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Matemáticas 1º Bachillerato CCNN

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Academic year: 2021

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Matemáticas 1º Bachillerato CCNN

Tema 1.- Números reales

1.- Números racionales

Los números racionales son todos los que se pueden expresar en forma de fracción, o lo que es lo mismo, son los números enteros, los números decimales finitos y los números

decimales periódicos.

2.- Números irracionales

Los números irracionales son los que no son racionales, es decir, todos los que NO se pueden expresar en forma de fracción, o lo que es lo mismo, son los números decimales NO periódicos.

3.- Intervalos y semirrectas

Nombre Símbolo Expresión

matemática Representación Intervalo abierto (𝑎, 𝑏) ó ]𝑎, 𝑏[ {𝑥 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] {𝑥 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Intervalo semiabierto (𝑎, 𝑏] ó ]𝑎, 𝑏] {𝑥 / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} [𝑎, 𝑏) ó [𝑎, 𝑏[ {𝑥 / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} Semirrecta (−∞, 𝑎) ó ]−∞, 𝑎[ {𝑥 / 𝑥 < 𝑎} (−∞, 𝑎] ó ]−∞, 𝑎] {𝑥 / 𝑥 ≤ 𝑎} (𝑎, +∞) ó ]𝑎, +∞[ {𝑥 / 𝑥 > 𝑎} [𝑎, +∞) ó [𝑎, +∞[ {𝑥 / 𝑥 ≥ 𝑎}

4.- Valor absoluto

|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0 −𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0

1. |𝑥 − 2| = 3 es lo mismo que 𝑥 − 2 = −3 ó 𝑥 − 2 = 3 (2 soluciones) 2. |𝑥 − 2| ≤ 3 es lo mismo que −3 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 3 (1 intervalo)

3. |𝑥 − 2| ≥ 3 es lo mismo que 𝑥 − 2 ≤ −3 ó 𝑥 − 2 ≥ 3 (unión de 2 intervalos)

5.- Potencias

1. 𝑎0 = 1 2. 𝑎1 = 𝑎 3. 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 4. 𝑎𝑛· 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 5. 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚 6. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛·𝑚 7. 𝑎𝑛· 𝑏𝑛 = (𝑎 · 𝑏)𝑛 8. 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = ( 𝑎 𝑏) 𝑛

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6.- Radicales

6.1.- Propiedades 1. 𝑛√𝑎𝑛 = 𝑎 2. 𝑛√𝑎𝑚 = 𝑎𝑚𝑛 3. 𝑛·𝑝√𝑎𝑚·𝑝 = √𝑎𝑛 𝑚 4. ( √𝑎𝑛 𝑚 )𝑝 = √𝑎𝑛 𝑚·𝑝 5. √𝑛 𝑝√𝑎= 𝑛·𝑝√𝑎 6. 𝑛√𝑎· √𝑏𝑛 = √𝑎 · 𝑏𝑛 7. √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 = √ 𝑎 𝑏 𝑛

6.2.- Extraer números en los radicales √256

3

= √23 8= √23 3· 23· 22= √23 3· √23 3· √23 2= 2 · 2 · √23 2= 4 √23 2= 4 √43

6.3.- Suma y resta de radicales

Solo se pueden sumar y restar radicales EXACTAMENTE IGUALES. Se extrae del radical:

7 √23 − 4 √12503 + 2 √26 14= 7 √23 − 20 √23 + 8 √26 2= 7 √23 − 20 √23 + 8 √23 = −5 √23

6.4.- Producto y división de radicales

Solo se pueden multiplicar y dividir radicales con el MISMO ÍNDICE:

√10 √5 3 = √103 6 √52 6 = √ 103 52 6 = √2 3· 53 52 6 = √26 3· 5= √406 6.5.- Racionalización  4 3 √67 2 = 4 3 √67 2· √65 7 √65 7 = 4 √67 5 3 √67 7 = 4 √67 5 3·6 = 4 √67 5 18 = 2 √67 5 9  2 √48 5(√7−3√6)= 2 √48 5(√7−3√6)· √7+3√6 √7+3√6 = 2 √48 ·(√7+3√6) 5((√7)2−(3√6)2)= 2 √48 ·(√7+3√6) 5(7−9·6) = 2 √48 ·(√7+3√6) −235

7.- Logaritmos

log𝑎𝑃 = 𝑏 significa que 𝑎𝑏 = 𝑃

7.1.- Propiedades

1. log𝑎1 = 0

2. log𝑎𝑎 = 1

3. log𝑎(𝑃 · 𝑄) = log𝑎𝑃 + log𝑎𝑄 4. log𝑎(

𝑃

𝑄) = log𝑎𝑃 − log𝑎𝑄

5. log𝑎𝑃𝑛 = 𝑛 log𝑎𝑃

6. Cambio de base: log𝑎𝑃 =log𝑏𝑃

log𝑏𝑎

¡¡OJO con las propiedades 3 y 4!!:

 log𝑎(𝑃 + 𝑄) ≠ (log𝑎𝑃)(log𝑎𝑄)

 log𝑎(𝑃 − 𝑄) ≠log𝑎𝑃

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Tema 2.- Álgebra

1.- Ecuaciones de segundo grado

Se hallan sus raíces con la fórmula: 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 .  𝑏2− 4𝑎𝑐 > 0: 2 soluciones  𝑏2− 4𝑎𝑐 = 0: 1 solución doble  𝑏2− 4𝑎𝑐 < 0: no hay solución 1.1.- Ecuaciones bicuadradas 3𝑥4− 15𝑥2+ 12 = 0 → { 𝑥2= 𝑦 3𝑦2− 15𝑦 + 12 = 0 → { 𝑥2= 𝑦 𝑦 =15±√152·32−4·3·12 → { 𝑥 = ±√𝑦 𝑦1 = 4 𝑦2= 1 → → {𝑥 = ±√4 = ±2 𝑥 = ±√1 = ±1

2.- Factorización de polinomios

Para factorizar el polinomio 𝑃(𝑥):

1. Se saca factor común de 𝑥 (elevado a la mayor potencia posible).

2. Se utiliza Ruffini con los divisores del término independiente. Cuando el resto dé 0, tendremos que 𝑃(𝑥)

𝑥−𝑎 = 𝑄(𝑥), es decir, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥).

3. Se repite el proceso con 𝑄(𝑥) hasta llegar a un polinomio de 2º grado. 4. Se utiliza la fórmula de 2º grado con el último polinomio.

