UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 1
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTE
MAS E INFORMÁTICA
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Contenido
INTRODUCCIÓN ... 4
1.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALOR ... 5
2.
TEOREMA DE BOLZANO (TB) ... 10
3.
MÉTODO DE BISECCIÓN ... 11
4.
Método de Regula Falsi o Método de Falsa Posición ... 16
5.
MÉTODO DE LA SECANTE ... 20
6.
MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES
SUCESIVAS ... 23
7.
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON ... 27
8.
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES ... 30
8.1.
Algoritmo del Punto Fijo en dos variables : ... 30
8.2.
Algoritmo de Newton – Rapson ( N.R ) en dos variables : ... 35
9.
METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES ... 40
9.1.
METODO DE CROUT - DOOLITLE ... 40
9.2.
METODO DE CHOLESKY ... 43
10.
MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ... 47
11.
MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ... 55
12.
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ... 65
12.1.
METODO DE JACOBI ... 65
12.2.
METODO DE GAUSS- SEIDEL ... 74
13.
INTERPOLACIÓN ... 88
13.1.
INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL ... 88
13.2.
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL ... 93
13.2.1.
Interpolación de Stirling ... 93
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13.2.3.
Interpolación de Everett ... 94
13.3.
INTERPOLACIÓN INVERSA. ... 97
13.3.1.
Interpolación Inversa No Lineal ( IINL ) ... 97
13.3.2.
Interpolación Inversa No Lineal de tercer orden ... 99
14.
INTEGRACIÓN NUMERICA ... 110
14.1.
Para intervalos Simples ... 110
14.1.1.
Método del trapecio ... 110
14.1.2.
Método de Simpson de 1/3 ... 110
14.1.3.
Método de Simpson de 3/8 ... 111
14.2.
Integración Numérica para intervalos compuestos ... 114
14.2.1.
Método del trapecio compuesto ... 114
14.2.2.
Método de Simpson de 1/3 compuesta. ... 114
14.2.3.
Método de Simpson de 3/8 compuesta. ... 117
15.
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) ... 119
16.
INTEGRACION DE ROMBERG ... 131
17.
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON
VALOR INICIAL... 137
18.
DIFERENCIA NUMERICA ... 149
18.1.
Para Newton Progresivo ( NP ) ... 150
18.2.
Para Newton Regresivo ( NR ) ... 151
19.
PREDICTOR – CORRECTOR... 156
20.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ... 158
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INTRODUCCIÓN
En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un
sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea
como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta
necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.
Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un
índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo
se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir
problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.
Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto
sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación
(personales) de los métodos directos (que son mas difíciles de programar). El lenguaje de
programación idóneo para tal fin será matlab 6.0
Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para
completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud
de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua
superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.
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1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALOR
1.1.
Definición de cifras significativas
Son valores o números diferentes de cero.
El cero no será considerado cifra significativa si está en el extremo.
Ejemplo
El cero no será considerado cifra significativa si está en el extremo.
Pero el si el cero está entre los números diferentes de cero, entonces es cifra significativa.
1.2.
Descomposición polinómica de un número.
Todo valor o número se le puede expresar como una descomposición de potencia de 10.
Ejemplo 1.2.1.
Ejemplo 1.2.2.
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Ejemplo 1.2.3.
1.3.
Orden de la descomposición polinómica
{ }
Ejemplo 1.3.1.
{ }
entonces
Ejemplo 1.3.2.
{ }
entonces
Ejemplo 1.3.3.
{ }
entonces
1.4.
Error absoluto
Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o
negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS:
Se define por la siguiente relación:
Donde:
es el orden de la descomposición polinómica.
número de cifras significativas exactas.
DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS:
Se define por la siguiente relación:
Donde:
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Ejemplo 1.4.1.
Sea ParaError Absoluto
( ) | | { } EntoncesCifra significativa exacta
Entonces tiene dos cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene 2 cifras decimales exactas
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ParaError Absoluto
( ) | | { } EntoncesCifra significativa exacta
Entonces tiene dos cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene 2 cifras decimales exactas
Para
Error Absoluto
( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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{ } Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene cuatro cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene cuatro cifras decimales exactas.
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2. TEOREMA DE BOLZANO (TB)
Sea la ecuación no lineal ( )
Donde ( ) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial),
definida y continua en
Si ( ) ( ) entonces existe la raíz o solución
〈 〉 tal que (
)
Ejemplo 2.1.
( )
Por Teorema de Bolzano localizamos el intervalo donde exista la raíz.
Es evidente que ( ) sigue siendo continua en
〈 〉
Como ( ) ( ) entonces
〈 〉 tal que (
)
Observación:
Es evidente que si ( ) ( ) entonces
o
es la raíz de la ecuación.
El teorema de Bolzano nos garantiza mostrar que existirá por lo menos una raíz si es que cumple los
requisitos.
El intervalo apropiado a usar se recomienda que sea distanciado a 1 o menor, como lo fue en este
caso del intervalo 〈 〉 del ejemplo 2.1.
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3. MÉTODO DE BISECCIÓN
Dado la ecuación no lineal ( ) tal que existe la raíz
por T.B.
El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo
La idea es encontrar el valor que se aproxime o sea igual a la raíz
de la ecuación ( )
Algoritmo de bisección:
P-1.-
Dado la ecuación ( ) tal que existe la raíz
por T.B.
P-2.-
Generar la sucesión {
}
mediante la siguiente relación
P-3. – Hallar (
) (
)
Si (
) (
) entonces hacer
Es decir, que
tome el valor de
Y que
tome el valor de
Si (
) (
)
entonces hacer
Es decir, que
tome el valor de
Y que
tome el valor de
Si (
) (
)
entonces hacer
Es decir, que
sea la raíz de ( )
P-4. - Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
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Ejemplo 3.1.
( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈 〉
b) Por Bisección hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( ). Se dejará de iterar si | |
Entonces | | | |
Si es verdadera entonces es solución con dos cifras significativas exactas.
Iteración inicial Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Primera iteración Entonces | | ( )
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Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Segunda iteración Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Tercera iteración Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Cuarta iteración Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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Entonces , Quinta iteración Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Sexta iteración Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Sexta iteración Entonces | | ( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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Relación válida sólo para BisecciónDado la ecuación ( ) tal que existe la raíz por T.B. Conociendo:
El intervalo inicial de la Bisección.
el orden de la descomposición polinómica de . numero de cifras significativas exacta de . Entonces esta fórmula:
Donde numero entero menor, indicando la cantidad de iteraciones
Ejemplo 3.2.
Tomando el ejemplo 3.1., comprobando el número de iteraciones que se requiere dado su número de cifras significativas exactas( ), es el siguiente:
( ) ( ) Entonces
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4. Método de Regula Falsi o Método de Falsa Posición
Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos
intervalos
El método de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalos
Algoritmo del método de R.F.
P-1.-
Dado la ecuación ( ) tal que existe la raíz
por T.B.
P-2.- Generar la {
}
mediante la relación
(
)
(
)
(
) (
)
P-3. – Hallar (
) (
)
Si (
) (
) entonces hacer
Es decir, que
tome el valor de
Y que
tome el valor de
Si (
) (
)
entonces hacer
Es decir, que
tome el valor de
Y que
tome el valor de
Si (
) (
)
entonces hacer
Es decir, que
sea la raíz de ( )
P-4. - Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
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Ejemplo 4.1.
( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈 〉
b) Por RF hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( ). Se dejará de iterar si | |
Entonces | | | |
Si es verdadera entonces es solución con dos cifras significativas exactas. Iteración inicial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Primera iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( )
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Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Primera iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Tercera iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Cuarta iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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Se sigue iterando ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces { Entonces , Quinta iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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5. MÉTODO DE LA SECANTE
Algoritmo del método de la secante.
P-1.-
Dado la ecuación ( ) tal que existe la raíz
por T.B.
P-2.- Generar la {
}
mediante la relación
(
)
(
)
(
) (
)
P-3. - Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
Ejemplo 5.1.
( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈 〉
b) Por la secante hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( ).
Se dejará de iterar si | | Entonces | |
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Si es verdadera entonces es solución con dos cifras significativas exactas.Sea Entonces , Segunda iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Tercera iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Cuarta iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Quinta iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( )
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Sexta iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Séptima iteración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces | | ( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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6. MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE
APROXIMACIONES SUCESIVAS
Algoritmo:
P-1.-
Dado la ecuación ( ) tal que existe la raíz
por T.B.
P-2.- De ( ) despejar de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma:
( )
Donde ( ) es llamado punto fijo.
Generar la {
}
mediante la relación
(
)
Donde
Tomando como valor
arbitrario tal que
¿Condición de convergencia ?
Existe {
}
si se cumple lo siguiente:
a)( )
b)
( ) tal que |
( ) | ; 〈 〉
es llamado constante de Lipschitz
{ | ( ) | | ( ) | }
P-3. - Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
(
)
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Ejemplo 6.1.
( ) ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈 〉
b) Por punto fijo verificamos convergencia
De ( 1 ) { ( ) Entonces ( ) , ( ) , ( ) ( ) Análisis para ( ) ( ) Primera condición ¿ ( ) ?
( ) ( ) no cumple la primer condición
Entonces { } con Análisis para ( )
Primera condición ¿ ( ) ?
( ) ( ) no cumple la primer condición
Entonces { } con Análisis para ( )
Primera condición ¿ ( ) ? ( ) , ( )
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Segunda condición ¿ | ( ) | 〈 〉 ? Si ( ) entonces ( ) ⁄ , | ( ) | | ( ) | { | ( ) | | ( ) | } { } entonces | ( ) | { } con ( )
c) Obtener una solución con dos cifras significativa exacta( n = 2 )
Se deja de iterar si | | Con
| |
Con ( ) su relación de recurrencia :
(
)
entonces⁄ Sea Iteración inicial ⁄ ⁄ Entonces | | ( ) Primera iteración ⁄ Entonces | | ( )
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Segunda iteración ⁄ Entonces | | ( ) Tercera iteración ⁄ Entonces | | ( ) Cuarta iteración ⁄ Entonces | | ( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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7. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
El Método de Newton - Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación ( )
, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de ( ) y se necesita
una aproximación inicial muy cercana a la raíz.
Se requiere que ( ) sea doblemente continua y diferenciable en .
Algoritmo:
P-1.-
Dado la ecuación ( ) tal que existe la raíz
por T.B.
P-2.- Generar la {
}
mediante la relación
(
)
(
)
Convergencia de N-R.
Existe {
}
si
|
( ) ( )( ) ( )| y
(
)
( )(
)
Esto significa que
está muy cercano a la raíz.
P-3. - Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
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Ejemplo 7.1.
( ) ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈 〉
b) Verificar su convergencia por N.R.
Si ( ) entonces ( ) ( ) ( )( ) ( ) Veremos si es válido o no.
( ) ( )( ) entonces no es válido para iterar. Veremos si es válido o no
( ) ( )( ) entonces es válido para iterar.
| ( ) ( )( )
( ) | ( )
{ } por N.R. c) En la iteración ¿ Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución ?
Con y con ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Escogeremos para dos cifras significativas exactas ( n = 2 )
Se deja de iterar si | | Con
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Iteración inicial ( ( ) ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Primera Iteración ( ( ) ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Segunda Iteración ( ( ) ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Segunda Iteración ( ( ) ) ( ) ( ) Entonces | | ( ) Entonces es solución con dos cifras significativas exactas.UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS
VARIABLES
Dado el Sistema:
( )
… ( 1 )
( )
tal que
,
8.1.
Algoritmo del Punto Fijo en dos variables :
P-1.- De ( 1 ) despejar e respectivamente para obtener una relación de la siguiente forma.
( )… ( 2 )
( )
P-2.- De ( 2 ) g
enerar la sucesión:{
}
{
}
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
( ) , ( )
Donde
P-3. - Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
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para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
Condición de convergencia del punto fijo:
{
}
{
}
Si se cumple lo siguiente:
| |( ) | |( ) y | |( ) | |( ) Donde ( ) ( )Ejemplo 8.1.1.
( ) ( ) ( ) ( )a) Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ( ).
(i) Primero formamos de (1) la forma ( )
De (2) se obtiene ( ) De ( ) en (1) se obtiene ( ) (ii) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.
