Calculo Integral Wilton Oltmanns

2

Introducción

Est e manua l de cálculo int egral y seri es es una a yuda preparada para los estudiantes que t ienen que cur s ar est a materi a y para l os am ant es de l as mat em áticas . En es te s e em pi eza con una retroal iment ación al cál cul o diferenci al con el objetivo de reforz ar los conoci mientos pri ncipalm ent e de límites y deri vadas.

Ent re los cont enidos se encuentran ti ene: Di ferenci a entre cal cul o Diferencial e i ntegral, Deri vación logarítmi ca, derivadas por formulas , formas indet erm inadas y límit es por l a Regl a de L°Hoppit al , historia del cálculo i nt egral , pri mitiva de una funci ón, i nt egral definida e i ndefinida, Resol ución de int egrales inmedi atas, integrales por el método de sustit uci ón, i nt egral es tri gonom étricas, Int egrales por identi dades tri gonom ét ri cas, int egral es por part es, integrales cí cli cas, método t abul ar, integral es de pot enci as de la di stint as funci ones tri gonom étri cas , int egral es de ángulos di stint os, método de sustitución t ri gonométri ca invers a, integración por tabla , integral es que contienen poli nomi os cuadráticos, método de fracci ones parci ales, mét odo de Heaviside, integraci ón de funciones raci onal es de s eno y coseno, Int egrales con valor abs olut o, sumatoria y propi edades, estim aci ón de áreas , sumas de Ri em ann , R egl as de Simpson, Regl as del t rapeci o , integral defini da, Teorem as fundam enta les del cálculo, áreas ent re curvas, integral es impropi as, int egrales convergentes y divergent es, vol um en de sólidos de revoluci ón, m ét odo de los dis cos , mét odo de l as arandel as, series, s eri e de M acl aurin, seri e de Ta yl or y s erie de Fouri er.

Al final de cada unidad ha y activi dades de ej ercici os para que el lector s e pueda ej ercite . Se espera que est e m anual s ea de m ucha a yuda.

Wilton Oltm anns Revis ado el 18 de enero del 2015

3

C á l c u l o

El cálculo elem ent al i nclu ye do s procesos que son fundament al es en el análisi s m at em ático:

 El cál cul o diferencial : Estudia el c ambi o que ha y en las funciones. Define la pendiente de l a rect a tangent e de la función en un punto det erminado.

 El cál cul o In tegral : Permit e hall ar el área de fi gu ras curvas las cual es s e form a n por regiones l imi tadas por funci ones continuas .

Defini ción y propi edades de la función logar itm o natural .

La función logaritm o natural se define como

1

1

ln

x

x

dt x

,

0

t







_.

Prop ied ades de los logari tmos. Si a y b son núm eros pos itivos y n es raci onal, se s atis facen l as si gui ent es propiedades .

1. ln1=0 3) ln Pn=n ln P

2. ln (P Q)= ln P + l n Q 4) l n (P/ Q )= ln P – ln Q

Derivada d e la función logaritm o natural. Sea u una funci ón derivabl e en x

1 1. d (ln x) ,x 0 dx  x  1 ' 2. d (lu) du u ,u 0 dx  u dx  u 

4

2 1 3 2 ' 2 3 2 1 y y x x x     _  _{ } _       ₂ 2 2 1 3 2 3 2 ' 2 3 2 1 ( 1) x x y x x x x      _  _{ } _       

Derivación logarítmica.

Se ll am a derivación logarít mica al proceso de utiliz ar los logaritmos como a yuda en l a deri vaci ón de funciones no l ogar ítm icas . Ej em pló.

Ejempl o: Hallar la deri vada de

2 2 3 2 , 1 ( 1) x x y x x     1. Se R ees cribe l a función.

2 2 3 2 , 1 ( 1) x x y x x    

2. Se apli ca l ogarit mo en ambos mi embros .

2 2

3

2

ln

ln

(

1)

x

x

y

x







3. Apli cando l as propiedades logarítmi cas en am bos mi embros . 1

2

lny2lnx ln(3x 2) 2ln(x1) 4. Derivar en am bos lados. 5. Despejar a y

6. Sustitu yendo a y por el paso 1.

Ejempl o 2: Hall ar l a derivada de

4 7 ( 1) 2 x y x    Resol vi endo 4 9 7 9 8 8 4 9 9 7 ( 1) 1 4 ( 1) ( 2) 7 2 ' 1 1 9 4 1 9 ( 1) 4( ) ' ( ) 1 7 2 1 7 2 2 x Lny Ln Lny Ln x Ln x x y x x x y y x x x x x                  _{ } _  _{ }  _  _{ }  _  _ 



"Cuando se muere un viejo es como si se quemara una biblioteca"

(Probervio africano)

' 2 1 3 2 2 3 2 1 y y x x x     _{ }    

5

Resolución de derivadas por fórmulas

Sean u y v funci ones de x. 1. La r egla de la con stant e

df d c( ) 0

dx  dx 

2.Regla de una variable respect o a ella m is m a

( ) 1

df d x

dx  dx 

3 .R egl a del m últipl o con stant e.

( ) d cu du c dx dx    _{ }  

4. R egl a de l as pot encias .

1 ' n n d u nu u dx       5. R egl a de l a sum a





d ' ' dx u  v u v

6. R egl a del product o:

 

' '

d

uv uv vu

dx  

7. Derivada del coci ent e.

2 ' ' d u vu uv dx v v        

 

 

3 3 3 3 3 2

Esta es la derivada de un producto,

por lo tanto se tiene que:

(

1)

(5

1)

(5

1)

(

1)

(

1) 5

(5

1)

Ejemplo 1: Resolver

3

5

las siguientes d

1

erivadas

(

1)(

5

1

3

5

)

dy

d

d

x

x

x

x

dx

dx

dx

x

x

x

x

x

d

x

x

dx

x





 































 

2

 

 

2

5

6

4

2

Ejemplo 2: Resolver

(

6

4)

6

dy

d

d

d

x

x

d

d

x

x

x

dx

dx

dx

dy

x

d

dx

x

















6

Derivadas de funciones trigonométricas

























2 2

8)

( )

cos . ' 11)

( )

cosec

. '

9)

os( )

. ' 12)

( )

sec . tan . '

10)

( )

sec

. ' 13)

( )

co

d

d

Sen u

u u

Cot u

u u

dx

dx

d

d

C

u

senu u

Sec u

u

u u

dx

dx

d

d

Tan u

u u

Cosec u

dx

dx



 

 





 

sec .cot . '

u

u u

2 2

Ejemplo: Derivar y = Sen x( 9)  y' 2 c os (x x 9)

Derivadas de funciones exponenciales

14. fun ción pot en cial invers a 1n n ₁' d nu dx u u   _{  }    

15. Deri vadas para raíz (n -esim a )

1 ' n n n d u u dx   _{n u}  9 2 8 2 9 Ejemplo: Derivar y = 3 ' 2 9 3 y x x x        

16. Derivada de l a funci ón exponen ci al en bas e a.

) d ( x) x.ln b) d ( u) u.ln . '

a a a a a a a u

dx  dx 

17. Deri vada de la función expon encial natural.

( ) ) b) ( ) x x u u d e d du a e e e dx  dx  dx

7

18) Derivada de una función elevada a otra función.

1

(

v

)

.

v

. ' +

v

. Ln u . v '

d

u

v u

u

u

dx





Derivadas de funciones Logaritmicas

18. Deri vada de la función l ogaritm o natural.





'

( ) , 0

d u

Ln u u

dx  u 

19. Deri vada de la función l ogaritm o decim al.





' ( ) .ln a d u Log u dx u a









3 3 ₂ 3 3 3 1 E + 1 _{3 1} + 1 jemplo: Deriva + r y = Ln + 1 1 Senx d Cosx x _x dy _dx dx Cosx x Cosx Cosx x x      _       

8

Cálculo Integral

Práctica: 1

Apellidos:……….……….… Matrículas:……….. Grupo: ………Fecha: ………..…………Profesor(a): ……….……….…

Práctica de funciones logarítmicas y exponenciales.

















 

















 









5 5 4 9 3 6 3 7 5 3 4 3 8 3 ₃ 7 23 4 3 5 8

. Deriva las siguienttes funciónes: 1. y = ln 2 2. y = Log 2 5 3. y = ln 2 1 3 4 6 2 4. y = 3 1 6 5. y = 2 7 5 2 6. y= 2 2 4 2 2 6 7. y=ln 5 2 I x x x x x x x x x x x x x x x x x x    _{ }            _{ }     _       





 

 

 

4 3 5 3 7 3 3 ln 6 9 cot 8 6 4 sec 9 2 6 3 5 2 8

. Halle la derivada de las funciones exponenciales dadas: 1. y = e 2. y = Tan 3. y = e ln 4. y = 5 cos 5. y = x cos 6. y = 7 7. x senx x x x x x x x sen x sen x senx II e x e sen x Cot e x e           _       









6 3 ln cos 5 3 y = e 9 8. y = x Tan . 9. y= sec 9 (ln cos ) x senx x x x e senx Co x x   _

9

















5 2 5 4 cos sec6 3 16 6 5 2 10 5 9 3 18

. Determine la derivada de cada función:

1. y = log

2. y = log

an

3. y = log

cot

4. y = log

2 tan cos *

7

5. y = log

sec

x x x x

IV

senx x

Sen x x

T

e

x

x

x

x

x

x

e





_































 





  8 2 2 4 6 3 2 3 ln 2 tan cos 3 ln cos ln 6 cot ln ln 5

. Encuentre la derivada de las funciones exponenciales

1. y = 5

2. y = 4

7

3. y = sec 10

4. y = 6

5. y = 6

6. y = 12

x x sen x x x x x x x x x x Cotx x x x cos x x

III

      _{ }        

















2 3 2 sec _{cos 2} tan cos

4

7. y = 16

8. y =10

ln 4

9. y = 6

x x senx _x sen x x

sen

e

x

 

_

"La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan en silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo)

10

20. Deri vadas de las fun cion es t rigon om étri cas in versas .

2 2 2 2 2 ' ' ( ) (arccos ) 1 1 ' ' ( tan ( cot ) 1 1 ' ' ( sec ) ( sc ) 1 d u d u arcsenu u dx _u dx _u d u d u arc u arc u dx u dx u d u d u arc u arcc u dx _{u u} dx _{u u}              2 1 

26. Deri vación e int egr aci ón de fun cion es hi perból icas.

2

2

(

)

(cosh ) '

(coth )

(csc

) '

(cosh )

(

) '

(sec

)

(sec

tanh ) '

(tanh )

(sec

) '

(csc

)

(csc

coth ) '

d

d

senhu

u u

u

u u

dx

dx

d

d

u

senhu u

hu

hu

u u

dx

dx

d

d

u

h u u

hu

hu

u u

dx

dx



 



 



 

32. Deri vación de fu ncion es hi perbólicas invers as.

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ' ' [ ] [ ] 1 1 ' ' [tan ] [ t ] 1 1 ' ' [sec ] [ sc ] 1 1 d u d u senh u cosh u dx _u dx _u d u d u h u co h u dx u dx u d u d u h u c h u dx _{u u} dx _{u u}                    

Ejem plos : Hallar la deri vada de las funciones dadas .





