5. Si se llega a un polinomio irreducible, se deja.

3.- Fracciones algebraicas

3.1.- Simplificación

Se divide numerador y denominador por el m.c.d. de los dos polinomios.

3.2.- Fracciones equivalentes

Una fracción se obtiene al multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de la otra fracción por un mismo polinomio.

Para comprobar si dos fracciones algebraicas son equivalentes, se usa el producto en cruz.

3.3.- Reducción a denominador común

Se halla el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común. Los nuevos numeradores serán el resultado de dividir el m.c.m. por los denominadores originales y multiplicar por los numeradores originales.

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3.4.- Suma y resta

Se reducen las fracciones a denominador común y se suman o restan los nuevos numeradores.

3.5.- Producto y división

El producto se hace multiplicando los numeradores entre sí y multiplicando los denominadores entre sí. La división se hace multiplicando en cruz.

NOTA: se puede observar que los procedimientos de fracciones algebraicas son exactamente los mismos que los de fracciones numéricas.

4.- Ecuaciones con la x dentro de un radical

Se despeja un radical y se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Si después hay más radicales, se repite el proceso.

NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las soluciones.

5.- Ecuaciones con la x en el denominador

Se operan las fracciones tanto de un lado de la ecuación como del otro hasta que quede una única fracción en cada miembro de la ecuación. Después se multiplica en cruz para obtener una ecuación polinómica normal.

NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las soluciones.

6.- Ecuaciones exponenciales

Básicamente hay de tres tipos:

1. 31−𝑥2 = 1

27 → 3

1−𝑥2 = 1 33= 3

−3 → 1 − 𝑥2 = −3 → 𝑥2 = 4 → x= ±2

2. 31−𝑥2 = 2 → log331−𝑥2 = log32 → 1 − 𝑥2 = log32 → 𝑥2 = 1 − log32 → → 𝑥2 = 1 −log 2 log 3≈ 0′37 → x≈ ±0′61 3. 32𝑥− 12 · 3𝑥−1 = −3 → (3𝑥)2− 12 ·3𝑥 31 = −3 → (3 𝑥)2− 4 · 3𝑥= −3 → → { 3 𝑥 = 𝑦 𝑦2− 4𝑦 = −3 → { 3𝑥 = 𝑦 𝑦1 = 1 𝑦1 = 3 → {3𝑥 = 1 = 30 3𝑥 = 3 = 31 → { 𝑥 = 0 𝑥 = 1 NOTA: Las ecuaciones del tipo 1 también se pueden resolver como en el tipo 2.

7.- Ecuaciones logarítmicas

Utilizando las propiedades de los logaritmos se consigue tener un único logaritmo en cada miembro de la ecuación (deben tener la misma base). En ese momento se quitan los logaritmos y se obtiene una ecuación más sencilla.

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NOTA: como los logaritmos de números negativos no existen, en ocasiones aparecen soluciones ficticias. Así que hay que COMPROBAR TODAS las soluciones.

8.- Sistemas de ecuaciones

Por lo general se resuelven mediante tres métodos:

 Sustitución: se despeja una incógnita de una ecuación y se sustituye en la otra ecuación.

 Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados.

 Reducción: se multiplica una ecuación por un número (o las dos ecuaciones por números distintos) y se suman para eliminar una incógnita de una de las ecuaciones. Si hay ecuaciones de los tipos vistos en las secciones 4, 5, 6 y 7 y no se puede utilizar ninguno de los tres métodos anteriores, primero se transforman estas ecuaciones en polinómicas.

9.- Método de Gauss

Un sistema escalonado de tres incógnitas es aquel en el que en una ecuación aparece únicamente una incógnita, en otra aparece esa incógnita y otra más, y en la otra ecuación aparecen las 3 incógnitas.

El método de Gauss consiste en aplicar el método de reducción varias veces hasta conseguir un sistema escalonado, que se resuelve fácilmente.

10.- Inecuaciones con una incógnita

10.1.- Inecuaciones de primer grado

Se resuelve la inecuación teniendo en cuenta que al multiplicar o dividir por números negativos la desigualdad cambia de sentido. La solución es un intervalo.

10.2.- Inecuaciones de segundo grado

1. Se transforma la inecuación en ecuación (se cambia la desigualdad por un =) y se resuelve.

2. Se dibuja la recta real y se representan las soluciones, de modo que éstas dividen la recta real en varios intervalos.

3. Se sustituye la 𝑥 de la inecuación por un número de uno de los intervalos, y si la inecuación se cumple, ese intervalo forma parte de la solución.

4. Se repite el punto 3 con los demás intervalos.

5. La solución de la inecuación es la unión de los intervalos correctos.

10.3.- Sistemas de inecuaciones

Se resuelven las inecuaciones por separado. La solución es la intersección de todos los intervalos.

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Tema 3.- Resolución de triángulos

1.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo

En un triángulo rectángulo: sin 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 cos 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

Para obtener una razón trigonométrica a partir de otra hay que conocer las relaciones

fundamentales:

sin2𝛼 + cos2𝛼 = 1 1

cos2𝛼= 1 + tan2𝛼

2.- Resolución de triángulos rectángulos

Se resuelven utilizando las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, y el hecho de que la suma de los tres ángulos es 180º.

3.- Razones trigonométricas de cualquier ángulo

En la circunferencia goniométrica se puede ver que: el seno es positivo en el 1º y 2º

cuadrantes, y negativo en el 3º y 4º cuadrantes; el coseno es positivo en el 1º y 4º cuadrantes, y negativo en el 2º y 3º cuadrantes; y la tangente, por ser la división del seno y el coseno, es positiva en el 1º y 3º cuadrantes, y negativa en el 2º y 4º cuadrantes.

Existen varias relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos, pero las más importantes son: sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼 cos(−𝛼) = cos 𝛼 tan(180° + 𝛼) = tan 𝛼 sin(90° − 𝛼) = cos 𝛼 cos(90° − 𝛼) = sin 𝛼

4.- Resolución de cualquier triángulo

Teorema del seno: 𝑎

sin 𝐴̂= 𝑏 sin 𝐵̂=

𝑐 sin 𝐶̂

Teorema del coseno: 𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2− 2𝑏𝑐 cos 𝐴̂

Datos Resolución

Dos ángulos y un lado Teorema del seno (x2)

Dos lados y un ángulo opuesto* Teorema del seno (x2) o Teorema del coseno (x2)

Dos lados y el ángulo que forman Teorema del coseno y Teorema del seno

Tres lados Teorema del coseno (x2)

En todos los casos hay que utilizar el hecho de que la suma de los tres ángulos es 180º. * Tiene dos soluciones, debido a que sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼.

