Las
matemáticas
y la
educación
Vol. 9 Núm. 46 ener o-marzo 2009 V ol. 9 Núm. 46 ener o-marzo 2009Instituto Politécnico Nacional
José Enrique Villa Rivera Director General Efrén Parada Arias Secretario General
Yoloxóchitl Bustamante Díez Secretaria Académica
Luis Humberto Fabila Castillo Secretario de Investigación y Posgrado José Madrid Flores
Secretario de Extensión e Integración Social Héctor Martínez Castuera
Secretario de Servicios Educativos Luis Antonio Ríos Cárdenas Secretario Técnico
Mario Alberto Rodríguez Casas Secretario de Administración
Luis Eduardo Zedillo Ponce de León
Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas
Jesús Ortiz Gutiérrez
Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones
Klaus Michael Lindig Bos
Coordinador General de Servicios Informáticos Luis Alberto Cortés Ortiz
Abogado General
"
La Técnica al Servicio de la Patria"
www.ipn.mxCECSA
GRUPO EDITORIAL PATRIA
I
nmersa en una peculiar sociedad de vertigi-nosos cambios que caracterizan el siglo XXI, Innovación Educativa tiene el compromiso de difundir los avances en innovación e investiga-ción educativa, generar y compartir informainvestiga-ción, conocimiento y experiencias con la comunidad educativa nacional y latinoamericana. Pero, además, como avanzar es la raíz y razón de la evolución, está en permanente proceso de mejora a fin de satisfacer las demandas de la comunidad académica.Por ello a partir de este año Innovación Educativa pasa a ser monográfica en su versión impresa. El primer número en este concepto está dedicado a la problemática de la enseñan-za y el aprendienseñan-zaje de las matemáticas en los diversos niveles educativos, tema que por su extensión no se agota con este número.
Varios términos en el área educativa se refie-ren a estudios, actividades docentes e investi-gaciones en la línea de procesos pedagógicos en matemáticas: en Europa se designan como didáctica de la matemática, en América Latina como educación matemática, y en México un gran sector de docentes le denominan mate-mática educativa.
Es claro que el lector no encontrará una fórmula para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ya que es una problemática muy compleja en la que intervienen diversas variables didácticas y en general educativas. De hecho, no existe una receta para enseñar mate-máticas en los diferentes niveles educativos, pero sí se puede contar con lineamientos recto-res que ayudan a la enseñanza efectiva y a un mejor aprendizaje en los estudiantes; para ello, cada docente deberá adaptarlos según el tipo de alumnos que tenga, los objetivos que persiga y la modalidad educativa en que trabaje.
Las
matemáticas
y la
Directora Coordinadora Editorial Comité Editorial Comité de Arbitraje
Yoloxóchitl Bustamante Díez
Alicia Lepre Larrosa
Alfonso Ramírez Ortega, INDEPENDIENTE Alicia Vázquez Aprá, UNRC, ARGENTINA Ana Ángela Chiesa, CIBA, ARGENTINA Carlos Barroso Ramos, IPN
Claudia Marina Vicario Solórzano, IPN Esperanza Gracia Expósito, UCM, ESPAÑA Francisco J. Chávez Maciel, IPN Hernando Roa Suárez, UPN, COLOMBIA Jesús Sebastián, CSIC, ESPAÑA
Jorge Alejandro Fernández Pérez, BUAP
Juan Cristóbal Cobo Romaní, FLACSO, SEDE MÉXICO Juan Silva Quiroz, UNIVERSIDADDE SANTIAGODE CHILE, CHILE Ma. Covadonga de la Iglesia Villasol, UCM, ESPAÑA Miguel A. Santos Rego, USC, ESPAÑA
Noel Angulo Marcial, IPN Patricia Camarena Gallardo, IPN Patricio H. Daowz Ruiz, IPN Tomás Miklos, INDEPENDIENTE Antonio Rivera Figueroa, CINVESTAV Carmen Trejo Cázares, IPN Corina Schmelkes, INDEPENDIENTE Eduardo L. de la Garza Vizcaya, UAM Ernesto A. Sánchez Sánchez, CINVESTAV Federico Zayas Pérez, UNISON
Freddy Varona Domínguez, U. DE HOLGUÍN, CUBA Hugo E. Sáez Arreceygor, UAM
Juan Manuel Chabolla Romero, ITC, CELAYA Lisbeth Baqueiro Cárdenas, INDEPENDIENTE Lorenza Villa Lever, UNAM
Luis O. Aguilera García, U. DE HOLGUÍN, CUBA Miguel A. Pasillas Valdez, UNAM
Raúl Derat Solís, UAT Raúl Rojas Soriano, UNAM
Ricardo Martínez Brenes, UNESCO, COSTA RICA Rosa M. García Méndez, UNILA
Silvia M. Soto Córdoba, ITCR, COSTA RICA Víctor M. Machuca Pereda, INDEPENDIENTE
Patricia Camarena Gallardo
Alma Alicia Benítez Pérez Elena Fabiola Ruiz Ledesma Martha Leticia García Rodríguez
Coordinadora del tema
Participantes especiales
Diseño de estrategias de enseñanza para el
concepto de variación en áreas de ingeniería
Elena Fabiola Ruiz Ledesma
investigación
27
Estudio de la primera representación gráfica
de ecuaciones algebraicas en contexto
Alma Alicia Benítez Pérez
investigación 41
Innovación e investigación
en educación matemática
Manuel Santos-Trigo
ensayo 5La matemática en el contexto
de las ciencias
Patricia Camarena Gallardo
ensayo
