Q. Coeficiente anelástico γ.

Atenuacion: Ondas internas. Ondas superficiales. Ondas Coda.

Propagacion de las ondas sísmicas en medios anisótropos. Tema III.

Propagación de ondas sísmicas: Ondas Superficiales. Anelasticidad y anisotropía.

I. Propagación en un medio semiinfinito: Ondas Rayleigh II. Propagación en un medio y una capa: OndasLove

III. Modos de las ondas Love.

IV. Propagación de las ondas Rayleigh en medios estratificados.

V. Dispersión de ondas. Velocidad de fase y grupo.

Determinación de la velocidad de grupo y de fase. Método de frecuencias instantaneas.

Determinación de la velocidad de grupo y de fase. Método de análisis de Fourier.

VI. Curvas de dispersión y estructura de la tierra. VII. Anelasticidad y amortiguamiento.

Factor de calidad Q. Coeficiente anelástico γ.

Atenuacion: Ondas internas. Ondas superficiales. Ondas Coda.

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE ONDAS

SÍSMICAS: ONDAS SUPERFICIALES,

ANELASTICIDAD Y ANISOTROPIA

3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO

Existencia de superficies libre y de discontinuidad Acoplamiento de energía

Ondas Superficiales

Propuestas por Lord Rayleigh en 1885 (sup. Libres) Observadas por R.D Oldham en 1900

Su Amplitud disminuye con z, v < ondas S, desplazamientos en el plano de incidencia (dirección paralela a la superficie)

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Si la onda se propaga en x₁ Los desplazamientos de las ondas Rayleigh serán:

u x x 1 1 3 = ∂ φ − ∂ ∂ ψ ∂ u₂ = u₂ u x x 3 3 1 = ∂ φ + ∂ ∂ ψ ∂

Para ondas sup. prop. en x1 con velocidad de fase c y nº de onda k, las soluciones de la ec. de onda, es decir, φ, ψ y u₂ son:

{

}

φ = Aexp − ikrx₃ + ik x( ₁ − ct)

{

}

ψ = Bexp − iksx₃ + ik x( ₁ − ct)

{

}

u₂ = Cexp − iksx₃ + ik x( ₁ − ct)

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación de ondas se obtiene: r = c − 2 2 1 α s c = − 2 2 1 β

Para que la amplitud de φ, ψ y u₂ decrezca con z r y s han

de ser imaginarios positivos c < β < α

Son ondas que se propagan en la dirección x₁ y se atenúan exponencialmente en dirección negativa de x₃.

La atenuación depende del nº de onda k.

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Para evaluar A,B,C y c se aplican las condiciones de contorno en la superficie libre (τ₃₁ = τ₃₂ = τ₃₃ = 0) τ µ ∂ ∂ ∂ ∂ 31 3 1 1 3 0 =  +      ₌ u x u x τ µ ∂ ∂ 32 2 3 0 = u = x τ λ µ ∂ ∂ λ ∂ ∂ 33 3 3 1 1 2 0 = ( + ) u + = x u x • Sustituyo los valores de u₁, u₂ y u₃

2rA-(1-s2_{)B=0 ; [}_α2_(1+r2_)-2_β2_]A-2_β2_{sB=0; C=0}

Propagación sólo en (x₁, x₃)

∃ solución si:

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

• Simplificando y sustituyendo los valores de r y s:

2 4 1 1 2 2 2 ₂ 2 2 2 −       ₌ ₋ ₋ c c c β α β

• Haciendo λ=µ α= (3)1/2β Defino incógnita y = (c / β)2 y3 8y2 56 y 3 32 3 0 − + − = y = 4 2+2/(3)1/2 2-2/(3)1/2 Compatible con c < β

• Luego la velocidad de las ondas Rayleigh en este medio es: c_R = 0.9194 β Puesto que r = 0.85 i y s = 0.39 i

{

}

φ = Aexp .0 85kx₃ + ik x( ₁ − c t_R )

{

}

ψ = Bexp .0 39kx₃ + ik x( ₁ − c t_R ) • Propag. en x₁ y atenuación en –x₃ • Interacción de ondas P y SV con la superficie libre

(7)