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Tema 4.- Funciones y fórmulas trigonométricas

1.- Radianes

Una circunferencia son 360º o, lo que es lo mismo, 2𝜋 radianes. Para pasar de grados a radianes y viceversa, se usa una regla de tres (se puede usar que 180º son 𝜋 radianes).

2.- Ángulos de cualquier medida

Hay que tener en cuenta que 𝛼 = 𝛼 + 360° · 𝑛, siendo 𝑛 un número entero (positivo o negativo); o lo que es lo mismo, 𝛼 = 𝛼 + 2𝜋 · 𝑛. Por tanto, 26°, 386°, 746°, −334°, … son todos el mismo ángulo.

3.- Fórmulas trigonométricas

Suma y resta de ángulos Ángulo doble Ángulo mitad 𝐬𝐢𝐧(𝜶 ± 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 ± 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷 sin(2𝛼) = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 sin𝛼

2= ±√

1 − cos 𝛼 2 𝐜𝐨𝐬(𝜶 ± 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 ∓ 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷 cos(2𝛼) = cos2𝛼 − sin2𝛼 cos𝛼

2= ±√ 1 + cos 𝛼 2 𝐭𝐚𝐧(𝜶 ± 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 ± 𝐭𝐚𝐧 𝜷 𝟏 ∓ 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷 tan(2𝛼) = 2 tan 𝛼 1 − tan2𝛼 tan 𝛼 2= ±√ 1 − cos 𝛼 1 + cos 𝛼 En el caso del ángulo mitad, el signo depende de en qué cuadrante se encuentre 𝛼

2.

Se recomienda aprenderse solo sin(𝛼 ± 𝛽), cos(𝛼 ± 𝛽), tan(𝛼 ± 𝛽) y cos𝛼

2. Las fórmulas

sin(2𝛼), cos(2𝛼) y tan(2𝛼) son simplemente coger las fórmulas sin(𝛼 + 𝛽), cos(𝛼 + 𝛽) y tan(𝛼 + 𝛽) y cambiar 𝛽 por 𝛼. El sin𝛼

2 se consigue cambiando un signo en cos 𝛼 2, y tan

𝛼 2 es la

división del seno por el coseno.

3.1.- Sumar y restar dos senos o dos cosenos

Se usa un pequeño truco y luego se usan las fórmulas sin(𝛼 ± 𝛽) y cos(𝛼 ± 𝛽).

cos 3𝛼 − cos 𝛼 = cos(2𝛼 + 𝛼) − cos(2𝛼 − 𝛼) = cos 2𝛼 cos 𝛼 − sin 2𝛼 sin 𝛼 − (cos 2𝛼 cos 𝛼 + sin 2𝛼 sin 𝛼) = = −2 sin 2𝛼 sin 𝛼 = −2(2 sin 𝛼 cos 𝛼) sin 𝛼 = −4 sin2𝛼 cos 𝛼

4.- Ecuaciones trigonométricas

sin 2𝛼 = tan 𝛼 → 2 sin 𝛼 cos 𝛼 =sin 𝛼

cos 𝛼 → 2 sin 𝛼 cos

2𝛼 − sin 𝛼 = 0 → sin 𝛼 (2 cos2𝛼 − 1) = 0 →

→ {cossin 𝛼 = 02𝛼 =1 2 → { sin 𝛼 = 0 cos 𝛼 = √1 2= √2 2 cos 𝛼 = −√1 2= − √2 2 → { 𝛼 = 0°; 𝛼 = 180° − 0° = 180° (sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼) 𝛼 = 45°; 𝛼 = −45° = 315° (cos(−𝛼) = cos 𝛼) 𝛼 = 135°; 𝛼 = −135° = 225° (cos(−𝛼) = cos 𝛼)

NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las soluciones.

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Tema 5.- Números complejos

1.- Expresión de un número complejo

Forma binómica Forma cartesiana Forma polar Forma trigonométrica

𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏) 𝑟𝛼 𝑟(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼)

Para representar gráficamente un número complejo, se utiliza la forma cartesiana. Pasar de forma binómica a forma cartesiana y viceversa es inmediato. Lo mismo con las formas polar y trigonométrica.

Para pasar de forma binómica a forma polar: 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 tan 𝛼 =𝑏 𝑎

Para pasar de forma polar a forma binómica: 𝑎 = 𝑟 cos 𝛼 𝑏 = 𝑟 sin 𝛼

2.- Operaciones con números complejos

2.1.- Forma binómica

La suma, resta y multiplicación son iguales que la suma, resta y multiplicación de polinomios de primer grado (hay que tratar la 𝑖 como si fuera la 𝑥 de un polinomio).

Uno de los casos de racionalización consistía en multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador, para así eliminar las raíces del denominador. Para dividir números complejos en forma binómica se hace exactamente lo mismo, solo que esta vez lo que se elimina del denominador es la 𝑖.

2.2.- Forma polar  Multiplicación: 𝑟𝛼· 𝑟′ 𝛽 = (𝑟 · 𝑟′)𝛼+𝛽  División: 𝑟𝛼 𝑟′𝛽= ( 𝑟 𝑟′)𝛼−𝛽

Para hallar potencias y radicales de un número complejo se utiliza la fórmula de Moivre: (cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼)𝑛 = cos 𝑛𝛼 + 𝑖 sin 𝑛𝛼

 Potencia: (𝑟𝛼)𝑛 = (𝑟𝑛) 𝑛𝛼

 Radicales: Hay que tener en cuenta que √𝑟𝑛 𝛼 tiene SIEMPRE 𝑛 soluciones. Todas

ellas tienen el mismo módulo, 𝑛√𝑟; y sus argumentos son 𝛼

𝑛, 𝛼+360° 𝑛 , 𝛼+2·360° 𝑛 , 𝛼+3·360° 𝑛 , …, 𝛼+(𝑛−1)360° 𝑛 . Es decir: √𝑟𝛼 𝑛 = {( √𝑟𝑛 )𝛼+𝑘·360° 𝑛 / 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1}

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Tema 6.- Vectores

Los vectores son flechas que van desde un punto de origen, 𝐴, hasta un punto de destino (extremo del vector), 𝐵. Tienen un módulo (distancia entre 𝐴 y 𝐵), una dirección (la recta en la que se encuentra) y un sentido (una recta tiene dos sentidos).