Innovación Educativa se publica por la Secretaría Académica del Instituto Politécnico Nacional Tiro: 6,000 ejemplares Distribución gratuita Innovación educativa tiene el propósito incluyente de difundir trabajos de investigación y de divulgación que abarquen la realidad educativa del país y del Instituto Politécnico Nacional, estar a la vanguardia de los conocimientos científicos y tecnológicos, y distinguirse como factor en la aplicación de nuevas formas de comunicación. Número de certificado de reserva otorgado por el Instituto Nacional de Derecho de Autor: 04-2006-053010202400-102 Número de certificado de licitud de título: 11834 Número de certificado de licitud de contenido: 8435 Número de ISSN: 1665-2673
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Archivo Digital El número 46 de la revista Innovación Educativa se terminó de imprimir en marzo 2009 en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V. San Lorenzo Tezonco No. 244, Col. Paraje San Juan, Iztapalapa, C.P. 09830, México, D.F. Los artículos firmados son responsabilidad exclusiva de su autor y no reflejan necesariamente el criterio de la institución, a menos que se especifique lo contrario. Se autoriza la reproducción parcial o total siempre y cuando se cite explícitamente la fuente.
El uso de la modelación en
la enseñanza de las matemáticas
María Trigueros Gaisman
75
On the fragility of an
internet-based dialogue
Mario Sánchez Aguilar
65
Pedagogical scenario involving
Aplusix educational software
Jana Trgalová
investigación
51
Formación docente a distancia en línea
un modelo desde la matemática educativa
Gisela Montiel Espinosa
Resumen
El aprendizaje o la construcción del conocimiento mate-mático es una tarea que se promueve dentro o como parte de un sistema global de educación. Aun cuando la caracterización del pensamiento matemático compren-de el compren-desarrollo compren-de algunas estrategias y recursos pro-pios de la disciplina, es relevante reconocer que el estudio de las matemáticas se relaciona con otros saberes como las ciencias naturales, sociales, las artes y la moral. Con este marco global se aborda, en términos generales, los significados asociados con innovación e investigación, en educación matemática, con la intención de identificar resultados que han influido en la práctica de instrucción matemática. En particular, el empleo de herramientas computacionales ofrece rutas importantes para discutir temas relacionados con la estructura y organización del currículo, las dinámicas de instrucción y la formación de los profesores.
Innovación e investigación
en educación matemática
* Licenciado en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), del Instituto Politécnico Nacional (IPN), obtuvo su doctorado en educación matemática en la Universidad de British Columbia, Canadá y una estancia de posdoctorado en la Universidad de California, Berkeley, EUA. Ha sido profesor invitado en la Universidad de Quebec, Canadá; Universidad de California y Universidad de Purdue en EUA, así como en la Universidad de la Laguna, España, entre otras. Ha publicado innumerables artículos especializados en la materia y actualmente es investigador titular en el Departamento de Matemática Educativa en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav-IPN), México. E-mail: [email protected]
Manuel Santos-Trigo*
Palabras clave
Educación matemática, innovación, resolución de problemas y herramientas computacionales.
Abstract
The construction of students’ mathematical knowledge is developed within an educational system in which cer-tain values and social goals are promoted. Although the students’ construction of mathematical thinking invol-ves the development or construction of sets of strategies and mathematical resources, it is relevant to recognize that the study of the discipline is closely related to the study of other fields or domains including natural scien-ces, social scienscien-ces, the arts and ethic or moral disci-plines. In this context, I present general features of a possible global educational system and review research results from mathematics education that can be useful in mathematics instruction. In particular, I discuss and example to show that the use of computational tools can offer the instructors the opportunity to think of poten-tial instructional routes to foster their students’ mathe-matical learning. In this perspective, they also have the opportunity of addressing issues related to the curricu-lum structure and organization, class dynamics and the teachers’ education.
Keywords
Mathematics education, innovation, problem solving and computational tools.
Sistema de educación global
¿Cómo se define y estructura un sistema educativo en el ámbito nacional? ¿Qué educación matemática y de las ciencias debe promoverse en las instituciones educativas? ¿Qué tipos de conocimiento deben formar parte de la cul-tura general de quien termina los estudios preuniversita-rios? ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la educación del individuo? ¿Qué tipo de problemas y actividades de instrucción promueve el aprendizaje de los estudiantes?