• Los desplazamientos serán:

u₁ = a e( 0 85. kx3 − 0 58. e0 39. kx3 )sen k x( − c t_R )

u₃ = a( .−0 85e0 85. kx3 + 147. e0 39. kx3 ) cos (k x − c t_R ) • Si x₃ = 0

u₁ = 0 42. a sen k x( ₁ − c t_R ) u₃ = 0 62. acos (k x₁ − c t_R )

El movimiento muestra un desfase de 90º entre el componente

vertical y el horizontal Trayectoria forma en cada periodo una elipse de movimiento retrógrado. La amplitud disminuye con la prof. y a una cierta prof. el componente horizontal = 0 y a partir, de ella el movimiento es progrado

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

(8)

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

(9)

3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Hecho experimental a partir de registros:

Existe ondas con movimiento horizontal y transversal que precedían a las ondas Rayleigh.

1908: Knott y Wiechert proponen que es un efecto de transmisión por la corteza terrestre.

1911: Love lo explica desarrollando la teoría de propagación de ondas superficiales de componente transversal, en una capa (corteza) sobre un medio semiinfinito, de distintas propiedades elásticas (ondas Love)

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

• Solución de la ecuación de onda en un medio semiinfinito de velocidades α y β y densidad ρ, con una capa de espesor H

superpuesta de velocidades α’ y β’ y densidad ρ’ con β > β’.

Esta solución ha de ser propagación paralela a la superficie y disminución de su amplitud con la profundidad.

• ∃ 2 tipos de ondas:

.- Rayleigh (desplaz. Verticales)

.- Love (desp. Horizontal-transversal) • Aparece el fenómeno de

(11)

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

• Por sencillez sólo estudiamos el problema de las ondas Love: u₂'= A'exp[ 'iks x₃ + ik x( ₁ − ct)]+ B'exp[−iks x' ₃ + ik x( ₁ − ct)]

u₂ = Bexp[−iksx₃ + ik x( ₁ − ct)] con: s

c = − 2 2 1 β s c ' ' = − 2 2 1 β

• Atenuación del desplazamiento con la profundidad s imaginario positivo

• Condiciones de contorno: esfuerzos nulos en la superficie libre (x₃ = H) y continuidad de esfuerzos y desplazamientos en la de separación entre la capa y el medio (x₃ = 0).

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

x H u x x u u u x u x 3 32 2 3 3 2 2 32 2 3 32 2 3 0 0 = = = = = = = =     : ' ' ' ' ' ' ' τ µ ∂ ∂ τ µ ∂ ∂ τ µ ∂ ∂ Condiciones de Contorno.

• Sustituyendo los valores de los desplazamientos: A e' iks H' − B e' −iks H' = 0

A' ' 'µ s B− ' ' 'µ s B s+ µ = 0 A B B'+ '− = 0

∃ Solución si el determinante

es nulo, s’ debe ser real β’ < c < β ondas

propagándose hacia abajo y hacia arriba dentro de la capa.

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

• La ecuación resultante es:

µ µ

s

i ' 's = tg ks H'

• Sustituyendo los valores de s y s’ en función de c, β’ y β :

µ β µ β β 1 1 1 2 2 2 2 2 2 − − = −         c c tg kH c ' ` `

Ecuación de dispersión (relaciona c con el número de onda (o implícitamente la frecuencia)).

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

La ecuación dispersiva se puede obtener también a partir de interferencia constructiva de ondas, que se reflejan en la superficie de separación entre la capa y el medio, con un ángulo i mayor que el crítico.

Las ondas Love, por tanto, se pueden considerar como el resultado de la interferencia constructiva de ondas

supercríticas (SH), con reflexión total en la base de la capa • Si x_c es la distancia que coincide con la onda reflejada con

ángulo crítico Las reflexiones para x < x_c son subcríticas y para x > x_c son supercríticas (reflexiones totales)

(15)

ONDA LOVE PROPAGÁNDOSE

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

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3.3 DISPERSIÓN DE ONDAS. VELOCIDAD DE FASE Y GRUPO.