Puede haber varios vectores con distintos puntos de origen, pero si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, se dice que esos vectores son iguales.

1.- Base y coordenadas

Dos vectores son linealmente dependientes (l.d.) si tienen la misma dirección. Dos vectores son linealmente independientes (l.i.) si NO tienen la misma dirección.

Una base consiste en dos vectores l.i. Cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de los dos vectores de la base. Si los vectores de la base son perpendiculares, tenemos una base ortogonal, y si además de ser perpendiculares tienen módulo 1, tenemos una base

ortonormal.

Si tenemos la base {𝑥⃗, 𝑦⃗} y un vector 𝑤⃗⃗⃗, existen dos números, 𝑎 y 𝑏, de forma que se cumple que 𝑤⃗⃗⃗ = 𝑎𝑥⃗ + 𝑏𝑦⃗. Estos números son únicos (no pueden haber otros dos números que cumplan la igualdad) y se llaman coordenadas de 𝑤⃗⃗⃗ respecto de la base {𝑥⃗, 𝑦⃗}. Es decir, en esa base, 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑎, 𝑏).

Si 𝐴(𝑎1, 𝑎2) y 𝐵(𝑏1, 𝑏2) son dos puntos, entonces:

𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (𝑏1, 𝑏2) − (𝑎1, 𝑎2) = (𝑏1− 𝑎1, 𝑏2− 𝑎2)

son las coordenadas de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ respecto de la base canónica {(1,0), (0,1)}, aunque se dice únicamente que son las coordenadas de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

2.- Operaciones con las coordenadas de un vector

Si 𝑎 y 𝑏 son dos números, y 𝑢⃗⃗ = (𝑢1, 𝑢2) y 𝑣⃗ = (𝑣1, 𝑣2) son dos vectores:

 Suma y resta: 𝑢⃗⃗ ± 𝑣⃗ = (𝑢1± 𝑣1, 𝑢2± 𝑣2)

 Multiplicación por un número: 𝑎𝑢⃗⃗ = (𝑎𝑢1, 𝑎𝑢2)

 Combinación lineal: 𝑎𝑢⃗⃗ ± 𝑏𝑣⃗ = (𝑎𝑢1± 𝑏𝑣1, 𝑎𝑢2± 𝑏𝑣2)

 Producto escalar: 𝑢⃗⃗ · 𝑣⃗ = 𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2

 Módulo: |𝑢⃗⃗| = √𝑢12+ 𝑢22 (= √𝑢⃗⃗ · 𝑢⃗⃗)

 Ángulo entre vectores: cos(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗̂ ) =|𝑢𝑢⃗⃗⃗·𝑣⃗⃗

⃗⃗⃗||𝑣⃗⃗| (=

𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2

√𝑢12+𝑢22√𝑣12+𝑣22 )

Los vectores 𝑢⃗⃗ y 𝑣⃗ son l.d. únicamente cuando existe algún número, 𝑘, de forma que 𝑢⃗⃗ = 𝑘𝑣⃗. Los vectores 𝑢⃗⃗ y 𝑣⃗ son perpendiculares únicamente cuando 𝑢⃗⃗ · 𝑣⃗ = 0. Si queremos hallar un vector perpendicular a 𝑥⃗ = (𝑥1, 𝑥2), se cambia el orden de las coordenadas, se cambia el signo de una de ellas, y se multiplica todo el vector por cualquier número. Por ejemplo, un vector perpendicular a 𝑥⃗ = (3, 1) es (−1, 3), o (−2, 6), … o (1, −3), o (2, −6), …

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Tema 7.- Geometría analítica. Problemas afines y métricos

1.- Algunas aplicaciones de vectores

1.1.- Comprobación de que tres puntos están alineados

Los tres puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, están alineados si los vectores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son l.d. De lo contrario (los vectores son l.i.), los tres puntos forman un triángulo.

1.2.- Punto medio de un segmento

Como 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, tenemos que 𝑀 − 𝐴 = 𝐵 − 𝑀. Es decir, 2𝑀 = 𝐴 + 𝐵 y por tanto: 𝑀 =𝐴+𝐵

2 .

1.3.- Simétrico de un punto respecto de otro

Como 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, tenemos que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴′ − 𝑀. Es decir: 𝐴′= 𝑀 + 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀 + 𝑀 − 𝐴 = 2𝑀 − 𝐴.

2.- Ecuaciones de la recta

Para obtener una recta, se necesita un vector director (vector que da la dirección de la recta) y un punto (también se puede obtener la recta si se tienen dos puntos, ya que con ellos se calcula el vector director).

2.1.- Obtener la recta a partir del vector director y un punto

Nombre Vector director Punto Ecuación

Ecuación vectorial (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝜆(𝑣𝑥, 𝑣𝑦) Ecuaciones paramétricas (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) { 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑣𝑥 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆𝑣𝑦 Ecuación continua (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) 𝑥 − 𝑥𝑣 0 𝑥 =𝑦 − 𝑦0 𝑣𝑦 Ecuación implícita (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) 𝑣𝑦𝑥 − 𝑣𝑥𝑦 + 𝐶 = 0 * Ecuación explícita (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) 𝑦 =𝑣𝑦 𝑣𝑥𝑥 + 𝑛 * Ecuación punto-pendiente (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) 𝑦 − 𝑦0 = 𝑣𝑦 𝑣𝑥(𝑥 − 𝑥0) * En estas ecuaciones hay que sustituir 𝑥 por 𝑥0 e 𝑦 por 𝑦0, y al despejar se obtienen 𝐶 o 𝑛. Por ejemplo, si el vector director es 𝑣⃗ = (−1, −3) y el punto 𝑃(2, −1):

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2.2.- Obtener el vector director y un punto a partir de la recta

Nombre Ecuación Vector director Punto

Ecuación vectorial (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝜆(𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) Ecuaciones paramétricas { 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑣𝑥 𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑣𝑦 (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) Ecuación continua 𝑥 − 𝑥0 𝑣𝑥 = 𝑦 − 𝑦0 𝑣𝑦 (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) (𝑥0, 𝑦0) Ecuación implícita 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (−𝐵, 𝐴) ó (𝐵, −𝐴) (0, −𝐶 𝐵) ó (−𝐶 𝐴, 0) Ecuación explícita 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 (1, 𝑚) (0, 𝑛) Ecuación punto-pendiente 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) (1, 𝑚) (𝑥0, 𝑦0)

NOTA: En la ecuación implícita (también llamada ecuación general) se calcula cualquier punto inventando una de las dos coordenadas, y sustituyéndola en la ecuación para despejar la otra coordenada.