Estas son algunas preguntas relevantes de la agenda de investigación en el campo de la educación matemá-tica. Gardner (2000), sugiere que la educación, de todo individuo, debe girar alrededor de tres áreas o campos relacionados: la búsqueda de la verdad a través de los métodos que se han desarrollado en las distintas disci-plinas del estudio de las ciencias, la apreciación y valora-ción de la belleza por medio del estudio de las artes, y el conocimiento y entendimiento del campo de la moral que permite reconocer lo bueno y lo malo en la sociedad. En su propuesta Gardner ilustra esta visión de la educación a partir del desarrollo de la teoría de la evolución como área significativa en el estudio de las ciencias —nocio-nes relevantes incluyen las especies, la variación, la se-lección natural, la adaptación, entre otros. En el campo de la belleza introduce la obra de Mozart Las bodas de Fígaro, donde resalta el lenguaje artístico, la credibilidad de los caracteres, intrigas, emociones, poder, jerarquías sociales y evocaciones de toda una era —estudio del tra-bajo de los artistas o creadores de arte. Finalmente, en el campo de la moralidad aborda la necesidad de enten-der la secuencia de eventos conocidos como holocaus-to. Propone revisar y analizar los elementos históricos y morales de estos sucesos para que el individuo reflexio-ne sobre la maldad y la bondad en esta sociedad.
En esta dirección, las matemáticas se distinguen no solo como una herramienta que ayuda a entender y ana-lizar distintos fenómenos asociados con los tres campos —por ejemplo, el estudio de los modelos matemáticos de los procesos de evolución, los cambios en la pobla-ción o los programas que producen vida artificial— sino que constituyen un ejemplo en la búsqueda de relacio-nes, donde la justificación y la explicación son relevan-tes en la presentación de resultados.
De esta manera, es importante ubicar el estudio de las matemáticas desde una perspectiva multi y transdisci-plinaria, en el sentido de que las formas de pensar aso-ciadas con el pensamiento matemático pueden también ser de utilidad para abordar los problemas desde el con-texto de otras disciplinas del conocimiento o áreas de es-tudio. Por ejemplo, un problema sobre el crecimiento de la población de alguna especie se puede analizar a par-tir de los datos previos de crecimiento y el diseño de un modelo matemático que simule y cuantifique la variación. Este mismo problema también se estudia a partir de los métodos biológicos que dan cuenta del tipo de enferme-dades —causas y consecuencias— que inciden en la re-lación nacimientos y muertes; o desde las perspectivas
de las ciencias sociales al examinar el impacto del desa-rrollo de los medios de comunicación en la participación masiva de los individuos en los procesos de toma de de-cisiones. El reconocimiento de ubicar el estudio de las ma-temáticas en un entorno multi y transdisciplinario implica revisar el tipo de innovaciones necesarias que sustenten los principios para reestructurar aspectos relacionados con el currículo, las prácticas de instrucción y las formas de utilizar las diversas herramientas computacionales.
Innovación e investigación en
educación matemática
En general, el término innovación se emplea en el campo de la educación con la finalidad de identificar y comu-nicar cambios o acercamientos novedosos en el siste-ma educativo existente. Así se hablar de innovación en el currículo, en las prácticas de instrucción y en los pro-gramas de investigación. El argumento que con frecuen-cia se utiliza para mostrar una innovación se basa en que la propuesta innovadora ofrece una mejor alterna-tiva que las prácticas existentes. Desafortunadamente, cuando se anuncian innovaciones existe la tendencia de descalificar lo que existe y pocas veces se valora aquellos aspectos que pueden ser considerados como anteceden-tes que proporcionan cierta racionalidad a las acciones o proyectos innovadores. También es elemental recono-cer que los acelerados desarrollos tecnológicos muchas veces impulsan innovaciones con la intención de incorpo-rar los avances de la moda tecnológica, pero sin atender los ajustes que garanticen una transición planeada.
En este panorama, se formulan algunas preguntas que sirven de punto de partida para introducir innovaciones requeridas en la investigación y práctica de la instruc-ción. ¿Qué es lo que define la investigación en educación matemática? ¿Cómo se identifican los temas a investigar en la disciplina? ¿Qué resultados relevantes y aspectos de esta investigación orientan las prácticas de instruc-ción? La discusión de estas preguntas es fundamental para evaluar la relación de la investigación y la práctica o instrucción matemática.
Silver (1990), argumenta que la creencia de un am-plio sector de la sociedad en que algún día la investiga-ción identificará los objetivos importantes en la educainvestiga-ción —y como consecuencia generará condiciones para alcan-zar tales metas— y propondrá respuestas inequívocas a las preguntas de los problemas educacionales, ha gene-rado expectativas no realistas de lo que se espera de la investigación en la educación matemática. Por ello, pro-pone cambiar esta creencia —de la existencia de un cura mágica o definitiva— por el reconocimiento de una rela-ción bi-direccional. La práctica educativa debe orientarse por ideas y constructos que emergen de la investigación y viceversa, los marcos de investigación deben considerar aspectos relacionados con los escenarios de instrucción. Es decir, los resultados de investigación producen trans-formaciones en la práctica y la misma práctica influye y retroalimenta la agenda de investigación de la disciplina.
