Ejercicios de Movimiento Armónico simple

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Ejercicios del libro

Sección 13.1: Descripción de la oscilación

Ejercicio 13.1:

Una cuerda de piano produce un la medio vibrando primordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un “La alto”, dos octavas más arriba, que es cuatro veces la frecuencia de la cuerda de piano.

a)

1 s 220 1 T f 1 T − = = s. 0.00455 T= 1 s 220 * π * 2 ω f * π * 2 ω − = = s rad 1382.30 ω=

b)

1 s 220 * 4 1 T f * 4 1 T − = = s. 0.00114 T= 1 s 220 * 4 * π * 2 ω f * 4 * π * 2 ω − = = s rad 20 . 529 5 ω=

Ejercicio 13.2:

Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0.120 m. de su posición de

equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de 0.800 s. su desplazamiento es de 0.120 m. en el lado opuesto, habiendo la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud; b) el periodo; c) la frecuencia.

(2)

m. 0.120 A=

b)

s. 1.600 T=

c)

ciclo 1.25 ciclo x s. 0.800 ciclo 1 * s. 1.000 ciclo x ciclo x s. 1.000 ciclo 1 s. 1.600 = = → → Hz 1.25 s 1.25 1.25 f = ciclos = 1 = −

Ejercicio 13.3:

La punta de un diapasón efectúa 440 vibraciones completas en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento.

ciclo 000 . 80 8 ciclo x s. 0.500 ciclo 40 4 * s. 1.000 ciclo x ciclo x s. 1.000 ciclo 40 4 s. 0.500 = = →→ Hz 000 . 80 8 s 000 . 80 8 000 . 80 8 f = ciclos = 1 = − 1 s 880.000 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 5529.200 ω= 1 s 880.000 1 T f 1 T − = = s. 0.00114 T=

Ejercicio 13.4:

(3)

a)

s. 2.00 1 f T 1 f = = Hz 500 . 0 s 500 . 0 500 . 0 f = ciclos = 1 = −

b)

La amplitud es más que vista en la gráfica: 0.20 m.

m. 0.20 A=

c)

s. 2.00 T=

Sección 13.2: Movimiento armónico simple

Ejercicio 13.5:

Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 5.00 Hz y amplitud de 1.80 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x = 0 a x = -1.80 cm?

4 ciclo A 4A ciclo 1 ciclo 2 1 2A cm. 1.80 A = = = =

(4)

ω 2π T= 4 * ω 2π 4 T= 2 * ω π 4 T = 1 s 5.00 * 4 1 4 T f * 4 1 4 T 2 * f * π * 2 π 4 T − = = = s. 0.05 4 T = La pieza tarda en ir de x = 0 a x = -1.80 cm. 0.05 s.

Ejercicio 13.6:

En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel de aire de 0.200 kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo entre la primera vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por ese punto es de 2.60 s. Determine la constante de fuerza del resorte.

s. 47 . 3 s. x T 75 . 0 s. 2.60 * T .00 1 s. x s. x T .00 1 s. 2.60 T 75 . 0 = = →→ s. 47 . 3 T= s. 3.47 1 f T 1 f = = Hz 290 . 0 s 290 . 0 290 . 0 f = ciclos = 1 = − 1 s 0.290 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 1.82 ω= k ω=

(5)

kg. 0.200 k 1.82rads =

(

1.82

)

*0.200kg. k= rads 2 2 s kg. 0.660 k=

Ejercicio 13.7:

Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza de 120 s2.

kg

Se observa que vibra a una frecuencia de 6.00 Hz. Calcule: a) el periodo; b) la frecuencia angular; c) la masa del cuerpo.

a)

1 s 6.00 1 T f 1 T − = = s. 0.17 T=

b)

1 s 6.00 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 70 . 7 3 ω=

c)

(

)

1 s kg. 2 s rad s kg. s rad 2 2 120 37.70 m m 120 37.70 m k ω −       = = = kg. 0.080 m=

Ejercicio 13.8:

Se crea un oscilador armónico usando un bloque de 0.600 kg, que se desliza sobre una superficie sin fricción y un resorte ideal con constante de fuerza desconocida. Se determina que el oscilador tiene un periodo de 0.150 s. Calcule la constante de fuerza del resorte.

(6)

ω 2π T= kg. 0.600 * 2π s. 0.150 k m * 2π T k k m * 2π T 2 2 − −       =       = = 2 s kg. 1052.76 k=

Ejercicio 13.9:

Un oscilador armónico tiene una masa de 0.500 kg y un resorte ideal con

2 s kg

140

k= . Calcule: a) el periodo; b) la frecuencia; c) la frecuencia angular.

a)

ω 2π T= 140 kg. 0.500 * 2π T k m * 2π T 2 s kg. = = s. 0.38 T=

b)

s. 0.38 1 f T 1 f = = Hz 630 . 2 s 630 . 2 630 . 2 f = ciclos = 1= −

c)

1 s 2.630 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 16.52 ω=

Ejercicio 13.10:

(7)

Sustituya las siguientes ecuaciones, en las que A,ωy β son constantes, en la ecuación (13.4) para ver si describen un MAS. De ser así, ¿cuánto debe valer

ω

? a)

(

ω*t β

)

. sen * A x= + b) x=A*ω*t2+β.c) x=A*ei*(ω*t+β), donde i= −1. x * m k ax =− (Ecuación 13.4)

a)

(

)

[

A*sen ω*t β

]

* m k a x * m k a x x + − = − =

Ejercicio 13.11:

Una cuerda de guitarra vibra con una frecuencia de 440 Hz. Un punto en su centro se mueve en MAS con amplitud de 3.0 mm y ángulo de fase cero. a) Escriba una ecuación para la posición del centro de la cuerda en función del tiempo. b) ¿Qué

magnitud máxima tienen: la velocidad y la aceleración del centro de la cuerda? c) La derivada de la aceleración respecto al tiempo es un cantidad llamada tirón. Escriba una

ecuación para el tirón del centro de la cuerda en función del tiempo, y calcule el valor máximo de la magnitud del tirón.

a)

(

)

(

)

(

0 2π*440Hz*t

)

cos * m. 0.003 x t * f * 2π cos * A x t * ω cos * A x + = + = + =

φ

φ

(

2764.60Hz*t

)

cos * m. 0.003 x=

b)

m. 0.003 * s 440 * 2π v A * f * 2π v A * ω v 1 máx máx máx − ± = ± =± = s m máx 8.29 v =±

(

)

(

2π*440s

)

*0.003m. a A * f * 2π a A * ω a 2 1 máx 2 máx 2 máx − ± = ± = ± = 2 s m máx 22929.06 a =±

c)

(8)

Ejercicio 13.12:

Un bloque de 2.00 kg. que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k=300Nm. En t = 0, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se

mueve en la dirección negativa a 12.00ms. Calcule: a) la amplitud; b) el ángulo de fase. c) Escriba una ecuación para la posición en función del tiempo.

a)

2π * k m T= 2π * 300 kg 2.00 T 2 s kg. = s. 51 . 0 T= s. 0.51 1 f T 1 f = = 1 s ciclo 1.96s 1.96 Hz 1.96 f = = = − 1 s 1.96 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 12.32 ω= s rad s m máx máx máx 12.32 12.00 A ω V A ω V A A * ω V = = − − = − = − m. 0.97 A=

b)

( )

∞ =       − =       − = − − − 1 s rad s m 1 0 0 1 tan 12.32 * m. 0.00 12.00 tan ω * x V tan

φ

φ

φ

(9)

c)

(

+

φ

)

=A*cos ω*t x       + = 2 π t * 12.32 cos * m. 0.97 x rads

Ejercicio 13.13:

Repita el ejercicio 13.12, pero suponga que, en t = 0, el bloque tiene un velocidad de −4.00ms y un desplazamiento de +0.200 m.

a)

2π * k m T= 2π * 300 kg 2.00 T 2 s kg. = s. 51 . 0 T= s. 0.51 1 f T 1 f = = 1 s ciclo 1.96s 1.96 Hz 1.96 f = = = − 1 s 1.96 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 12.32 ω=

(

) (

(

)

)

2 s rad 2 s m 2 2 2 0x 2 0x 12.32 4.00 m. 0.200 A ω v x A − + = + = m. 380 . 0 A=

b)

      − =       − = − − rad s m 1 0 0 1 12.32 * m. 0.200 .00 4 tan ω * x V tan

φ

φ

(10)

rad 02 . 1 = φ

c)

(

+

φ

)

=A*cos ω*t x

(

12.32 *t 1.02rad

)

cos * m. 0.38 x= rads +

Ejercicio 13.14:

La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS sobre el eje x

con una frecuencia de 2.5 Hz. En t = 0, sus componentes de posición y velocidad son +1.1 cm. y −15.00cms.a) Calcule la componente de aceleración de la aguja en t = 0. b) Escriba ecuaciones para las componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo.

a)

1 s 2.50 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 71 . 5 1 ω=       − =       − = − − s rad s cm 1 0 0 1 15.71 * cm. 1.10 00 . 15 tan ω * tan

φ

φ

x x x V rad 71 . 0 =

φ

(

) (

(

)

2

)

s rad 2 s cm 2 2 2 0x 2 0x 15.71 .00 5 1 cm. 1.100 A ω v x A − + = + = cm. 46 . 1 A=

(

)

(

15.71

)

*1.46cm.*cos

(

0.71rad 15.71 *0.00s.

)

a t * ω cos * A * ω a s rad 2 s rad x 2 x + − = + − =

φ

2 s cm. x 273.26 a =−

b)

(

+

φ

)

=A*cos ω*t x

(

)

(11)

(

)

(

15.71

)

*1.46cm.*sen

(

15.71 *t 0.71rad

)

V t * ω sen * A * ω V s rad s rad x x + − =− + = φ

(

15.71 *t 0.71rad

)

sen * 22.94 Vx =− cm.s rads +

(

)

(

15.71

)

*1.46cm.*cos

(

15.71 *t 0.71rad

)

a t * ω cos * A * ω a s rad 2 s rad x 2 x + − = + − =

φ

(

15.71 *t 0.71rad

)

cos * 33 . 60 3 a s rads cm. x =− 2 +

Ejercicio 13.15:

Un objeto está en movimiento armónico simple con periodo de 1.200 s y amplitud de 0.600 m. En t = 0, el objeto está en x = 0. ¿A qué distancia está de la posición de equilibrio cuando t = 0.480 s?

s. 1.200 1 f T 1 f = = 1 s ciclo 0.83s 83 . 0 Hz 83 . 0 f = = = − 1 s 0.83 * 2π ω f * 2π ω − = = s rad 22 . 5 ω=

(

)

      + = + = 2 π s. 0.480 * 5.22 cos * m. 0.600 x t * ω cos * A x s rad

φ

m. 360 . 0 x=−

Está de la posición de equilibrio cuando t = 0.480 s a 0.360 m.

Ejercicio 13.16:

Una silla de 42.5 kg se sujeta a un resorte y se le permite oscilar. Cuando la silla está vacía, tarda 1.30 s en efectuar una vibración completa. Cuando una persona se sienta en ella, sin tocar el piso con los pies, la silla tarda 2.54 s en efectuar un ciclo. Calcule la masa de la persona.

2π * k kg 42.5 s. 1.30 2π * k m T = =

(12)

kg 42.5 * 2π s. 1.30 k 2 −       = 2 s kg. 992.80 k= kg 42.5 992.80 * 2π s. 2.54 x 2π * 992.80 x kg 42.5 s. 2.54 2π * k m T 2 2 s kg 2 s kg −       = + = = kg. 74 . 119 x=

Ejercicio 13.17:

Un objeto de 0.400 kg en MAS tiene ax =−2.70ms2 cuando x = 0.300 m.

¿Cuánto tarda una oscilación?

kg 0.400 * m. 0.300 2.70 k m. 0.300 * kg 0.400 k 2.70 x * m k a 2 2 s m s m x − − = − = − − = 2 s kg. 3.60 k= 2π * 3.60 kg. 0.400 T 2π * k m T 2 s kg. = = s. 09 . 2 T=

Ejercicio 13.18:

La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte está dada en función del tiempo por

( ) (

=

)



(

)

 2 π t * s 4.71 sen * 3.60 t vx cm.s 1 . Calcule: a) el periodo; b) la

amplitud; c) la aceleración máxima de la masa.

(13)

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