3.- Ángulo entre rectas

Es el ángulo que forman sus respectivos vectores directores.

4.- Posición relativa de dos rectas

Dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas o incidentes (se cortan en un punto). Si se resuelve el sistema de ecuaciones formado por dos rectas:

 Si tiene solución única: las rectas son incidentes, y el punto donde se cortan es la solución del sistema.

 Si tiene infinitas soluciones: las rectas son coincidentes.

 Si no tiene solución: las rectas son paralelas.

Por otro lado: si los vectores directores son l.d., las rectas son coincidentes o paralelas (para distinguir estos casos se coge un punto de una de las rectas y se comprueba si cumple la ecuación de la otra recta); y si los vectores son l.i., las rectas son incidentes (en particular, cuando los vectores directores sean perpendiculares, las rectas también lo son).

En el caso de rectas en forma implícita, 𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 y 𝑠 ≡ 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′ = 0: si

𝐴 𝐴′ ≠

𝐵

𝐵′, las rectas son incidentes; si

𝐴 𝐴′ =

𝐵 𝐵′ ≠

𝐶

𝐶′, las rectas son paralelas; y si

𝐴 𝐴′ = 𝐵 𝐵′ = 𝐶 𝐶′, las rectas son coincidentes.

5.- Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto 𝑃(𝑝1, 𝑝2) a la recta 𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es: 𝑑(𝑃, 𝑟) =|𝐴𝑝1+𝐵𝑝2+𝐶|

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Tema 8.- Lugares geométricos. Cónicas

1.- Lugares geométricos

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de un extremo del segmento que del otro.

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de las rectas que forman el ángulo.

2.- Cónicas

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto concreto. La circunferencia es una elipse donde 𝑎 = 𝑏 es el radio.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos que cumplen: 𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que cumplen: |𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 2𝑎

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que cumplen: 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑑)

Cónica Ecuación Ecuación reducida Excentricidad

Circunferencia (𝑥 − 𝑥0)2+ (𝑦 − 𝑦 0)2 = 𝑟2 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑒𝑥𝑐 = 0 Elipse (𝑥 − 𝑥0) 2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑦0)2 𝑏2 = 1 𝑥2 𝑎2+ 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑒𝑥𝑐 = 𝑐 𝑎 ∈ ]0,1[ Hipérbola (𝑥 − 𝑥0) 2 𝑎2 − (𝑦 − 𝑦0)2 𝑏2 = 1 𝑥2 𝑎2− 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑒𝑥𝑐 = 𝑐 𝑎 > 1 Parábola (𝑦 − 𝑦0)2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑥0) 𝑦2 = 2𝑝𝑥 𝑒𝑥𝑐 = 1

3.- Otra forma de expresar la circunferencia

Si se opera (𝑥 − 𝑥0)2+ (𝑦 − 𝑦0)2= 𝑟2, se obtiene: 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥0𝑥 − 2𝑦0𝑥 + 𝑥02+ 𝑦02− 𝑟2= 0. Por tanto, 𝑥2+ 𝑦2+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 es una circunferencia con centro (−𝐴

2, − 𝐵 2) y radio 𝑟 = √(−𝐴 2) 2 + (−𝐵 2) 2

− 𝐶 (siempre que lo que haya dentro de la raíz sea positivo).

4.- Posición relativa de una recta y una circunferencia

(13)

13

Tema 9.- Funciones elementales

Una función asocia a cada número real de un conjunto, otro número real (solo uno).

 Función polinómica: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 (recta), 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 5, (parábola) …

 Función de proporcionalidad inversa: 𝑓(𝑥) =2𝑥+3

𝑥−8 (hipérbola)

 Función radical: 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2, 𝑓(𝑥) = 7 − √𝑥 − 43 , …

 Función exponencial: 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑓(𝑥) = 4−𝑥+5, …

 Función logarítmica: 𝑓(𝑥) = log2𝑥, 𝑓(𝑥) = log(𝑥 + 1), …

 Función trigonométrica: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑓(𝑥) = tan 7𝑥, …

1.- Dominio y recorrido de funciones

El dominio de una función son todos los números del eje X en los que existe la función. En general, el dominio són todos los números reales exceptuando aquellos que hacen que un denominador sea 0, o que lo que hay dentro de una raíz de índice par sea negativo, o que lo que hay dentro de un logaritmo sea negativo.

El recorrido de una función son todos los valores que toma la función en el eje Y.

2.- Funciones definidas a trozos

Son funciones que en intervalos distintos tienen expresiones distintas.

𝑓(𝑥) = {

𝑥2+ 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 4 𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

Si 𝑥 = 11 (11 ≥ 4), entonces el valor de la función es 𝑓(11) = 11 − 3 = 8

Si 𝑥 = −3 (−3 ≤ 0), entonces el valor de la función es 𝑓(−3) = (−3)2+ 2(−3) + 1 = 4

Si 𝑥 = 2 (0 < 2 < 4), entonces el valor de la función es 𝑓(2) = 1

3.- Valor absoluto de una función

La función |𝑓(𝑥)| se calcula hallando primero 𝑓(𝑥) y luego calculando el valor absoluto del resultado. Gráficamente, se representa la función 𝑓(𝑥) y todo lo que quede por debajo del eje X se cambia por su simétrico (respecto del eje X).

4.- Composición de funciones

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥, entonces { (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))= 𝑓(𝑒

𝑥) =(𝑒𝑥)2− 2𝑒𝑥+ 3 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)= 𝑔(𝑓(𝑥))= 𝑔(𝑥2− 2𝑥 + 3) = 𝑒𝑥2−2𝑥+3.

5.- Función inversa

Para que una función tenga inversa debe ser inyectiva. 𝑓(𝑥) =2𝑥+3 𝑥−8 → 𝑦 = 2𝑥+3 𝑥−8 → 𝑥𝑦 − 8𝑦 = 2𝑥 + 3 → 𝑥 = 8𝑦+3 𝑦−2 → 𝑓 −1(𝑥) =8𝑥+3 𝑥−2

(14)

14

Tema 10.- Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números ordenados (no tiene porqué ser de menor a mayor ni de mayor a menor) que tiene un primer elemento pero no tiene último (son infinitos números). Cada elemento de una sucesión se llama término.

