1
APLICACIONES DE VECTORES
Ecuación vectorial de la Recta en R
3P OP y P
OP0 0 . Observamos que OPOP0 P0P. El vector P0P es paralelo a
A P P
A 0 .
La Ecuación vectorial de la recta en R3, determinada por P y la dirección del vector A0 , es: (1) PP0 A , donde es el parámetro de la recta. Cuando el parámetro varía desde
a , el punto P describe a la recta.
Si escribimos la ecuación (1) en términos de sus componentes, obtenemos: ) , , ( ) , , ( ) , , (x y z x0 y0 z0 a b c .
Igualando las componentes homólogas, se tiene:
(2) c z z b y y a x x 0 0 0 a x x 0 ; b y y 0 ; c z z 0
. Igualando las tres expresiones, se tiene:
(3)
c
z
z
b
y
y
a
x
x
0
0
0Ecuaciones cartesianas de la recta en R3 Consideremos el punto ) , , ( 0 0 0 0 x y z P y un punto
genérico P(x,y,z)tracemos una recta cualquiera que tiene la dirección de un vector A(a,b,c). Para encontrar la ecuación de la recta, ubicamos los vectores:
Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en R3 .
Si en (2) eliminamos el parámetro , de cada ecuación obtenemos: P0 P z x y
2
Observación: los números a, b, c, se llaman números directores de la recta. Y si llamamos
, y los ángulos que forman el vector A, con los ejes coordenados. Los cósenos directores de las rectan serían cos,cos y cos
Los cósenos directores tienen la propiedad que: cos2cos2 cos2 1
Recta determinada por 2 puntos
P P1
P0
O
La ecuación de la recta será: )
( 1 0
0 P P
P
P
Ecuación vectorial de la recta que pasa por 2 puntos. ) , , ( ) , , ( ) , , (x y z x0 y0 z0 x1x0 y1y0 z1z0 ) ( ) ( ) ( 0 1 0 0 1 0 0 1 0 z z z z y y y y x x x x (5)
Si de las ecuaciones (5) eliminamos el parámetro, se obtiene
0 1 0 0 1 0 0 1 0 z z z z y y y y x x x x
Ec. cartesiana de la recta que pasa por 2 puntos en R3. A A cos A A cos A A cos x y z
Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 2 puntos en R3.
Consideramos 2 puntos sobre la recta
) , , ( 0 0 0 0 x y z P y P1(x1,y1,z1) para encontrar la ecuación de la recta necesitamos conocer el vector dirección de la misma.
Podemos considerar como vector dirección al vector que une P0 .con P1, es decir :
3
Ejemplos
1. Encontrar la ecuación de la recta que tiene la dirección de A(2,1,4) y que pasa por el punto (1,2,7)PP0 A(x,y,z)(1,2,7)(2,1,4) 4 7 2 2 1 z y x Ecuación paramétrica
4
7
1
2
2
1
y
z
x
Ecuación cartesiana2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-1,5) y (3, 2,2). ) ( 1 0 0 P P P P ) 5 2 , 1 2 , 2 3 ( ) 5 , 1 , 2 ( ) , , (x y z ) 3 , 3 , 1 ( ) 5 , 1 , 2 ( ) , , (x y z 3 5 3 1 2 z y x 3 5 3 1 1 2 y z x
Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos.
Observación:
Si estamos en R2 o sea que el punto P y el vector A pertenecen al plano XY, la expresión 1 0
sigue siendo valida y la ecuación 2 se reduce a solo 2 ecuaciones:
b y y a x x 0 0
Ecuación paramétrica de la recta en R2
Si eliminamos queda b y y a x x 0 0 ecuación cartesiana 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 ay bx ay bx y y a x x b
4 De la ecuación (a) podemos escribir:
h mx y y x a b x a b y x x a b y y 0 0 0 0 ( ) Donde m = a b
: pendiente de la recta, que se define como la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta. Es decir:mtg, y es el ángulo que forma la recta con el semieje positivo x.
h α
0 x
Si conocemos 2 puntos P0(x0,y0);P1(x1,y1) en R2 la ecuación 4 sigue siendo valida:
) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 y y y y x x x x y y x x y x y x Eliminando tenemos:
Ejemplo: Encontrar la ecuación cartesiana de la recta que pasa por P0(1,2) y es paralela al
vector A2i j ) 1 x ( ) 2 y ( 2 1 2 y 2 1 -x tiene se parámetro el inando lim e , 2 y 2 1 x ) 1 , 2 ( ) 2 , 1 ( ) y , x ( A P P 0 2 1 2 1 2 x y 2 3 2 1 x y Ecuación explicita. h se llama ordenada al origen : x0 y0 a b h ) ( 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 x x x x y y y y y y y y x x x x
5
Ecuación vectorial del plano
Dado un plano, consideramos un vector normal N (A,B,C) al mismo. Para encontrar la ecuación del plano, consideramos un punto genérico P (x, y, z) del plano.
Formamos el vector P, uniendo el origen con el punto P y hacemos el producto escalar de los vectores N y P.
N
h P
Se llega a la ecuación NP D que es la ecuación vectorial del plano, donde N es un vector de modulo cualquiera perpendicular al plano y Pes un punto genérico.
Si D0 h 0 entonces el plano pasa por el origen y la ecuación es NP0.
Si D0;su signo depende del sentido del vector N; pues tomando N en vez de N; D cambio de signo. Se adopta criterio siguiente. Consideramos N dirigido siempre desde el origen hacia el plano, de manera que D resulte positivo.
Por componentes la ecuación 1 queda:
D z y x C B A, , ).( , , ) ( D Cz By
Ax Ecuación cartesiana del plano.
Recordemos que, el producto escalar se puede escribir: N P proyeccion . N P N . Si llamamos h =proyeccion PN
h= distancia desde el origen al plano.
h
N
P
N
Como modulo de N y h son constantes independientes de P, que , cte h N llamamos Nh = D, P
6
Ecuación general de los planos que pasan por un punto
N
P 0 P0P
P
Por lo tanto el vector P0P es perpendicular a N o sea N (PP0) y esto significa que el producto escalar es cero. Se obtiene:
0
)
(
0
P
P
N
Ecuación general de los planos que pasan por un punto.Por componentes tenemos:
Llamamos D Ax0 By0 Cz0
La ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto es:
Ecuación de un plano determinado por tres puntos
Si conocemos tres puntos del plano P1(x1,y1,z1);P2(x2,y2,z2);P3(x3,y3,z3) , para encontrar la ecuación del plano necesitamos determinar un vector normal al plano.
0 ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ( 0 ) , , ).( , , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cz By Ax Cz By Ax Cz Cz By By Ax Ax z z C y y B x x A z z y y x x C B A
Para encontrar la ecuación de los planos que pasan por un punto, consideramos un vector normal al plano
N
(
A
,
B
,
C
)
, un punto P0(x0,y0,z0) y un punto genérico P (x, y, z) contenidos en el plano. Uniendo el origen con cada punto obtenemos los vectores P0 y P y formamos el vector P0P PP0 .
D
Cz
By
Ax
7 Z N P1 P3 P2 Y X
Entonces usando la ecuación
N
(
P
P
0)
0
tenemos: 0 ) ( 1 P PN y remplazando el vector normal se obtiene:
(P2 P1)(P3 P1) (PP1)0 Ecuación del plano determinado por tres puntos.
Se puede comprobar que esta expresión se puede escribir, mediante el determinante de tercer orden siguiente: 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x
=0 Ecuación cartesiana del plano que pasa por tres puntos.
Ejemplos:
1.- Encontrar la ecuación del plano, perpendicular al vector (2,-1,2) y cuya distancia al origen es 6.
La ecuación del plano es:
D z y x h N D y h como D P N ) , , ( . ) 2 , 1 , 2 ( . 6 Calculamos D 18 2 2 : es plano del ecuación la , 18 6 . 4 1 4 z y x D D
2.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1 , 0, 3); (-2,-4, 5) y (2,-1,3). Si unimos el punto P1 con los puntos P2 y P3 formamos los vectores P1P2 y P1P3 y podemos conocer un vector normal del plano haciendo el producto vectorial de los dos vectores contenidos en el plano. Es decir: ) ( ) ( ) ( 1 3 1 2 3 1 2 1 P P P P N P P P P N
8
Elegimos un punto como punto de paso. P1 (1 , 0, 3) y formamos los vectores P1P2 y P1P3.
Para encontrar la ecuación cartesiana, calculamos el determinante:
0 0 1 1 2 4 3 3 1 3 3 0 1 1 2 3 5 0 4 1 2 3 0 1 y z x y z x
Resolviendo el determinante, desarrollando por los elementos de la primera fila, se llega a la ecuación: (2,2,7), N 0 3) -(z 7 y 2 1) -2(x con
3.- Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es al vector (5,3,-2) 5 (x+1) + 3 y-0) -2 (z - 4) = 0
La ecuación queda: 5x + 3y -2z + 13=0
Ecuaciones de los planos coordenados
Sea el plano de ecuación A x + B y + C z = D (1) veamos los siguientes casos:
1. Si
C
0
;
A
0
;
B
0
y
D
0
, la ecuación (1) quedacte
B
D
Y
D
Y
B
= h . La ecuación Y = h, es la ecuación de un plano // al plano XZ. Sih
0
ó
D
0
Y = 0 Ecuación del plano XZ.2. Si
C
0
,
D
0
;
A
0
y
B
0
la ecuación (1) queda)
(
;
k
cte
C
D
Z
D
Z
C
; La ecuación Z = k, es la ecuación de un plano // al planoXY; y Z = 0 Ecuación del plano XY.
3. Si
A
0
,
B
C
0
;
D
0
.
La ecuación (1) quedacte
A
D
X
= t; entonces X = t Ecuación de un plano paralelo al plano YZ.Por lo tanto X = 0 : Ecuación del plano YZ
23
7z
2y
9
Distancia de un punto a una recta
Dada la recta PP0 A y un punto P1 la distancia d del punto P1 a la recta se obtiene de
la siguiente manera:
Ejemplo
Hallar la distancia del punto
P
1
(
3
,
2
,
1
)
a la recta1 1 4 3 2 1 y z x
)
10
,
2
,
1
(
10
2
1
4
2
0
1
2
)
(
)
0
,
1
,
2
(
)
1
1
,
3
2
,
1
3
(
);
1
,
4
,
2
(
);
1
,
3
,
1
(
0 1 0 1 0 1 0
k
j
i
k
j
i
A
P
P
P
P
P
P
A
P
5
;
5
21
105
,
21
1
16
4
105
100
4
1
)
(
1 0
d
d
luego
A
A
P
P
Formamos el triangulo de la figura y vemos que:
sen
P
P
d
0 1.
Como para obtener , necesitamos conocer el ángulo , podemos transformar la ecuación multiplicando y dividiendo por A .
A A P P d ( 1 0)
Donde A,P0 yP1, es todo conocido. d
P0
10
Mínima distancia entre dos rectas alabeadas
AB
A
d P1 Entonces:d
proyec
AB(
P
1P
0)
y recordando quev
v
u
u
proyec
v
.
, se llega a :B
A
P
P
B
A
d
(
)
(
1 0)
Mínima distancia entre las dos rectas
Distancia de un punto al plano
Dado un punto P0(x0,y0,z0) y un plano de ecuación NX D0 . La distancia de un punto P ; a un plano 0 NPD0
es igual al valor que toma la ecuación del plano particularizada para el punto P , dividido por el modulo del vector normal. Es decir 0
Z
N
P0 d P1 H d Y X P0Sean las rectas PP0A
y
P
P
B
1La mínima distancia entre las dos rectas es el segmento d , de la perpendicular común a las dos rectas.
Es por lo tanto la proyección del vector
P
0P
1 , sobre la dirección perpendicular a las dos rectas, que está dada por el vector AB.N
D
P
N
d
0 (1)Para hallar la distancia d: distancia del punto P al plano, 0
proyectamos el vector
P
0 , sobre el vector N.La distancia d buscada es la diferencia entre OP1 y OH = h que es la distancia del origen al plano.
11 Vimos que N D h D h N = OH y que
N
P
N
P
proy
N 0 0
.Como además
Pr
oy
NP
0
h
d
d
proy
NP
0
h
. Remplazando se tiene:N
D
P
N
N
D
N
P
N
d
0
0
, que es la expresión (1)Para fijar un signo a esta distancia siempre se mide desde el plano al punto, en el dibujo desde H a P1, y se considera signo positivo, cuando este sentido coincida con el del vector
N y negativo en caso contrario.
Paralelismo, perpendicularidad y ángulo
Consideremos las rectas R1)
P
P
0A
1
y R2)P
P
1A
2
y los planos ) 1 1P
D
N
y )N
2.
P
D
2De acuerdo a lo que vimos en la condición de paralelismo y perpendicularidad entre vectores, se tiene que:
El ángulo entre las rectas es el ángulo entre los vectores dirección de las rectas:
A
1A
2
A
1A
2
El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales a ambos planos:
N
1//
N
2
N
1N
2El ángulo entre la recta y el plano es el ángulo complementario del que forman el vector dirección de la recta y el vector normal al plano.
12
N
1A
1 90Ejemplos:
1. Hallar la distancia del punto (6,3,-2) al plano 2x-4y+z=2
1 4 3 2 ) 1 , 4 , 2 ( x y z N
21
4
21
2
2
3
.
4
6
.
2
1
16
4
;
0
d
d
N
N
D
P
N
d
El signo de d es positivo cuando al medirla desde el plano al punto, este sentido coincida con el del vector normal
2. Hallar la mínima distancia entre las rectas.
k
j
i
k
j
i
B
A
B
A
P
P
B
A
d
P
z
y
x
r
P
r
3
11
7
4
3
3
1
1
2
)
(
)
(
)
4
,
3
,
3
(
)
1
,
2
,
2
(
4
1
3
2
3
2
)
)
1
,
1
,
2
(
)
3
,
2
,
1
(
)
0 1 2 1
Dado que
N
1A
1), entonces el ángulo que forma la recta con el plano es 900- . Como cos= sen (90º- . Entonces:
A
1N
1A
1N
1 900- 13 179 13 179 9 121 49 9 11 7 13 6 7 ) 2 , 0 , 1 ( ) 3 , 11 , 7 ( ) ( ) ( ) 2 , 0 , 1 ( ) 3 , 2 , 1 ( ) 1 , 2 , 2 ( 2 2 0 1 0 1 d B A B A P P B A P P
3. Encontrar la ecuación del plano al vector (2,1,2) y cuya distancia al origen es 6
18
6
.
4
1
4
6
.
2
2
D
D
N
D
D
z
y
x
4. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1,0,3); (-2,-4,5) y (2,-1,3) Remplazamos en la ecuación cartesiana del plano
1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x = 0 0 2 2 11 4 9 3 2 0 1 1 2 4 3 3 1 3 3 0 1 1 2 3 5 0 4 1 2 2 0 1 x z z y z y x z y x La ecuación es: 2x2y7z230
5. Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es al vector (5,3,-2)
11 4 3 5 0 ) 4 ( 4 ) 0 ( 3 ) 1 ( 5 z y x z y x
6. Encontrar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x + y – z = 3 y 3 x + 2 y + 2 z = 0.
Para encontrar la ecuación formamos el sistema con las dos ecuaciones de los planos –
y lo resolvemos:
14 (1) F2 – F1(-2) , (2) F2(-1) , (3) F1 – F2(-2)
Escribimos el sistema equivalente:
Llamamos z y obtenemos:
Ecuaciones paramétricas de la recta, con
)
1
,
7
,
4
(
)
0
,
9
,
6
(
0
y
A
P
7. Encontrar el punto de intersección de la recta
3
2
1
4
2
y
z
x
, con el plano 2 x – 3 y + 5 z = 2.Para encontrar el punto despejamos x e y de la recta en unción de z y remplazamos en la ecuación del plano:
