Ejercicios Resueltos de Algebra de Baldor

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EJERCICIO 13

13

V a l o r n u m é r i c o

Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o

1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:

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EJERCICIO 14

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EJERCICIO 15

15

S u m a Suma de monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos

2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma:

a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común

b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto

c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal

Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

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16

S u m a Suma de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna

3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos

c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b

d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b

4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

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EJERCICIO 17

17

S u m a Suma de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna

3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos

c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b

d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b

4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

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EJERCICIO 18

18

S u m a

Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna

3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo

4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.)

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EJERCICIO 19

19

S u m a

Suma de polinomios y valor numérico P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios 2. Se suman los polinomios

3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado

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EJERCICIO 20

20

R e s t a Resta de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado

3. Se reduce la expresión resultante

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

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EJERCICIO 21

21

R e s t a Resta de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

3. Se reduce la expresión resultante

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

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EJERCICIO 22

22

R e s t a Resta de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

3. Se reduce la expresión resultante

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

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EJERCICIO 23

23

R e s t a Resta de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

3. Se reduce la expresión resultante

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

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EJERCICIO 24

24

R e s t a

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios P r o c e d i m i e n t o

1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

3. Se reduce la expresión resultante

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

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EJERCICIO 25

25

R e s t a

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios P r o c e d i m i e n t o

1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

3. Se reduce la expresión resultante

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

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26

R e s t a

Resta de polinomios y valor numérico P r o c e d i m i e n t o

1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

3. Se reduce la expresión resultante

4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico 5. Se simplifica aritméticamente el resultado

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5: De:

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EJERCICIO 27

27

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento

1. Se ordenan los polinomios

2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso

4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna

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EJERCICIO 28

28

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento

1. Se ordenan los polinomios

2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso

4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna

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EJERCICIO 29

29

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento

1. Se ordenan los polinomios

2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo

4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo

5. Se efectúa la suma indicada

Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d.

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EJERCICIO 30

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EJERCICIO 31

31

Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación

Procedimiento

Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo

2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo

3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes

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EJERCICIO 32

32

Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación

P r o c e d i m i e n t o

1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más interiores

2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes"

3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes"

4. Se reducen los términos semejantes

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EJERCICIO 33

33

Signos de agrupación

Introducción de signos de agrupación Procedimiento

Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera:

1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original

2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia

Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +:

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EJERCICIO 34

34

Signos de agrupación

Introducción de signos de agrupación Procedimiento

Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera:

1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original

2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia

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EJERCICIO 35

35

Multiplicación Multiplicación de monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos

3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los

exponentes de los factores"

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EJERCICIO 36

36

Multiplicación Multiplicación de monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos

3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los

exponentes de los factores"

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37

Multiplicación Multiplicación de monomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")

2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el

denominador del producto"

3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los

exponentes de los factores"

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EJERCICIO 38

38

Multiplicación Multiplicación de monomios Producto continuado de monomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos menos es par el producto es positivo

2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los

numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto"

3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los

exponentes de los factores"

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EJERCICIO 39

39

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden:

a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si.

c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos ...

2. Se ordena el polinomio resultante

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EJERCICIO 40

40

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden:

a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadores

c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ...

2. Se ordena el polinomio resultante

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41

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación de polinomios por polinonomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas

3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...

5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes

Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

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EJERCICIO 42

42

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Ejercicios Resueltos

Multiplicación de polinomios por polinomios

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas

3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...

5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes

Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

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EJERCICIO 43

43

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación de polinomios por polinomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas

3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...

5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes

Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

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EJERCICIO 44

44

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación de polinomios con coeficientes separados P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas

3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)

4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna

6. Se reducen los términos semejantes

Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores

Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.d.)

Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

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M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación por coeficientes separados P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término

3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador

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EJERCICIO 46

46

M u l t i p l i c a c i ó n Producto continuado de polinomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor

2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas

3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...

5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes

Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis

Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos"

Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

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EJERCICIO 47

47

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación combinada con suma y resta P r o c e d i m i e n t o

1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del

multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos)

2. Se reducen los términos semejantes

Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio":

Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades":

Ley de los signos + por + da +

+ por - da - - por + da - - por - da +

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Supresión de signos de agrupación con productos indicados

P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen los signos de agrupación más internos 2. Se reduce

3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación

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EJERCICIO 49

49

D i v i s i ó n División de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos

2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

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EJERCICIO 50

50

D i v i s i ó n División de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos

2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

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EJERCICIO 51

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D i v i s i ó n

División de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos

2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

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D i v i s i ó n

División de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera:

3. Se aplica la ley de los signos

4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

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EJERCICIO 53

53

D i v i s i ó n

División de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.

2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos

4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el

denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

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EJERCICIO 54

54

D i v i s i ó n

División de dos polinomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente

3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante

4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente

5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante

6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...

7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

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EJERCICIO 55

55

D i v i s i ó n

División de dos polinomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente

3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta

4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente

5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta

6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...

7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece

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EJERCICIO 56

56

D i v i s i ó n

División de dos polinomios P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente

3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta

4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente

5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta

6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...

7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece

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EJERCICIO 57

57

División de polinomios con coeficientes fraccionarios Dividir:

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EJERCICIO 58

58

D i v i s i ó n

División de polinomios por el método de coeficientes separados P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra

2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término

3. Se efectúa la división con los coeficientes

4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente

Dividir por coeficientes separados:

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Cociente mixto Hallar el cociente mixto de:

EJERCICIO 60

60

Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos Procedimiento

1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 2. Se efectúan las operciones indicadas

3. Se simplifica

Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa

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EJERCICIO 61

61

M i s c e l á n e a

Suma, resta, multiplicación y división

1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. Solución:

5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2° 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1° -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°.

2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B. Solución:

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EJERCICIO 62

62

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o

1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2

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EJERCICIO 63

63

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o

1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio

2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2

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EJERCICIO 64

64

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o

1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"

2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

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EJERCICIO 65

65

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o

1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"

3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

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EJERCICIO 66

66

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Cubo de un binomio P r o c e d i m i e n t o

1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3:

2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"

3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

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EJERCICIO 67

67

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables

Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) P r o c e d i m i e n t o

1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio

2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos)

3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes

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