De la misma manera Hiebert reconoce que tomar en cuenta los productos de investigación ayuda a tener in-formación confiable para elegir las mejores decisiones. Sin embargo, afirma que en cada campo la ciencia tiene sus límites. Para ilustrar las limitaciones de la investi-gación en educación plantea una analogía con la investiga-ción sobre la salud: Considere los requerimientos para una vida saludable. Profesionales en la materia proponen estándares para vivir de manera saludable —dieta, ejer-cicio, descanso. Pero la investigación médica no prue-ba que estos estándares son los mejores […] ¿Qué es mejor usar: mantequilla o margarina? ¿Se debe con-sumir exactamente siete raciones de frutas y vegeta-les todos los días o seis es suficiente? Estas preguntas simples no tienen respuestas simples. Hay demasiados factores que influyen en los resultados: la cantidad de ejercicio que hacemos, cuanto pesamos, nuestra gené-tica, nuestro metabolismo, etc. Sería imposible contro-lar todos estos factores para probar que una cierta dieta es la mejor (Hiebert, 1999, p. 5).
Este autor también indica que, en ambientes complejos como el salón de clase existe una relación especial entre la investigación, la elección, y el desarrollo de las actividades de aprendizaje. Las decisiones se basan en estimaciones probabilísticas, y los datos de la investigación nos ayudan a estimar la probabilidad de éxito. Entre más claros sean los resultados, se tiene más confianza de que estamos to-mando buenas decisiones (Hiebert, 1999, p. 5).
En esta realidad se identifican los elementos funda-mentales alrededor de una investigación y las contribu-ciones que pueden aportar a la práctica de la instrucción. Se inicia con una reflexión acerca de las formas de iden-tificar un problema de investigación y la importancia de seleccionar un conjunto de preguntas que la orienten.
Se sostiene que el proceso de definir un problema de investigación es similar a la actividad de planear esce-narios de instrucción donde los estudiantes tengan opor-tunidad de desarrollar sus ideas matemáticas. En ambas tareas resulta cardinal problematizar la actividad. En otras palabras, transformar las metas en dilemas o pre-guntas que deben atenderse en forma sistemática. Pos-teriormente, se identifican posibles contribuciones que aparecen en la práctica de la instrucción, considerando aspectos de la investigación relacionados con los marcos teóricos, algunos métodos de investigación incluyendo problemas que pueden ser útiles en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes.
Aportaciones de la investigación en
educación matemática
¿Cuáles son los aportes de la investigación de los pro-gramas de investigación en educación matemática en la organización del currículo y la instrucción?
Existen semejanzas entre los procesos de investigar y de seleccionar e implementar actividades de instrucción que promuevan el desarrollo del conocimiento matemá-tico de los estudiantes. La tarea de realizar una
inves-tigación en educación matemática implica identificar un conjunto de preguntas que servirán de guía en el desarro-llo del estudio. La selección de las preguntas de investiga-ción se basa en un análisis detallado del tema, las metas y las condiciones de desarrollo de la investigación. De la misma manera, planear un escenario de instrucción inclu-ye reflexionar —plantear y discutir preguntas— acerca del tema en estudio —¿qué significa aprender el concepto de derivada?; ¿cuáles son los recursos y procesos fundamen-tales alrededor del concepto?; ¿qué tipo de problemas son importantes en la construcción del concepto?
Es decir, se examina el tema y se identifican trayecto-rias potenciales de aprendizaje que los estudiantes pue-den seguir durante la instrucción. La visión que aporta la revisión de la literatura en el proceso de desarrollar una investigación es similar a la forma de estructurar la instrucción a partir de la incorporación de los resultados de la investigación. Se reconoce que en la construcción del conocimiento matemático es fundamental que el es-tudiante aprenda a formular preguntas y a buscar distin-tos caminos para encontrar respuestas a esas preguntas. En esta perspectiva es fundamental construir escena-rios de aprendizaje donde el alumno tenga oportunidad de reflexionar acerca del uso de recursos y procesos del quehacer matemático a fin de extender y robustecer sus formas de plantear y resolver problemas.
Influencia de los marcos teóricos en la instrucción
Un marco teórico se define alrededor de los principios que rigen la estructura y desarrollo de la investigación. En la resolución de problemas, por ejemplo, es primor-dial analizar el proceso cognitivo y no solo los productos que muestra el estudiante durante sus experiencias de aprendizaje. Además, en esta perspectiva existen cons-tructos teóricos que ayudan a caracterizar el desarrollo del conocimiento matemático de los estudiantes en tér-minos de la visión de la disciplina (creencias), los recur-sos básicos que disponen y puedan acceder durante la comprensión de las ideas matemáticas y la resolución de problemas, las estrategias cognitivas relevantes en el proceso de solución y las de monitoreo, evaluación y autorregulación que guían la resolución de problemas.Estos aspectos han influido no solamente en la forma de estructurar los escenarios de instrucción sino en la se-lección e implementación de actividades de aprendizaje que faciliten a los estudiantes revelar y atender el de-sarrollo de estos constructos. En particular, una instruc-ción basada en la resoluinstruc-ción de problemas intenta crear un microcosmo del quehacer matemático en el salón de clases (Schoenfeld, 2008), que refleje los valores y prin-cipios de la disciplina. Términos como problemas no ruti-narios y comunidades de aprendizaje que promuevan los valores del quehacer de la materia son relevantes en una instrucción basada en la resolución de problemas.