El término general de una sucesión es una expresión matemática que representa a TODOS los números de la sucesión.

1.- Progresión aritmética

Sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, llamada

diferencia de la progresión, d.

Término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 Suma de los 𝑛 primeros términos: 𝑆𝑛 =(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛

2

2.- Progresión geométrica

Sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, llamada razón de la progresión, r.

Término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1· 𝑟𝑛−1 Suma de los 𝑛 primeros términos: 𝑆𝑛 =

𝑎𝑛·𝑟−𝑎1

𝑟−1 =

𝑎1−𝑎𝑛·𝑟

1−𝑟

Suma de TODOS los términos cuando −1 < 𝑟 < 1: 𝑆 = 𝑎1

1−𝑟

3.- Sucesiones recurrentes

Son sucesiones en las que cada término se obtiene haciendo cálculos con varios términos anteriores. Es muy difícil obtener su término general.

Un ejemplo es la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

4.- Límite de una sucesión

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 se va acercando a un número 𝐿: lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va creciendo sin parar: lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = +∞

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va decreciendo sin parar: lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = −∞

Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va oscilando: no existe límite

5.- El número e

El número 𝑒 es el límite de la sucesión 𝑎𝑛 = (1 +1

𝑛) 𝑛 y de la sucesión 𝑏𝑛 = (1 + 1 −𝑛) −𝑛 . Es decir: lim 𝑛→∞(1 + 1 𝑛) 𝑛 = lim 𝑛→∞(1 + 1 −𝑛) −𝑛 = 𝑒

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15

Tema 11.- Límites de funciones. Continuidad

1.- Límite de una función en un punto

Si cuando 𝑥 va aumentando su valor desde un número inferior a 𝑎 hasta llegar a 𝑎, la función va acercándose a un número, este número se representa por lim

𝑥→𝑎−𝑓(𝑥).

Si cuando 𝑥 va disminuyendo su valor desde un número superior a 𝑎 hasta llegar a 𝑎, la función va acercándose a un número, este número se representa por lim

𝑥→𝑎+𝑓(𝑥).

Si la función va acercándose al mismo número tanto si 𝑥 va aumentando como disminuyendo hasta llegar a 𝑎, entonces la función tiene límite:

lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)

2.- Continuidad

La función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎 si tal punto pertenece al dominio de 𝑓(𝑥) y lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

 Discontinuidad de salto infinito: alguno de los límites laterales es infinito.

 Discontinuidad de salto finito: los dos límites laterales son finitos, pero distintos.

 Discontinuidad evitable: los dos límites laterales son finitos y coinciden (por tanto, existe el límite de la función: lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)), pero 𝑓(𝑎) no existe o no coincide con el límite.

3.- Cálculo de límites

 Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎, entonces lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

 lim

𝑥→𝑎 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥), siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) dos polinomios:

o Si 𝑄(𝑎) ≠ 0, entonces lim 𝑥→𝑎 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)= 𝑃(𝑎) 𝑄(𝑎).

o Si 𝑄(𝑎) = 0 y 𝑃(𝑎) ≠ 0, entonces se calculan los límites laterales para saber si el límite es +∞, −∞ o no existe (límites laterales distintos).

o Si 𝑄(𝑎) = 0 y 𝑃(𝑎) = 0, entonces hay que simplificar la fracción antes de calcular el límite.

4.- Límites en el infinito

Si según como 𝑥 va aumentando, la función va aumentando sin parar, se dice que lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = +∞. Y si va disminuyendo sin parar, lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) = −∞. Del mismo modo,

puede ocurrir que sea lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = +∞ ó lim𝑥→−∞𝑓(𝑥) = −∞.

Si según como 𝑥 va aumentando, la función va acercándose a un valor sin sobrepasarlo, entonces lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 𝑘 y tenemos una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑘. Lo mismo puede

decirse si ocurre cuando 𝑥 va disminuyendo.

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16

5.- Cálculo de límites en el infinito

 El límite de un polinomio cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞ es +∞ o −∞, dependiendo del signo del coeficiente del término de mayor grado y del exponente de la 𝑥.

 lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑥𝑚+⋯ 𝑏𝑥𝑛+⋯ o 𝑥→−∞lim 𝑎𝑥𝑚+⋯ 𝑏𝑥𝑛+⋯:

o Si 𝑚 > 𝑛, entonces el límite es +∞ o −∞, dependiendo de los signos de 𝑎 y 𝑏 y de los exponentes 𝑚 y 𝑛.

o Si 𝑚 < 𝑛, entonces el límite es 0. o Si 𝑚 = 𝑛, entonces el límite es 𝑎

𝑏, pero hay que considerar los signos

dependiendo de los exponentes 𝑚 y 𝑛.

6.- Asíntotas

6.1.- Asíntotas verticales

Si lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ±∞, entonces existe una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑎. En general, si 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥),

las raíces de 𝑄(𝑥) forman asíntotas verticales.

6.2.- Asíntotas horizontales

Si lim

𝑥→+∞ 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑘, entonces existe una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑘. Lo mismo si 𝑥→−∞lim 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)= 𝑘.

6.3.- Asíntotas oblicuas

Si el grado del polinomio 𝑃(𝑥) es exactamente una unidad más que el grado del polinomio 𝑄(𝑥), entonces 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑚𝑥 + 𝑛 + 𝑅(𝑥)

𝑄(𝑥) y tenemos una asíntota oblicua en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.

7.- Indeterminaciones

 0

0: Se debe simplificar la fracción antes de calcular el límite.

 ∞ − ∞: Si son dos fracciones, se restan antes de calcular el límite; y si son radicales, se multiplica y se divide por el conjugado de los radicales.

 1∞: Si se está calculando el límite de 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), el límite será el número 𝑒 elevado al límite de 𝑔(𝑥)(𝑓(𝑥) − 1).

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17

Tema 12.- Derivadas

1.- Derivada de una función

La derivada de una función 𝑓(𝑥) en un punto 𝑥0 es, por definición: 𝑓′(𝑥0) = lim ℎ→0

𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)

ℎ , y gráficamente es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La función derivada da directamente la derivada en cada punto: 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ .

2.- Tabla de derivadas

Función Derivada Función Derivada

(𝒇(𝒙))𝒏 𝑛 · (𝑓(𝑥))𝑛−1· 𝑓′(𝑥) 𝒆𝒇(𝒙) 𝑒𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥) 𝐥𝐧(𝒇(𝒙)) 1 𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥) 𝒂𝒇(𝒙) ln 𝑎 · 𝑎𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥) 𝐥𝐨𝐠 𝒂(𝒇(𝒙)) 1 ln 𝑎· 1 𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥) 𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙)) cos(𝑓(𝑥)) · 𝑓′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙)) 1 √1 − (𝑓(𝑥))2 · 𝑓′(𝑥) 𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) − sin(𝑓(𝑥)) · 𝑓′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) − 1 √1 − (𝑓(𝑥))2 · 𝑓′(𝑥) 𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙)) [1 + tan2(𝑓(𝑥))] · 𝑓(𝑥) 1 cos2(𝑓(𝑥))· 𝑓 ′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙)) 1 1 + (𝑓(𝑥))2· 𝑓 ′(𝑥) Operación Cálculo Suma de funciones (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) Producto por un número (𝑎 · 𝑓(𝑥))′= 𝑎 · 𝑓′(𝑥)

Producto de funciones (𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) División de funciones (𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)) ′ =𝑓 ′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) (𝑔(𝑥))2 Regla de la cadena ((𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥))′= (𝑓(𝑔(𝑥)))′= 𝑓′(𝑔(𝑥)) · 𝑔′(𝑥)

4.- Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos

Si 𝑓′(𝑥0) > 0, entonces 𝑓(𝑥) es creciente en 𝑥0.

Si 𝑓′(𝑥0) < 0, entonces 𝑓(𝑥) es decreciente en 𝑥0.

Si 𝑓′(𝑥0) = 0 o no existe, entonces 𝑓(𝑥) podría tener un máximo relativo o un mínimo relativo en 𝑥0.

5.- Representación de funciones

1. Hallar el dominio y el recorrido.

2. Hallar los puntos de corte y el signo de la función. 3. Hallar las asíntotas.

4. Hallar los máximos y mínimos relativos, y el crecimiento y decrecimiento con la derivada.

(18)

18

Tema 13.- Integrales

1.- Primitivas

Una primitiva, 𝐹(𝑥), de una función, 𝑓(𝑥), es otra función cuya derivada es 𝑓(𝑥), es decir, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Si una función se puede integrar, entonces tiene infinitas primitivas. Por ejemplo: ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2+ 𝑘. Es decir, la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 tiene como primitivas 𝑥2+ 1,

𝑥2+ 2, …, 𝑥2− 4, 𝑥2 + 4√2, …

2.- Propiedades de las integrales indefinidas

1. ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 2. ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3.- Integrales inmediatas

Integrales inmediatas Integrales inmediatas

∫(𝒇(𝒙))𝒏· 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙 =(𝒇(𝒙)) 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝒌 ∫ 𝒆𝒇(𝒙)· 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒆𝒇(𝒙)+ 𝒌 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝑘 ∫ 𝐥𝐧 𝒂 · 𝒂𝒇(𝒙)· 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂𝒇(𝒙)+ 𝒌 1 ln 𝑎· 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = log𝑎|𝑓(𝑥)| + 𝑘 ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) · 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙)) + 𝒌 ∫ 𝑓′(𝑥) √1 − (𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 = arcsin(𝑓(𝑥)) + 𝑘 ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙)) · 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙 = −𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) + 𝒌 ∫ −𝑓′(𝑥) √1 − (𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 = arccos(𝑓(𝑥)) + 𝑘 ∫[𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝟐(𝒇(𝒙))] · 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝒇 ′(𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒇(𝒙))𝒅𝒙 } = 𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙)) + 𝒌 ∫ 𝑓 ′(𝑥) 1 + (𝑓(𝑥))2𝑑𝑥 = arctan(𝑓(𝑥)) + 𝑘

4.- Descomposición en fracciones simples

Si 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) es una fracción algebraica con el grado de 𝑃(𝑥) menor que el de 𝑄(𝑥), se calculan las

raíces de 𝑄(𝑥) y:

4.1.- Raíces simples

Si las raíces de 𝑄(𝑥) son 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, hay que hallar 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, de modo que 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)= 𝐴 𝑥 − 𝑥1+ 𝐵 𝑥 − 𝑥2+ 𝐶 𝑥 − 𝑥3+ ⋯ 4.2.- Raíces múltiples

(19)

19 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)= 𝐴 𝑥 − 𝑥1+ 𝐵 (𝑥 − 𝑥1)2+ 𝐶 𝑥 − 𝑥2

5.- Integral definida

Si una función es positiva entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, entonces el área encerrada entre el eje X y la función (entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏) es

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Y si la función es negativa, − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Regla de Barrow: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

5.1.- Propiedades de la integral definida

1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑎 = 0

2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎

3. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑐 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐𝑏 (si 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏])

5.2.- Área entre dos funciones

Para hallar el área que hay entre dos funciones entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, se calcula:

∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Siempre la función que está por encima menos la que está por debajo.

(20)

20

Tema 14.- Distribuciones bidimensionales

El conjunto de parejas de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), …, (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), se llama distribución

bidimensional. Si se representan esos valores en un sistema de coordenadas, se obtiene el diagrama de dispersión (también llamado nube de puntos).

1.- Tabla con sus fórmulas

𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊− 𝒙̅ 𝒚𝒊− 𝒚̅ (𝒙𝒊− 𝒙̅)𝟐 (𝒚𝒊− 𝒚̅)𝟐 (𝒙𝒊− 𝒙̅)(𝒚𝒊− 𝒚̅) 𝒙𝟏 𝑦1 𝑥1− 𝑥̅ 𝑦1− 𝑦̅ (𝑥1 − 𝑥̅)2 (𝑦1− 𝑦̅)2 (𝑥1− 𝑥̅)(𝑦1− 𝑦̅) 𝒙𝟐 𝑦2 𝑥2− 𝑥̅ 𝑦2− 𝑦̅ (𝑥2− 𝑥̅)2 (𝑦2− 𝑦̅)2 (𝑥2− 𝑥̅)(𝑦2− 𝑦̅) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒙𝒏 𝑦𝑛 𝑥𝑛− 𝑥̅ 𝑦𝑛− 𝑦̅ (𝑥𝑛− 𝑥̅)2 (𝑦𝑛− 𝑦̅)2 (𝑥𝑛− 𝑥̅)(𝑦𝑛 − 𝑦̅) ∑𝒙𝒊 ∑𝑦𝑖 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 ∑(𝑦 𝑖− 𝑦̅)2 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)(𝑦𝑖 − 𝑦̅) Medida Fórmula Media de 𝒙 𝑥̅ =∑𝑥𝑖 𝑛 Media de 𝒚 𝑦̅ =∑𝑦𝑖 𝑛 Centro de gravedad de la distribución (𝑥̅, 𝑦̅)