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Las ondas de distinto periodo viajan con distinta velocidad. Hasta ahora hemos obtenido velocidades de fase o velocidad

a que se propaga la fase de cada componente armónico de las ondas

Si Vfase = cte Vfase = Vgrupo (velocidad de transporte de

(17)

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Defino velocidad de grupo como: U d dk

=

ω

Sustituyo ω = k c(k) con c(k) velocidad de fase

U c k d c k dk = + ( ) µ β µ β β 1 1 1 2 2 2 2 2 2 − − = −         c c tg kH c ' ` ` Recordando la relación entre c y k 0 1 2 2 2 < kH c − < β π ` tg (0) k=0 c = β tg (π/2) k=∞ c = β’ Luego β < c(k) < β’ La forma de la curva depende de H (espesor)

(18)

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Sustituyendo c(k)

obtengo la curva para U(k) En el tren de ondas

llegarán primero las de frecuencia baja (largo periodo) (k=0) y más

tarde las de frecuencia alta´. La mayor energía llega al final del tren correspondiendo a la

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Llegada de las ondas de distinto periodo a una distancia X. Fase

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3.4 MODOS DE LAS ONDAS LOVE.

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Hemos acotado el argumento de la tg entre 0 y π/2 pero

también toma valores entre π y 3 π/2, 2 π y 5 π/2 ...

Para cada valor de H obtengo una familia infinita de curvas. Cada curva se denomina modo de propagación. El correspondiente

a 0 y π/2 es el modo fundamental

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Frecuencia de corte para el modo de orden n: k

n H n = − π β β' 1

Los desplazamientos de las ondas correspondientes a cada modo tienen distinta distribución con la profundidad.

A e' iks H' − B e' −iks H' = 0 B'= A e' i ks H2 '

Sustituyendo y tomando parte real:

u A ks H x H k s H x ct '₂ = 2 'cos ' _1− 3 _ cos ( ' ₁ )      + − B = 2 'cos( ' )A ks H eiks H' u₂ ₌ 2A'cos 'ks H eksx3 cos ( 'k s H ₊ x₁ ₋ ct)

(22)

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

En el medio la amplitud de los despl. disminuye exponencialmente con la profundidad y en el interior de la capa viene modulada por

la función cos [kHs’(1-x₃ /H)].

En x3=H (sup. libre), la amplitud siempre es máxima. Dentro de la capa (0 < x3 < H) existen puntos donde se anula u2, sólo para los modos superiores (1 para el 1º, 2 para el 2º,...)

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3.5 ONDAS RAYLEIGH EN MEDIOS ESTRATIFICADOS.

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

• c también depende de f • Hay modos de vibración:

simétricos y antisimétricos de acuerdo con las condiciones del movimiento en la superf. libre y en la de separación. • Para el modo fundamental

las velocidades máximas y minimas son: c_R y c_R’

• Si λ <<H, la capa se comporta

como un medio semiinfinito y si λ >> H, esta no afecta a la

(24)

3.6 CURVAS DE DISPERSIÓN Y ESTRUCTURA DE LA TIERRA.

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

¿De qué depende la forma de la curva de dispersión? Parámetros que definen la estructura estratificada de las capas superiores de la Tierra (espesores, velocidades P y S, densidades)

• Las ondas superf. con periodo entre 15 y 100 s reflejan la estructura de la corteza y el manto superior y los periodos mayores dan

(25)

3.6 CURVAS DE DISPERSIÓN Y ESTRUCTURA INTERNA DE LA TIERRA.

TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

• 1930, W. Roehrbach, D.S. Carder y M. Ewing: 1ºs estudios de ondas superficiales.

• J.T.Wilson (1940 y 1948): Trabajos sobre la corteza del Atlántico • 1949, M.Ewing, F. Press y J. Oliver: Determinación de estructuras

de la corteza y manto superior en zonas continentales y oceánicas. • 1955, Y.Sato, introduce el análisis de Fourier (gran adelanto)

• Uso de ordenadores y FFT (algoritmo de Cooley y Tukey)

•1964 W.L. Pilant y L. Knopoff: Método del filtro de velocidad de grupo (group-delay filter)

• 1968, Análisis espectral: Métodos para determinar v grupo y fase, basados en correlación cruzada, filtrado múltiple

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Dispersión de ondas Rayleigh en el Atlántico Norte y curvas teóricas para modelos oceánico y de escudo continental.