En la instrucción matemática es común que converjan principios e ideas asociadas con varios marcos teóricos y no con un marco específico. La visión de la matemática
que se sustenta en un marco teórico también ha influi-do notablemente las actividades de aprendizaje que se promueven en el salón de clases. Esta dirección resalta que, aprender matemáticas va más allá de memorizar un conjunto de fórmulas o procedimientos para resolver un determinado tipo de problemas; aprender matemá-ticas implica desarrollar y apreciar los valores propios del quehacer de la disciplina. Esto incluye la tendencia a formular preguntas, representar relaciones, buscar con-jeturas, plantear argumentos, resolver problemas, co-municar resultados y plantear problemas. Esta visión de las matemáticas es consistente con la que se promueve en el documento de los estándares.
La propuesta refleja las sugerencias e influencias de muchas fuentes. La investigación en educación sirve como base para muchas de las propuestas y asevera-ciones que aparecen en el documento acerca de que es posible para los estudiantes aprender en ciertas áreas de contenido, en ciertos niveles y bajo ciertas condicio-nes pedagógicas (NCTM, 2000, p. xii).
Importancia de los métodos de investigación
Un efecto a destacar que emerge de la investigación en educación matemática es reconocer que los estudiantes participan activamente en la construcción de su propio conocimiento matemático. Asimismo, esta construcción se basa en los conocimientos y recursos que han apren-dido en las experiencias previas de aprendizaje. Muchos de los métodos utilizados en la investigación para pro-mover la reflexión y fomentar el aprendizaje incluyen el trabajo en grupos pequeños, participación en discusio-nes con toda la clase y en la resolución de problemas mediante entrevistas estructuradas.Estos métodos de investigación han sido exportados a la instrucción matemática, por ello es común que los estudiantes discutan problemas con sus compañeros, ex-pongan ideas y, en algunos casos, participen en la re-solución de problemas en entrevista con el docente. La intervención —en grupos pequeños en clase y en las en-trevistas— es un medio eficaz para revelar ideas y co-nocer las de los compañeros, pero también como forma de refinar y extender las propias. Estos modos de es-tructurar las actividades de aprendizaje en el salón de clase han aportado información valiosa relacionada con la evaluación del aprovechamiento o competencias ma-temáticas de los estudiantes. Además, los mismos pro-blemas utilizados en los programas de investigación se convirtieron en significativos recursos para los profeso-res en la construcción del pensamiento matemático de sus alumnos.
Escenarios de instrucción
Como ya se mencionó, es relevante la construcción acti-va que tienen los educandos en su propio conocimiento matemático, en donde es fundamental crear escenarios flexibles para que sus ideas, recursos, estrategias y
for-mas de pensar se manifiesten libremente en beneficio de la clase.
En este sentido el profesor organiza y orienta el desa-rrollo de las actividades y promueve una comunidad de aprendizaje a fin de valorar la formulación de preguntas, la búsqueda de conjeturas, el uso de distintas represen-taciones y la comunicación de resultados. Por supuesto, no existe un formato único acerca de cómo estructurar las distintas actividades de aprendizaje. Cada maestro de acuerdo con su propia instrucción, selecciona, organiza e implementa series de actividades que promuevan la:
• Participación de los estudiantes en la discusión de tareas o problemas en pequeños grupos.
• Presentación de los acercamientos de los estudian-tes a los problemas a toda la clase o grupo. • Retroalimentación y orientación por parte del
pro-fesor para identificar las estrategias y métodos de solución y la necesidad de enseñar nuevos conte-nidos.
• Reflexión individual del estudiante con el objetivo de incorporar y refinar los distintos acercamientos vistos en el desarrollo de las actividades.
Currículo matemático
La National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), (2000), propone un marco con visión global de las mate-máticas que debe estudiarse en el nivel preuniversitario. El documento destaca cinco estándares de contenidos —números y operaciones; geometría y sentido espa-cial; patrones, relaciones y álgebra; medición; análisis de datos y probabilidad— y cinco estándares de proce-sos del pensamiento matemático —resolución de proble-mas; razonamiento y prueba; comunicación; conexiones; representaciones. La visión matemática que se promue-ve ha sido referencia de peso en propuestas curricula-res en países como Alemania, Estados Unidos, Portugal y México, entre otros.
La pertinencia y consistencia entre las metas, el es-píritu del documento —los estándares— y las propues-tas del currículo que emergen al incorporar los principios y la visión que se promueve es un tema trascendental que debe abordarse directamente entre educadores y profesores de matemáticas. Una reflexión inicial implica discutir los cambios que demanda la estructura y orga-nización de los contenidos en una propuesta, que a su vez refleje de manera clara los principios y visión mate-mática de los estándares. Es común encontrar propues-tas que introducen el uso del lenguaje de los estándares y mantienen la rigidez y estructura de los contenidos en forma tradicional; o se suman a propuestas tradiciona-les ciertos apartados que hacen referencia a los propó-sitos de los estándares.
