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I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2008
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
Se valorará la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático o no matemático) em-pleado por el alumno. Penalizan los errores de cálculo. Los errores graves, y especial-mente, aquellos que lleven a resultados incoherentes o absurdos, serán penalizados con la aplicación del 50 % sobre la calificación en cuestión. Se valorarán todas las partes que sean correctas, aunque el resultado final no lo sea.
Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.
OPCIÓN A
1º) Determina todas las matrices de la forma
= 0 z y x X que conmuten (X · A = A · X) con la matriz = 4 3 2 1 A . --- − = − = ⇒ − = − = = ⇒ = = + + = + = + ⇒ + + = + + ⇒ ⇒ + + = + + + + = = + + = + + + + = = x y x z y x z x z y y z y y x z x z z x y x y z x y z x z z y x y x y z x y z x y z x y z x z y x X A z z y x y x z z y x y x z y x A X 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 4 2 4 3 2 3 3 4 3 2 2 4 2 3 3 4 3 2 0 3 4 3 0 2 0 · 4 3 2 1 · 2 4 2 3 0 2 0 4 2 3 4 3 2 1 · 0 ·
Las matrices X son de la forma x R
x x x X ∀ ∈ − − = , 0 3 2 **********
2º) Determina el punto A del plano π ≡2x− y+ z=0 más próximo al punto P(1, 1, 1). ---
El haz de rectas paralelas y perpendiculares al plano π ≡2x− y+ z=0 tienen como vector director al vector normal del plano π, que es n =
(
2, −1, 1)
.De las infinitas rectas del haz anterior, la que pasa por P es + = − = + = ≡ λ λ λ 1 1 2 1 z y x r .
La solución es el punto Q de intersección del plano π con la recta r es:
(
) (
) (
)
⇒ = − = = + = = − = ⇒ − = = + = + = + + + − + = + + − − + ⇒ + = − = + = ≡ = + − ≡ 3 2 , 3 4 , 3 1 3 2 3 1 1 3 4 3 1 1 3 1 3 2 1 3 1 ; ; 0 1 3 ; ; 0 2 6 ; ; 0 1 1 4 2 ; ; 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 0 2 Q z y x z y x r z y x λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ π **********3º) Se considera la función
( )
1 2 + = x x x f . Se pide: a ) Calcular( )
f( )
x x lím y x f x lím −∞ → +∞ → .b ) Calcular los extremos relativos.
c ) Hacer un dibujo de la función.
--- a )
( )
( )
0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = = ∞ + ∞ − = + −∞ → = + −∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ − = + −∞ → = −∞ → = + = = ∞ + ∞ = + +∞ → = + +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = + +∞ → = +∞ → x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )Para estudiar los extremos relativos, derivamos:
( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
f( )
x x x x x x x x x x x x x f ' 1 1 1 1 1 2 1 1 2 · 1 · 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + + − = + − + = + − + =Para que una función tengo un máximo o un mínimo relativo es condición nece-saria que se anule la primera derivada:
( )
(
)
0 ;; 1 0 1 ;; 1 1 1 0 ' 2 2 1 2 2 2 = − = ⇒ = − = + − ⇒ = x x x x x x f .Para diferenciar los máximos de los mínimos recurrimos a la segunda derivada: si es negativa para los valores que anulan la primera derivada se trata de un máximo y, en caso contrario de un mínimo:
( )
(
) (
)
(
)
(
)
(
(
+) (
)
)
= − − + − = + + − − + − = 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 4 1 · 2 1 2 · 1 · 2 · 1 1 · 2 ' ' x x x x x x x x x x x x f(
)
(
)
(
(
)
)
f( )
x x x x x x x x x x x x x x ' ' 1 3 2 2 1 6 4 2 1 4 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 = + + − − = + − + − = + + − − − =( )
( )( )
[
( )
]
( )
[
]
( )
(
)
8 0 1 12 1 1 3 2 1 · 2 1 1 3 1 · 2 1 1 · 2 1 ' ' 3 3 2 2 − = ⇒ > = + + + = + − + − − − − − = − Mínimo para x f( )
( )
− − ⇒ − = + − = + − − = − 2 1 , 1 : 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Mínimo relativo P f( )
(
)
(
)
( )
(
)
8 0 1 4 1 1 3 2 1 · 2 1 1 3 1 · 2 1 · 1 · 2 1 ' ' 3 3 2 2 = ⇒ < − = + + − − = + + − − = Máximo para x f( )
⇒ = + = + = 2 1 , 1 : 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Máximo relativo Q fObservación: El máximo relativo se podía haber obtenido teniendo en cuenta que la función es simétrica con respecto al origen por cumplir que f(x) = - f(-x).
