INSTITUCIÓN EDUCATIVA GENARO LEÓN SEDE DOS.
LA POTENCIACIÓN: Es el producto de varios factores iguales, que se puede escribir en forma abreviada haciendo uso de una base que será el factor que se repite; un exponente, que indica el número de veces que se repite un factor, y la potencia, que es el resultado de multiplicar tantas veces el mismo factor
Algunas potencias tienen nombres especiales asociados a su representación geométrica, tal es el caso de la potencia con exponente 2 llamado cuadrado y la potencia con exponente 3 llamado cubo. 2 2 22 = 2x2 = 4 y 2 x 2 se lee 2 al cuadrado 3 3 32 = 3 x 3 = 9 y 3 x 3 se lee 3 al cuadrado
Código de edmodo: Matemáticas 5-1: yvmi73 Matemáticas 5-2: cemw7x Matemáticas 5-3: 6jn45h Año/mes/día: 2021/ 01/28 Guía No. 2
APRENDIZAJES:
-Identifica y utiliza la potenciación y sus relaciones en la resolución de problemas matemáticos de la vida cotidiana.
-Reconoce conceptos de teoría de números como: múltiplos, divisores, números primos y compuestos, descomposición en factores primos y aplicarlos en la resolución de problemas - Grado: 5 Área: Matemáticas Asignatura: Matemáticas whatsapp 3165718850 Docentes/correo
Docente: José Raúl Guaitarilla. Crreo:luar15g@gmail.com
.Queridos niños (a. En la guía No. 2 de matemáticas van a desarrollar 2 aprendizajes; el1er aprendizaje que tratan sobre la potenciación, radicación y logaritmación aplicadas a la resolución de problemas matemáticos y el 2do aprendizaje sobre la relación del sistema de numeración como múltiplos, divisores, números primos y números compuestos, descomposición en factores primos. La guía se entrega el 5 de Marzo y plazo límite de entrega el 5 de Abril.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Para la valoración de sus trabajos se tendrá en cuenta los siguientes criterios:
-El desarrollo de los talleres planteados en la guía con su respectivo proceso serán explicadas por la plataforma meet. –El desarrollo de las tareas o ejercicios que se realizan en las clases. –La entrega oportuna de las actividades programadas a través de la plataforma edmodo. –El desarrollo de la evaluación de período en línea a través de la plataforma edmo, las valoraciones se realizarán en plataforma de edmodo .
33=3x3x3 = 27
Potencias de base diez
101 = ____ =___ 102= __x___ =__ 103= __x_ _x__=__ . 104= __ x __ x __x __=__ PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
- Potencias con exponente 0
Son aquellas que tiene como base un número y como exponente el cero o elemento neutro y equivalen a la unidad.
a0 = 1
Vamos a ver un ejemplo: 2 elevado a 0 es igual a 1. 20 = 1
- Potencias con exponente 1
Son aquellas que tiene como base un número y como exponente la unidad y son equivalentes a la base sin exponente. Sé que es algo muy evidente pero sigue siendo una peculiaridad de las potencias.
Vamos a ver un ejemplo: 2 elevado a 1 es igual a 2. a1 = a 21 = 2
-Producto de potencias con la misma base En este caso, vamos a ver lo que ocurre cuando multiplicamos dos potencias que tienen la misma base (a) y, por contra, tienen exponentes diferentes (n y m). Esta expresión se puede simplificar con una potencia con la misma base y sumando ambos exponentes (n + m).
an x am =an + m
Producto de división con la misma base
En este caso, vamos a ver lo que ocurre cuando dividimos dos potencias que tienen la misma base (a) y, por contra, tienen exponentes diferentes (n y m). Esta expresión se puede simplificar con una potencia con la misma base y restando el exponente del dividendo al del divisor (n – m).
an am = an-m
Problema. En un criadero de conejos hay 2 conejos el primer día, 4 el segundo día y 8 el tercer día. . Completa la tabla según la cantidad de conejos que hay en cada día. ¿En qué día habrá 64 conejos? ¿Cuántos conejos más habrá el día 11 que el día 10? ¿Es verdad que siempre la cantidad de conejos será el doble de la cantidad del día anterior?