Santos-Trigo (2007), reporta que varias propuestas curriculares explícitamente identifican a la resolución de problemas como una actividad central en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y el lenguaje
en la presentación distingue aspectos del quehacer mate-mático; sin embargo, no existe claridad en cuanto al sig-nificado de organizar un currículo bajo la perspectiva de la resolución de problemas. ¿Cuáles son los contenidos fundamentales de la educación preuniversitaria? ¿Cómo se estructuran en términos de actividades de resolución de problemas? ¿Cómo hacer visible la interdependen-cia entre los contenidos y los procesos de la práctica de la disciplina? Este tipo de preguntas han estado fuera de discusión en la agenda de la resolución de problemas y, como consecuencia, no existe consenso sobre lo que una propuesta curricular, que refleje la resolución de pro-blemas, debe incluir más allá de un discurso que señale fomentar las actividades propias de esta perspectiva.
El reconocimiento de que pueden existir varios cami-nos para organizar una propuesta del currículo que pro-mueva la resolución de problemas implica explicitar cómo los principios de esta perspectiva se distinguen en la or-ganización y estructura de los contenidos. Por ejemplo, si interesa que los estudiantes identifiquen, represen-ten, exploren y justifiquen diversas conjeturas asocia-das con la comprensión de los conceptos matemáticos, entonces resulta esencial que el currículo se organice al-rededor de los conceptos fundamentales que deben estu-diarse a profundidad en los distintos niveles educativos. Es decir, es imprescindible transformar las listas exten-sas de temas que aparecían en las propuestas tradicio-nales del currículo en un conjunto de temas relevantes, donde se muestre su desarrollo y las formas de conec-tarse en diversos dominios que antes se estudiaban de manera independiente como el álgebra, la geometría, la estadística, el cálculo y la probabilidad.
La resolución de problemas exitosa requiere del cono-cimiento del contenido matemático, del conocono-cimiento de estrategias de resolución de problemas, de un auto-mo-nitoreo efectivo, y una disposición productiva a plantear y resolver problemas. La enseñanza de la resolución de problemas requiere aún más de los profesores, ya que deben ser capaces de promover tal conocimiento y acti-tudes en sus estudiantes. […] La enseñanza en sí misma es una actividad de resolución de problemas (NCTM, 2000, p. 341). En este contexto, la resolución de pro-blemas es una forma de interactuar y pensar acerca de las situaciones que demandan el empleo de recursos y estrategias matemáticas.
Uso de herramientas computacionales
El empleo de herramientas computacionales en la cons-trucción del conocimiento matemático de los estudiantes facilita la identificación e implementación de estrategias de resolución y potencia el repertorio de las heurísti-cas (Santos-Trigo, 2008). El uso de la tecnología influye directamente en la conceptualización y forma de inte-ractuar con los problemas, como corolario incide en el desarrollo de una teoría que explique las competen-cias de los estudiantes. Moreno-Armella y Santos-Trigo (2008), establecen que el uso de herramientas digitales
ha permitido la introducción y consideración de aspec-tos cognitivos matemáticos nuevos en el desarrollo de las competencias y ofrecen un potencial para repensar y estructurar nuevas agendas de investigación.
Conviene presentar un ejemplo donde se ilustre el po-tencial de una herramienta en el proceso de trabajar una tarea o problema inicialmente caracterizado como rutina-rio, pero que con un acercamiento inquisitivo por parte de los alumnos se transforma en oportunidades para identificar y explorar diversas relaciones matemáticas. En el desarrollo de la actividad (Santos-Trigo y Cristó-bal-Escalante, 2008 y Santos-Trigo, 2008), se identifi-can algunos acercamientos que mostraron estudiantes de bachillerato trabajando en una comunidad de apren-dizaje que promueve el uso de herramientas computa-cionales en actividades de resolución de problemas. En particular, en la solución de la actividad se destaca el uso de un software dinámico, Cabri-Geometry, en la repre-sentación de la situación y búsqueda de relaciones.
El problema del reparto
A dos estudiantes, Luis y Pablo, encargados de la siembra de hortalizas en el jardín de la escuela se les asigna un pedazo de tierra en forma de cuadrado y deci-den repartirse el terreno en dos partes de tal manera que a cada uno le corresponda la misma área (imagen 1).
Imagen 1
Terreno escolar.
Fuente: Software Google Earth.
Las figuras 1 y 2 representan las dos formas que ini-cialmente se consideraron para dividir el terreno. Otro es-tudiante, Pedro, les sugiere seleccionar cualquier punto, sobre cualquier lado del cuadrado, y trazar una recta que pase por ese punto y el centro del cuadrado. Pedro les afirma que esta recta divide el cuadrado en dos re-giones que tienen la misma área (figura 3). ¿Es cierta la afirmación de Pedro? ¿Siempre funciona ese método de dividir el terreno? ¿Existe alguna relación entre el mé-todo original de Luis y Pablo con el procedimiento que propone Pedro?
Figura 1 M y M’ son puntos medios de AB y DC.
Figura 2
AC es la diagonal de ABCD. M es el centro del cuadrado Figura 3 y P y P’ están sobre el perímetro.
Fuente: Elaboración propia.
Durante el proceso de solución emergieron diversas maneras de dividir el cuadrado en dos regiones con la misma área. El uso de la herramienta Cabri-Geometry ayudó a examinar cada caso en forma visual numérica y a utilizar argumentos basados en propiedades geométricas (figuras 4 a 10).