c )
Teniendo en cuenta que el eje X es asíntota de la función, según se demuestra en el apartado a ), la represtación gráfica, aproximada, es la que aparece en el gráfico ad-junto. ********** X Y f(x) O 1 1 P Q
4º) a ) Se considera la curva y=ekx, k>0. Escribe la ecuación de la función A(k) que nos da el área de la región limitada por esta curva y las rectas y = 0, x = 0 y x = 1.
b ) Hacer un dibujo de la situación.
c ) Calcula A
( )
k k lím 0 → . --- a ) La curva kx ey= tiene todas sus ordenadas positivas, por lo cual, el área en función de k viene expresada por la siguiente integral definida:
( )
[ ]
(
)
(
)
A( )
k k e e k e e k e k dt k e t x k t x dt k dx t kx dx e k A k k k k t k t kx = − = − = = − = = ⇒ = → = = → = = = ⇒ =∫
∫
1 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 0 0 1 · 1 · 0 0 0 1 0 b )Teniendo en cuenta que se trata de una función exponencial de base positiva es monótona creciente y su recorrido es
(
0, +∞)
y, por ser =0−∞ → kx e x lím , siendo k > 0, el eje de abscisas es asíntota horizontal de la curva. Corta al eje de ordenadas en el punto A(0, 1).
La representación gráfica de la situación es la de la figura:
Y
O X
A
c )
( )
− = − = − = ⇒ ⇒{
}
⇒ → = → Ins er LHopital e k e k lím k A k lím k ´ . det 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 = = = → ⇒ e e k lím k **********OPCIÓN B
1º) Demuestra, para matrices de dimensión 2 x 2, que “el determinante de un producto de matrices es el determinante del producto de las matrices”. ¿Es cierto que “el determi-nante de una suma de matrices es la suma de los determidetermi-nantes de las matrices”?
---
Sean las matrices
= d c b a A y = p z y x X . Su producto es: + + + + = = dp cy dz cx bp ay bz ax p z y x d c b a X A· · .
El determinante del producto es el siguiente:
(
)(
) (
)(
)
X A bcpx adyz bcyz adpx bdpz bcpx adyz acxy bdpz bcyz adpx acxy dz cx bp ay dp cy bz ax dp cy dz cx bp ay bz ax X A · · = − − + = − − − − + + + = = + + − + + = + + + + =Los valores de los determinantes de las matrices son:
X yz xp p z y x X A bc ad d c b a A = = − = ;; = = − =
El producto de los determinantes es el siguiente:
(
ad bc)(
xp yz)
adpx adyz bcpx bcyz A X XA · = − − = − − + = ·
. ·
· B A X como se pedía demostrar
A =
Veamos si se cumple que A+ X = A + X :
+ + + + = + = + p d z c y b x a p z y x d c b a X A
(
)(
) (
)(
)
X A yz cy bz bc px dx ap ad z c y b p d x a p d z c y b x a X A + = − − − − + + + = = + + − + + = + + + + = +X A yz px bc ad p z y x d c b a X A + = + = − + − = + . demostrado ha se como X A B A+ ≠ + **********
2º) Determina un punto de la recta r≡
(
x, y, x) (
= 0, 1, −1) (
+ 1, 2, 3)
t más próximo al punto P(1, 1, 1).---
El haz de planos perpendiculares a la recta r≡
(
x, y, x) (
= 0, 1, −1) (
+ 1, 2, 3)
t tie-nen como vector normal al vector director de r que es n =(
1, 2, 3)
.El haz de planos tiene por ecuación general α ≡x+2y+3z+D=0.
De l0s infinitas planos del haz anterior, el que contiene al punto P(1, 1, 1) tiene que satisfacer su ecuación:
(
)
1 2 ·1 3·1 0 ;; 6 2 3 6 0 1 , 1 , 1 0 3 2 = − + + ≡ ⇒ − = = + + + ⇒ = + + + ≡ z y x D D P D z y x π α .La solución es el punto Q de corte de la recta r y el plano π, que es el siguiente: La expresión de r por unas ecuaciones paramétricas es
+ − = + = = ≡ t z t y t x r 3 1 2 1 .
