PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2008

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Se valorará la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático o no matemático) em-pleado por el alumno. Penalizan los errores de cálculo. Los errores graves, y especial-mente, aquellos que lleven a resultados incoherentes o absurdos, serán penalizados con la aplicación del 50 % sobre la calificación en cuestión. Se valorarán todas las partes que sean correctas, aunque el resultado final no lo sea.

Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.

OPCIÓN A

1º) Determina todas las matrices de la forma 

     = 0 z y x X que conmuten (X · A = A · X) con la matriz       = 4 3 2 1 A . ---      − = − = ⇒           − = − = = ⇒               = = + + = + = + ⇒       + + =       + + ⇒ ⇒                + + =       + + + + =             =       + + =       + + + + =             = x y x z y x z x z y y z y y x z x z z x y x y z x y z x z z y x y x y z x y z x y z x y z x z y x X A z z y x y x z z y x y x z y x A X 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 4 2 4 3 2 3 3 4 3 2 2 4 2 3 3 4 3 2 0 3 4 3 0 2 0 · 4 3 2 1 · 2 4 2 3 0 2 0 4 2 3 4 3 2 1 · 0 ·

Las matrices X son de la forma x R

x x x X  ∀ ∈      − − = , 0 3 2 **********

(2)

2º) Determina el punto A del plano π ≡2xy+ z=0 más próximo al punto P(1, 1, 1). ---

El haz de rectas paralelas y perpendiculares al plano π ≡2xy+ z=0 tienen como vector director al vector normal del plano π, que es n =

(

2, −1, 1

)

.

De las infinitas rectas del haz anterior, la que pasa por P es      + = − = + = ≡ λ λ λ 1 1 2 1 z y x r .

La solución es el punto Q de intersección del plano π con la recta r es:

(

) (

) (

)

      ⇒                   = − = = + = = − = ⇒ − = = + = + = + + + − + = + + − − + ⇒             + = − = + = ≡ = + − ≡ 3 2 , 3 4 , 3 1 3 2 3 1 1 3 4 3 1 1 3 1 3 2 1 3 1 ; ; 0 1 3 ; ; 0 2 6 ; ; 0 1 1 4 2 ; ; 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 0 2 Q z y x z y x r z y x λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ π **********

(3)

3º) Se considera la función

( )

1 2 + = x x x f . Se pide: a ) Calcular

( )

f

( )

x x lím y x f x lím −∞ → +∞ → .

b ) Calcular los extremos relativos.

c ) Hacer un dibujo de la función.

--- a )

( )

( )

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = = ∞ + ∞ − = + −∞ → = + −∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ − = + −∞ → = −∞ → = + = = ∞ + ∞ = + +∞ → = + +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = + +∞ → = +∞ → x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )

Para estudiar los extremos relativos, derivamos:

( )

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

f

( )

x x x x x x x x x x x x x f ' 1 1 1 1 1 2 1 1 2 · 1 · 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + + − = + − + = + − + =

Para que una función tengo un máximo o un mínimo relativo es condición nece-saria que se anule la primera derivada:

( )

(

)

0 ;; 1 0 1 ;; 1 1 1 0 ' 2 2 1 2 2 2 = − = ⇒ = − = + − ⇒ = x x x x x x f .

Para diferenciar los máximos de los mínimos recurrimos a la segunda derivada: si es negativa para los valores que anulan la primera derivada se trata de un máximo y, en caso contrario de un mínimo:

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

(

+

) (

)

)

= − − + − = + + − − + − = 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 4 1 · 2 1 2 · 1 · 2 · 1 1 · 2 ' ' x x x x x x x x x x x x f

(4)

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x x x x x x x x x x x x x x ' ' 1 3 2 2 1 6 4 2 1 4 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 = + + − − = + − + − = + + − − − =

( )

( )( )

[

( )

]

( )

[

]

( )

(

)

8 0 1 12 1 1 3 2 1 · 2 1 1 3 1 · 2 1 1 · 2 1 ' ' 3 3 2 2 − = ⇒ > = + + + = + − + − − − − − = − Mínimo para x f

( )

( )

      − − ⇒ − = + − = + − − = − 2 1 , 1 : 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Mínimo relativo P f

( )

(

)

(

)

( )

(

)

8 0 1 4 1 1 3 2 1 · 2 1 1 3 1 · 2 1 · 1 · 2 1 ' ' 3 3 2 2 = ⇒ < − = + + − − = + + − − = Máximo para x f

( )

      ⇒ = + = + = 2 1 , 1 : 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Máximo relativo Q f

Observación: El máximo relativo se podía haber obtenido teniendo en cuenta que la función es simétrica con respecto al origen por cumplir que f(x) = - f(-x).

c )

Teniendo en cuenta que el eje X es asíntota de la función, según se demuestra en el apartado a ), la represtación gráfica, aproximada, es la que aparece en el gráfico ad-junto. ********** X Y f(x) O 1 1 P Q

(5)

4º) a ) Se considera la curva y=ekx, k>0. Escribe la ecuación de la función A(k) que nos da el área de la región limitada por esta curva y las rectas y = 0, x = 0 y x = 1.

b ) Hacer un dibujo de la situación.

c ) Calcula A

( )

k k lím 0 → . --- a ) La curva kx e

y= tiene todas sus ordenadas positivas, por lo cual, el área en función de k viene expresada por la siguiente integral definida:

( )

[ ]

(

)

(

)

A

( )

k k e e k e e k e k dt k e t x k t x dt k dx t kx dx e k A k k k k t k t kx = − = − = = − = = ⇒           = → = = → = = = ⇒ =

1 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 0 0 1 · 1 · 0 0 0 1 0 b )

Teniendo en cuenta que se trata de una función exponencial de base positiva es monótona creciente y su recorrido es

(

0, +∞

)

y, por ser =0

−∞ → kx e x lím , siendo k > 0, el eje de abscisas es asíntota horizontal de la curva. Corta al eje de ordenadas en el punto A(0, 1).

La representación gráfica de la situación es la de la figura:

Y

O X

A

(6)

c )

( )

=== ⇒ ⇒

{

}

⇒ → = → Ins er LHopital e k e k lím k A k lím k ´ . det 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 = = = → ⇒ e e k lím k **********

(7)

OPCIÓN B

1º) Demuestra, para matrices de dimensión 2 x 2, que “el determinante de un producto de matrices es el determinante del producto de las matrices”. ¿Es cierto que “el determi-nante de una suma de matrices es la suma de los determidetermi-nantes de las matrices”?

---

Sean las matrices 

     = d c b a A y       = p z y x X . Su producto es:       + + + + =             = dp cy dz cx bp ay bz ax p z y x d c b a X A· · .

El determinante del producto es el siguiente:

(

)(

) (

)(

)

X A bcpx adyz bcyz adpx bdpz bcpx adyz acxy bdpz bcyz adpx acxy dz cx bp ay dp cy bz ax dp cy dz cx bp ay bz ax X A · · = − − + = − − − − + + + = = + + − + + = + + + + =

Los valores de los determinantes de las matrices son:

X yz xp p z y x X A bc ad d c b a A = = − = ;; = = − =

El producto de los determinantes es el siguiente:

(

ad bc

)(

xp yz

)

adpx adyz bcpx bcyz A X X

A · = − − = − − + = ·

. ·

· B A X como se pedía demostrar

A =

Veamos si se cumple que A+ X = A + X :

      + + + + =       +       = + p d z c y b x a p z y x d c b a X A

(

)(

) (

)(

)

X A yz cy bz bc px dx ap ad z c y b p d x a p d z c y b x a X A + = − − − − + + + = = + + − + + = + + + + = +

(8)

X A yz px bc ad p z y x d c b a X A + = + = − + − = + . demostrado ha se como X A B A+ ≠ + **********

(9)

2º) Determina un punto de la recta r

(

x, y, x

) (

= 0, 1, −1

) (

+ 1, 2, 3

)

t más próximo al punto P(1, 1, 1).

---

El haz de planos perpendiculares a la recta r

(

x, y, x

) (

= 0, 1, −1

) (

+ 1, 2, 3

)

t tie-nen como vector normal al vector director de r que es n =

(

1, 2, 3

)

.

El haz de planos tiene por ecuación general α ≡x+2y+3z+D=0.

De l0s infinitas planos del haz anterior, el que contiene al punto P(1, 1, 1) tiene que satisfacer su ecuación:

(

)

1 2 ·1 3·1 0 ;; 6 2 3 6 0 1 , 1 , 1 0 3 2 = − + + ≡ ⇒ − = = + + + ⇒    = + + + ≡ z y x D D P D z y x π α .

La solución es el punto Q de corte de la recta r y el plano π, que es el siguiente: La expresión de r por unas ecuaciones paramétricas es

     + − = + = = ≡ t z t y t x r 3 1 2 1 .

(

) (

)

      ⇒               = + − = = + = = ⇒ = = − = − = − + − + + = − + − + + + ⇒             + − = + = = ≡ = − + + ≡ 2 1 , 2 , 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 ; ; 0 1 2 ; ; 0 7 14 ; ; 0 6 9 3 4 2 ; ; 0 6 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1 0 6 3 2 Q z y x t t t t t t t t t t z t y t x r z y x π **********

(10)

3º) Se considera la función

( )

1 2 − = x x x f . Se pide: a ) Calcular

( )

( )

f

( )

x x lím y x f x lím x f x lím +∞ → −∞ → →1 ; .

b ) Calcular los extremos relativos.

c ) Hacer un dibujo de la función.

--- a )

( )

( )

( )

( )

( )

⇒ → ≠ → ⇒                   ∞ + = = − = − → ∞ − = = − = − → ⇒ → − + + + + + − − − − x f x lím x f x lím x x x lím x x x lím x f x lím 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

La función carece de límite para x = 1.

( )

∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − −∞ → = − −∞ → ⇒ ⇒ ∞ − ∞ = − −∞ → = −∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím

( )

∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − +∞ → = − +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = − +∞ → = +∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )

Para estudiar los máximos y mínimos relativos calculamos sus derivadas primera y segunda:

( )

(

(

)

)

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

( ) (

) (

)

(

(

)

)

(

)

(

) (

(

)

)

(

)

= − − − − − = − − − − − − = = − − = − − = − − − = − − − = 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 · 2 2 1 1 · 1 · 2 · 2 1 · 2 2 ' ' ' 1 2 1 2 1 2 2 1 1 · 1 · 2 ' x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f

(11)

(

x

)

(

x

)

f

( )

x x x x x x ' ' 1 2 1 4 2 2 2 2 2 3 3 2 2 = − = − + − + − − =

Para que existan máximos o mínimos relativos es condición necesaria que se anu-le la primera derivada:

( )

(

(

)

)

(

)

( ) ( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

4 .

(

2, 4

)

1 2 2 2 ; ; . 0 2 1 2 1 2 2 2 ' ' 0 , 0 . 0 0 ; ; . 0 2 1 2 1 0 2 0 ' ' 2 ; ; 0 ; ; 0 2 ; ; 0 1 2 0 ' 2 3 3 2 1 2 P Mín f Mín f O Máx f Máx f x x x x x x x x f → ⇒ = − = ⇒ > = = − = → ⇒ = ⇒ < − = − = − = = = = − = − − ⇒ = c )

Con objeto de facilitar el dibujo de la función, vamos a determinar sus asíntotas, que son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a valer infini-to; son de la forma y = k.

Del primer apartado sabemos que

( )

( )

=+∞ +∞ → = −∞ → x f x lím x f x lím , de donde se deduce que la función no tiene asíntotas horizontales.

Verticales: son los valores de x que anulan el denominador: x−1=0 ⇒ x=1

Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador; como en nuestro caso ocurre eso, tiene asíntotas oblicuas.

( )

( )

[

]

n x x x lím x x x x x lím x x x x lím mx x f x lím n m x x x x lím x x x x lím x x f x lím m = = − ∞ → = − + − ∞ → =       − − ∞ → = − ∞ → = = = − ∞ → = − ∞ → = ∞ → = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 + = ⇒ y x oblícua Asíntota

Con los datos anteriores, la representación gráfica de la función es, aproximada-mente, la siguiente:

(12)

********** x = 1

f(x)

X Y P y = x + 1 O

(13)

4º) Dibuja la región limitada por las curas y = sen x, y = cos x, y las rectas x = 0 y x=π . Calculad el área del recinto.

---

Las gráficas de las funciones seno y coseno se diferencian en que tienen un desfa-se de

2

π (90º). (La palabra coseno se deriva de complemento del seno)

Se trata de dos funciones continuas cuyo dominio es R y el recorrido de ambas es [-1, 1]; el periodo de ambas es

( )

2π .

Teniendo en cuenta que el coseno de un ángulo es igual al seno del ángulo com-plementario, las gráficas de las funciones seno y coseno son las que se indican a conti-nuación, expresadas en el intervalo de un giro.

Como puede observarse, en el intervalo comprendido por las dos rectas verticales

4

0 =π

= y x

x , las ordenadas de la curva y = cos x son mayores que las de y = cos x y en el intervalo comprendido entre las rectas verticales xy x

4 son mayores las orde-nadas de y = sen x que las de y = cos x, por lo cual el área pedida es la siguiente:

(

)

(

)

[

] [

]

(

)

(

)

( )

u S sen x sen sen sen sen x sen sen sen x sen x x x sen dx x x sen dx x sen x S = = + − = + + − − − − − + = = + + − − − − + = =             − − − +       + −       + = = − − + + = − + − =

2 4 4 0 4 4 0 2 2 1 1 2 2 4 2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 2 2 4 4 cos cos 0 cos 0 4 cos 4 4 4 cos cos 0 cos 0 4 cos 4 cos cos · cos · cos π π π π π π π π π π π π π π π π ********** 0 0 2π π π π/2

S

3π/2 2π 3π/2 π/2 π/6 π/3 π = x y = cos x 4 π = x -1 x = 0 1 y = sen x

Figure

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