Figura 4 Triángulos PMC y P’MA son congruentes por LAL. Como la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos congruentes entonces los polígonos
AMPD y CMP’B tienen la misma área.
Figura 5 Argumento de los rectángulos. Los rectángulos AGPF, GBHP, HCEP, y FPED se dividen en dos triángulos congruentes que permite afirmar que las áreas de las dos regiones son iguales.
Figura 6 Los rectángulos PQDR, PTCQ, PSBT y ASPR cada uno se divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, el área del cuadrilátero RSTQ es la mitad del área del cuadrado ABCD.
Figura 7 Área de QRST es la mitad
Figura 8 El punto E’ es la intersección de la recta perpendicular a la recta EF que pasa por el punto I y la recta EF; el punto C’ es la intersección de esa perpendicular con la recta BC, B’ es el punto de intersección de la recta BC y la perpendicular a BC que pasa por el punto G; y el punto F’ es la intersección de esa perpendicular con la recta EF. Argumentaron que el área del rectángulo E’F’B’C’ correspondía al área del hexágono original.
Figura 9 Rotar una de las regiones (e.g. SBCDR) 180 grados alrededor del punto O (centro del hexágono), la región SBCDR coincidía con la región REFAS.
Figura 10 Cuando P se sitúa en el centro del cuadrado, el cuadrilátero QRST alcanza el perímetro mínimo.
Fuente: Elaboración propia. Se observa que, para el estudiante un problema/tarea
representa la oportunidad de formular conjeturas o re-laciones, buscar distintos caminos de solución, estable-cer conexiones, generalizaciones, sustentar y comunicar resultados.
Formación y actualización de docentes
¿Qué formación tienen que recibir los futuros profesores de matemáticas? ¿Cómo mantener vigentes sus cono-cimientos pedagógicos y matemáticos? ¿Quiénes deben participar en los programas de formación y actualiza-ción? David y Simmt (2006), sugieren que los progra-mas de preparación de docentes deben enfocarse en la construcción de sus ideas matemáticas a fin de apreciar relaciones, interpretaciones, y el empleo de varios tipos
de argumentos para validar conjeturas y relaciones más que estudiar cursos formales de matemáticas.
El conocimiento matemático que se necesita para la enseñanza no es un versión diluida de las matemáticas formales; sino un área seria y demandante del traba-jo matemático (Davis y Simmt, 2006, p. 295). En este sentido se recomienda que el conocimiento pedagógico y matemático del docente debe ser abordado, revisado y extendido en una comunidad intelectual que promue-va un método inquisitivo o de reflexión. Los participantes en esa comunidad tienen que ser matemáticos, educa-dores matemáticos y los propios maestros, con la inten-ción de construir trayectorias potenciales de aprendizaje que orienten las prácticas de instrucción.
Es decir, los docentes requieren interactuar en una comunidad que les motive y proporcione un suporte
co-legiado donde puedan compartir y discutir ideas para en-riquecer sus conocimientos matemáticos y estrategias de resolución de problemas. Además, esta comunidad debe favorecer y analizar el uso sistemático de diversas he-rramientas computacionales y así identificar y evaluar los proyectos de innovación que surjan al llevar estos acer-camientos al salón de clase.
A manera de conclusión
Se considera ineludible que matemáticos, educadores y profesores trabajen en conjunto para el diseño de planes y programas que, en realidad, reflejen la esencia de lo que significa aprender la disciplina. En particular, lo que interesa es que los estudiantes desarrollen una forma de pensar y disposición hacia el estudio de las matemáticas, donde exhiban distintas formas de representar fenóme-nos, identifiquen relaciones y patrones, formulen conje-turas, justifiquen y comuniquen resultados.
La idea es ir más allá del empleo de exámenes es-tandarizados y promover formas de evaluación donde los estudiantes tengan oportunidad de mostrar distintos procesos de razonamiento, extender o buscar conexio-nes y eventualmente formular sus propios problemas o preguntas. En este sentido, es esencial proponer un cu-rrículo en términos de secuencias de problemas donde se reflejen los aspectos inherentes que transforman las asignaturas tradicionales en líneas de pensamiento nu-mérico, algebraico, geométrico y estadístico.
Además, los procesos de evaluación no deben sepa-rarse de las actividades de instrucción que se desarrollan en las clases, deben ser parte de las actividades cotidia-nas. El trabajo individual es solo un aspecto a incluir en la evaluación; el estudiante debe valorar y aceptar que parte de su aprendizaje es escuchar a los demás y ex-poner sus propias ideas a escrutinio en clase. El entendi-miento de las ideas matemáticas no es un proceso final sino dinámico que se robustece en función de responder y resolver series de cuestionamientos que emerjan den-tro y fuera de la propia comunidad de aprendizaje.
Un aspecto crucial en las agendas de resolución de problemas es la interacción y discusión abierta entre los grupos de investigación sobre los aspectos comunes y principios que distinguen cada uno de los programas. Esto promovería la colaboración entre los distintos grupos y evitaría la repetición de estudios con agendas similares.
