Álgebra y Álgebra II - Primer Cuatrimestre 2018 Práctico 5 - Transformaciones Lineales

(1)

(1) ¾Cuáles de las siguientes funciones de Rnen Rm son transformaciones lineales? (a) T(x, y) = (1 +x, y).

(b) T(x, y) = (y, x, x−2y). (c) T(x, y) =xy.

(d) T(x, y, z) = 3x−2y+ 7z.

(2) ¾Cuáles de las siguientes funciones de Rnen Rm son transformaciones lineales? (a) T(x1, . . . , xn) = (x1,−x1, x2,−x2, . . . , xn,−xn).

(b) T(x1, . . . , xn) = (x1,2x2, . . . , nxn).

(c) T(x1, . . . , xn) = (x1, x1+x2, . . . , x1+x2+· · ·+xn). (d) T(x1, . . . , xn) = (x1, x1·x2, . . . , x1·x2· · · · ·xn).

(3) Para cada una de las siguientes funciones de CenC, decidir si sonR-lineales o C-lineales. (a) T(z) =iz.

(b) R(z) =z.

(c) S(z) = Re(z) + Im(z).

(4) En cada caso, si es posible, dar una transformación linealT deRn enRm que satisfaga las condiciones exigidas. Si existe, estudiar la unicidad; y si no existe, explicar porqué no es posible denirla. (a) T(0,1) = (1,2,0,0), T(1,0) = (1,1,0,0). (b) T(1,1,1) = (0,1,3), T(1,2,1) = (1,1,3), T(2,1,1) = (3,1,0). (c) T(1,1,1) = (3,2), T(1,0,1) = (1,1), T(0,1,0) = (1,0). (d) T(0,1,1) = (1,2,0,0), T(1,0,0) = (1,1,0,0). (5) Sean A=          0 2 0 1 1 3 0 1 −1 −1 0 0 3 0 3 0 2 1 1 0         

, y T :R4→R5 dada porT(x) =Ax.

(a) Decir cuáles de los siguientes vectores están en el núcleo: (1,2,3,4), (1,−1,−1,2), (1,0,2,1).

(b) Decir cuáles de los siguientes vectores están en la imagen: (2,3,−1,0,1),(1,1,0,3,1), (1,0,2,1,0).

(c) Dar una base del núcleo. (d) Dar una base de la imagen.

(2)

(e) Describir la imagen implícitamente.

(6) Para cada una de las siguientes matrices Ai, sea T la transformación lineal dada por T(x) =Aix. A1 =    0 2 −1 1 1 −1 1 −1 0   , A2 = " 1 −1 0 1 0 2 −1 1 # , A3 =    1 2 1 −1 0 1 1 3 1 0 2 −1   . (a) Dar una base del núcleo.

(b) Dar una base de la imagen.

(c) Describir la imagen implícitamente.

(7) Para cada una de las siguientes transformaciones lineales, calcular el núcleo y la imagen. Describir ambos subespacios implícita y explícitamente.

(a) T :R2 −→R3, T(x, y) = (x−y, x+y,2x+ 3y). (b) S:R3 −→R2, S(x, y, z) = (x−y+z,2x−y+ 2z).

(8) Para cada una de las siguientes transformaciones lineales, calcular el núcleo y la imagen. Describir ambos subespacios implícita y explícitamente.

(a) D:P4(R)−→P3(R), D(p(x)) =p0(x). (b) T :M2×2(K)−→K, T(A) = tr(A). (c) L:P3(R)−→M2×2(R), L(ax2+bx+c) = " a b+c b+c a # . (d) Q:P3(R)−→P4(R), Q(p(x)) = (x+ 1)p(x).

(9) En cada caso denir, cuando sea posible, una transformación lineal T de R3 en R3 que satisfaga las condiciones exigidas. Cuando no sea posible, explicar porqué no es posible.

(a) dim ImT = 1. (b) dim ImT = 2 ydim NuT = 2. (c) (1,1,0)∈ImT y(0,1,1)∈NuT. (d) (1,1,0)∈ImT,(0,1,1),(1,2,1)∈NuT. (e) ImT ⊆NuT. (f) NuT ⊆ImT.

(10) SeaV =Pn(R). Decidir cuáles de las siguientes transformaciones lineales de V en V son isomorsmos.

(a) T(p(x)) =p(x−1). (b) S(p(x)) =xp0(x). (c) Q(p(x)) =p(x) +p0(x).

(3)

(12) SeanCn,n= 2,3, las bases canónicas deR2yR3respectivamente. SeanB2={(1,0),(1,1)} yB3 ={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}bases de R2 yR3, respectivamente.

(a) Escribir la matriz de cambio de basePCn,Bn deCn aBn,n= 2,3.

(b) Escribir la matriz de cambio de base PBn,Cn deBn a Cn,n= 2,3.

(c) ¾Qué relación hay entre PCn,Bn yPBn,Cn?

(13) Sean C_n,B_n como en el ejercicio anterior.

(a) Dar las matrices de las transformaciones del Ejercicio 7 respecto de las basesBnyCn. (b) Dar las matrices de las transformaciones del Ejercicio 7 respecto de las basesCn yBn. (c) Dar las matrices de las transformaciones del Ejercicio 7 respecto de las basesB_nyBn.

Ayuda: Utilizar los Ejercicios 11 y 12.

(14) Sea T :V →W una transformación lineal. Mostrar que:

(a) Si T ≡0, entonces para cualesquiera bases B_V y B_W de V yW, respectivamente, la

matriz de T respecto de ellas es la matriz nula.

(b) Si NuT es no trivial, entonces existe una base BV de V tal que para cualquier base

BW de W, la matriz de T respecto de ellas tiene al menos una columna nula. Más aún, se puede elegir B_V de tal manera que tenga dim NuT columnas nulas.

(c) Existen bases B_V yB_W de V yW, respectivamente, tal que la matriz deT respecto

de ellas es "

Idm 0 0 0 #

, dondem= dim Im(T).

(15) Sean V = R3, y B = {(1,0,1),(1,−1,0),(1,1,1)} una base de V. Calcular la base dual{f₁, f2, f3} deBexplícitamente, es decir, determinar cuánto vale fi(x, y, z)para todo (x, y, z)∈_R3_.

(16) SeanV =P3(R), y fi∈V∗ dadas por: fi(p) = Ri

0p(x) dx. Probar que{f1, f2, f−1}es una base deV∗.

(17) Sea T : R2 −→ R3 dada por T(x, y) = (x−y,0, x+y). Sea f : R3 → R, f(x, y, z) = 2x−3y−z. Calcular Tt(f).

(18) Decidir si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas. Justicar. (a) SiT :R4→R3 es una transformación lineal entoncesdimNuT = 1.

(b) Existen dos transformaciones linealesT :R2→R3 yS:R3 →R2 tales queT S =Id. (c) Existe una transformación lineal T : R3 → R3 tal que T(1,1,0) = (1,0,0),

(4)

(d) Sea T : Rn → Rn y A la matriz de T con respecto a una base B. Si A es escalón reducida por las conr las no nulas entonces la dimensión de la imagen deT es r.

(e) Si T :V → W es un isomorsmo entonces T S es un isomorsmo para toda

transfor-mación linealS :W →V.

Ejercicios Adicionales

(1) Seag∈ C1_[0_,_1]_{ja. Sea} _T _:_C1_[0_,_1]_{−→ C}_[0_,_1]_{denida por} _T₍_f_{) = (}_{f g}₎0_.

(a) Probar queT es lineal.

(b) Calcular el núcleo deT.

(c) Describir el núcleo en los casos g(x) =ex yg(x) =x, y calcular su dimensión.

(2) Sea T la reexión en R2 con respecto a la recta y = x. Sea B la base ordenada

{(1,1),(1,−1)}.

(a) Dar la matriz de T respecto deB.

(b) Dar la matriz deT respecto deC2 (ver Ej. 12).

(3) SeaT la proyección de C2 dada por T(x1, x2) = (x1,0). Sean B la base canónica deC2 y

B0 _{la base ordenada} _{₍₁_{, i}₎_,₍_−i,₂₎_}_.

(a) Dar la matriz de T respecto del parB,B0.

(b) Dar la matriz deT respecto deB0.

(4) SeanT :V −→W yS :W −→Z transformaciones lineales. Probar que:

(a) Si T yS son suryectivas, entoncesST es suryectiva.

(b) SiT yS son inyectivas, entonces ST es inyectiva.

(c) Si S no es suryectiva, entoncesST no es suryectiva.

(d) SiT no es inyectiva, entonces ST no es inyectiva.

(e) ¾Puede ser S suryectiva y ST no?

(f) ¾Puede ser T inyectiva y ST no?

(5) SeaT :C−→R2×2 denida por T(a+ib) = "

a −b

b a

# . (a) Probar queT esR-lineal.

(b) Probar queT es inyectiva. Notar que eso implica que el espacio vectorial real de los

números complejos es isomorfo al subespacio de matrices2×2 de la forma a−b b a

. (c) Probar queT(z1z2) =T(z1)T(z2) para todo z1, z2 ∈C.

(6) Sea V el espacio de matrices reales n×n, y sea A una matriz ja. Sean LA y TA las transformaciones lineales deV enV denidas por:

(5)

(a) Demostrar que LA= 0 si y sólo siA= 0. (b) ¾Es cierto queTA= 0 si y sólo siA= 0?

(c) Determinar {A: I ∈ImLA}y{A: I ∈ImTA}.

(7) Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, y sea U un isomorsmo de V en W. Probar que L : Hom(V, V) −→ Hom(W, W), denida por L(T) = U T U−1, es un

isomorsmo.

(8) Sea T la transformación lineal de P3(R) en P3(R) denida porT(p(x)) =p(x−2). (a) CalcularTt.

(b) Escribir la matriz de T en la base canónica.