Varianza de 𝒙 𝑠𝑥2 =∑(𝑥𝑖− 𝑥̅) 2 𝑛 Desviación típica de 𝒙 𝑠𝑥= √𝑠𝑥2 Varianza de 𝒚 𝑠𝑦2 =∑(𝑦𝑖− 𝑦̅) 2 𝑛 Desviación típica de 𝒚 𝑠𝑦 = √𝑠𝑦2 Covarianza de 𝒙 e 𝒚 𝑠𝑥𝑦= ∑(𝑥𝑖− 𝑥̅)(𝑦𝑖 − 𝑦̅) 𝑛

Coeficiente de correlación entre 𝒙 e 𝒚 𝑟 =𝑠𝑠𝑥𝑦

𝑥· 𝑠𝑦

El coeficiente de correlación está entre -1 y 1, y mide la relación que hay entre las variables. Si se acerca a 1, las variables están directamente relacionadas; si se acerca a -1, las variables están inversamente relacionadas; y si se acerca a 0, las variables no están relacionadas.

2.- Rectas de regresión

Coeficiente de regresión de 𝑌 sobre 𝑋: 𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2

Recta de regresión de 𝑌 sobre 𝑋: 𝑦 = 𝑦̅ +𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2 (𝑥 − 𝑥̅)

Coeficiente de regresión de 𝑋 sobre 𝑌: 𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑦2

Recta de regresión de 𝑋 sobre 𝑌: 𝑥 = 𝑥̅ +𝑠𝑥𝑦

(21)

21

Tema 15.- Cálculo de probabilidades

1.- Definiciones

En un experimento aleatorio (como lanzar un dado), pueden obtenerse diferentes resultados. El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (1, 2, 3, 4, 5 y 6). Cada posible resultado es un suceso elemental, y los conjuntos de sucesos elementales (sacar número par, sacar más de 4, sacar número primo, …) se llaman simplemente sucesos.

Suceso imposible: suceso que NUNCA ocurre (sacar más de 6, sacar múltiplos de 7, …) Suceso seguro: suceso que ocurre SIEMPRE, es decir, es el espacio muestral.

Unión de sucesos: ocurre un suceso O el otro. Intersección de sucesos: ocurre un suceso Y el otro.

Diferencia de sucesos: ocurre un suceso Y NO ocurre el otro. Complementario de un suceso: NO ocurre el suceso.

Sucesos incompatibles: sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

La probabilidad siempre va de 0 a 1. La probabilidad del suceso imposible es 0, y la del espacio muestral (suceso seguro) es 1.

𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Fórmula de Laplace: 𝑃(𝐴) = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

2.- Probabilidad condicionada

𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)

La probabilidad condicionada de 𝐴 sobre 𝐵 es la probabilidad de que ocurra 𝐴, si consideramos que 𝐵 es el “nuevo” espacio muestral.

Los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵). En ese caso: {𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵).

3.- Probabilidad total

Si se divide el espacio muestral en 𝑛 sucesos incompatibles, 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, entonces:

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴1) · 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵/𝐴2) · 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐵/𝐴𝑛) · 𝑃(𝐴𝑛)

4.- Fórmula de Bayes

Si se divide el espacio muestral en 𝑛 sucesos incompatibles, 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, entonces:

𝑃(𝐴𝑖/𝐵) =

𝑃(𝐵/𝐴𝑖) · 𝑃(𝐴𝑖)

(22)

22

Tema 16.- Distribuciones de probabilidad

Variable discreta: se pueden encontrar dos posibles valores consecutivos de la variable. Variable continua: entre dos posibles valores de la variable hay infinitos posibles valores.

1.- Distribuciones de probabilidad de variable discreta

A cada valor se le asocia su probabilidad (se puede representar con un diagrama de barras). Media: 𝜇 = ∑𝑥𝑖𝑝𝑖 Varianza: 𝜎2 = ∑(𝑥𝑖− 𝜇)2𝑝𝑖 Desviación típica: 𝜎 = √𝜎2

1.1.- Distribución binomial

Un experimento dicotómico consiste en realizar un experimento y ver si ocurre un suceso o no (éxito o fracaso). La probabilidad del éxito se expresa por 𝑝, y la del fracaso 𝑞 = 1 − 𝑝. La distribución binomial consiste en realizar 𝑛 experimentos dicotómicos y contar los éxitos. Se expresa 𝐵(𝑛, 𝑝). La fórmula de la probabilidad en una distribución binomial es:

𝑃[𝑥 = 𝑘] = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘; media: 𝜇 = 𝑛𝑝; desviación típica: 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞

2.- Distribuciones de probabilidad de variable continua

La función de probabilidad o función de densidad es una función que tiene la siguiente propiedad: la probabilidad de que la variable tome un valor entre 𝑎 y 𝑏 es igual al área que hay entre la función y el eje X entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Por ello, esta función NUNCA es negativa, y el área total que hay entre la función de densidad y el eje X es 1.

La función de distribución es una función de probabilidad acumulada. A cada valor, 𝑎, le asocia la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a 𝑎. Es decir, a cada valor, 𝑎, le asocia el área que hay entre la función de densidad y el eje X desde su comienzo hasta 𝑥 = 𝑎.

2.1.- Distribución normal

Su función de densidad es una campana de Gauss, más ancha o estrecha y más alta o baja dependiendo de su media y su desviación típica. Se expresa 𝑁(𝜇, 𝜎).

Cuando la media es 0 y la desviación típica es 1, tenemos la distribución normal típica. Para calcular probabilidades en 𝑁(0,1), se usa una tabla donde a partir de 𝑘, da 𝜙(𝑘) = 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘], siendo 𝑘 ≥ 0. Si se quiere calcular todo tipo de probabilidades, hay que tener en cuenta que:

𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘)

𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)

𝑃[𝑧 ≤ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘) 𝑃[𝑧 ≥ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘)

Para calcular probabilidades en una distribución normal cualquiera, hay que tipificar la variable:

𝑃[𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏] = 𝑃 [𝑎 − 𝜇 𝜎 ≤ 𝑧 ≤

𝑏 − 𝜇 𝜎 ]

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