Ecuaciones de Lax y Par de Lax
Daniel Ju´arez Robles
Centro de Investigaci´on de Matem´aticas Maestr´ıa en Matem´aticas Aplicadas
11 de diciembre de 2012
Profesor: Adri´an Esp´ınola Rocha
Pares de Lax
Definici´on
Consideremos una matriz A cuyos elementos Aij son funciones definidas en
el espacio de fases . Supongamos que existe una matriz B tal que la evoluci´on temporal de la matriz A viene dada por:
d
dtA = BA − AB = [B, A] (1)
donde [B, A] denota al conmutador de las matrices B y A.
En este caso se dice que estas dos matrices forman un par de Lax y la ecuaci´on de evoluci´on de la matriz A se denomina ecuaci´on de Lax.
Traza del conmutador
Si la traza de un conmutador es nula, esto es,
tr [B, A] = tr (BA − AB) = tr (BA) − tr (AB) = 0
de lo que se deduce que si un sistema admite una representaci´on de
Lax entonces la traza de la matriz A es constante del movimiento. I1= trA,
d dtI1= 0
Si las matrices (A, B) son un par de Lax entonces (A2, B) tambi´en es un par de Lax. Esto se puede generalizar para (Am, B) con m > 1.
Proposici´on
Si un sistema din´amico admite un par de Lax (A, B) entonces las funciones
definidas de la forma
I1= trA, I2= trA2, ..., In= trAn,
son constantes de movimiento d
Evoluciones isoespectrales
Supongamos que la evoluci´on temporal de la matriz A viene dada por
˙
A = [BA]
Consideremos una matriz P definida de la forma d
dtP = BP, P(0) = I
esto significa que la matriz B se puede expresar de la forma
B = d
dtP
P−1 = ˙PP−1 .
Evoluciones isoespectrales
Consideremos que la matriz AP esta definida de la siguiente forma
AP = P−1AP
y cuya evoluci´on temporal es: d
dt P
−1
AP = ˙P−1AP + P−1AP + P˙ −1A ˙P = 0 Por lo tanto,
P−1AP(t) = P−1AP(0) = A(0)
Esto significa que la evoluci´on temporal de la matriz A es de la forma
A(t) = PA(0)P−1
Evoluciones isoespectrales
A(t) = PA(0)P−1
⇒ A(t) y A(0) son semejantes ⇒ A(t) y A(0) tienen el mismo polinomio caracter´ıstico ⇒ A(t) y A(0) tienen los mismos valores propios, o lo que es lo mismo, los valores propios λi, i = 1, 2, ..., n, se mantienen constantes a
lo largo de la evoluci´on temporal d
dtλi = 0, i = 1, 2, ..., n
En este caso decimos que la evoluci´on temporal de la matriz A gobernada
Unicidad
Un par de Lax no es ´unico. M´as concretamente, dado un par de Lax (A, B)
siempre se puede construir una familia de pares de Lax. Consideremos la ecuaci´on
d
dtA = BA − AB
y denotemos Ag y Bg las matrices definidas de la siguiente forma
Transformaci´
on gauge de la ec. de Lax
Sea
Ag = gAg−1, Bg = gBg−1+ ˙g g−1
la siguiente ecuaci´on de Lax tambi´en es cierta d
dtAg = BgAg − AgBg
Equivalencia con un sistema Hamiltoniano
Todo sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentido de Arnold-Liouville admite una representaci´on de Lax.
Supongamos que un sistema posee n constantes de movimiento en involuci´on entonces existe, al menos localmente, un sistema de coordenadas conjugadas,
(qi, pi) → (θi, Ii)
donde las funciones Ii dependen ´unicamente de las funciones constantes
Fj. En este nuevo sistema las ecuaciones del movimiento son
d dtθj = ∂H ∂Ij , d dtIj = 0
Equivalencia con un sistema Hamiltoniano
Pues bien en este caso se puede construir una ecuaci´on matricial del tipo d
dtL = ML − LM
de tal forma que ambas ecuaciones sean equivalentes. Esto significa que (L, M) forman un par de Lax para el Hamiltoniano H. Sin embargo, esta construcci´on es formal y carece de utilidad ya que requiere el conocimiento previo de las variables acci´on - ´angulo para poder construir el par de Lax.
Observaci´
on
Separabilidad
La utilizaci´on de pares de Lax es particularmente ´util en el estudio de sistemas integrables no separables; esto es, sistemas cuya ecuaci´on de Hamilton-Jacobi es complicada pero que poseen constantes del movimiento de orden superior.
Oscilador arm´
onico
Sean A = p ωq ωq −p y B = 0 −ω/2 ω/2 0este par de Lax es equivalente a las ecuaciones de movimiento de un oscilador arm´onico:
˙q = p ˙p = −ω2q ya que dA dt = [B, A] = A = ˙p ω ˙q ω ˙q − ˙p = −ω2q ωp ωp ω2q
Oscilador arm´
onico
El sistema lineal de ecuaciones diferenciales obtenido: ˙q = p
˙p = −ω2q
representa una condici´on de compatibilidad para que el sistema anterior tenga soluci´on ´unica. Por otra parte, el Hamiltoniano asociado al sistema es H(p, q) = p 2 2 + ω2q2 2
Constantes del Movimiento
Observese que el Hamiltoniano H se puede escribir como Tr A2 /4.
A2 = p ωq ωq −p p ωq ωq −p A2= p2+ ω2q2 0 0 p2+ ω2q2 Por lo tanto: tr (A2) = 2 p2+ 2ω2q2 H(p, q) = 1 4tr (A 2) = p2 2 + ω2q2 2
Constantes del Movimiento
Por otra parte,A3 = p3+ pω2q2 ωqp2+ ω3q3 ωqp2+ ω3q3 −p3− pω2q2 Por lo tanto: tr (A3) = p3+ pω2q2 + −p3− pω2q2 tr (A3) = 0
De tal forma que para este ejemplo las cantidades que se conservan son: H(p, q) = (1/4)]tr (A2) y tr (A3) = 0
Ecuaci´
on de Schr¨
odinger
Existen ecuaciones no lineales que puedes ser escritas como la condici´on de compatibilidad de ecuaciones lineales. Tal clase de ecuaciones son llamadas integrables .
El prototipo de una ecuaci´on integrable es la celebre ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger:
iqt+ qxx+ 2λ|q|2q = 0, λ = ±1, x ∈ R, t > 0, (2)
Ecuaci´
on de Schr¨
odinger
El par de Lax asociado consiste de las siguientes dos ecuaciones lineales satisfechas por la funci´on M(x , t, k) evaluada en las matrices de 2 × 2 y k ∈ C es un par´ametro arbitrario. ( Mx + ik [σ3, M] = QM Mt+ 2ik2[σ3, M] = ˜QM, k ∈ C (3) donde: σ3= 1 0 0 −1 Q = 0 q λ¯q 0 ˜ Q = 2kQ − iQxσ3− λi |q|2σ3
Ecuaci´
on de Schr¨
odinger
Para una funci´on dada q(x , t), la Ec. 3 constituye un sistema de dos ecuaciones para una ´unica funci´on M(x , t, k).
Este sistema sobredeterminado no tiene soluci´on a menos que las Ecs.
3 sean compatibles.
Esto implica que la ecuaci´on no lineal, Ec. 2, es equivalente a las ecuaciones lineales 3.
As´ı, la ecuaci´on 2 ha sido linealizada y por lo tanto, la soluci´on de cualquier problema relacionado con la Ec. 2 puede ser reducido a la soluci´on de un problema asociado al par de Lax, Ec. 3.
Par de Lax para EDPs lineales de evoluci´
on
El m´etodo espectral o tambi´en conocido como transformada de dispersi´on inversa (IST, por sus siglas en ingl´es) parece ser muy diferente al m´etodo
de la transformada de Fourier. De hecho, el m´etodo previo es una
consecuencia de la aproximaci´on referente al de la separaci´on de variables.
Por ejemplo, la ecuacion linealizada correspondiente a la ecuaci´on 2 NLS
es la ecuaci´on:
iut+ uxx = 0, x ∈ R, t > 0, (4)
Haciendo que u(x , t) = X (x ; k)T (t; k), encontramos que: d2X dx2 − k 2X = 0, dT dt + ik 2T = 0, k ∈ C (5)
Par de Lax para EDPs lineales de evoluci´
on
(µx+ ikµ = u
µt+ ik2µ = iux+ ku, k ∈ C
(6) Las Ecs. 6 son compatibles si y solo si u satisface la Ec. 4 y se pueden reescribir como
µeikx +ik2t
x = ue ikx +ik2t
,
µeikx +ik2t
t = (iux+ ku) e
ikx +ik2t (7)
As´ı,
µeikx +ik2t
xt −
µeikx +ik2t
tx = (ut− iuxx) e ikx +ik2t
Par de Lax para EDPs lineales de evoluci´
on
La soluci´on u(x , t) puede ser construida de X y T por medio de superposici´on.
Esto mismo puede ser logrado de una manera sistem´atica y rigurosa
usando la teor´ıa espectral.
En particular, el an´alisis espectral de las Ecs. 5 con x ∈ R y con condiciones de decaimiento como |x | → ∞ conduce al par de la transformada de Fourier.
Esto sugiere que el para de Lax representa un tipo de separabilidad m´as profundo.
Conclusiones
El par de Lax representa un tipo de separabilidad m´as general que se puede aplicar a ecuaciones diferenciales no lineales.
Lo anterior es una ventaja dado que el m´etodo de separaci´on de variables solo funciona para ecuaciones diferenciales lineales. No existe una metodolog´ıa u algoritmo para obtener el par de Lax asociado a una ecuaci´on diferencial no lineal.
Diez lecciones sobre sistemas hamiltonianos. Integrabilidad y
separabilidad. Curso impartido en la Facultad de Matem´aticas, Dep.
de Matem´atica Aplicada, U.P.C., Barcelona, Noviembre 2008, Manuel
F. Ra˜nada.
A. S. Fokas, Lax pairs: a novel type of separability, Topical review, Inverse problems, 25 (2009) 123007, pp.44.
Lax pairs and other integrable equations, author=?.
Adam Howard Spiegler, Stability of generic equilibria of the 2N dimensional free rigid body using the energy-Casimir method.
Doctoral degree dissertation, Faculty of Department of Mathematics, The University of Arizona.
A. S. Fokas, On the integrability of linear and non linear partial differential equations, Journal of Mathematical Physics, Vol. 41, (6), 2000.