Curva Oceánicas

Curva Continental Caída Rápida debido

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TEMA 3: PROPAGACIÓN DE

ONDAS SÍSMICAS

Velocidad de Grupo Velocidad de Fase

(28)

(29)

3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y SUPERFICIALES

La Tierra no se comporta como un medio perfectamente elástico. Disipación de energía en forma de calor por fricción interna.

Si el medio fuera elástico, la amplitud de las ondas disminuye por: Dispersión geométrica: 1/ r (ondas internas o esféricas)

1/r1/2 _{(ondas superfic. o cilíndricas)}

El medio no es elástico Mayor decrecimiento debido a: Atenuación anelástica.

Atenuación en el espacio y el tiempo con mecanismos complejos que dependen de la naturaleza de los materiales (at. intrínseca).

(30)

• Atenuación de ondas en el espacio y en el tiempo.

• Para el movimiento de una onda se puede definir un factor de calidad Q(ω), función de la frecuencia:

1 1 2 Q E E ( )ω = π ∆

• 1/Q representa la razón entre la energía disipada E durante un ciclo de un movimiento armónico de frecuencia y el máximo o la energía media E, acumulada durante el mismo ciclo.

• Sea m.a de amplitud A que se atenúa y para un periodo A exp (-π/Q) ∆E A Q = −  −            2 ₁ _exp 2π 1 1 2 Q E E ( )ω = π ∆ 1 1 Q A A =

π

∆ y

(31)

• Vamos a definir factores de calidad temporal (Q_t) y espacial (Q_e) Q_t : Atenuación de la onda con t para un punto fijo del espacio

durante un periodo.

Q_e : Atenuación de la onda para un tiempo dado a lo largo de una distancia de una longitud de onda.

u(x,t) = A exp [i (k’x-ω’t)] ::Ec. m.a.e. con k’=k+i k* y ω’= ω - i ω *

u(x,t) = A exp [i (kx- ω t)-(k*x- ω *t)]

u(x) = A [exp(-k*x)] cos(kx- ω t)

u(t) = A [exp(-k ω *x)] cos(kx- ω t)

1 2 Q_t =

ω

* 1 2 Q k k e = * Como c’ = ω’/k’ y c’=c+ ic*, si ω * << ω y k* << k c c k k * * * = _ ω + _ ω

(32)

3.7.1 Atenuación de ondas internas

• Tomo valores complejos para las velocidades de P y S

α' = α + i α * y β ' = β + i β *

Las partes imaginarias de α y β están relacionadas con Q_e

1 2 Q_α α α = * y 1 2 Q_β β β = * • Entonces: α α α '=  +      1 2 i Q y β β β '= +       1 2 i Q

• Tomo valores complejos para los coef. elasticidad µ y

compresibilidad K : µ’= µ + i µ * y K’ = K + iK* y definir:

1 2 1 2 Q_µ µ µ =       * / ₁ 2 1 2 Q K K K = _ *_ / y

(33)

• Los cuatro factores de calidad anteriores se hallan relacionados:

1 1 Q_β = Q_µ y 1 4 3 1 1 4 3 1 2 2 Q_α Q_µ Q_K β α β α = _ _ +  − _ _      si Q _α y Q _β >1

• En sismología Procesos puramente compresivos o de dilatación Que no hay disipación de energía QK = ∞

1 4 3 1 2 Q_α Q_β β α = _ _ si β =0.25 y α = S3 β, Q α = 2.25 Qβ.

(34)

• Atenuación de la amplitud de una onda monocromática P en el interior de la Tierra: A A s Q A e o o t =  −      ₌ − exp ω * α _α ω 2

A: Amplitud pto observ. A_o: Amplitud foco.

s: Distancia recorrida a lo largo del rayo.

• Para un medio homogéneo t* = t / (2 Q _α), donde t=s/α es el

tiempo de viaje de la onda P.

• Se puede hacer lo mismo para la onda S usando β y Q_β

(35)

Tierra esférica con simetría radial y

η

(r) = r / v(r),

Q = Q(r)

t

r dr

rQ r

r

p

r r p o

*

( )

( )[

( )

]

/

=

−

∫

η

_η

22 2 1 2 Si Q es el valor medio de Q(r) y t es el tiempo de viaje t* = t / 2Q

• En la Tierra y para distancias epicentrales entre 30 y 90º, t* es prácticamente cte: 1s para ondas P y 5 s para ondas S

Mayor atenuación

(36)

• Se desconoce la amplitud en el foco Método de las dos estaciones (observaciones a lo largo de caminos de onda similares) ln ( ) ( ) ln ( ) A A C x 2 1 ω ω γ ω       ₌ ₋ _∆

γ(ω) es la atenuación total de la amplitud con la distancia

horizontal y C depende de la dispersión geométrica

γ(ω) = ω ∆ x/(2

α

Q

) con

α

y Q valores medios

• Obsérvese la diferencia en la atenuación debida a dispersión geométrica y atenuación anelástica.

(37)

3.7.2 Atenuación de ondas superficiales

• Atenuación anelástica de ondas sup. con distancia y tiempo se expresa por los coeficientes γ_e y γ_t

u x A x i x c t e ( ) ≈ exp + _ − _      γ ω u t A t i x c t t ( ) ≈ exp + _ − _      γ ω

γ

_e

ω

γ

ω

e t t cQ y Q = = 2 2

• Para ondas dispersadas, si ω _o es la frecuencia instantánea, para

valores dados de x y t, el tiempo que las ondas tardan en viajar a través del medio es t = x /U. Entonces la atenuación en t y x es:

A t Q A x UQ o t o e exp − exp      ₌  ₋      ω ω 2 2 1 1 Q U c Q t e = se deduce que:

(38)

• Si el semiespacio es homogéneo, las ondas Rayleigh no se

dispersan ₁ ₁ 1 1 Q_R = m Q_α + ( − m) Q_β m b b b b b a a b con a c y b c = − − − − − − − =       ₌       ( )( ) ( )( ) / [ ( )( )] 2 1 2 1 1 2 3 2 2 α β con

y c es la velocidad de las ondas Rayleigh.

• En un medio estratificado o uno con v=v(r) Q_R y Q_L

dependen de Q _α, Q _β, α(r) y β(r) y como r = r (ω ) Q_R(ω) y Q_L (ω). 3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y

(39)

• Usando el método de las dos estaciones: ln ( ) ( ) ln ( ) A A sen sen x 2 1 2 1 1 2 ω ω γ ω       ₌       ₋ ∆ ∆ ∆

∆: distancias angulares desde el epicentro a las estaciones. ∆ x: distancia entre las estaciones.

γ(ω): atenuación anelástica de las ondas superficiales a lo largo de

la distancia entre las dos estaciones para cada frecuencia. • Puedo obtener valores de Q a partir de:

γ _e ω

e

cQ

=

2

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3.8 LA ATENUACIÓN DE LAS ONDAS CODA Ondas Coda: Ondas observadas al final de un sismograma

(Jeffreys, 1929).

Ondas de terremotos próximos que llegan tras las ondas Lg y con Amplitudes exponencialmente decrecientes con t (Aki, 1969).

(41)

3.8 LA ATENUACIÓN DE LAS ONDAS CODA

• La atenuación se produce por dos mecanismos diferentes: 1. Anelasticidad:

Fricción interna (atenuación intrínseca o anelástica) 2. Scattering de ondas (obstáculos, heterogeneidades).

La energía se distribuye en el espacio y no llega al pto de observación

• La atenuación total está dada por el factor Q de coda o Q_c

1 1 1

Q_c = Q_i + Q_s

Q_i :atenuación intrínseca ≅ Q_β, las coda son

transversales, principalmente. Q_s :atenuación por scattering 1 Q gv S = ω

v y ω velocidad y frecuencia, g = ∆I / (I L ) coef.

de dispersión (energía de las ondas I y fracción (∆ I)

(42)

3.8 LA ATENUACIÓN DE LAS ONDAS CODA

• Muchos métodos para explicar atenuación de coda Difusión pura (Q_c = Q_i)

Scattering simple y múltiple con interacción compleja de ondas en obstáculos y heterogeneidades

• La atenuación de las ondas coda permite determinar: Anelasticidad (Q_i) Heterogeneidad (Q_s) A t A t Q o c ( , )

ω

= exp −

ω

     2 Qc Qo o n ( )

ω

=       con

0.2 < n < 0.4 para altos valores de Q_o n ≅ 1 para valores bajos de Q_o

Q_o : valor de Q a ω_o

(43)

3.8.1 LA ATENUACIÓN EN LA TIERRA

• Determinación de la distribución de Q en el interior de la Tierra. • Inversión simultánea de atenuación y velocidades.

• Se usan amplitudes de ondas internas, P, S, PcP, ScS,

superficiales, Rayleigh, Love y oscilaciones libres de la Tierra. • Modelo SL8 (Anderson y Hart, 1978): Distribución de Q

Litosfera: 0 – 80 km con valores de 200 < Q_β < 500 Manto Superior: 80 – 250 km con valores Q_β ≅ 110

Manto Inferior: 500 – 2880 km con valores 150 < Q_β < 500 Núcleo Externo: Q_β ≅ 0

Núcleo Interno: 400 < Q_β < 800

(44)

3.8.1 LA ATENUACIÓN EN LA TIERRA

• Debida principalmente a disipación de energía en movimientos de cizalla

Modelo SL8 Corteza: Q ≅ 160

Bajo la corteza (50-100km): Q ≅ 500

Astenosfera (100-200 km): Q ≅ 125

• Q_c relacionado con las condiciones de la corteza superior.

• En las capas superficiales hay

fuertes variaciones de Q_c (120-600) • Alto Q_c corteza homogénea (estable) • Bajo Q_c corteza heterogénea (inestable)

(45)

3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS ANISOTROPOS

• Los materiales de la Tierra no son isótropos.

• La desviación de isotropía es pequeña pero implica efectos en la propagación de las ondas sísmica.

Cuerpo Elástico Isótropo:

τ_ij = C_ijkl e_kl C_ijkl = λδ_ij δ_kl + µ (δ_ik δ_jl + δ_il δ_jk) con: C₁₁₁₁ = C₂₂₂₂ = C₃₃₃₃ = λ+ 2 µ C₁₁₂₂ = C₁₁₃₃= C₂₂₃₃= λ C₁₂₁₂= C₁₃₁₃ = C₂₃₂₃ = µ

Y la energía relativa a la deformación es: W = ½ λ (e₁₁ + e₂₂ + e₃₃)2 + µ e_ij e_ij

(46)

CUERPO NO ISÓTROPO:

• El tensor de elasticidad tiene 21 componentes idptes. •El número se reduce si hay alguna simetría:

9 para simetría ortorrómbica. 5 para simetría hexagonal. 3 para simetría cúbica.

La simetría hexagonal se usa frecuentemente en sismología. Tiene un eje principal y se denomina simetría transversal. C1111 = C2222 = A C3333 = C C3311 = C3322 = F C2323 = C1313 = L C1212 = N C1122 = C2211 = A - 2N

(47)

CUERPO NO ISÓTROPO:

• La energía relativa a esta deformación está dada por: W = ½ A (e2

11 + e222 ) +½ C e233 + F (e11 + e22)e33+

+(A-2N)e₁₁ e₂₂ + ½ L (e2

13 + e231 ) + N e212

Casos en los que podemos usar esta anisotropía en la Tierra:

.- Medios finamente estratificados con prop. elásticas alternando entre capa y capa (eje principal perpendicular a las capas).

.- Material con fracturas alineadas en una dirección particular (eje principal)

(48)

3.9.1 Ondas Internas

Eje principal en la dirección x₃ y onda monocromática plana propagándose en x₃ y x₁ u A sen x c t u B sen x c t i i i i =  _ − _      =  _ − _      ω ω 3 1

Considerando la propagación en x₃ se puede ver que aparecen dos velocidades diferentes. Una con componente A₃

correspondiente a una onda P con velocidad α = (C/ρ)½ y otra

con componentes A₁ y A₂ correspondiente a una onda S con velocidad β = (L/ ρ)½

(49)

3.9.1 Ondas Internas u A sen x t C u A A sen x t L i P i S =  _ − _      = =  −            = ( , , ) ; ( / ) ( , , ) ; ( / ) / / 0 0 0 3 3 1 2 1 2 3 1 2 ω α α ρ ω β β ρ Propagación similar al medio isótropo

Considerando la propagación en x₁ se puede ver que aparecen tres velocidades diferentes. Una con componente B₁

corresponde a una onda P con velocidad α = (A/ ρ)½ . B₂ y B₃ son

perpendiculares a la dirección de propagación y corresponden a

Ondas S diferentes, una en dirección x₂ con velocidad β₁ = (N/ ρ)½ y

otra en dirección x₃ y velocidad β₂ = (L/ ρ)½

(50)