Radicación: Es la operación inversa a la potenciación; permite hallar la base cuando se conoce el exponente y la potencia. En este caso el
Día Cantidad de conejos 1 2 2 4 3 8 4 5 6 7 3x 3 x 3 se lee 3 Al cubo
Sollama potencias
de 10 los números
que resultan al
tomar a 10
como base en la potenciación. Ej: 103 = 10x10x10= 1.000exponente se llamará índice, la potencia cantidad subradical o radicando y la base buscada se llama raíz
Al igual que en la potencia, cuando el índice es 2 se llama raíz cuadrada y si su índice es 3 se llama raíz cúbica, si el índice es 4 se llama raíz cuarta.
√25 = 5 √273 = 3 √164 = 2
. Resolución de problemas
Si un salón dispone de 49 puestos. Teniendo en cuenta que existe la misma cantidad de filas que de columnas, ¿Cuántas sillas hay en cada fila o en cada columna?
a.- Coloca en filas y columnas las 49 sillas de tal forma que se forme un cuadrado.
b. Resuelve matemáticamente √49 = 7 porque 7 x 7 = 49 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:Ejemplo
= =
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del
denominador: Ejemplo
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:
Ejemplo
=
TERCER TALLER DE POTENCICIÓN Y RACICACIÓN
NOBRE______________________GRADO-_____ 1. Lee la información. Luego resuelve los cuadrados
De un número, al número que tiene como exponente 2.Ej: 72 = 7X 7 = 49
Se lee: 7 al cuadrado. Muy fácil verdad.
. . 62 ____ x _____ = ___ . 182____ x _____ = . 102_____ x ____ = ___ . 152=______ x _____ = ___ 2. Calcula, mediante una potencia, la cantidad
de cuadritos en cada cuadrado.
2 x 2 3 x 3 ___ x ___ ___ x ___ 22=4 3 =____ =___ =___
3. Lee la información. Luego, resuelve los cubos 1x1x1=____=___
8x8x8=___=____ 9x9x9=___=____ 13x13x13=___=___
4- Encuentra cada raíz. Luego, enciérrala en la sopa de letras
5.- Lee la información. Luego, resuelve las potencias de 10
101=___=___
102=____x____=____
103=___x___x___=___
104=___x___x___x___=__
6. Completa teniendo en cuenta el primer ejemplo 7. Se llama cuadrado De un número, al número que tiene como exponente 2.Ej: 72 = 7X 7 = 49
Se lee: 7 al cuadrado. Muy fácil verdad.
Es igual a 49.
Se llama cubo de un número, al número que
tiene como exponente 3. Ej: 6x6x6 =63 = 216 Se lee: 6 al cubo es 216
Sollama potencias
de 10 los números
que resultan al
tomar a 10
como base en la potenciación. Ej: 103 = 10x10x10= 1.0002 x ___ x ___ __ x ___ x ___ ___ x ___ x __ =___ =___ =___
8 Une cada situación con la potencia que corresponde
9- Lee el problema y luego resuelve.
Joaquín compró un lote de forma cuadrada que Mide18 metros de lado. ¿Cuál es área del lote?
10.- Un salón dispone de 49 puestos. Teniendo en cuenta que existe la misma cantidad de filas que de columnas, ¿Cuántas sillas hay en cada fila o cada columna?
11- Escribe F o V según el caso
. 4x4x4 se puede abreviar como potencia. ( ) Porque: ___________________________ . 7+7+7 se puede abreviar como potencia. ( ) Porque: ____________________________ . 2x3x4 se puede abreviar como potencia ( ) Porque: ____________________________
. 6x6x6x6 se puede abreviar como potencia ( ) Porque: _________________________
12.- Escribe <, > o = Según corresponda. 42 24 73 45
82 101 92 44
13. Se realizará un trabajo relacionado con logaritmos en clase virtual y a los físicos se envía por whatsapp. En el conjunto residencial hay 12 jardines con doce docenas de rosas. En 6 tiendas del sector hay 6 paquetes de 6 chocolatinas 63 123 23 103 10 niños juegan con 10 decenas de cubos cada uno En dos mesas hay dos pares de platos
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Se obtienen al multiplicar ese número por cada uno de los números naturales
El conjunto de los múltiplos de un número es infinito.
Se puede simbolizar con la letra M y el número. El conjunto “múltiplo de 12” se escribe M12. Y se
puede representar así: M12 = 0, 12, 24, 36, 48,
60……
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Santiago tiene una floristería en la que vende ramos de sie- te girasoles. El empleado le pi dio 18 girasoles para elaborar 3 ramos. ¿Es suficiente la can Tidad de flores que le pidió? ANALIZA.
Una manera de responder es realizar la presentación de los ramos
En el dibujo se observa que para elaborar 3 ramos se necesitan 21 girasoles.
-Otra manera de responder es obtener los MÚLTIPLOS de 7 en este caso. Para esto se multiplica 7 por cada uno de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5….
7x0 7x1 7x2 7x3 7x4 7x5 7x
Múltiplos 0 7 14 21 28 35 …
El conjunto de múltiplos del 7 se representa así: M7 = 0, 7, 14, 21, 28, 35, ….
Los números 7, 14 y 21 son múltiplos de 7, mientra que 18 no lo es.
-Con una división se puede comprobar si un número es múltiplo de otro o no.
-a.El dividendo es múltiplo del divisor si el residu es cero.
21 7 0 3
b. .El dividendo no es múltiplo del divisor si el residu es distinto de cero.
18 7 4 2
Rta: La cantidad de girasoles que pidióel empleado no es suficiente. Para hacer 3 ramos se necesitan 21 girasoles.
DIVISORES DE UN NÚMERO
Los DIVISORE o factores de un número son los números que lo dividen exactamente.
-Una manera de saber si un número es divisor o factor de otro es que alo hacer la división el reciduo sea cero.
-Se puede simbolizar con la letra D y el número. -El conjunto “divisores de 24 se escribe D24.
-Se puede representar así: D24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
24
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE -Samuel está empacando
en cajas de diferentes ta- maños los viveres para un campamento. ¿Cuántas po sibilidades tiene para guar dar 6 bebidas hidratantes en
cajas que tengan la misma cantidad de bebidas,sin que sobre ninguna?
-En las figuras se representan las posibilidades que tiene Samuel.
Una caja con 6 bebidas 2 cajas con 3 bebidas
3 cajas con 2 bebidas 6 cajas con 1 bebida -Los números 1, 2, 3 y 6 son DIVISORES de 6, porque al dividir 6 entre cada uno de ellos el residuo es cero.
-Los divisores de un número también se pueden encontrar hallando todas las parejas de números cuyo producto sea el número dado.
1 x 6 = 6 2 x 3 = 6 D6 = 1, 2, 3, 6
Rta: Samuel tiene 4 posibilidades para guardar las 6 bebidas en cajas sin que sobre nigua
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de la divisibilidad permiten identificar cuando un número es divisible por otro. Ejemplo .570 es divisible por 2 porque termina en 0
Lee atentamente el diálogo
Entre Juliana y Camilo. ¿Tiene
Razón Camilo?
ANALIZA:
-Para responder, se analiza cada una de las condiciones planteadas por Juliana
-¿48 es un número par o impar? 48 2
08 24
0
48 es un número par porque al dividirlo entre dos el residuo es cero.
-¿48 es un número divisible por 3? 48 3
18 16 0
48 es divisible por 3 porque al dividirlo entre 3 su residuo es cero.
En el número 48 la cifra de las unidades es 8. ¿8 es divisible por 4?
8 4 0 2
8 es divisible por cuatro porque al dividirlo entre cuatro el residuo es cero.
Otra manera de responder, es utilizando los criterios de la divisibilidad.
Criterios de la divisibilidad por 2,3,4,5,6,9 y 10 Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Un número es divisible por 4 si el numero formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5
Un número es divisible por 6 si es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9
Un número es divisible por 10 si termina en 0
Rta: Camilo tiene razón, ya que el número 48 cumple con todas las condiciones dadas por Juliana.
Es el 48
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS. Según la cantidad de divisores, los números naturales pueden ser:
-Primos, si tiene exactamente dos divisores por ej. 2, 3, 5, 7, 11, y 13.
-Compuestos, si tiene más de dos divisores por ej. 6, 8, 9, 12, 20.
-El número 1 no se considera ni propio ni compuesto. SITUACIÓN DE APLICACIÓN
Para una prueba de matemáticas,
Milena debe identificar los números entre 1 y 100que solo tienen dos divisores. ¿Cuáles números cumplen la condición?
ANALIZA.
Para identificar los números entre 1 y 100 que tienen solo dos divisores, Milena puede seguir estos pasos.
-Escribe los primeros TABLA DE CRIBA 100 números. ERATÓSTENES
-Tacha el número 1. -Tacha los múltiplos
de 2 sin incluir el 2. -Tachar los múltiplos de 3 sin incluir el 3. -Tachar los múltiplos De 5 sin incluir el 5 -Tachar los múltiplos de 7 sin incluir el 7.
Los números que quedan sin tachar son los números que solo tienen 2 divisores, es decir, son NÚMEROS PRIMOS.
-Los números que se tachan, a excepción del 1, son números que tienen más de 2 divisores, es decir, son NÚMEROS COMPUESTOS.
Rta Los números que cumplen la condición son: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 91, 93, y97.
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Los números compuestos pueden expresarse como producto de factores primos; para ello se emplean un árbol de factores o las divisiones sucesivas. Los factores primos permiten encontrar el conjunto de sus factores.
Por: Un árbol de factores. Divisiones sucesivas 45 45 3 menor divisor
9 x 5 primo de 45 3 x 3 x 5 15 3 menor divisor
Al realizar el diagrama del primo de 15
Árbol se tiene en cuenta
5 5 menor número
Que el proceso finaliza cuan 1 primo de 5
do todos los factores 45 3 = 15 15 3 = 5 Son números primos. 5 5 = 1 Al realizar divisiones sucesivas se tiene en cuenta que el proceso finaliza cuando el cociente es igual a 1.
El número 45 se puede expresar como: 45 = 3 x 3 x 5
45 = 32 x 5
El número 45 puede expresarse como el producto de 3 x 3 x 5 donde todos los factores son números primos.
-Consulta sobre los usos que se le dan a los diagramas de árbol en matemáticas.
SEGUNDO TALLER DE LA GUÍA No. 2 MATEMÁTICAS
Nombre_____________________ Grado______ 1. Escribe los 6 primeros elementos de cada conjunto a. M8 = ___ , ____ , ____ , ____, ____, _____, b. M4 = ____ , _____ , ____ , ____, ____, ___ c. M10 = ____ , ____, ____ , _____, ____, ____ d. M12 = ____ , ____ , ____ , ___ , ____ , ____ e. M15 = ___ , ___ , ____ , ____ , ____ , ____
2. Encuentra el número que cumple las
condiciones dadas. . Número par, múltiplo de 12, mayor que 25 y menor que 40.______
b. Número impar, múltiplo de 5, mayor que 20 y menor que 30. ______
c. Múltiplo de 7, mayor que 30 y menor que 40.___ d. Múltiplo de 9, mayor que 50 y menor que60. ___ e. múltiplo de 11, mayor que 70 y menor que 80. __ 3. Halla los divisores de cada número y
escríbelos. a. D7 =
b. D4 =
c. D36 =
d. D42 =
4. Determina si cada afirmación es verdadera (v) o falsa (F). Justifica tu respuesta.
a. 3 es divisor de 313 ( ) b. 301 es múltiplo de 2 ( ) c. 4 es divisor de 736 ( ) d. 1 es divisor de todos los números ( ) e. 972 es múltiplo de 9 ( ) 5. Nombra cada conjunto de acuerdo al grupo de divisores.
a. 1, 3, 5, 15 ___ b. 1, 2, 3, 6, 9, 18 __ c. 1, 2, 4, 16, 32 ___ d. 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 e. 1 ___ ____
6. Completa la siguiente tabla (rellene con una x los cuadros que cumplan la divisibilidad de los números inscritos en la tabla)
Divisible por 2 3 4 5 6 9 10 Número 724 680 471 2655 6700
7. Encuentra los divisores de los siguientes números y clasifícalos en primos o compuestos. a. 33 b. 49 c. 5 d. 11 D33 = D49 = D5 = D11 = ____________ _______________ ____________ ____________
8. Completa el esquema para encontrar la descomposición en factores primos de cada número. a. 32 b. 81 c. 25 16 x 2 8 x 2 x 2 d e 1 5 p i m o d e 1 5 d e 1 5 p r i m o d e 1 5 m o d e 1 5 r i m o d e 1 5 d e 1 5 d e 1 5
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
9. Mariela asiste al gimnasio cada tres días, Marca los días del mes en los que asistió, si sabes que inició su programa de ejercicios el 3 de Julio.-¿Qué días asistió?
10. Rodrigo tiene un paquete De dulces como el que se observa en el dibujo y los quiere repartir en grupos iguales.
¿De cuántas formas los puede
Agrupar? Descríbelas (proceso por divisores)
11. Mario quiere construir Una caja de base rectangular con un volumen de 30cm3 y que sus dimensiones sean números primos. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la caja?
12. Soluciona la siguiente situación y compara la respuesta con uno de tus compañeros.