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〈 〉(iii) De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1
〈 〉 Sea Luego de ( ) : entonces b) { } { } ( ) se tiene entonces ( ) ( ) se tiene entonces ( ) | |( ) | |( ) | |( ) | |( ) | ( )| ( ) | |( ) | |( ) | |( ) | |( ) | | ( )
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Por lo tanto f y g cumplen la condición de convergencia.c) Por punto fijo obtener una solución con dos cifras significativas exactas ( ). Se dejará de iterar si:
| | con | | Entonces | | con | |
| | con |
|
Si es verdadera entonces ( ) es solución con dos cifras significativas exactas.
Teniendo :
entonces
entonces
con ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) Entonces | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) Entonces | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces
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( ) Entonces | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) Entonces | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) Entonces | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) Entonces | | ( ) | | ( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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8.2.
Algoritmo de Newton – Rapson ( N.R ) en dos variables :
P-1.- Dado el sistema siguiente tal que
tal que,
por T.B.
( )
( )
P-2.- Generar
la sucesión:{
}
{
}
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
|
|
( )|
|
( )|
|
( )|
|
( )Donde ( ) ( ) ( ) ( )
P-3. -
Dejar de iterarse
para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
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para el caso de cifras
Significativas exactas ( )
|
|
para el caso de cifras
Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
Condición de convergencia del NR:
{
}
{
}
Si se cumple :
( ) | | ( )
Ejemplo 8.2.1.
( ) ( ) ( ) ( )
Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ( ). (i) Primero formamos de (1) la forma ( )
De (2) se obtiene ( ) De ( ) en (1) se obtiene ( ) (ii) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.
〈 〉
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(iii) De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1〈 〉 Sea
Luego de ( ) : entonces
Entonces el punto inicial es ( ) ( ) a) { } { }
Verificando su convergencia por Newton Raphson
( ) ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) Entonces ( ) Por lo tanto { } { } Sea lo siguiente:
|
|
( )|
|
( )UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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| | ( ) | | ( )|
|
( )|
|
( )|
|
( )|
|
( )(
)
(
)
b) Por este método, una solución con dos cifras significativas exactas ( n = 2 ). Se dejará de iterar si:
| | con | | Entonces | | con | |
| | con | | Si es verdadera entonces ( ) es solución con dos cifras significativas exactas.
( ) ( )
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Entonces( ) Entonces | | ( ) | | ( ) ( ) ( )
Entonces
( ) Entonces | | ( ) | | ( )
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9. METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LIENALES
9.1. METODO DE CROUT - DOOLITLE
Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es:
Donde:
A:
es la matriz a factorizar.L :
es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”.U :
es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.Ejemplo 9.1.1.
[
]
Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares. [ ] [ ] [ ]
Se tiene un sistema de 9 ecuaciones con 12 variables, entonces existe infinitas soluciones. Se fijará tres variables. Sea
[ ] [ ] [ ]
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Primera columna:
Entonces
Entonces
Entonces
Segunda columna:
Entonces
Entonces
Entonces
Tercera columna:
Entonces
Entonces
Entonces
[
] [
] [
]
Para un sistema lineal de la forma:
Donde A se factoriza de la forma:
L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior Sea: ( )
Ejemplo 9.1.2.
Calculando [ ] tal que con [
] y [ ]
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Se sabe ( ) ( ) Sea la cual [ ] [ ] [ ] [ ] Entonces Entonces Entonces [ ] [ ] [ ] Entonces Entonces Entonces [ ]UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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9.2. METODO DE CHOLESKY
Primera versión
También para resolver el sistema para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente: 1) es simétrico, es decir debe cumplir
2) sea definida positiva.
Ejemplo 9.2.1.
Desarrolle: [ ] [ ] [ ] Dado : [ ] entonces Viendo si es definida positiva:entonces [ ] entonces
[
] entonces Por lo tanto A es positiva, entonces se puede aplicar cholesky.
Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.
[ ] [ ] [ ]
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Primera columna: ( ) Entonces Entonces Entonces Segunda columna: ( ) ( ) Entonces Entonces Tercera columna: ( ) ( ) ( ) Entonces √ [ ] [ √ ] [ √ ]Calculando [ ] tal que con [
] y [ ] Se sabe ( ) ( ) Sea la cual [ ] [ √ ] [ ] [ ] Entonces Entonces √ Entonces √
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[ √ ] [ ] [ √ ] √ √ Entonces Entonces Entonces[
]
Segunda versión
Para la solución del sistema
cuando no es simétrica. Pero hacia se le puede hacer transformar.
Ejemplo 9.2.2.
Para la solución del sistema:
[
] [ ] [ ] En donde A no es simétrica.
Se le puede hacer transformar en pasos elementales de Matriz.
[
] ( ) ( )
[ ]
Entonces la nueva matriz es [
] con [ ] Siendo A simétrica y positiva
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[] [ ] [ ] Es idéntico al ejemplo 9.2.1.
Obtiene esta expresión, en la que [ ] se mantiene igual:
El desarrollo, para hallar [ ], es la misma en la versión 1, obteniendo [ ] [ ] [ ] es solución de [ ] [ ] [ ]
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10. MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.
Sea el sistema de ecuaciones de la forma:
ALGORITMO TRIDIAGONAL:
P-1: Del sistema , expresarlo como ̅ Sea ̅ , C es constante arbitraria / { } De la Ec. (1) despejar ̅ De la Ec. (2) despejar ̅ De la Ec. (3) despejar ̅ …………. De la Ec. (n-1) despejar ̅ De la Ec. (n) despejar ̅
Pero como no existe ̅ se hace lo siguiente:
Tal que: ( ) donde R: vector residual Se tiene ̂ ( ̅ ̅ ̅ )
̅
̅
(
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Si es solución deSi es solución de
P-2: Del sistema expresarlo como ̅̅ y sea ̅̅ , se procede como P-2, llegando a lo siguiente:
Tal que: ( ) donde S: vector residual Se tiene ̂ ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) Si es solución de Si es solución de Se tiene: …….. ( ) …….. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Se busca una relación: Tal que: ( ) ⁄
Ejemplo 10.1.
Sea el sistema: ( ) ( ) ( ) ( )Paso 1
Sea el sistema: ( ) ̅̅̅ ̅̅̅ ( ) ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ) ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ( ) ̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅
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Sea ̅̅̅ constante arbitraria.En ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ̅̅̅ , ̅̅̅ , ̅̅̅ En ( 4 ) Como No existe se hace lo siguiente:
Tal que r es valor residual. Entonces
Paso 2
Del sistema entonces ̅ Sea tal que ̿̿̿ ̿̿̿ { }
( ) ̿̿̿ ̿̿̿ ( ) ̿̿̿ ̿̿̿̿ ̿̿̿ ( ) ̿ ̿ ̿̿̿ ( ) ̿ ̿̿̿
De ( 1 ) , ( 2 ) , y ( 3 ) se consigue ̿̿̿ , ̿̿̿ , ̿̿̿
En ( 4 ) Como No existe se hace lo siguiente:
̿ ̿ Tal que t es valor residual. Entonces
Del paso 1 se obtiene: ̂ ( ) con Del paso 2 se obtiene: ̂ ( ) con
La solución es:
̂ ̂ ( )
( )
( )
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Ejemplo 10.2.
Resolver: 2 2 Del sistema ̅ ̅ ̅ ……… (1) 2 ̅ ̅ ̅ ….….. (2) 2 ̅ ̅ ̅ ……… (3) ̅ ̅ ……… (4) Sea ̅ , { } ̅ De (1): ̅ De (2): ̅ 0 De (3): ̅De la ec. (4) despejo ̅ , pero como no existe ̅ ̅ ̅
̂ ( ̅ ̅ ̅ ) ( ) Del sistema ̅̅
Sea ̅̅ ̅̅ , luego se procede como P-2 ̿ ̿
̿ , en ̿ ̿ ̿ ̿ , en ̿ ̿ ̿
̿ , en ̿ ̿
Observación:
Si cambiar el valor inicial de ̿
̂ ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( )
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Se busca una solución ̂ ̂ Tal que: ⁄Verificando: 2
2( ) ( ) ( )
Ejemplo 2
(Solución de sistemas lineales en Tribanda)
Sea en Tribanda.
( )
( )
( )
( )
Algoritmo del sistema Tridiagonal
Solución:
Del sistema ̅
( ) ̅
̅
̅
̅
( ) ̅
̅
̅
̅
( ) ̅
̅
̅
̅
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
⁄
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( ) ̅
̅
̅
̅
Sea ̅
, C vector arbitrario talque { }
Entonces:
De (1) despejo ̅
:
( ) ̅
̅
De (2) despejo ̅
:
( ) ̅
̅
̅
De (3) despejo ̅
:
( ) ̅
̅
̅
De (4) despejar ̅
; pero ̅
:
( ) ̅
̅
Y se tiene que:
̂ ( ̅
̅
̅
̅
)
( )
Ahora expresarlo como ̿ es un vector nulo.
( ) ̿
̿
( ) ̿
̿
̿
( ) ̿
̿
̿
( ) ̿
̿
̅
̅
̅
̅
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Sea ̿
{ }
sea
De (1) despejar ̿
:
( ) ̿
̿
De (2) despejar ̿
:
( ) ̿
̿
̿
De (3) despejar ̿
:
( ) ̿
̿
̿
̂ ( ̿
̿
̿
̿
)
( )
De (4) despejar ̿
, pero ̿
entonces:
( ) ̿
̿
Entonces:
̂
̂
[
] [
] [
]
[
] [
]
Comprobación:
̿
̿
̿
̿
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-46+24+13
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11. MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.
Ejemplo 11.1.
Dado el sistema se tiene lo siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Paso 1
Del sistema original expresando en la forma ̅
( ) ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ) ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅
Sea ̅̅̅ ̅̅̅ ( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero ) De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene ̅̅̅ , ̅̅̅ , ̅̅̅
De ( 4 ) como NO existe ̅̅̅ se hace lo siguiente
̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ entonces De ( 5 ) como NO existe ̅̅̅ se hace lo siguiente
̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ entonces
Entonces [ ] [ ] Se tiene ̂ ( )
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Paso 2
primera solución homogéneaDel sistema original expresando en la forma ̿ ( ) ̿̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿̿ ( ) ̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿̿ ̿̿̿ ( ) ̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿̿ ( ) ̿̿̿ ̿̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ ( ) ̿̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿
Sea ̿̿̿ ̿̿̿
( dos números cualesquiera )
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene ̿̿̿ , ̿̿̿ , ̿̿̿ De ( 4 ) como NO existe ̿̿̿ se hace lo siguiente
̿̿̿ ̿̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ entonces De ( 5 ) como NO existe ̿̿̿ se hace lo siguiente
̿̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ entonces
Entonces [ ] [ ] Se tiene ̂ ( )
Paso 3
segunda solución homogéneaDel sistema original expresando en la forma ̅̿
( ) ̅̅̅ ̿̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̅̿̿̿̿ ( ) ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̅̿̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿
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( ) ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̅̿̿̿̿( ) ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̅̿̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ( ) ̅̅̅̅̿̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿
Sea ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene ̅̅̅̿̿̿ , ̅̅̅̿̿̿ , ̅̅̅̿̿̿ De ( 4 ) como NO existe ̅̅̅̿̿̿ se hace lo siguiente
̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅̅̿̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ entonces De ( 5 ) como NO existe ̅̅̅̿̿̿ se hace lo siguiente
̅̅̅̅ ̿̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ ̅̅̅̿̿̿ entonces Entonces [ ] [ ] Se tiene ̂ ( )
Paso 4
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Entonces La solución ̂ ̂ ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) Es decirUNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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Ejemplo 11.2.
Dado el sistema resolver el siguiente sistema pentadiagonal
2
+ 3
+
= 8
EC(1)
3
+ 2
+ 4
+
= 15
EC(2)
+ 4
+
+ 4
+ 2
= 13
EC(2)
+ 4
+ 2
+
= 19
EC(4)
2
+
+ 7
= 15
EC(5)
PASO DEL ALGORITMO
P-1: Expresar el sistema como A. = b
2
+ 3
+
= 8
Ec(1)
3
+ 2
+ 4
+
= 15
Ec(2)
+ 4
+
+ 4
+ 2
= 13
Ec(3)
+ 4
+ 2
+
= 19
Ec(4)
2
+
+ 7
= 15 Ec(5)
Sea
= 0
= 1 cte arbitrario
De Ec(1) despejar
= 5
pues 0 + 3(1) +
= 8
De Ec(2) despejar
= 7
Pues 0 + 2(1) +4(8) +
= 15
De Ec(3) despejar
= 16
Pues 0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2
= 13
De Ec(4) despejar
; como
, hacemos lo sgte. :
