FÓRMULAS EN EXCEL PARA EL CÁLCULO RÁPIDO DE LA ANOMALÍA DE BOUGUER

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SECRETARÍA DE LAS JORNADAS.

Coordinación de Investigación. Edif. Física Aplicada. Piso 2. Facultad de Ingeniería. Universidad Central de Venezuela. Ciudad Universitaria de Caracas. 1053 Telf.: +58 212-605 1644 | http://www.ing.ucv.ve

FÓRMULAS EN EXCEL PARA EL CÁLCULO RÁPIDO DE LA ANOMALÍA DE BOUGUER

Javier Sanchez-Rojas 1*, Mariana Lume 2, Carianna Herrera 2, Adrián Randon 2. 1_{FUNVISIS – Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas, Caracas, Venezuela.} 2_{Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela.}

*jsanchez@funvisis.gob.ve

RESUMEN

Se desarrolló una herramienta que permite calcular rápidamente la anomalía de Bouguer y su incertidumbre. Ésta pretende estandarizar y optimizar el procesamiento gravimétrico, dado que no existe actualmente ninguna de libre acceso, por lo cual cada conjunto de datos se procesa con metodologías distintas. Dicha herramienta fue diseñada en Excel, programando en su editor de

Visual Basic for Applications las fórmulas de primer y segundo orden de las correcciones y las

anomalías gravimétricas. Adicionalmente, se programaron las fórmulas de sus respectivos cálculos de error absoluto, deducidas por el método de propagación de las derivadas parciales. La evaluación de la herramienta sobre un conjunto de datos gravimétricos certificó que la capacidad de almacenar los datos procesados de manera homogénea facilita tanto la creación de bases de datos, con datos provenientes de diferentes fuentes, como la realización del control de calidad a los datos gravimétricos, sirviendo de garantía para su posterior interpretación.

Palabras Clave: Anomalía de Bouguer, propagación de la incertidumbre, procesamiento gravimétrico.

ABSTRACT

We developed a tool that allows to quickly calculate the Bouguer anomaly and its uncertainty. This tool was designed in Excel, the formulas for gravimetric corrections and anomalies of first and second order were programmed in its Visual Basic for Applications editor. In addition, the formulas for their respective absolute error calculations were programmed, deduced by error propagation of partial derivatives method. The evaluation of the tool on a set of gravimetric data has certified that the ability to store the homogeneously processed data, facilitates both the creation of database -with data form different sources- and conduction of quality control to the gravimetric data, serving as assurance for further interpretation.

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo fue desarrollado con el objetivo de la creación y el desarrollo de una herramienta que permita realizar de manera rápida y sencilla el procesamiento de datos gravimétricos para obtener la anomalía de Bouguer y su incertidumbre.

En la actualidad no existe ninguna herramienta de acceso libre y de fácil uso que optimice el procesamiento de los datos de gravedad con una base matemática estándar que permita homogenizar y construir bases de datos proveniente de diferentes fuentes. Específicamente, en Venezuela, los datos gravimétricos han sido tratados de forma no rigurosa y con diferentes metodologías y ecuaciones, lo cual hace imposible crear una base de datos que compile los datos existentes. Esta herramienta de procesamiento gravimétrico pretende tanto ser de fácil comprensión para principiantes como satisfacer las más rigurosas exigencias de los expertos, garantizando así un buen manejo de los datos gravimétricos para su posterior análisis e interpretación. Principalmente, se pretende establecer un procesamiento estándar que permita realizar la compilación y homogenización de los datos existente y de los datos que se obtengan en estudios nuevos. Con el objeto de cumplir lo anteriormente descrito, se crearon unas hojas de cálculo en el programa Microsoft Office Excel (2016).

Procesamiento de datos gravimétricos

Gravedad observada, gravedad teórica y anomalía de gravedad

La gravedad observada representa una medida del valor de la gravedad en cualquier punto en la superficie. Por su parte, la gravedad teórica, también conocida como campo de gravedad de referencia, es el efecto de la gravedad debido a un elipsoide de revolución [1]. En estudios geofísicos, se estudia la variación de la gravedad observada, g_obs, respecto a la gravedad teórica de una estación, valor conocido como anomalía y definido por la ecuación:

∆𝑔 = 𝑔𝑜𝑏𝑠− γ1980 1

Donde el valor de la gravedad teórica, γ₁₉₈₀, es calculado mediante la fórmula Somigliana [2] para el elipsoide de referencia en cualquier latitud, como muestra la ecuación 2.

