Ejemplos Doble Integracion Con Macaulay

(1)

1

CON MACAULAY

EJEMPLO 3.1 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 3. Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas.

40

12 ₂₈

7 3

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos

M x

( ) 12



x



40 x



7

Primera integración EI dv 6x2 20 x 7 2 C₁

dx    

Segunda integración EIv2x36.667 x7 3C x C₁  ₂

2. Condiciones de frontera y constantes de integración

Condición de Frontera Sustitución Constantes

0 0

x v EI

   

0 2 0 36.667 0 7 3C1

 

0 C2

C

2



0

10 0

x v EI

   

0 2 10 36.667 3

 

3C1

 

10 C1 182

3. Ecuaciones Finales 4. Valores de giro y deflexión en x=3 2 2 3 3

6

20

7

182

2

6.667

7

182 dv

EI

x

dx

EIv

x









 

2 2 3 3

6 3

20 3 7

182

128

128 2 3

6.667 3 7

182 3

492

492 dv

EI

dx

dv

dx

EI

EIv

v

EI





 







 





(2)

2

1500

2571.429 _3428.571

2 4 1

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos M x( )2571.429x750 x2 2750 x6 2

Primera integración EI dv 1285.714x2 250 x 2 3 250 x 6 3 C₁

dx      

Segunda integración EIv428.571x362.5 x2 462.5 x6 4C x C₁  ₂

Cond. de Frontera Sustitución Constantes

0 0 x v EI

 

0 428.571 0

 

3C₂

C

₂



0

7 0 x v EI

 

0 428.571 7

 

362.5 5

 

462.5 1

 

4C1

 

7 C1 15428.571 3. Ecuaciones Finales 3 3 2 1285.714 250 2 250 6 15428.571 dv EI x x x dx       4 4 3 428.571 62.5 2 62.5 6 15428.571 EIv x  x  x  x

4. Valores de giro y deflexión en x=3.5

 

2

 

3 522.321 1285.714 3.5 250 1.5 15428.571 dv dv EI dx dx EI     

 

3

 

4

 

35941.406 428.571 3.5 62.5 1.5 15428.571 3.5 EIv v EI     

(3)

3

360

216 324

1 3 1

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos M_{ }_x 216x20 x1 3180 x4 220 x4 3

Primera integración EI dv 108x2 5 x 14 60 x 4 3 5 x 4 4 C₁

dx        

Segunda integración EIv36x31 x1 515 x4 41 x4 5C x C₁  ₂

Cond. de Frontera Sustitución Constantes

0 0 x v EI

 

0 36 0

 

3C1

 

0 C2

C

2



0

5 0 x v EI

 

0 36 5

 

31 4

 

515 1

 

41 1

 

5C₁

 

5 C1 698.4 3. Ecuaciones Finales 4 3 4 2 108 5 1 60 4 5 4 698.4 dv EI x x x x dx         5 4 5 3 36 1 1 15 4 1 4 698.4 EIv x  x  x  x  x

4. Valores de giro y deflexión en x=4.5

 

4

 

3

 

4 2 746.1 108 5 3.5 60 0.5 5 0.5 698.4 dv dv EI x dx      dx  EI

 

5

 

4

 

5

 

3 386.55 36 1 3.5 15 0.5 1 0.5 698.4 4.5 EIv x v EI       

(4)

4

5 6 10 4 3 3 340 60

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos M x( ) 340 60 x2x26 x 3 10 x8

Primera integración EI dv 340x 30x2 0.667x3 3 x 3 2 5 x 8 2 C₁

dx         

Segunda integración EIv 170x210x30.167x41 x3 31.667 x8 3C x C₁  ₂

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera Constantes

0 ' 0 x v 

C

1



0

0 0 x v C20 3. Ecuaciones Finales 2 2 2 3 340 30 0.667 3 3 5 8 dv EI x x x x x dx         3 3 2 3 4 170 10 0.167 1 3 1.667 8 EIv  x  x  x  x  x

4. Valores de giro y deflexión en x=8

 

2

 

3

 

2 1216.333 340 8 30 8 0.667 8 3 5 dv dv EI dx dx EI       

 

2

 

3

 

4

 

3 6567.667 170 8 10 8 0.167 8 1 5 EIv v EI       

(5)

5

300

515 ₄₃₅

1 3 2 4

500

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración

3 2 3 ( ) 515 16.667 1 150 4 16.667 4 500 6 M x  x x  x  x  x 4 3 4 2 2 1 257.5 4.167 1 50 4 4.167 4 250 6 dv EI x x x x x C dx          5 4 5 3 3 1 2 85.333 0.833 1 12.5 4 0.833 4 83.333 6 EIv x  x  x  x  x C x C

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera Constantes

0 0 x v

C

2



0

10 0 x v C1 5397.25 3. Ecuaciones Finales 4 3 4 2 2 257.5 4.167 1 50 4 4.167 4 250 6 5397.25 dv EI x x x x x dx           5 4 5 3 3 85.333 0.833 1 12.5 4 0.833 4 83.333 6 5397.25 EIv x  x  x  x  x  x

4. Valores de giro y deflexión en x=7

3257.75 dv dx  EI

13688.25 v EI  

(6)

6

4 3 2 5 100 200 300 375 1275 1

1. Ecuación de Momentos con funciones discontinuas y doble integración

  2 3 2

50

375

4

50

7

200

9 1275

10

x

M

 

x



x

 

x



x

 

x



x



2 3 2 2 3 4 1 3 4 3 3 4 5 1 2 16.667 187.5 4 16.667 7 100 9 637.5 10 2.5 10 4.167 62.5 4 4.167 7 33.333 9 212.5 10 0.5 10 dv EI x x x x x dx x C EIv x x x x x x C x C                             

2.

Condiciones de Frontera

 

4 1 2 4 3 4 3 1 2 4 0 0 4.167 4 4 10 0 0 4.167 10 62.5 6 4.167 3 33.333 1 10 x v EI C C x v EI C C                  3. Ecuaciones simultáneas 1 2

4

1 1066.667

10 1

27862.5

C

 





_





 













 





(7)

7

1 2

4465.972

16797.222

C

  





  

_







 

5. Ecuaciones finales 2 3 2 2 3 4 3 4 3 3 4 5 16.667 187.5 4 16.667 7 100 9 637.5 10 2.5 10 4465.972 4.167 62.5 4 4.167 7 33.333 9 212.5 10 0.5 10 4465.972 16797.222 dv EI x x x x x dx x EIv x x x x x x x                             

6. Valores de deformación en ambos extremos

4465.972

9788.194

0

15 16797.222

42690.972

dv

EI

dx

x

EIv



_



_{ }





_



_



_{ }



_{ }





7.

Ubicación de tangentes horizontales

a.

Suponiendo v'0 en 0 x 4 1 3 2 3

3.2235 5.5832

50

0 4465.972

3.2235 5.5832

3 6.4470

x

i

x

i

x

 







 



_

 





_



(8)

8 



2 1 3 2 3 50 0 187.5 4 4465.972 1.9665 7.5733 3 7.3169 x x x i x       _    _ 

Nota: dos complejas y la otra fuera de rango, ninguna es útil.

c. Suponiendo v'0 en 7 x 9





2





3 1 3 2 7.3173 50 50 0 187.5 4 7 4465.972 1.4712 3 3 x x x x x          _{  } 

Nota: el valor de x1 es correcto (dentro del rango supuesto)

d. Suponiendo v'0 en 9 x 10





2





3





2 1 3 2 7.0394 50 50 0 187.5 4 7 100 9 4465.972 3.4368 3 3 x x x x x x            _{ } 

Nota: las dos raíces fuera de rango, ninguna es útil.

e. Suponiendo v'0 en 10 x 15





















2 3 2 2 3 4 1 2 3 4 50 50 0 187.5 4 7 100 9 637.5 10 3 3 2.5 10 4465.972

18.0561 4.5753

8.3572

4.4695

x x x x x x

x

i

x

i

x

            













 

(9)

9

8. Valor(es) de desplazamiento en donde hay tangentes horizontales

a. Sólo se tiene un punto con tangente horizontal en x=7.3173

7.3173 6218.083 x EIv 9. Gráfico de deflexiones 4.00 3.00 2.00 1.00 5.00 100 200 300 375 1275 0 4 7.3173 9 10 15 - 40000 - 30000 - 20000 - 10000 0 10000 (0,-16797.222) (15,-42690.972) (7.3173,6218.083)