(
) (
)
⇒ = + − = = + = = ⇒ = = − = − = − + − + + = − + − + + + ⇒ + − = + = = ≡ = − + + ≡ 2 1 , 2 , 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 ; ; 0 1 2 ; ; 0 7 14 ; ; 0 6 9 3 4 2 ; ; 0 6 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1 0 6 3 2 Q z y x t t t t t t t t t t z t y t x r z y x π **********3º) Se considera la función
( )
1 2 − = x x x f . Se pide: a ) Calcular( )
( )
f( )
x x lím y x f x lím x f x lím +∞ → −∞ → →1 ; .b ) Calcular los extremos relativos.
c ) Hacer un dibujo de la función.
--- a )
( )
( )
( )
( )
( )
⇒ → ≠ → ⇒ ∞ + = = − = − → ∞ − = = − = − → ⇒ → − + + + + + − − − − x f x lím x f x lím x x x lím x x x lím x f x lím 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2La función carece de límite para x = 1.
( )
∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − −∞ → = − −∞ → ⇒ ⇒ ∞ − ∞ = − −∞ → = −∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím( )
∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − +∞ → = − +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = − +∞ → = +∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )Para estudiar los máximos y mínimos relativos calculamos sus derivadas primera y segunda:
( )
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
( )
( ) (
) (
)
(
(
)
)
(
)
(
) (
(
)
)
(
)
= − − − − − = − − − − − − = = − − = − − = − − − = − − − = 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 · 2 2 1 1 · 1 · 2 · 2 1 · 2 2 ' ' ' 1 2 1 2 1 2 2 1 1 · 1 · 2 ' x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f(
x)
(
x)
f( )
x x x x x x ' ' 1 2 1 4 2 2 2 2 2 3 3 2 2 = − = − + − + − − =Para que existan máximos o mínimos relativos es condición necesaria que se anu-le la primera derivada:
( )
(
(
)
)
(
)
( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
4 .(
2, 4)
1 2 2 2 ; ; . 0 2 1 2 1 2 2 2 ' ' 0 , 0 . 0 0 ; ; . 0 2 1 2 1 0 2 0 ' ' 2 ; ; 0 ; ; 0 2 ; ; 0 1 2 0 ' 2 3 3 2 1 2 P Mín f Mín f O Máx f Máx f x x x x x x x x f → ⇒ = − = ⇒ > = = − = → ⇒ = ⇒ < − = − = − = = = = − = − − ⇒ = c )Con objeto de facilitar el dibujo de la función, vamos a determinar sus asíntotas, que son las siguientes:
Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a valer infini-to; son de la forma y = k.
Del primer apartado sabemos que
( )
( )
=+∞ +∞ → = −∞ → x f x lím x f x lím , de donde se deduce que la función no tiene asíntotas horizontales.Verticales: son los valores de x que anulan el denominador: x−1=0 ⇒ x=1
Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador; como en nuestro caso ocurre eso, tiene asíntotas oblicuas.
( )
( )
[
]
n x x x lím x x x x x lím x x x x lím mx x f x lím n m x x x x lím x x x x lím x x f x lím m = = − ∞ → = − + − ∞ → = − − ∞ → = − ∞ → = = = − ∞ → = − ∞ → = ∞ → = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 + = ⇒ y x oblícua AsíntotaCon los datos anteriores, la representación gráfica de la función es, aproximada-mente, la siguiente:
********** x = 1
f(x)
X Y P y = x + 1 O4º) Dibuja la región limitada por las curas y = sen x, y = cos x, y las rectas x = 0 y x=π . Calculad el área del recinto.
---
Las gráficas de las funciones seno y coseno se diferencian en que tienen un desfa-se de
2
π (90º). (La palabra coseno se deriva de complemento del seno)
Se trata de dos funciones continuas cuyo dominio es R y el recorrido de ambas es [-1, 1]; el periodo de ambas es
( )
2π .Teniendo en cuenta que el coseno de un ángulo es igual al seno del ángulo com-plementario, las gráficas de las funciones seno y coseno son las que se indican a conti-nuación, expresadas en el intervalo de un giro.
Como puede observarse, en el intervalo comprendido por las dos rectas verticales
4
0 =π
= y x
x , las ordenadas de la curva y = cos x son mayores que las de y = cos x y en el intervalo comprendido entre las rectas verticales x=π y x=π
4 son mayores las orde-nadas de y = sen x que las de y = cos x, por lo cual el área pedida es la siguiente:
