Teoria de Recta en El Espacio y Plano

Texto completo

(1)

1

APLICACIONES DE VECTORES

Ecuación vectorial de la Recta en R

3

P OP y P

OP0  0  . Observamos que OPOP0 P0P. El vector P0P es paralelo a

A P P

A 0 .

La Ecuación vectorial de la recta en R3, determinada por P y la dirección del vector A0 , es: (1) PP0 A , donde  es el parámetro de la recta. Cuando el parámetro varía desde

 

a , el punto P describe a la recta.

Si escribimos la ecuación (1) en términos de sus componentes, obtenemos: ) , , ( ) , , ( ) , , (x y zx0 y0 z0  a b c .

Igualando las componentes homólogas, se tiene:

(2)            c z z b y y a x x    0 0 0    a x x 0 ;   b y y 0 ;   c z z 0

. Igualando las tres expresiones, se tiene:

(3)

c

z

z

b

y

y

a

x

x

0

0

0

Ecuaciones cartesianas de la recta en R3 Consideremos el punto ) , , ( 0 0 0 0 x y z P y un punto

genérico P(x,y,z)tracemos una recta cualquiera que tiene la dirección de un vector A(a,b,c). Para encontrar la ecuación de la recta, ubicamos los vectores:

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en R3 .

Si en (2) eliminamos el parámetro , de cada ecuación obtenemos: P0 P z x y

(2)

2

Observación: los números a, b, c, se llaman números directores de la recta. Y si llamamos

, y los ángulos que forman el vector A, con los ejes coordenados. Los cósenos directores de las rectan serían cos,cos y cos

Los cósenos directores tienen la propiedad que: cos2cos2 cos2 1

Recta determinada por 2 puntos

P P1

P0

O

La ecuación de la recta será: )

( 1 0

0 P P

P

P  

Ecuación vectorial de la recta que pasa por 2 puntos. ) , , ( ) , , ( ) , , (x y zx0 y0 z0  x1x0 y1y0 z1z0               ) ( ) ( ) ( 0 1 0 0 1 0 0 1 0 z z z z y y y y x x x x    (5)

Si de las ecuaciones (5) eliminamos el parámetro, se obtiene

0 1 0 0 1 0 0 1 0 z z z z y y y y x x x x        

Ec. cartesiana de la recta que pasa por 2 puntos en R3. A A cos A A cos A A cos x  y  z

Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 2 puntos en R3.

Consideramos 2 puntos sobre la recta

) , , ( 0 0 0 0 x y z P y P1(x1,y1,z1) para encontrar la ecuación de la recta necesitamos conocer el vector dirección de la misma.

Podemos considerar como vector dirección al vector que une P0 .con P1, es decir :

(3)

3

Ejemplos

1. Encontrar la ecuación de la recta que tiene la dirección de A(2,1,4) y que pasa por el punto (1,2,7)PP0 A(x,y,z)(1,2,7)(2,1,4)               4 7 2 2 1 z y x Ecuación paramétrica

4

7

1

2

2

1

y

z

x

Ecuación cartesiana

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-1,5) y (3, 2,2). ) ( 1 0 0 P P P P   ) 5 2 , 1 2 , 2 3 ( ) 5 , 1 , 2 ( ) , , (x y z       ) 3 , 3 , 1 ( ) 5 , 1 , 2 ( ) , , (x y z                   3 5 3 1 2 z y x 3 5 3 1 1 2       y z x

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos.

Observación:

Si estamos en R2 o sea que el punto P y el vector A pertenecen al plano XY, la expresión 1 0

sigue siendo valida y la ecuación 2 se reduce a solo 2 ecuaciones:

       b y y a x x   0 0

Ecuación paramétrica de la recta en R2

Si eliminamos  queda b y y a x x 0   0 ecuación cartesiana 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 0 0         ay bx ay bx y y a x x b

(4)

4 De la ecuación (a) podemos escribir:

h mx y y x a b x a b y x x a b y y         0 0 0 0 ( ) Donde m = a b

: pendiente de la recta, que se define como la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta. Es decir:mtg, y  es el ángulo que forma la recta con el semieje positivo x.

h α

0 x

Si conocemos 2 puntos P0(x0,y0);P1(x1,y1) en R2 la ecuación 4 sigue siendo valida:

             ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 y y y y x x x x y y x x y x y x    Eliminando  tenemos:

Ejemplo: Encontrar la ecuación cartesiana de la recta que pasa por P0(1,2) y es paralela al

vector A2i j ) 1 x ( ) 2 y ( 2 1 2 y 2 1 -x tiene se parámetro el inando lim e , 2 y 2 1 x ) 1 , 2 ( ) 2 , 1 ( ) y , x ( A P P 0                           2 1 2 1 2 x y 2 3 2 1   x y Ecuación explicita. h se llama ordenada al origen : x0 y0 a b h  ) ( 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 x x x x y y y y y y y y x x x x           

(5)

5

Ecuación vectorial del plano

Dado un plano, consideramos un vector normal N (A,B,C) al mismo. Para encontrar la ecuación del plano, consideramos un punto genérico P (x, y, z) del plano.

Formamos el vector P, uniendo el origen con el punto P y hacemos el producto escalar de los vectores N y P.

N

h P

Se llega a la ecuación NP D que es la ecuación vectorial del plano, donde N es un vector de modulo cualquiera perpendicular al plano y Pes un punto genérico.

Si D0 h 0 entonces el plano pasa por el origen y la ecuación es NP0.

Si D0;su signo depende del sentido del vector N; pues tomando N en vez de N; D cambio de signo. Se adopta criterio siguiente. Consideramos N dirigido siempre desde el origen hacia el plano, de manera que D resulte positivo.

Por componentes la ecuación 1 queda:

D z y x C B A, , ).( , , ) ( D Cz By

Ax   Ecuación cartesiana del plano.

Recordemos que, el producto escalar se puede escribir: N P proyeccion . N P N   . Si llamamos h =proyeccion PN

h= distancia desde el origen al plano.

h

N

P

N

Como modulo de N y h son constantes independientes de P, que , cte h N   llamamos Nh  = D, P

(6)

6

Ecuación general de los planos que pasan por un punto

N

P 0 P0P

P

Por lo tanto el vector P0P es perpendicular a N o sea N (PP0) y esto significa que el producto escalar es cero. Se obtiene:

0

)

(

0

P

P

N

Ecuación general de los planos que pasan por un punto.

Por componentes tenemos:

Llamamos DAx0By0Cz0

La ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto es:

Ecuación de un plano determinado por tres puntos

Si conocemos tres puntos del plano P1(x1,y1,z1);P2(x2,y2,z2);P3(x3,y3,z3) , para encontrar la ecuación del plano necesitamos determinar un vector normal al plano.

0 ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ( 0 ) , , ).( , , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                       Cz By Ax Cz By Ax Cz Cz By By Ax Ax z z C y y B x x A z z y y x x C B A

Para encontrar la ecuación de los planos que pasan por un punto, consideramos un vector normal al plano

N

(

A

,

B

,

C

)

, un punto P0(x0,y0,z0) y un punto genérico P (x, y, z) contenidos en el plano. Uniendo el origen con cada punto obtenemos los vectores P0 y P y formamos el vector P0PPP0 .

D

Cz

By

Ax

(7)

7 Z N P1 P3 P2 Y X

Entonces usando la ecuación

N

(

P

P

0

)

0

tenemos: 0 ) (  1   P P

N   y remplazando el vector normal se obtiene:

(P2 P1)(P3 P1) (PP1)0      

Ecuación del plano determinado por tres puntos.

Se puede comprobar que esta expresión se puede escribir, mediante el determinante de tercer orden siguiente: 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x         

=0 Ecuación cartesiana del plano que pasa por tres puntos.

Ejemplos:

1.- Encontrar la ecuación del plano, perpendicular al vector (2,-1,2) y cuya distancia al origen es 6.

La ecuación del plano es:

D z y x h N D y h como D P N       ) , , ( . ) 2 , 1 , 2 ( . 6    Calculamos D 18 2 2 : es plano del ecuación la , 18 6 . 4 1 4        z y x D D

2.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1 , 0, 3); (-2,-4, 5) y (2,-1,3). Si unimos el punto P1 con los puntos P2 y P3 formamos los vectores P1P2 y P1P3 y podemos conocer un vector normal del plano haciendo el producto vectorial de los dos vectores contenidos en el plano. Es decir: ) ( ) ( ) ( 1 3 1 2 3 1 2 1 P P P P N P P P P N            

(8)

8

Elegimos un punto como punto de paso. P1 (1 , 0, 3) y formamos los vectores P1P2 y P1P3.

Para encontrar la ecuación cartesiana, calculamos el determinante:

0 0 1 1 2 4 3 3 1 3 3 0 1 1 2 3 5 0 4 1 2 3 0 1                    y z x y z x

Resolviendo el determinante, desarrollando por los elementos de la primera fila, se llega a la ecuación: (2,2,7), N 0 3) -(z 7 y 2 1) -2(x    con  

3.- Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es  al vector (5,3,-2) 5 (x+1) + 3 y-0) -2 (z - 4) = 0

La ecuación queda: 5x + 3y -2z + 13=0

Ecuaciones de los planos coordenados

Sea el plano de ecuación A x + B y + C z = D (1) veamos los siguientes casos:

1. Si

C

0

;

A

0

;

B

0

y

D

0

, la ecuación (1) queda

cte

B

D

Y

D

Y

B

= h . La ecuación Y = h, es la ecuación de un plano // al plano XZ. Si

h

0

ó

D

0

Y = 0 Ecuación del plano XZ.

2. Si

C

0

,

D

0

;

A

0

y

B

0

la ecuación (1) queda

)

(

;

k

cte

C

D

Z

D

Z

C

; La ecuación Z = k, es la ecuación de un plano // al plano

XY; y Z = 0 Ecuación del plano XY.

3. Si

A

0

,

B

C

0

;

D

0

.

La ecuación (1) queda

cte

A

D

X

= t; entonces X = t Ecuación de un plano paralelo al plano YZ.

Por lo tanto X = 0 : Ecuación del plano YZ

23

7z

2y

(9)

9

Distancia de un punto a una recta

Dada la recta PP0 A y un punto P1 la distancia d del punto P1 a la recta se obtiene de

la siguiente manera:

Ejemplo

Hallar la distancia del punto

P

1

(

3

,

2

,

1

)

a la recta

1 1 4 3 2 1        y z x

)

10

,

2

,

1

(

10

2

1

4

2

0

1

2

)

(

)

0

,

1

,

2

(

)

1

1

,

3

2

,

1

3

(

);

1

,

4

,

2

(

);

1

,

3

,

1

(

0 1 0 1 0 1 0

k

j

i

k

j

i

A

P

P

P

P

P

P

A

P

5

;

5

21

105

,

21

1

16

4

105

100

4

1

)

(

1 0

d

d

luego

A

A

P

P

Formamos el triangulo de la figura y vemos que:

sen

P

P

d

0 1

.

Como para obtener , necesitamos conocer el ángulo , podemos transformar la ecuación multiplicando y dividiendo por A .

A A P P d      ( 1 0)

Donde A,P0 yP1, es todo conocido. d

P0

(10)

10

Mínima distancia entre dos rectas alabeadas

AB

A

d P1 Entonces:

d

proyec

AB

(

P

1

P

0

)

 

y recordando que

v

v

u

u

proyec

v

.

, se llega a :

B

A

P

P

B

A

d

(

)

(

1 0

)

Mínima distancia entre las dos rectas

Distancia de un punto al plano

Dado un punto P0(x0,y0,z0) y un plano de ecuación NX D0 . La distancia de un punto P ; a un plano 0 NPD0

 

es igual al valor que toma la ecuación del plano particularizada para el punto P , dividido por el modulo del vector normal. Es decir 0

Z

N

P0 d P1 H d Y X P0

Sean las rectas PP0A

y

P

P

B

1

La mínima distancia entre las dos rectas es el segmento d , de la perpendicular común a las dos rectas.

Es por lo tanto la proyección del vector

P

0

P

1 , sobre la dirección perpendicular a las dos rectas, que está dada por el vector AB.

N

D

P

N

d

0 (1)

Para hallar la distancia d: distancia del punto P al plano, 0

proyectamos el vector

P

0 , sobre el vector N.

La distancia d buscada es la diferencia entre OP1 y OH = h que es la distancia del origen al plano.

(11)

11 Vimos que N D h D h N      = OH y que

N

P

N

P

proy

N 0 0

.

Como además

Pr

oy

N

P

0

h

d

d

proy

N

P

0

h

. Remplazando se tiene:

N

D

P

N

N

D

N

P

N

d

0

0

, que es la expresión (1)

Para fijar un signo a esta distancia siempre se mide desde el plano al punto, en el dibujo desde H a P1, y se considera signo positivo, cuando este sentido coincida con el del vector

N y negativo en caso contrario.

Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

Consideremos las rectas R1)

P

P

0

A

1

y R2)

P

P

1

A

2

y los planos ) 1 1

P

D

N

y )

N

2

.

P

D

2

De acuerdo a lo que vimos en la condición de paralelismo y perpendicularidad entre vectores, se tiene que:

El ángulo entre las rectas es el ángulo entre los vectores dirección de las rectas:

A

1

A

2

A

1

A

2

El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales a ambos planos:

N

1

//

N

2

N

1

N

2

El ángulo entre la recta y el plano es el ángulo complementario del que forman el vector dirección de la recta y el vector normal al plano.

(12)

12

N

1

A

1 90

Ejemplos:

1. Hallar la distancia del punto (6,3,-2) al plano 2x-4y+z=2

1 4 3 2 ) 1 , 4 , 2 (      x y z N

21

4

21

2

2

3

.

4

6

.

2

1

16

4

;

0

d

d

N

N

D

P

N

d

El signo de d es positivo cuando al medirla desde el plano al punto, este sentido coincida con el del vector normal

2. Hallar la mínima distancia entre las rectas.

k

j

i

k

j

i

B

A

B

A

P

P

B

A

d

P

z

y

x

r

P

r

3

11

7

4

3

3

1

1

2

)

(

)

(

)

4

,

3

,

3

(

)

1

,

2

,

2

(

4

1

3

2

3

2

)

)

1

,

1

,

2

(

)

3

,

2

,

1

(

)

0 1 2 1

Dado que

N

1

A

1), entonces el ángulo que forma la recta con el plano es 900- . Como cos

= sen (90º- . Entonces:

A

1

N

1

A

1

N

1 900- 

(13)

13 179 13 179 9 121 49 9 11 7 13 6 7 ) 2 , 0 , 1 ( ) 3 , 11 , 7 ( ) ( ) ( ) 2 , 0 , 1 ( ) 3 , 2 , 1 ( ) 1 , 2 , 2 ( 2 2 0 1 0 1                          d B A B A P P B A P P      

3. Encontrar la ecuación del plano  al vector (2,1,2) y cuya distancia al origen es 6

18

6

.

4

1

4

6

.

2

2

D

D

N

D

D

z

y

x

4. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1,0,3); (-2,-4,5) y (2,-1,3) Remplazamos en la ecuación cartesiana del plano

1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x          = 0 0 2 2 11 4 9 3 2 0 1 1 2 4 3 3 1 3 3 0 1 1 2 3 5 0 4 1 2 2 0 1                           x z z y z y x z y x La ecuación es: 2x2y7z230

5. Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es  al vector (5,3,-2)

11 4 3 5 0 ) 4 ( 4 ) 0 ( 3 ) 1 ( 5          z y x z y x

6. Encontrar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x + y – z = 3 y 3 x + 2 y + 2 z = 0.

Para encontrar la ecuación formamos el sistema con las dos ecuaciones de los planos –

y lo resolvemos:

(14)

14 (1) F2 – F1(-2) , (2) F2(-1) , (3) F1 – F2(-2)

Escribimos el sistema equivalente:

Llamamos z y obtenemos:

Ecuaciones paramétricas de la recta, con

)

1

,

7

,

4

(

)

0

,

9

,

6

(

0

y

A

P

7. Encontrar el punto de intersección de la recta

3

2

1

4

2

y

z

x

, con el plano 2 x – 3 y + 5 z = 2.

Para encontrar el punto despejamos x e y de la recta en unción de z y remplazamos en la ecuación del plano:

2

3

4

3

4

2

3

4

2

z

x

z

x

z

x

y

z

y

3

2

1

1

3

2

z

3

)

2

3

4

(

2

z

(

1

3

2

z

) + 5 z = 2, de donde se obtiene: z = 6 / 29, remplazando en x e y, se tiene: x = 8 / 29, y = - 41 / 29. El punto de intersección es ( 8/29 , -41/29, 6/29)

Figure

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Referencias

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