2 2 5 6 6 6 2 2 ' 1 4 ' 6 3 3 1) ( 4) 2) 3 3 1 1 1 y Arcsen x y Sech x x y x y x Sech x x Tanh x x x                 

11





























8 4 7 10 8 5 11 9 tanh ₂

II. Determine la derivada de cada función: 1. y=senh ln 2. tanh tan 3. y sec 9 ln 3 4. cos 5. tan coth ln 6. log tanh 7. ln 3 coth 5 4 8. x x x x x x y arcsenx x senh e x x h x y ch x senx y x e x y senhx x senx x x y                   cosh 4  _{tanh ln}  13 9 x x e _x

Cálculo Integral

Práctica: 2

Apellidos:……….……….… Matrículas:……….. Grupo: ………Fecha: ………..…………Profesor(a): ……….……….…

Práctica de funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas:

El mejor medio de conservar los amigos es no pedirles ni deberles nada.

François de la Rochefoucauld. Escritor francés.

















5 9 5 arccos csc 4 ln cot 9 5

. Halle la derivada de las siguientes funciones: 1. y = tanh ln 7 2. y = arctan 9 3. y = arcsec 4 4. y = 11 arccos 5. y = 3 arctan 6 3 x x x arc x x I arcsen x x x x x e x sen x x x x           _  _  





 









 













2 6 3 sec 6 10 9 2 3 7 arctan 8 4 6 6. y = 6 log 5 7. y = Arccos 9

8. y = Sen sec ln ln arctan

9. y = 14 11 sec 10. y = Arcsen ln arc x x sen x x senx x x x arc x x x x arc x x x         _             

12

Indeterminaciones y Límites

Las formas ind eterminadas

A 0

0 y Se l e ll ama formas indet ermin adas porque no garantizan que el límit e exista , ni i ndi ca n cual es en cas o de existir.

Las m ás com unes son , 0, , 0 , 0 , 0 ,1 , 0            Regla de L’HÔpital

Sean f y g funciones que son derivables en un interv alo abierto (a,b) conteniendo un c (a,b). Asumir que g´(x ) existe para todo x en (a,b), excepto posibl em ent e el propio c. si el lí mite de ( )

( ) f x

g x cu ando x ti ene a c produce la form a indeterminada 0 ,

0  , ent onces , ( ) ´( ) i m i m ( ) ´( ) x c x c f x f x L L g x g x   

Supuesto que el lím ite de la derecha existe es infinito). Este res ult ado

tambi én apl ica si el límit e de

( ) ( ) f x

g x cuando x tiende a C produce cualquiera de las formas indet erminadas

, ,

, ó

   

   _.

Ejem plo 1. En cu entr e el 0 2 lim x x senx x   0 2 2(0) 0 0 0 0 lim 0 0 0 x x senx sen x       

Como el cálculo directo nos ll eva a la

forma indet erminada 0

0 _{podemos aplicar l a regl a de L’HÔpit al.}

0 0 0

2 2 cos

lim lim lim 2 cos 2 cos 0 2 1 1

1 x x x x senx x x x             

13

Ejem plo 2. H all e el l ím ite de

2 ln(3 5) ( 2) x x Lim Tan x    2 2 2 2 2 ln(3 5) 0 Evaluando se tienes que

( 2) 0 3

3 3

3 5

Ahora plicando regla de L'Hopital 3

( 2) (3 5) ( 2) 1 x x x x Lim Tan x x Lim Lim Sec x x Sec x     _   _{  }   

Ejem plo 3 . Determ ine el lím it e

0

im(cos )Cotx

x

L x



1. Evaluando di rectamente se ti ene que 2. Ahora s e apl ica l ogaritmo natural

3. Apli cando propiedades l ogarítmi cas y evaluando

0 0

ln y = lim1 (cos )

Cotx

lim cot 1 cos

(cot 0)1 cos

0

.0

x x

n

x

x n

x

n

 









4. Para aplicar el Hoppi tal se debe obt ener l as i ndet erm inaci ónes 0

0ó  

5.

En l a expresi ón (2) aplicar identidades tri gonom ét ri cas y evaluar

6.





0 0

cos

lim cot 1 cos

lim

0

0

x x

Ln

x

x n

x

Tanx

 







7. Ahor a si s e puede aplicar la regla de Hoppital









0 0 0

0

cos

lim lim lim

1 lim 0 x x x x Ln x Senx Senx Lny

Tanx Cosx Secx

Senx Lny            _{ }  _{ }        

8. Como La variable dependi ent e esta afectada por un logaritmo s e apli ca l a operación i nvers a de est a.

0 0 0 Ln 1 im(cos )Cotx 1 x y L e x Lny e y         csc 0 lim (cos ) x x Ln y Ln x   cot cot 0 0 im(cos ) x (cos 0) 1 x L x    

14

Cálculo Integral

Práctica: 3

Apellidos:……….……….… Matrículas:……….. Grupo: ………Fecha: ………..…………Profesor(a): ……….……….…





2 2 2 3 2 2 2 2 1 0 0 3 3

I. Busca el límite de las siguientes funciones: 2 1. y= lim 4 8 2. lim 2 3 5 3. lim 5 6 3 4. lim 5. lim cos 2 6. lim 3 7. lim 3 1 8. lim 1 x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x x y x e y x sen x y sen x e e y x y x                              2 3 5 2 2 0 5 2 9. lim 9 3 3 10. lim 8 x x x y x x x x y x x     _    _  _       

El hombre que sabe gastar y ahorrar es el más feliz, porque disfruta de

ambas cosas.

S a mu e l J o h n s o n . E n s a y i s t a , p o e t a y d r a m a t u r g o i n g l é s .





 

2 3 0 3 3 0 2 0 2 3 2 1 0 2 2 2 11. lim 1 12. lim tan 3 13. lim 14. lim 15. lim tan 7 4 16. lim 2 17. lim cos 4 18. lim 19. lim 5 2 x x x x x x x x senx x x x x x x x e e e x e e senx x x x x x x x x x x x x x x                _{ }          

15

Cálculo Integral

En el si glo III a.c Arquím edes y ot ros gri egos empez aron a invest i gar cóm o con segui r el área y volum en de cual qui er fi gura geomét rica. Dieron una regl a general para cal cul ar la m ed ida del área de un rectángulo (b.h ), por tal razón el área de un tri angulo rect ángulo es (1/ 2.b.h).

Se sabe que la t ri gonom etrí a nos proporciona fórmul as para hall ar la medi da de cual qui er cl as e de t ri ángul o (1/ 2b.h s enθ ) . Los pit agóri cos invent aron que un polí gono se puede descom poner en t ri ángulos, entonces su área s e consi gue medi ant e la sum a de las áreas de los tr iángulos en que se ha divi dido (M étodo del agot amiento). Este proc edimi ento de m edi r áreas sólo es apli cabl e a fi guras pl anas li mit adas por s egmentos de rect as y es un aproximado. En esa época los gri egos no encont rar on una expresión general por falt a de herrami entas (limit e).

La cienci a queda al desnudo con l a quema de la bi blioteca de Alejandría (S . III d.c), años m ás t arde (1600) J ohane Keepler Comienza a investi gar sobre área de fi guras curvas y funciones, acertó en muchas cosas pero no pudo encontrar un m étodo general .

Después Pi erret Fermat y Renet Des cart es (Fran ces es ) combi nan al gebra y geomet rí a (des cripci ón de fi guras a t ravés de ecuaci ones ).

Finalm ente h a medi ado del si glo XVII se logra invent ar un método general para buscar área bajo curva, a ese método se le ll amo i ntegración.

El cál cul o int egral, encuadr ado en el cálculo i nfi nit esim al , es una ram a de las mat em át icas en l a cual se est udi a el cál cul o a partir del proces o de int egraci ón o anti -deri vaci ón.

Fue i nvent ado por Lei bniz, Newton y Barrow, ést e último junto a Newton, crearon el Teorem a fundament al del cál culo integral que propone que l a derivación y l a i ntegración son procesos inversos.

La i nt egración es una herrami ent a para cal cul ar mucho más que áreas y volúm enes . Ti ene apli caci ones en es tadí sti ca, economí a, ciencias e ingeni erí a. Permiti éndo cal cular rangos de apli caci ones de probabilidad y prom edios de cons umo de energí a, así como la fuerza del agua contra l as com puert as de una p res a. S u objet ivo es permiti r cal cul ar efecti vam ente muchas canti dades, dividi éndol a en part es m ás pequeña y sumando después en tot al cada t rozo.

16

Función primitiva, antiderivada o integral.

Es la relación dependiente de datos sobre uno o más valores que declaran los límites de un área. A través de la primitiva se encuentran una familia de funciones que solo difieren en la constante. Por lo que

( ) ( ) dy( ( ) ) ( )

f x dx F x c F x c f x

dx

    



,

eso indica que la operación inversa de la integración es la derivación y viceversa. La función f (x) posee infinitas integrales que solo se diferenciaran en una constante (c).

Tipos de Integrales.

Hay dos tipos de integrales, las cuales son la integral definida cuyo resultado es un número y la integral indefinida mediante la cual se obtiene otra función.

En este manual empezaremos por el estudio de las integrales indefinidas Las cuales formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías de

matemáticas puras y aplicadas.

El diferencial es el que nos indica respecto a cual variable es que vamos a integral. ()d

19

1 1 n n x x c n    



Resolución de integrales

Por medio de integración inmediata.

Para resolver integrales de este tipo es conveniente que el estudiante memorice una serie de integrales fundamentales

1. Integral d e Cero: Será igual a una constante. 2. Integral d el diferen cial de una variabl e:

Es igual a la variable más una constante.

3. La in tegral d el p roducto d e una constante por una función : Es igual al producto de la constante por la integral de la función.

4. La in tegral d e l a su ma (o diferenci a) de dos funcion es : Es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.

5. Integral de una función exp onen ci al: Es i gual a l a base de la función el evada al exponente aumen t ado en uno y di vi dido por el exponent e aum entado en uno, m á s una constant e, es , deci r, para n 1 de una forma general tenemos que , Para todo número real

1

n  .

6. in tegral de la fu nción exp onen ci a l

e

Reglas para l a in tegración de este tipo:

1. Se rees cribe l a funci ón ponerla de t al forma que s e pueda integral. 2. Se integra.

3. Reducción de términos s em ej ant es. 4. Escribir el res ult ado de la int egral.

( )

( )

kf x dx



k f x dx







( )

( )

( )

( )

f x

g x dx

f x dx

g x dx

















0dxC



dx x C





eu.dueuC 1 1 n n u u C n    



Ejemplos: Resuelva las siguientes integrales.

En l os s i gui ent es ejemplos ha y que desarrollar el num erador.

Ejem plo g: 3 2 3 6 4 1 7 (4 ) 16 8 16 2 7 x dx dx x dx x dx x x x c        









Ejem plo h: (1 )2 | 2 2 2 1 2 2 x x x x x e dx dx e dx e dx x e e c        









.

Solo si estás di spues to a i r d emasi ado l ejos sab rás lo lejos q ue pu edes ll egar . Autor pendi en te 6 1 7 6

.

6

1

7

x

x

a

x dx

C













4 1 4 4 5

. 5

5

5(

)

4 1

x

d

x dx

x dx

x

c







 

























c

x

c

x

dx

x

b

₃ 3 4

1

3

.

f



x

dx



x



c



x

2



c

3 2 3 2 1

.

3

2

.

2 3 5 4 2 5 4 2 6 5 1 2

. (

4

3

1)

4

3

1

4

1

3

6

5

2

c

x

x

x

x

dx

x dx

x dx

x dx

xdx

dx

x

x

x

x

x

c

  





 



















 













26

Resolución de integrales por el método de

sustitución o cambio de variable.

Las operaci ones de i ntegración de funci ones pueden ll egar a s er mu y

com plicadas, p ara facilit arlas s e han ideado di vers os procedi mi ent os general es, de los cual es u no de los m étodos m ás im port ante para l a resoluci ón de

integral es compli cadas es el ll am ado método d e sus ti tu ción o cambio de variabl e. Est a t écni ca consist e en int roducir una nueva vari abl e ( u) para

sustit uir a una expresión apr opi ada del integrando, de manera que l a expresión result ant e sea más fácil de int egrar. Ha y que tom ar en cuenta que si tenem os a u tambi én debemos t ener su di ferenci al por lo t anto debemos derivar.

7. La función logaritmo natural y la integración .

Sea u una función deri vabl e de x.

a.

ln

dx x



x



c



_b. du

ln

u



u



c



Ejemplo 1: resolver las siguientes integra le.

6 6 5 5 (1 ) (1 ) | 6 6 1 , x x x x x u e e e dx u du c c u e du e dx          





Ejemplo 2: Separando el numerador.

2 3 3 2 2 x dx x x  



; haci endo ux32x el denominador y l uego derivando para obt ener el num erado y susti tuir cada valor





2

3 2

du x  dx

, por lo t anto t enemos que y obt enem os de res ul tado a



3



lim 2

du

LnU x x c

u    

27

Ejemplo 3: Integrar



_x

2

x



₁

dx

2 2 1 2 1 1 _{1 y 2}

despejando a du se tiene que: x x  dx  udu u  x  du  xdx





2 du xdx 

, apli cando l a regla l ogarítm ica para l a i ntegraci ón: 2 1 1 1 2 2 2

1

_ln

_ln

₁

udu



u

 

c

x

 

c



Ejem plo4: 2 2

2

6

6

1

x

d

x

L x

x

x



x



 

 



Est a i ntegral es inm edi at a ya

que el numerador es exactam ente l a de rivada del denom inador la si guient e tambi én solo que t enemos que acom odar el num erador a t ravés de art ifi ci os mat em áticos . Ejem plo5: ₂ 2 2 1 6 1 x dx x x c    







1 4 5 4 _{3 3} 4 3 5 5 3 4 5 3 4

1

1 3

1

,

5

:

5

5 4

3

1

1

1

20

z

x

dz

x dx

z dz

z

x

x d

x

c

dx

x

x

x





 





_{ }

_























28

Resolución de integrales trigonométricas y

potenciales aplicando el método de sustitución.

8)



 e C du eu. u 9)



  C a a du a u u ln . 10)



   u C du senu. cos 11)



 senu C du u. cos

13)



tgu du. ln(sec )u C ó - ln cosx c 14)



ctgu du. ln



senu



C ó - ln cscx c 15)







secu.duln sec.utgu C 16)







cosecu.dulncosec.uctgu C

a) Demostraci ón d e la in tegral d e l a tan gen te.

tan

xdx



ln sec

x



c



1 1 sin 1 tan ( sin ) cos cos cos , sin tan 1 sec , 1 tan 1 1 1 cos , x xdx dx xdx x x sea u x du xdx

al hacer las sustituciones respectivas se obtiene

xdx du n u c n u xdx c n x c u n x c                     













29

b) Demostración de la integral de la cotangente.

sin cos t ln ln si u x du xdx du co xdx n u u se x c    







  

c) Demostración de la integral de la secante



Secxdx.

Multiplicando y dividiendo el integrando por secx+tanx

Resolviendo por el método de sutitución trigonométrica





Secxdxln secxtanx c

d)Demostración de la integral de la cosecante



Cscxdx

Multiplicando y dividiendo el integrando por cscx-cotx

Por lo que



CscxdxLn Cscxcotx C

Ejemplos: Calcular la siguentes integrales.

 

1 1





cos 9 9 1 9 = 9 9 c s 9 9 o zdz senz z x x dx sen x c dz dx      





30

2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 ; 2 sen d

como sen Entonces sera

d d          







 





7 8 7 1 ₈ 7 7 11 cos , 7 = 1 cos 8 Resolver 1 c 7 8 os u x du senxd senx xd x u u du x c x       





Resolución de integrales aplicando identidades

y sustitución trigonométricas.

Las int egral es t ri gonomét ri cas vist as en cu rs os ant eriores s on de mucha importancia , pues l as vamos a us ar para poder int egrar fácilm ent e. Ejemplo 1: Hallar _(tan2 _x1)dx



Como tan2 x 1 sec2 x, ent onces

2 2

(tan x1)dx sec xdx secxdx







Apli cando l a fórm ul a 15 t endremos que :

secxdxln secxtanx c



Ejemplo 2:



_senxcox_1

dx

1

cos

ln

ln

1

du u

u

senx

du

x

u

c

senx

c



 





 

 



Ejemplo 3:

La primera es una i ntegral di recta y la s egunda por s ustit uci on.

“Libros, caminos y dias dan al hombre sabiduria”.

Proverbio árabe. 2 1 1 2 2 4 sen  d    sen  c 

31











 











1 2 1 z +Tan z z +Tan z z dz z = z z dz + z dz, Resolviend z +T o cada integral 1 z z dz z +c & + z dz= an z Ejemplo 4: Resolver -co z 2 z s Se

Sen dz Sen Cos

Sec

Sen Cos Sen

I Se n dz n Cos s Sec en I Sen          















+c z +T 1 z - cosz an z + 2 z c Sen dz sen Sec        



El hombre que ti ene lengua no es hom bre, si no puede con ell a conquist ar a una muj er. Will iam Shakes peare

33

Cálculo Integral

Práctica: 4

Apellidos:……….……….… Matrículas:………..

Grupo: ………Fecha: ………..…………Profesor(a): ……….……….…

Integrales inmediatas y sustitución

1

9

x dx



2.





r

2

 

r

4



dr

3.

3 4

x dx



4.

5. 2 1 5 4 3 1 5. 2 5 y y y dy         



6.

3 2

2

y

3

y

9

dy

y







7.



(4

e

9t



7

Sen t dt

6 )

8.

2

Ln xdx

x



9.





5

2 3x dx





10.



2 (

z z

2



4)

3

dz

11.

31 Lnxdx x 



12.



Cos

7

 

d

13.



Sen Cos d

2



 

14.

4 5w dw



3 2 15) 4 u du u 



34









2 2 2 5 2 2 tan sec 2 3 2 2

II. Resuelve las siguientes integrales: 1) tan 11 4 2) 1 sec 1 cos 3) cot 1 1 4) sec sec sec 5) cos 6) 1 cot 7) 1 6 8) 1 arccos 7 9) ln 7 10) x arc x x dx dx sen x x x dx x dx c x x xe dx x e dx x arc dx x x x dx x x x  _         



















lnxdx



Las personas no cambian por el simple hecho de cambiar, sino,

cuando hacen conciencia de que realmente deben cambiar.

Wilton Oltmanns

 





9 7 2 2 2

5 ln

11)

3

12)

3

13)

4

14)

2

3

tan arccos

15)

1

x

dx

x

x

dx

x

x

x

dx

x

dx

x

x

dx

x



















35

Derivando a (uv)

(

)

Despejando a

(

)

-ahora se integra

-y se obtiene

-d uv

udv

vdu

udv

udv

d uv

vdu

udv

duv

vdu

c

udv

uv

vdu

c





























Integración por partes

El m étodo de int egración por part e s urge cuando ha y un producto fruto de com binaciones de funciones, t al com o una al gebraica unida a una tri gonom ét ri ca, una al gebrai ca unida a una logarí tmi ca, una tri gonom ét ri ca inversa y una logarítmi ca sol as , aunque tam bién puede s er una tri gonom ét rica con una t rans cendent e cual qui era, etc.

Debido a que no hay una int egral inm ediat a para resolver un producto de integral es, ha s ido neces ario crear un m étodo para darle sol uci ón a est as . Sean u y v funci ones de x con derivadas continuas.

Dem ost raci ón:



udvuv



vduc

Not a: Cuando s e está frente a una integral por part es, es conveni ent e sel ecci onar como

dv

la parte m ás complicada, pero de más fácil integración y com o

u

el rest o. Luego se haci a el proceso de integrac ión cuant as veces s ea necesari o

36

Regla nemotécnica:

 Para el egi r l a función se puede us ar una de las si gui ent e regl as sabi endo que est a sera l a funci ón de l a izquierda.

1. Logarítm icas , I nvers as t ri gonométri cas, Al gebraicas ,

Tri gonom ét ri cas, Ex ponenci ales . ⇒ L I A T E .

2. Inversas t ri gonom ét ricas, Logarítmi cas, Pot enci ales, Exponenci al es,

Tri gonom ét ri cas ⇒ I L P E T

Not a: El egim os si empre "u" como l a función si tuada más a l a izquierda de l a pal abra IL PET , LIATE O AL PES .

El homb re qu e ti ene l engua n o es homb re, si no p uede con ella conquis tar a una mujer. Will iam Shakesp eare

37

Resuel va l as sigui en tes in tegral es :

. . 1: Re x x x x x x x x si u x du dx dv e v e acoplando x e dx a la fórmula ud Ejemplo solver v uv vd xe e xe dx u c xe e dx c               











2 2 2 2 1 ln 2 ln . 2 : Re ln 2 ln . 4 1 ln 2 2 si u du d dv d v acoplando d a Ejemplo so

la fórmula udv uv vdu

lv C er d c d             _{  }                         _{ }    











2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 int 3 : : 2 2 Re 2 4 x x x x x x x x x x u x du dx dv e dx e Integrando a dv e dx v

Aplicando el métdo de egración tenemos que

xe e xe d Ejemplo solver xe dx x uv vdu c dx xe dx xe e C                















A veces s e t endrí a que apl icar vari as veces est e m étodo h ast a ll egara a resolver definiti vam ent e l a int egral, debemos t ener en cuant a tal como ya lo vimos en los ej ercicios ant eriores que s e debe ll egar a resolver una sol a integral y que l a mi sma sea direct a.

38

2

Ejemplo 4 : Resolver



x cosxdx

2 2 2 2 2 2 cos cos 2 . . Re . . cos

cos cos cos

( cos ) cos si u x du xdx dv xdx v senx x xdx x senx x senx dx solviendo x senx dx si u x du dx dv senxdx v x x x xdx x x senx

Uniendo x senx x x senx x senx x x senx c

                           









 

 

2 2 2 2 1 : Arctanx ; du= ; ; 1 Arctan dx arctan La siguiente integral se resuelve por sustitución

1 ; 5: Resolver Ar ctan 1 1 1 1 x d dx x u dx dv dx v x x udv uv vdu c x Eje dx mplo x x z x x x             













 

2 1 2 2 ; 2 1 1 1 2 2 2 Arctan x 1 2 d 1 dz dz xdx dx x x dz dz xTan x Ln x Ln x z c x c z x       _{ }          







39

Integrales cíclicas

Son aquell as que vuelven a su int egral ori gi nal por lo tanto ha y que hacer al gunos arreglos para obt ener su resultado fi nal.

cos

int :

cos

que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el m 6 : Re étdo d x x x x x x u senx du xdx dv e dx v e

Aplicando el métdo de egración tenemos que e senx E dx e senx e xdx Da jemplo solver e se do nxdx        







e nuevo.

cos cos cos

cos

;

se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica, cos x x x x x x x x x x x x x e xdx e x e senxdx e x e senxdx u x du senx dv e dx dv e dv v e Como

e senxdx e senx e x e senxdx c e s                 















c cos 2 2 c o s s o x x x x x x x x x

enxdx e senxdx e senx e x c e senxdx e senx e x c e senxdx e senx e x c          









2 Ejemplo 7 : Resolver



sen x dx.

Reescri biéndola tenemos





senx .



senx



dx           dx x du senx u x v dx senx dv . cos cos .

40

Apli cando identidades t ri gonométri cas









sen2x.dxsenx.cosx 1sen2x.dx

Luego operam os de acuerdo a las propiedades ya vis tas de l as integral es:







sen2x.dxsenx.cosx dx sen2x.dx Luego operamos al gebrai cam ente:

x x senx dx x sen dx x senx dx x sen dx x sen 



 







 



2 . 2 . .cos 2 2 . .cos 2 . os 2 . se c sen xdx  nx xx C



2 2 2

Resolver

ln

.

.

cosxdx

2

3

3cos 3

.

3

sol:

Jer

13

13

cicios:

x x x x

x

dx

x

e

sen xe

xe

e sen x x

c

E

d













"La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan

41

Método Tabular

Es ot ro m étodo de res olución de int egral es que s e us a frecuent em ent e sustit uci ón del m étodo de int egrales por part es , pero est e es una técni ca mat em ática m ás fáci l . Su invent or fue Dan Ros en profesor de la universidad de Hofst ra.

Est e m étodo es par a integral es que ti enen la form a:

cos

,

,

n n n ax

x

axdx

x senaxdx

x e dx







Procedi mien to:

Según el prof. ing. gil Sandro Góm ez.

Para cal cul ar



f x g x dx

   

const ru ye una tabla, donde se puedan poner las funciones a derivar (f x) en l a colum na “D” y en l a columna “I” l as

funciones a i ntegral (g x ). Los si gnos van alt ernándos e.

          2 ( ) Int De f x g x Df rivadas Sign egra x I g x D l os f x es          

 

2 1 ( ) ... ... ... n n( ) I g x D f x I g x  

Se continúa est e proceso hast a que:

 La función a la izquierda se convierta en cero. En este caso siempre debe ser una al gebrai ca.

42

 El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto de las funciones en el primer regl ón.

Resuel va l a in tegral dada u tili zand o el métod o tabular .

4 4 3 sus int - 4 : Re x x Ejemplo solver

Signos u y sus derivada

x e dx s dv y egrales x e x 



2 12 - 24x 24 - x x x x e x e e e   4 3 4 2 0 4 12 24x x x x x x x e x e dx x e x e x e e C 

_

    

Resolucion de Integrales Trigonométricas con

exponentes enteros.

Ha y varios cas os de est e ti po de int egrales, pero es bueno reconocer que los m ás comunes son del tipo.

cos

sec

tan

m n m n

sen x

xdx

y

x

xdx





a) Integral es que conti enen pot en cias de senos y cos enos

Caso 1. Si la pot enci a del seno es impar y positi va, cons ervar un fact or

seno y pas ar los factores rest ant es a cos enos. Entonces , des arroll ar e integrar.









2 1 2

2 2

cos

cos

cos

cos

1 cos

cos

m n k n k n

k k

n n

sen x

xdx

sen

x

xdx

sen x

xsenxdx

sen x

xsenxdx

x

xsenxdx



















43













2 2 5 4 2 2 5 2 4 5 4 2 . . . 1 cos .

. . 1 2 cos cos . . 2 .cos . .cos .

Tenemos tres integrales que se res Ejemplo 1: Resolve

uelven p met d r

or o

sen x dx senx sen x dx senx sen x dx senx x dx

sen x dx senx x x dx senx dx senx x dx senx x dx

sen xdx           





















1 3 2 2 5 4 3 4 os anteriormente vistos, como a) se resuelve directamente, b) y c) por sustitucion.