γ1980 =

𝑔𝑒(1+𝑘 sin2𝜑)

√(1−𝑒2_sin2_𝜑) 3

Donde 𝑔_𝑒 es la gravedad normal en el ecuador del elipsoide de referencia GRS80, k es una constante derivada, e es la primera excentricidad numérica [e.g. 2, 3]. El valor remanente de la atracción gravitacional después de dar cuenta de la atracción gravitacional teórica en el punto de medición, se compensa por el efecto de la diferencia de altura y el material sobre el nivel de referencia establecido por el elipsoide de usado (γ₁₉₈₀). Adicionalmente, se remueve el efecto gravitatorio de la topografía. A este proceso se le conoce como reducción gravimétrica o cálculo

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de la anomalía [e.g. 3, 4, 5, 6] y recibe su nombre del matemático francés Pierre Bouguer (1698-1758).

La anomalía gravimétrica es definida como la diferencia escalar entre la gravedad teórica y la gravedad observada en el elipsoide corregida por variaciones temporales. Es de gran importancia en estudios geofísicos para determinar contrastes de densidad. Diferentes tipos de anomalías reflejan variaciones en los componentes usados en la definición de la gravedad teórica de la estación. Una de ellas es la anomalía de aire libre, la cual toma en cuenta la gravedad teórica debida al elipsoide GRS80 y el efecto atmosférico total en la estación, y es frecuentemente empleada en el modelado y la interpretación de mapas en áreas marinas sin variaciones gravimétricas importantes. La anomalía de Bouguer, por su parte, remueve el efecto de una capa esférica y modelos del terreno, y es usada en el modelado y la interpretación de mapas de anomalías gravimétricas terrestres [4, 7]. El cálculo de la anomalía de Bouguer viene dado por la ecuación 4. AB = gobs− γ1980+ 𝛿𝑔ℎ− 𝛿𝑔𝑎𝑡𝑚+ Ct− 𝛿𝑔𝐵𝐶 5 Donde 𝛿𝑔ℎ, 𝛿𝑔𝑎𝑡𝑚, Ct, 𝛿𝑔𝐵𝐶, representan respectivamente las correcciones gravimétricas de altura, atmosférica, topográfica y de Bouguer con capa esférica.

Correcciones gravimétricas

El valor de la gravedad observada no está definido solamente a partir de una medida instrumental, por lo que deben hacerse varias correcciones relacionadas a la fuente y otras relacionadas a la instrumentación. Tanto la corrección como la reducción se refieren a la conversión de las observaciones de gravedad primas en las anomalías de gravedad, eliminando de las medidas los efectos no geológicos [e.g. 8].

Corrección por mareas

Dada la alta sensibilidad de los instrumentos de adquisición gravimétrica, éstos pueden percibir los efectos de las mareas lunares y solares sobre la gravedad terrestre como una anomalía en la gravedad medida, que puede variar ±3 mGal. Los gravímetros actuales incluyen esta corrección en la lectura de gravedad [9].

Corrección por deriva instrumental

Se aplica esta corrección debido a que la fatiga del instrumento varía la lectura de gravedad en un mismo punto después de un cierto tiempo de uso del gravímetro [e.g. 10].

𝐷

_{𝑖𝑛𝑠𝑡}

=

𝑡𝑒𝑠𝑡

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Corrección atmosférica

Corrige la inclusión del efecto de la gravedad de la atmósfera en la gravedad teórica en el elipsoide que resulta por considerar la masa de la atmósfera como una función de la altura por encima del elipsoide [3, 4, 7].

𝛿𝑔_𝑎𝑡𝑚 = = 0,874 − 9,9𝑥10−5_{ℎ + 3,56𝑥10}−9_ℎ2 ₇

Corrección de altura

Corrige el efecto de la gravedad teórica relativo al datum vertical a la altura del punto de observación. La corrección de altura, en su aproximación de segundo orden, se muestra en la Ec. 6 [1, 3].

𝛿𝑔ℎ = −(0,3087691 − 0,0004398 sin2𝜑)ℎ + 7,2125𝑥10−8ℎ2 8 Corrección de Bouguer

Corrige el efecto de la gravedad causado por la suposición incluida en la corrección de altura, donde se corrige rellenando de “aire” entre el datum vertical y el punto de observación.Eta corrección considera que el espacio es rellanado con roca. Mas específicamente, con una losa curva que considera la curvatura el modelo elipsoidal usado. Para una capa esférica la ecuación está dada por:

𝛿𝑔_𝐵𝐶 = 2𝜋𝐺𝜎[(1 + 𝜇)ℎ − 𝜆𝑅] 9

Donde 𝑅 = (𝑅₀+ ℎ) [6, 11].

Corrección topográfica

Busca eliminar el efecto causado por las irregularidades del terreno tanto cercano como lejano a la estación de medición, es decir, considera los valles y montañas que la placa de Bouguer no consideró de forma parcial. Existen tablas y diagramas para estimar los efectos topográficos, pero en la actualidad se utilizan programas especializados.

METODOLOGÍA

Con la finalidad de alcanzar los objetivos planteados, se programaron las fórmulas relacionadas al cálculo de las correcciones gravimétricas, gravedad observada y teórica, anomalía de aire libre y Bouguer, así como los errores asociados a cada una de estas expresiones, utilizando el lenguaje

Visual Basic for Applications (VBA) en el programa Microsoft Office Excel (2016).

Las fórmulas de las correcciones y anomalías gravimétricas consideradas fueron las propuestas en las publicaciones de Hinze, et al. [3] y LaFehr [6], mientras que las fórmulas para el cálculo de la

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incertidumbre fueron derivadas usando las ecuaciones de propagación de errores para cada una de las correcciones y anomalías. Las fórmulas propagación del error se calcularon mediante el método de las derivadas parciales que consiste de la suma cuadrática de los errores.

Finalmente, al crear los códigos en VBA se utilizaron dos módulos, uno para las fórmulas de los valores reales y otro para las expresiones de sus errores respectivos. En cada código se establecieron variables, que son seleccionados por el usuario, ya que hacen llamados a celdas en las hojas de cálculo, donde se almacenan los datos adquiridos. A su vez, se añadieron comentarios y descripciones de la macro, con la finalidad de facilitar a los usuarios la comprensión y aplicación de las funciones.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La organización de los datos recolectados durante un levantamiento gravimétrico. Se planteó mediante el uso de un libro de Excel, compuesto en su forma más simple por tres hojas, con las etiquetas “Resumen”, “Bases” y “Circuitos”.

La hoja “Resumen” (Figura 1) muestra información sobre el cálculo de anomalías de las estaciones (bases y ordinarias) de manera concisa. Está conformada por un mínimo de 19 columnas y en estas se encuentran la identificación de las estaciones, sus coordenadas geográficas y UTM, así como la altura elipsoidal (h) y la altura ortométrica (H); la gravedad observada (Gobs_mG), teórica (Gt_mG), corrección atmosférica (Ac), corrección de aire libre (Hc), corrección topográfica (Tc), corrección de Bouguer (Bc) y Anomalía de aire libre (FAA) y de Bouguer tanto para capa plana (BAA) como para capa esférica (SBA). Columnas adicionales puedes ser incluidas para agregar más información si el usuario las necesita.

Las funciones en Visual Basic programadas para la hoja “Resumen” son:

Gt: Calcula el valor de la gravedad teórica usando la formula Somigliana (1 mGal = 10-5 m/sec2) de un punto con latitud dado un elipsoide de referencia.

Ac: Corrección de la gravedad por efecto atmosférico. Ecuación Wenzel (1985). Hc: Corrección de la gravedad teórica a la altura de la estación.

Bc: Corrección esférica de Bouguer de la gravedad para una capa esférica de 167.9 km. lFAAfast: Calcula la Anomalía de Aire Libre usando ecuaciones de 1er orden.

lBAfast: Calcula la Anomalía de Bouguer usando ecuaciones de 1er orden. SFAA: Calcula la Anomalía de Aire Libre usando ecuaciones de 2do orden. SBA: Calcula la Anomalía de Bouguer usando ecuaciones de 2do orden.

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SFAAfast: Calcula la Anomalía de Aire Libre usando ecuaciones de 2do orden. SBAfast: Calcula la Anomalía de Bouguer usando ecuaciones de 2do orden.

La hoja “Bases” (Figura 2) se presenta información acerca de las bases a considerar para cada circuito. Está compuesta por 12 columnas, correspondientes a la respectiva identificación, latitud, longitud, altura, estado, descripción (vértice), inscripción, gravedad absoluta, desviación estándar de la gravedad absoluta.

