ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SUPERIOR 1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N
1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:forma:
En donde si
En donde si
, la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si, la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si
, entonces la, entonces la ecuación diferencial se denomina noecuación diferencial se denomina no homogéneahomogénea..
Pri
Pri ncincipio de pio de SSuperposuperposiciici óón o lin o li nealineali dad dad
Sean
Sean
soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces lasoluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces la combinación lineal de estas es:combinación lineal de estas es:
También es solución de
También es solución de dicha ecuación diferencialdicha ecuación diferencial
Depe
Dependencia e Indencia e I ndepndepeendencia lndencia liineal neal
Se dice que las funciones
Se dice que las funciones
son linealmente independientes si la única solución de lason linealmente independientes si la única solución de la ecuación ecuación
Donde Donde
.. En caso contraEn caso contrario, es decir, si alguna drio, es decir, si alguna de las constantes no e las constantes no es nula, es nula, las funciones son linealmentelas funciones son linealmente dependientes.
dependientes.
Wronskiano Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones
funciones
poseen al menosposeen al menos
derivadas, entonces el Wronskianoderivadas, entonces el Wronskiano está dado por:está dado por:
Para el caso de tres
Para el caso de tres funcionesfunciones
Uno de los usos más importantes del
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si unun conjunto de soluciones es li
conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.nealmente independiente o no. Dado un conjunto de soluciones
Dado un conjunto de soluciones
de una ecuación diferencial homogénea de ordende una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple queintervalo se cumple que
Ejemplo ilustrativo Ejemplo ilustrativo
Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo
linealmente dependientes en el intervalo
Remplazando valores en Remplazando valores en
Se tiene Se tiene
||
||
Resolviendo el determinante de orden 3 por
Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrusel método de Sarrrus
Como
Como
, entonces, las funciones son , entonces, las funciones son linealmente independienteslinealmente independientes2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON
2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTESCOEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma: Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
Y tiene como solución general la
Y tiene como solución general la funciónfunción
, por lo , por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:tanto su ecuación auxiliar viene dada por:
Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.
ayudarán en la resolución de las mismas.
1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes 1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir
, entonces la solución general tiene la , entonces la solución general tiene la formaforma
2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir
, entonces la solución general tiene la , entonces la solución general tiene la formaforma
3) Tercer Caso: Múltiples raíces igualesSi todas las raíces de
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejasla ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,, es decir,
es una raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz conjugadaes una raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz conjugada
también estambién es una raíz compleja de multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se tiene como una raíz compleja de multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se tiene como solución general solución general
(
(
)
)
((
))
Ejemplos ilustrativos Ejemplos ilustrativos 1) Resolver 1) Resolver
Solución: Solución:La ecuación auxiliar es:
La ecuación auxiliar es:
Factorando se tieneFactorando se tiene
Las raíces son Las raíces son
Entonces la solución general es Entonces la solución general es
Graficando para valores arbitrarios
Graficando para valores arbitrarios
se obtiene:se obtiene:2) Comprobar que
2) Comprobar que
es la solución dees la solución de
Solución Solución
Calculando la primera derivada de
Calculando la segunda derivada Calculando la segunda derivada
Calculando la tercera derivada Calculando la tercera derivada
Remplazando valores en Remplazando valores en
Como se queríaComo se quería comprobar comprobar
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:
Solución: Solución: Se observa que Se observa que
Entonces Entonces
Por lo tanto al eliminar los
Por lo tanto al eliminar los paréntesis se obtiene la ecuación auxiliar paréntesis se obtiene la ecuación auxiliar
Entonces la ecuación pedida es
3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:forma:
En donde si
En donde si
, la ecuación diferencial se denomina no , la ecuación diferencial se denomina no homogéneahomogénea.. La solución general es una combinación lineal deLa solución general es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementariados tipos de soluciones, una solución complementaria
y una solución particular y una solución particular
La solución complementaria
La solución complementaria
satisface la ecuación homogéneasatisface la ecuación homogénea
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
homogénea de coeficientes constantes La solución particular
La solución particular
satisface la ecuación no homogéneasatisface la ecuación no homogénea
Esta ecuación se la puede determinar
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientesempleando el llamado método de los coeficientes indeterminados para determinar
indeterminados para determinar
En estas condiciones, de acuerdo a la forma
En estas condiciones, de acuerdo a la forma dede
, la solución particular , la solución particular
tiene los siguientes casostiene los siguientes casos 1) Si 1) Si
, entonces,, entonces,
Ejemplos Ejemplos Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
2) Si 2) Si
, entonces,, entonces,
Ejemplos Ejemplos Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
3) Si 3) Si
, entonces, entonces
Ejemplos Ejemplos Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Casos especiales tomando en cuenta las raíces de la
Casos especiales tomando en cuenta las raíces de la ecuación auxiliarecuación auxiliar
Ejemplos ilustrativos Ejemplos ilustrativos 1) Dado
1) Dado
, entonces, entonces La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La parte expoencial deLa parte expoencial de
yy
; por lo tanto; por lo tanto
2) Dado
2) Dado
La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La parte exponencial deLa parte exponencial de
ComoComo
; por lo tanto; por lo tanto
3) Dado
3) Dado
La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La parte exponencial deLa parte exponencial de
Puesto que hay dos raíces iguales a lPuesto que hay dos raíces iguales a la parte exponencial dea parte exponencial de
, por lo tanto, por lo tanto
4) Dado
4) Dado
La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La parte exponencial de
Puesto que hay tres raíces iguales a
Puesto que hay tres raíces iguales a la parte exponencial dela parte exponencial de
, por lo tanto, por lo tanto
5) Dado
5) Dado
La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
El coeficiente del ángulo deEl coeficiente del ángulo de
ComoComo
yy
; por lo tanto; por lo tanto
6) Dado
6) Dado
La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
, de donde, de donde
El coeficiente del ángulo deEl coeficiente del ángulo de
ComoComo
; por lo tanto; por lo tanto
Nota:Nota: Las letras A, B, C, D, E y F deLas letras A, B, C, D, E y F de
pueden remplazarse entre si o ser remplazandas por otraspueden remplazarse entre si o ser remplazandas por otras letras, así por ejemploletras, así por ejemplo
Casos especiales tomando en cuenta la multiplicidadCasos especiales tomando en cuenta la multiplicidad
Ejemplos ilustrativos Ejemplos ilustrativos 1) Dado
1) Dado
, entonces, entonces La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La solución complementaria esLa solución complementaria es
Se asume que la solución particular esSe asume que la solución particular es
Se verifica que entreSe verifica que entre
concon
no hay multiplicidad, ya queno hay multiplicidad, ya que
no es múltiplono es múltiplo dede
, por lo tanto, por lo tanto
2) Dado
2) Dado
, entonces, entonces La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La solución complementaria esSe asume que la solución particular es
Se asume que la solución particular es
Se verifica que entreSe verifica que entre
concon
si hay multiplicidad, ya quesi hay multiplicidad, ya que
es múltiplo dees múltiplo de
Por lo tanto se debe multiplicarPor lo tanto se debe multiplicar
por x, quedandopor x, quedando
Nuevamente se verificaNuevamente se verifica entreentre
concon
sigue existiendo multiplicidad entresigue existiendo multiplicidad entre
concon
Por lo tanto la solución particular se multiplica nuevamente por x para que no exista multiplicidad, Por lo tanto la solución particular se multiplica nuevamente por x para que no exista multiplicidad, quedando
quedando
3) Dado
3) Dado
, entonces, entonces La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La solución complementaria esLa solución complementaria es
Se asume que la solución particularSe asume que la solución particular eses
Se verifica que entreSe verifica que entre
concon
si hay multiplicidad, por si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución particular por xlo tanto se multiplica la solución particular por x
4) Dado
4) Dado
, entonces, entonces La ecuación auxiliar esLa ecuación auxiliar es
con raícescon raíces
La solución complementaria esLa solución complementaria es
Se asume que la solución particular esSe asume que la solución particular es
Se debe vericar la multipliSe debe vericar la multiplicidad en forma individualcidad en forma individual Se verifica que entre
Se verifica que entre
concon
si hay multiplicidad, por lo tanto sesi hay multiplicidad, por lo tanto se debe multiplicardebe multiplicar
por x, quedandopor x, quedando
Se verifica que entre
Se verifica que entre
concon
si hay multiplicidad, por lo tanto se debesi hay multiplicidad, por lo tanto se debe multiplicarmultiplicar
por x, quedan por x, quedandodo
Se verifica de nuevo que entre
Se verifica de nuevo que entre
concon
si hay multiplicidad, por lo tanto sesi hay multiplicidad, por lo tanto se debe multiplicardebe multiplicar
por x, queda por x, quedandondo
Por lo tanto la solución particular queda Por lo tanto la solución particular queda
Notas: Notas:
Una vez obtenida la complementaria y la ecuación particular se procede a resolver como en casos Una vez obtenida la complementaria y la ecuación particular se procede a resolver como en casos anteriores.
anteriores.
Próximamente se publicará las respectivas de tareas de cada uno
Próximamente se publicará las respectivas de tareas de cada uno de los temas.de los temas.
Se recomienda visitar las siguientes direcciones en donde se encontrará artículos sobre Aritmética, Se recomienda visitar las siguientes direcciones en donde se encontrará artículos sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Proba
Álgebra, Geometría, Probabilidades, Estadística Debilidades, Estadística Descriptiva, Estadística scriptiva, Estadística Inferencial y planificacInferencial y planificacionesiones por módulos curric
por módulos curricularesulares
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