) . cos cos ) .cos . 3 cos ) .cos . 5 cos . . . a senx dx x C x b senx x dx C x c senx x dx C u x du du senx dx dx senx du senx u se              _{    }   







5 5 4 3 3 5 3 5 cos . 5 5

Arnando la integral original te

2 1 c ndremos : os cos cos 3 5 . u x u du C C nx sen x dx x x x C             







3 3 3 4 4 4 cos

Sustituyendo tenemos que :

1 1

cos

Ejemplo 2: Resolver sen xcosx

4 4 x 4 d u senx du x sen x xdx u du u c sen sen x x C c          







Caso 2. Si l a pot encia del cos eno es im par y positiva, cons ervar un factor

coseno y pasar los factores rest ant es a senos . Ent onces, des arrol lar e integrar.









2 1 2

2 2

cos

cos

cos

cos

cos

cos

1 s

cos

m n m k m k

k _{m m} k

sen x

xdx

sen x

xdx

sen x

x

xdx

x

xsen xdx

sen x

en x

xdx























44

5 2 5 5 3 2 5 7 6 7 5 7 5 7

Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno: cos cos (1 s

Ejemplo 3: Resolver sen xcos x

) cos ( cos cos ) c

dx

os cos

6 7

sen x xdx sen x en x xdx sen x x sen x x dx u u sen x xdx sen x xdx u du u du C Ha          

















6 7 : 6 c 7 os

cemos sen x sen x C

u senx du xdx



  

 

Caso 3. Si las potenci as de ambos son pares y no negativas , us ar

repetidam ent e l as identi dades.

2

1 cos 2

2

1 cos 2

cos

2

2

x

x

sen x





y

x





N o t a : p a r a p o t e n c i a s d i f e r e n t e s c o n s u l t a r l i b r o s d e t a b l a s ma t e má t i c a s .

45





2 2





4 4 2 2 4 2 1 cos 2 1

cos . cos . . 1 2.cos 2 cos 2 .

2 4

1 1 1

cos . cos 2 . cos 2 . 4

Ejemplo 4: Resolver cos x.

2 4 1 1 ) 4 4 2 1 ) cos 2 . 2 2 dx . 2 x x dx x dx dx x x dx x dx dx x dx x dx a dx x u x b x dx _du du dx dx Sustituyendo y resolviend      _{ }              _{  } 



























2 4 1 1 1 1 : cos . cos . 2 2 2 4 4 4 1 1 1 cos 4 1 1 1

) cos 2 . . cos 4 . cos 4 .

4 4 2 8 8 8 1 1 . 4 8 32 1 1 1 1 cos . 2 . 4 4 4 8 32 3 1 1 2 4 8 4 32 du o u u du senu sen x x c x dx dx dx x dx dx x dx x s x s en x

x dx x sen x x sen x en x sen x C

       _{ }                 



















2 2 2 2 2 : 1 cos 2 1 co Ejemplo 5 : Re cos s 2 ~ (2), cos ~ (3) 2 2 (2) (3) (1) : 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1

(1

2 2 4 4

Aplicamos la identidad del ángulo duplo

x x

sen x x

Sustituyendo y en tenemos que x sol x x dx dx ver sen x xdx          _{  }      







2 2 1 4 1 cos 4 1 cos 4 1 2 2 4 4 1 1 1 1 4 8 8 8 32 cos4 1 2 4 cos4 1 2 4 cos 2 ) ~ (4) : 1 cos 4 cos 2 ~ (5) 2 . (5) en (4): 1 (1 ) (1 ) (1 ) 4 ( ) cos 4 cos x x x x x x dx Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez

x x Sust dx dx dx dx dx xdx               



















4 4 8 32 4 4 : dz x sen x zdz Hacemos z x dz dx De a hí q C ue dx      





46

Integrales que contienen potencias de secante - tangente y cotangente – cosecante.

Caso 4 . Si la potenci a de la se cante o cos ecant e es par y positi va y ha y

fact ores t angentes o cot angent e , conservar un factor s ecant e o cos ecant e cuadrado y convert ir los fact ores rest ant es en t angent e o cot angent e. Entonces des arroll ar e i ntegrar.

2 2 1 2 2 1 2

sec

k

x

tan

n

xdx



(sec )

x

k

tan

n

x

sec

xdx



(1 tan



x

)

k

tan

n

x

sec

xdx







Caso 5. Si l a pot enci a de l a t angent e o cotangente es impar y positi va y ha y

fact ores s ecant e o cosecant e, s e debe conservar un fact or s ecant e tangent e o cos ecante cot angente y convertir todos los dem ás en s ecante o secant e y luego desarroll ar e i ntegrar.

2 1 1 2 1 2

secm tan k secm (tan )k sec tan secm (sec 1) sec tank

x  xdx  x x x dx  x x x xdx







Caso 6. Si la t angent e o cot angente están s ol as y su pot enci a ( n) es

cualquier entero positivo , se convi ert e un factor cuadráti co de ellos en 2

sec x o c sc x y se deja todo lo demás en tangente o cotangente. Aplicar 2 est e proces o t ant as veces sea necesario hast a obt ener una tangent e o cot angente de n=1, l a cual se hará i nm edi at ament e.

2 2 2 2

tann xdx tann x(tan x dx)  tann x(sec x1)dx







Caso 7. Si s e ti ene una int egral de l a forma



sec

m

xdx

se apli can los si gui ent es crit erios .

a) Para m par apli car el caso 4

b) Para m impar apli car la int egraci ón por part e.

Caso 8. Si ni nguna s de l as guí as ant eri ores apli can trat ar de converti r el

integrando en s enos y cos enos.