Finalmente, en la hoja “Circuitos” (Figura 3) puede tener 2 subtipos “Circuitos bases” y “Circuitos ordinarios”. En la hoja “Circuitos bases” se encuentran datos detallados de cada uno de los “amarres” a base, que pueden ser necesarios al llevar a cabo el levantamiento. La hoja “Circuitos ordinarios” muestra la información de los datos recolectados durante el levantamiento. En general, las hojas de circuitos y base poseen la misma estructura. Estas hojas están conformadas principalmente por 15 columnas, donde se indica el número del circuito, fecha de medición de las estaciones, altura, lectura reportada por el gravímetro junto con su error, tiempo de la medición, tiempo transcurrido, corrección por mareas, lectura corregida por mareas, deriva instrumental, lectura corregida por deriva, la gravedad observada y su error absoluto.

Las funciones en Visual Basic programadas para las hojas de “Circuitos” son:

TrasTime: Calcula de tiempo transcurrido en minutos usando formato 24 horas HH:MM:SS". VarminLineal, Calculo de la deriva instrumental en minutos (VarMin) mediante aproximación lineal.

DriftLineal: Calcula de la corrección por deriva instrumental para una estación medida (aproximación lineal).

gLineal Calcula de la gravedad observada con aproximación lineal de la deriva instrumental. formula rápida.

gQuad Calcula de la gravedad observada con aproximación cuadrática de la deriva instrumental. formula rápida.

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Figura 1. Vista de la tabla Resumen

Figura 2. Vista de la tabla de Bases.

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CONCLUSIONES

En conclusión, usando como plataforma Microsoft Excel, programando en su editor de Visual

Basic for Applications, se desarrollaron varias funciones permite calcular rápidamente la anomalía

de Bouguer y su incertidumbre. Las formulas usadas incluyen las fórmulas de 1er_{y 2}do_{orden de} las correcciones y las anomalías gravimétricas. Adicionalmente, se programaron las fórmulas de sus respectivos cálculos de error absoluto, deducidas por el método de propagación de las derivadas parciales.

La evaluación de la herramienta sobre un conjunto de datos gravimétricos certificó la calidad datos procesados. Esta herramienta permite homogenizar y estandarizar el procesamiento de los datos y facilitar la creación de bases de datos, con integrada por múltiples fuentes o levantamientos. La tablas y funciones son de libre acceso y están disponible en la paginas personales de los autores de esta manuscrito.

REFERENCIAS

[1] Li, X. y H.-J. Götze, (2001, "Ellipsoide, geoid, gravity, geodesy, and geophysics," Geophysics, vol. 66, pp. 1660-1668.

[2] Moritz, H., (1980, "Geodetic Reference System 1980," Bulletin Géodésique, vol. 54, pp. 395-405. [3] Hinze, W. J., C. Aiken, J. Brozena, B. Coakley, D. Dater, G. Flanagan, et al., (2005, "New standards

for reducing gravity data: The North American gravity database," Geophysics, vol. 70, pp. J25-J32. [4] Li, X., T. G. Hildenbrand, W. J. Hinze, G. R. eller, D. Ravat, y M. Webring, (2006, "The quest for

the perfect gravity anomaly: Part 1 --- new calculation standards," SEG Technical Program Expanded

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[5] Keller, G. R., T. G. Hildenbrand, W. J. Hinze, X. Li, D. Ravat, y M. Webring, (2006, "The quest for the perfect gravity anomaly: Part 2 --- Mass effects and anomaly inversion," SEG Technical Program

Expanded Abstracts, vol. 25, pp. 864-868.

[6] LaFehr, T. R., (1991, "Standardization in gravity reduction," Geophysics, vol. 56, pp. 1170-1178. [7] Featherson, W. E. y M. C. Dentith, (1997, "A geodetic approach to gravity data reduction for

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[8] Chapin, D. A., (1996, "The theory of the Bouguer gravity anomaly: A tutorial," The Leading Edge, vol. 15, pp. 361-363.

[9] Parasnis, D. S., (1997) Principles of Applied Geophysics: Chapman & Hall. [10] Lowrie, W., (2007) Fundamentals of Geophysics: Cambridge University Press.

[11] LaFehr, T. R., (1998, "On Talwani's ``Errors in the total Bouguer reduction''," Geophysics, vol. 63, pp. 1131-1136.