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Aplicaciones geométricas
de límites y derivadas
Por: Liliana Lizbeth Dávila Santa Cruz
Asesor: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 2
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS
1. Sentido de concavidad de una curva 2. Puntos de inflexión
3. Gráficas de y : Teoremas 4. Asíntotas
5. Análisis general de las funciones y sus gráficas
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA
) (x
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 3
INTRODUCCIÓN
La matemática a pesar de su naturaleza abstracta muestra su utilidad en distintas ramas del saber humano, es decir, que dicha ciencia resulta necesaria en la resolución de problemas de diversa índole, no sólo matemáticos. Una muestra muy claro de ello es la contribución del cálculo, tanto diferencial como integral, en situaciones económicas, administrativas, contables, empresariales, entre otras.
En ese sentido, el cálculo diferencial representado por límites y derivadas, tiene aplicaciones también dentro del campo mismo de la matemática, principalmente en la geometría. Ante ello el presente trabajo de investigación destaca diversas aplicaciones geométricas para determinar la concavidad de una curva, los puntos de inflexión, hacer gráficas, identificar asíntotas y realizar análisis de funciones de manera general.
Así mismo, cabe precisar que este estudio se realiza a manera de resumen teniendo como fuente principal el libro de Claudio Pita denominado: Cálculo de una variable y se complementa con otros autores como Venero A. y Leithold L.
Desde esta óptica, se espera que este producto investigativo sea incentivo para que demás estudiantes y profesionales profundicen este tema o temas afines, reconociendo su trascendencia en la resolución de problemas del contexto matemático y real.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 4
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS
1. Sentido de concavidad de una curva
Sea f :I RRuna función derivable en el intervalo abierto I de R :
Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia arriba si su derivada R
R I
f': es una función creciente en I .
Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia abajo si su derivada R
R I
f': es una función decreciente en I .
Una caracterización geométrica de la concavidad de una curva es la siguiente: una curva es cóncava hacia arriba si sus rectas tangente se encuentran siempre por debajo de la curva, y es cóncava hacia abajo si sus rectas tangentes se encuentran siempre por encima de la curva.
Una curva cóncava hacia arriba tiene sus rectas tangentes por debajo de ella, y una curva cóncava hacia abajo tiene sus rectas tangentes por encima de ella.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 5 Teorema: Sea f :I RRuna función dos veces derivable definida en el
intervalo abierto I de R .
a) Si f''(x)0para toda xI, entonces la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en I .
b) Si f''(x)0para toda xI, entonces la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en I .
Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función 7 5 ) (x x6 x4 x2 f . Solución
En primer lugar, las derivadas de la función son:
10 12 30 ) ( ' ' 10 4 6 ) ( ' 2 4 3 5 x x x f x x x x f
Como f''(x)0para toda xR (es una suma de dos términos no negativos con un positivo) concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en todo R.
Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función 2
)
(x x3 x
f en el intervalo R .
Solución
Las derivadas de esta función son:
x x f x x f 6 ) ( ' ' 1 3 ) ( ' 2
Como para x Rse tiene f''(x)0, concluimos que la gráfica de la función 2
)
(x x3 x
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 6 Criterio de la segunda derivada para determinar extremos locales de una
función:
Sea f :I RRuna función definida en el intervalo abierto I de R tal que en el punto x0I se tiene f'(x0)0. Entonces:
a) Si f''(x)0 la función tiene un mínimo local en x . 0
b) Si f''(x)0 la función tiene un máximo local en x . 0
Ejemplo: Determine los extremos locales de la función x e x x
f( ) 2 usando el criterio de la segunda derivada.
Solución La derivada de la función es x e x x x f'( )( 2 2 ) la cual se anula en x0 0 y x1 2 (éstos son los puntos críticos). La segunda derivada de la función es:
x x x e x x x e e x x x f''( )( 2 2 ) (2 2)( 2 4 2)
Evaluando f' x'( )en los puntos críticos tenemos f''(0)20 y entonces, por el criterio de la segunda derivada la función dada tiene un mínimo local en x0 0. En
2
1
x se tiene f''(x)(482)e2 2e2 0y entonces, por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en x1 2.
2. Puntos de inflexión
La gráfica de una función continua f :I RR puede tener intervalos en los que es cóncava hacia arriba e intervalos en los que es cóncava hacia abajo. Cada uno de éstos los llamaremos intervalos de concavidad de la gráfica de la función. Según el teorema anterior (Sea f :I RRuna función dos veces derivable: si
0 ) ( ' ' x
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 7 uno de tales intervalos la segunda derivada de la función debe mantener signo constante.
Por lo tanto, en los puntos en donde hay un cambio de concavidad en la gráfica de la función la segunda derivada de ésta o es igual a cero o no existe. Estos puntos son análogos a los puntos críticos, en donde la función cambia su comportamiento de creciente a decreciente, o viceversa. Tales puntos reciben un nombre especial:
Para determinar los puntos de inflexión de una función debemos considerar los puntos en donde la segunda derivada de aquella es cero o no existe. Estos puntos serán los candidatos a puntos de inflexión (es decir, si la función tiene puntos de esta naturaleza, éstos deben estar en donde la segunda derivada es cero o no existe). Lo anterior no significa que en todo punto en donde f' x'( )es cero o no existe hay un punto de inflexión: debemos verificar que en estos puntos ocurre
A un punto de la gráfica de una función, en donde la gráfica cambia de concavidad se le llama punto de inflexión de la gráfica de la función.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 8 efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, pues se ha definido un punto de inflexión como un punto de la gráfica de la función en donde ocurre un cambio de concavidad en su gráfica, y no un punto en donde la segunda derivada es cero o no existe.
Es importante señalar que un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función. En los puntos en donde la función no existe (por ejemplo en algunas discontinuidades de la función) se pueden presentar también cambios en la concavidad de la gráfica; por lo tanto, al estudiar los intervalos de concavidad de la función debemos considerar (además de los puntos en donde la segunda derivada es cero o no existe) que en las discontinuidades puede haber cambios de concavidad en la gráfica de una función.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de ( ) x3 11 x f Solución 3 2 ' ) 1 ( 3 1 ) ( x x f , 3 5 '' ) 1 ( 1 . 9 2 ) ( x x f
Posibles puntos de inflexión x : 0
a) Tales que f ''(x0)0, no existen en este caso. b) Tales que f ''(x0) no existe: En x0 1
Análisis correspondiente:
a) x 1, : 0 f ''(x) es cóncava hacia arriba b) x ,1: f ''(x)0 es cóncava hacia abajo
Por lo tanto, el punto
x0,f(x0)
(1,1) es punto de inflexión de f y es además el único punto de inflexión.Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 9 Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de ( 4)3 4
2 1 x x . Solución 3 2 ' ) 4 ( ) 2 ( . 3 2 ) ( x x x f , 3 5 '' ) 4 ( ) 8 ( . 9 2 ) ( x x x f
Posibles puntos de inflexión: x8 y x4
Análisis correspondiente:
x f'(x) f ''(x) Conclusiones
2, < 0 > 0 Decreciente y
cóncava hacia arriba. 42, > 0 > 0 Creciente y cóncava hacia arriba. 84, > 0 < 0 Creciente y cóncava hacia abajo. ,8 > 0 > 0 Creciente y cóncava hacia arriba. En x2 hay un mínimo (2)33 2 3.8 f
Para x4 hay un punto de inflexión. Para x8 hay otro punto de inflexión.
Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de 3
4 )
(x x x
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 10 Solución
23 ' 4 ) 3 ( . 3 4 ) ( x x x f ,
53 '' 4 ) 6 ( . 9 4 ) ( x x x fPosibles puntos de inflexión: En aquellos x para los que 0 ( 0) 0
'' x f ó ( 0) '' x f no exista.
x0 4,x0 6 lo cual verificaremos analizando el signo de ( ) '' x f en 4, , 64, y ,6 . x f ''(x) Concavidad Conclusiones
4, > 0 Hacia arriba (4,f(4)): es punto de inflexión. )) 6 ( , 6 ( f : es un punto de inflexión. 64, < 0 Hacia abajo ,6 > 0 Hacia arriba
Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de f(x)10x23 2x53. Solución 3 1 ' (2 ) . 3 5 ) ( x x x f 3 4 '' ( 1) . 10 ) ( x x x f 0 ) ( '' x
f para x1 Esto significa que: Los posibles puntos de inflexión son: x0y x1. ) ( '' x f no existe para x0
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 11 x f ''(x) Concavidad Conclusiones 1, > 0 Hacia arriba ( f1, (1)): es punto de inflexión. )) 0 ( , 0 ( f : es un punto de inflexión. 01, < 0 Hacia abajo ,0 < 0 Hacia abajo 3. Gráficas de y : Teoremas
En este punto se resumirán aspectos correspondientes a las funciones crecientes y decrecientes, extremos locales, gráficas cóncavas hacia arriba y hacia abajo y puntos de inflexión; así como el contenido geométrico de estos conceptos. Todo ello para exprimir toda la información que se pueda a cerca de la función (y su gráfica) y poder interpretarla en términos de derivadas. A continuación se presentan dos teoremas que serán fundamentales para realizar el análisis de una función:
Teorema: Sea f :I RRuna función derivable en el intervalo abierto I de R .
b) Si f'(x)0para toda xI, entonces la función es creciente en I .
b) Si f'(x)0para toda xI, entonces la función es decreciente en I .
Teorema: Sea f :I RRuna función definida en el intervalo abierto I de R .
c) Si f''(x)0para toda xI, entonces la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en I .
b) Si f''(x)0para toda xI, entonces la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en I .
) (x
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 12 Cuando además se supone que la función involucrada es dos veces derivable, los resultados anteriores toman el aspecto más fuerte:
De esta manera se puede decir que:
Un extremo local def(x)corresponde a una raíz de f' x( ), es decir, a un punto en donde f' x( ) cruza al eje x. En el caso de máximo local de f(x), la gráfica de f' x( )pasa de arriba para abajo del eje x, y en el caso de mínimo local de
) (x
f , la gráfica de f'(x) pasa de abajo para arriba del eje x.
Un punto de inflexión de la gráfica de f(x) corresponde a un extremo local de )
( ' x
f . En caso de que el punto de inflexión separe una parte cóncava hacia La función R R I f : es creciente La función R R I f : es decreciente 0 ) ( ' x f xI 0 ) ( ' x f xI Gráfica de R R I f :
cóncava hacia arriba
Gráfica de R R I
f :
cóncava hacia abajo
0 ) ( ' ' x f xI 0 ) ( ' ' x f xI
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 13 arriba (en la izquierda) de una parte cóncava hacia abajo (en la derecha), se tendrá un máximo local en f' x( ) y en el caso de que el punto de inflexión separe una parte cóncava hacia abajo (en la izquierda) de una parte cóncava hacia arriba (en la derecha) se tendrá un mínimo local en f' x( ).
Ejemplo: Dada la gráfica de f(x), bosquejar la gráfica de f'(x).
Solución
Resumiremos en una tabla las observaciones de la gráfica de f(x) dada, y las conclusiones que se pueden obtener de f' x( ) y su gráfica.
Punto o intervalo Lo que se puede decir de f(x) y su gráfica ) ( ' x f f''(x) Conclusión acerca de f' x( ) y de su gráfica 1 x x
a Es lineal creciente. + 0 Gráfica por encima del eje x. Es
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 14 constante.
1
x Máximo local. No existe No existe Discontinuidad.
2 1 x x x Es decreciente. Gráfica cóncava hacia arriba. - +
Gráfica por debajo del eje x. Es creciente.
2
x Mínimo local. 0 + Raíz de f' x( ).
Es creciente. 3 2 x x x Es creciente. Gráfica cóncava hacia arriba. + +
Gráfica por encima del eje x. Es creciente.
Entonces, un bosquejo de la gráfica de f' x( ) sería:
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 15 Ejemplo: Dada la gráfica de f(x), bosquejar la gráfica de f' x( ).
Solución
En este ejemplo ocurre una situación nueva: en el punto x2, en donde hay un
pico en la gráfica de la función, que indica la no existencia de la derivada, se observa que la recta tangente a f(x)tiende a ser vertical cuando x se aproxima a x2tanto
por la derecha como por la izquierda. Es decir, f' x( ) tiende a infinito cuando x
tiende a x2. Sin embargo, se observa que si
x2
x , las rectas tangentes correspondientes son siempre de pendiente positiva (cada vez más verticales) por
lo que ) (
lim
2 x f x x .Otro hecho notorio es lo que ocurre en x3. En este punto se trata de marcar un
punto de inflexión, el cual corresponderá a un extremo local de f' x( ). Sin embargo la recta tangente en este punto es horizontal y por tanto f'(x3)0. Así,
el extremo local correspondiente de f' x( ) se alcanza en el eje x.
Con estas observaciones se puede concluir que:
Punto o intervalo Lo que se puede decir de f(x) y su gráfica ) ( ' x f f' x'( ) Conclusión acerca de f'(x) y de su gráfica 1 x x a Es decreciente. Gráfica cóncava - +
Gráfica por debajo del eje x.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 16
hacia arriba. Es creciente.
1
x Mínimo local. 0 + Raíz de
) ( ' x f . Es creciente. 2 1 x x x Es creciente. Gráfica cóncava hacia arriba. + +
Gráfica por encima del eje x. Es creciente.
2
x Máximo local. No existe No existe Discontinuidad.
3 2 x x x Es decreciente. Gráfica cóncava hacia arriba. - +
Gráfica por debajo del eje x. Es creciente. 3 x Punto de inflexión. Recta tangente horizontal. 0 0 Máximo local sobre el eje x. b x x3 Es decreciente. Gráfica cóncava hacia abajo. - -
Gráfica por debajo del eje x. Es decreciente.
Entonces, un bosquejo de la gráfica de f' x( ) sería:
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 17
4. Asíntotas
Para poder hacer un análisis completo de una función y lograr un bosquejo adecuado de su gráfica, necesitamos considerar la posibilidad de existencia de asíntotas de la función. De manera intuitiva, una asíntota es una recta “que se confunde con la gráfica de la función en puntos muy alejados del origen”. Una manera común en que esto puede ocurrir es que la gráfica de la función “se pegue cada vez más a tal recta a medida que se aleja del origen”. En ese sentido, encontramos diversos tipos de asíntotas:
Una asíntota vertical es una recta xa para la cual se tiene:
) (
lim
f x a x ) (lim
f x a x Una asíntota horizontal es una recta y para la cual se tiene: L
L x f x ) (
lim
f x L x ) (lim
Una asíntota oblicua es una recta ymxb,con m0 para la cual se tiene que: 0 )) ( ) ( (
lim
f x mxb xLa idea al determinar este tipo de asíntotas es procurar valores de m y b tal que la distancia entre f(x) y mxbes cada vez más pequeña a medida que x se hace muy grande. Ejemplo: Dada 3 4 4 ) ( x x x
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 18 Solución a) ) (
lim
3 x f x , ) (lim
3 x f x ) (lim
3 x f x , ) (lim
3 x f xEntonces:x3 y x3 son asíntotas verticales
b) 1 ) 3 ( 4 4 ) (
lim
lim
x x x x x x f m x x
4 3 4 4 ) (lim
lim
x x x mx x f b x xEntonces: y x4 es una asíntota oblicua derecha
c)
1 3 4 4 ) (lim
lim
x x x x x x f m x x
4 3 4 4 ) (lim
lim
x x x mx x f b x xEntonces: y x 4es una asíntota oblicua izquierda
En total existen cuatro asíntotas y ninguna es horizontal. Análogamente, si suponemos que ''( )0
c
f también llegaremos a un absurdo. Por lo tanto, como )
(
''
c
f existe, debe ser igual a 0.
Ejemplo: Hallar todas las asíntotas de la gráfica de la función
1 ) ( 2 2 x x x f , , 1 1, x Solución a) 1 . 2 1 ) 1 )( 1 ( ) ( 2 1 2 1 1
lim
lim
lim
f x x x x xx x x xAplicaciones geométricas de límites y derivadas 19 Entonces: Asíntota vertical:x1 también se prueba que x1es otra asíntota vertical. b) 1 1 1 1 1 ) ( 2 2
lim
lim
lim
x x x x x f m x x x
0 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 2 2lim
lim
lim
x x x x x mx x f b x x x …………. (1)Entonces: ymxb y es una asíntota oblicua derecha x
c)
1 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 2lim
lim
lim
lim
x x x x x x x x f m x x x x
0 1 1 ) ( 2 2 2 2lim
lim
lim
z z z x x x mx x f b z x x Por (1) para x z Entonces yxes una asíntota oblicua izquierda
Lo cual tiene sentido pues la gráfica de f es simétrica respecto al eje y, así en total se tienen cuatro asíntotas.
5. Análisis general de las funciones y sus gráficas
En este último punto se realizarán análisis de funciones que incluirán información sobre:
Su dominio.
La continuidad (por ejemplo, indicar los puntos donde la función es discontinua).
Los intervalos de monotonía. Los extremos locales.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 20 Los intervalos de concavidad.
Los puntos de inflexión. Las asíntotas.
Ejemplo: Hacer un análisis general de la función f(x)x2(3x).
Solución
a) Preliminares: Puesto que la función dada es polinomial está definida y es continua en todo R.
b) Lo que se puede obtener con la primera derivada: investiguemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los extremos locales; se tiene que
2 3 6 ) ( ' x x x
f , de modo que los puntos críticos son las raíces de la ecuación 0 ) 2 ( 3 ) ( ' x x x
f , es decir, x1 0 y x2 2. Para investigar los intervalos de monotonía dividimos la recta en intervalos (,0),(0,2),(2,), marcados por los puntos críticos. En cada uno de ellos tomamos un punto representativo y evaluamos la derivada. El signo del resultado que obtengamos será el signo que tenga la derivada en todo el intervalo correspondiente. Por ejemplo, tomamos
) 0 , ( 1
, para el cual f'(1)6(1)3(1)2 90. Entonces la función es decreciente en el intervalo (,0). Tomamos 1(0,2), para el cual
0 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 6 ) 1 ( ' 2
f . Entonces la función es creciente en el intervalo (0,2). Tomamos 3(2,), para el cual f'(3)6(3)3(3)2 90. Entonces la función es decreciente en el intervalo (2, . Si usamos el criterio de la primera derivada ) ya podemos concluir que en x0la función tiene un mínimo local y en x2tiene un máximo local.
c) Lo que se puede obtener con la segunda derivada: este aspecto abarca el estudio de los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. La segunda derivada de la función es f''(x)66x. Los posibles puntos de inflexión son las
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 21 raíces de f''(x)66x0 es decir x1. La recta real queda partida por este punto en los intervalos ( y ,1) (1, . Para ver la concavidad de la gráfica de la ) función en cada uno de estos intervalos tomamos un punto en cada uno de ello y evaluamos f''(x). El signo obtenido es el signo de f''(x) en todo el intervalo. Tomamos por ejemplo 0(,1), para el cual f''(0)60 y entonces la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo ( . Tomamos ahora ,1)
) , 1 (
2 , para el cual f''(x)66(2)60 y entonces la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en el intervalo (1, . De aquí vemos también que en )
1
x hay efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, y que es, por tanto, un punto de inflexión.
d) Las asíntotas: Es un hecho general que una función polinomial no tiene asíntotas de ningún tipo.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 22 Ejemplo: Hacer un análisis general de la función f(x)x5arctanx.
Solución
a) Preliminares: La función está definida y es continua en todos los reales. Además es una función impar, pues:
) ( ) 5 ( arctan 5 ) arctan ( 5 ) arctan( 5 ) ( x f arctamx x x x x x x x x f
De modo que su gráfica deberá ser simétrica respecto al origen.
b) Lo que se puede obtener con la primera derivada: investiguemos los intervalos de monotonía y los extremos locales de la función. Su derivada es:
1 4 1 5 1 ) ( ' 2 2 2 x x x x f
De tal manera que los puntos en donde f'(x)0 son las raíces de la ecuación 0
4
2
x , es decir, x1 2y x2 2. La recta queda dividida en tres intervalos de signo constante de f' x( ) a saber(,2),(2,2),(2,). Tomamos el valor
) 2 , ( 3 , para el cual 0 2 1 1 ) 3 ( 4 ) 3 ( ) 3 ( ' 2 2
f , así f'(x)0para toda x en el intervalo (,2). Tomamos el valor 0(2,2), para el cual f'(0)40, así,
0 ) ( ' x
f para toda x en el intervalo (2,2). Tomamos el valor 3(2,), para el
cual 0 2 1 1 ) 3 ( 4 ) 3 ( ) 3 ( ' 2 2
f , así f'(x)0para todo x en el intervalo (2, . )
Concluimos entones que la función es creciente en los intervalos (,2),(2,)y decreciente en el intervalo (2,2). De aquí, se concluye también que en x2 la función tiene un máximo local, con f(2)25arctan(2)3.53574 y que en
2
x hay un mínimo local, con f(2)25arctan(2)3.53574.
c) Lo que se puede obtener con la segunda derivada: la segunda derivada de la función es:
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 23
2
2
2
2 2 2 2 2 1 10 1 2 4 2 1 1 4 ) ( ' ' x x x x x x x x x x fLa única raíz de f''(x)0es x0. Resulta claro que para x0 se tiene 0
) ( ' ' x
f y para x0 se tiene que f''(x)0, de modo que efectivamente x0es un punto de inflexión con f(0)0. La gráfica de la función es cóncava hacia arriba en R y cóncava hacia abajo en R .
d) Asíntotas: La función f(x)x5arctanxno tiene asíntotas, pues no hay valor alguno a de x para el cual
) (
lim
f x a x(por esta razón no hay asíntotas verticales) y además
lim
f(x)x
es infinito (por lo cual no hay asíntotas horizontales).
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CONCLUSIONES
La utilización de teoremas sobre límites y derivadas en la resolución de problemas geométricos relacionados al estudio de funciones, facilita un análisis detallado de las mismas (sentido de concavidad, puntos de inflexión, asíntotas) y una acertada construcción de sus respectivas gráficas.
El estudio del cálculo y sus aplicaciones geométricas constituyen una base sólida en el quehacer matemático puesto que permite el desarrollo de capacidades fundamentales, así como las netamente matemáticas: razonamiento, demostración, comunicación matemática y resolución de problemas; gracias a la aplicación de fórmulas y métodos eficaces.
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BIBLIOGRAFÍA
Fuente principal:
Pita, C. (1998). Cálculo de una variable. Primera edición. México: Prentice-Hall Hispanoamericana.
Fuentes complementarias:
Leithold, L. (1998). El Cálculo. Séptima edición. México: Oxford University Press.
Venero, A. (2002). Análisis matemático I. Primera edición. Perú: ediciones Gemar.