3.9.1 Ondas Internas u B sen x t A u B sen x t N u B sen x t L i P i S i S =  _ − _      = =  −            = =  −            = ( , , ) ; ( / ) ( , , ) ; ( / ) ( , , ) ; ( / ) / / / 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ω α α ρ ω β β ρ ω β β ρ

• Medio anisótropo con simetría hexagonal Ondas P se propagan con diferentes velocidades a lo largo del eje principal de simetría (x₃)

y a lo largo de una dirección perpendicular a él (x₁).

• En el primer caso (x₃), hay un solo tipo de onda S y en el segundo (x₁) hay dos. S₁ corresponde a SH y S₂ corresponde a SV propagándose a dos velocidades diferentes (división de la onda S).

(51)

3.9.1 Ondas Internas

Propagación de ondas P y S

En la Tierra la división de la onda S se da para medios con un fino

apilamiento de capas con rigideces altas y bajas alternativas

En general tenemos tres tipos de onda propagándose:

onda cuasi-P, cuasi-SH y cuasi-SV cuyas velocidades cambian con la simetría.

Anisotropía: Cambios en vel. P y división de onda S

(52)

3.9.2 Ondas Superficiales

• La anisotropía hace que muchas veces no puedan separarse las ondas superficiales en Ondas Rayleigh y Love.

• Hay un acoplamiento de componentes que forma una onda superficial dispersada de tipo general

.- Discrepancia entre velocidades de fase de ondas Rayleigh y Love frente al medio isótropo.

.- Discrepancia en las velocidades de fase encontradas para

trayectorias a lo largo de diferentes azimutes en la misma región .- Salida del plano de polarización de la onda Rayleigh de la

orientación vertical.

Efectos de la anisotropía

(53)

3.9.2 Ondas Superficiales

• La mayor longitud de onda de las ondas superficiales hace que el tipo de anisotropía que las afecta este motivada por

heterogeneidades orientadas en direcciones preferentes.

• En este caso, para una propagación a lo largo de la dirección del eje de simetría, las ondas Rayleigh se propagan a mayor velocidad y las ondas Love a menor velocidad que en el

caso de isotropía.

• Para una trayectoria perpendicular, el efecto es opuesto.

(54)

Anisotropía en la Tierra

• Se han observado fundamentalmente dos tipos de anisotropía: .- Transversal: dirección vertical y debida a estratificaciones o

alineamientos horizontales de naturaleza mineralógica o estructural

Provoca división de la onda S, retrasos en SV y SH, y veloc. de fase diferentes para las ondas Rayleigh y Love

.- Azimutal: Debida a alineamientos preferentes de cristales, grietas o heterogeneidades a lo largo de un azimut dado.

Provoca cambios en las velocidades de propagación de las ondas a lo largo de la trayectoria para un azimut dado en comparación con aquellas perpendiculares a ellas.

(55)

• Parte superficial de la corteza: Anisotropía debida a estratificación de sedimentos

• Parte inferior de la corteza: Igual por estructura laminada.

• En la corteza también se observa anisotropía por grietas ya que las grietas se orientan en la dirección de compresión y perpend. a los esfuerzos tensionales

• Litosfera oceánica subcortical, flujo de material desde los márgenes oceánicos que produce una orientación de cristales (anis. azimutal). • Astenosfera: Fuerte anisotropía debida a flujo de material

(simetría por eje principal vertical mayor velocidad SH que SV y anisotropía azimutal a lo largo de las líneas de flujo que

aumenta la velocidad de las ondas sísmicas)

(56)

3.9 PROPAGACIÓN DE ONDAS EN MEDIOS ANISOTROPOS

• La anisotropía a profundidades inferiores a 400 km no es apreciable y el manto inferior se puede considerar como isótropo.

• Algunos autores consideran la zona de transición entre el manto y el núcleo (CMB) como anisótropa (pocos datos). • El material de núcleo interno se considera fuertemente

anisótropo con simetría hexagonal y eje principal en

la dirección del eje de rotación de la Tierra (alineación de cristales de hierro)