En la resolución de problemas se reconoce también que pueden existir caminos distintos para promover el desarrollo del pensamiento matemático de los estudian-tes; sin embargo, tanto los programas de investigación como las prácticas de instrucción coinciden en reconocer la relevancia de conceptualizar la disciplina en términos de dilemas o preguntas que los estudiantes tienen que responder y discutir en términos de recursos matemá-ticos (Santos-Trigo, 2008). En este proceso, ellos desa-rrollan un método inquisitivo que les permite reflexionar profundamente sobre las diversas maneras de represen-tar y explorar las ideas matemáticas.
Es decir, los estudiantes construyen, desarrollan, refi-nan o transforman sus formas de comprender y resolver problemas como resultado de formular preguntas rele-vantes y responderlas con el uso de distintos medios, incluyendo las herramientas computacionales. Los acer-camientos iniciales en la resolución de problemas pue-den ser incoherentes o limitados, pero éstos se refinan cuando los estudiantes presentan y discuten abierta-mente sus ideas en una comunidad de aprendizaje que valora y promueve el cuestionamiento matemático o mé-todo inquisitivo.
Existe evidencia de que algunas propuestas del cu-rrículo matemático a nivel preuniversitario sugieren or-ganizar y estructurar el contenido y las prácticas de instrucción a partir de actividades de resolución de pro-blemas; sin embargo, un asunto pendiente es discutir y reflexionar sobre los cambios y la forma de estructurar los contenidos bajo la perspectiva de la resolución de problemas. Asimismo, es relevante establecer una agen-da académica para la actualización de profesores en ser-vicio, así como la educación y formación de los nuevos profesores que resalte las actividades de aprendizaje que se deben promover en el salón de clase. Esta agen-da debe incluir formas de utilizar diversas herramien-tas computacionales en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes (Santos-Trigo, 2007).
Se reconoce que diversas herramientas pueden ofre-cer distintas oportunidades al estudiantado para recons-truir conocimiento matemático, por ejemplo, el uso del software dinámico favorece la construcción de repre-sentaciones de los objetos matemáticos o del problema. Como consecuencia, algunas heurísticas como la medi-ción de atributos —longitudes, áreas, perímetros—, el arrastre de algunos elementos dentro de una configura-ción, la descripción de lugares geométricos, y el uso ade-cuado del sistema cartesiano se deducen importantes en la búsqueda de conjeturas o relaciones y formas de jus-tificarlas. La aplicación de distintas herramientas exige actualizar los marcos conceptuales que emergieron de estudios donde los alumnos interactuaban principalmen-te con problemas a partir del uso de lápiz y papel. Aquí interesa caracterizar las formas de razonamiento que los alumnos desarrollan cuando utilizan de manera sistemá-tica varias herramientas computacionales.
Finalmente, es urgente establecer comunicación y co-laboración académica con los distintos grupos que pro-mueven el desarrollo del conocimiento en programas de investigación, propuestas curriculares y la instrucción.
Recibido noviembre 2008 Aceptado marzo 2009
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Resumen
En el artículo se describe brevemente la teoría educativa denominada matemática en el contexto de las ciencias,
que nace en 1982 en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), y considera al proceso de la enseñanza y el apren-dizaje de esta materia, en carreras donde la matemá-tica no es una meta, como un sistema presente en el ambiente de aprendizaje. La teoría está constituida por cinco fases: cognitiva, epistemológica, didáctica, curri-cular y de formación docente. En el cuerpo del artículo se describen los resultados de las investigaciones más relevantes de cada una de las cinco fases de esta teo-ría educativa.
La matemática en el contexto
La matemática en el contexto
de las ciencias
de las ciencias
* Licenciada en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), maestría y doctorado en ciencias con especialidad en matemática
educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav), ambos del IPN. Premio nacional 2000 de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (ANUIES), a la mejor tesis de doctorado del nivel superior en contribución a la educación superior; miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI), nivel 2; evaluadora internacional para la acreditación de carreras en matemáticas y en educación; representante de México ante el Consejo Interamericano de Educación Matemática; coordinadora de la Red Internacional de Matemáticas en el Contexto de las Ciencias. Titular de más de 25 proyectos de investigación, destacando entre los productos de investigación la metodología dipcing para el diseño de programas de estudio de las ciencias
básicas en ingeniería. Autora de cinco libros sobre la materia, de innumerables artículos especializados, e invitada especial de eventos y conferencias interna-cionales en todo el continente americano. Actualmente es profesora-investigadora en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME, Zacatenco) del IPN, México. E-mail: [email protected]
Patricia Camarena Gallardo*
Palabras clave
Matemáticas en contexto, matemáticas, modelación, ciencias, didáctica, currículo, epistemología, cognición.
Abstract
This paper describes briefly what Mathematics in the Sciences Context theory is, which born since 1982 in the
Instituto Politécnico Nacional. This theory takes mathe-matics learning and teaching in engineering careers as a system in the learning environment. The theory includes five phases: cognitive, epistemological, didactic, curricu-lum and teachers training. It is included the most impor-tant research results of each phase of the Mathematics in the Sciences Context.
Keywords
Mathematics in context, mathematics, modeling, sciences, didactic, curriculum, epistemology, cognition.
Introducción
En el ámbito mundial es reconocida la problemática que en-frentan los estudiantes de todos los niveles educativos con el aprendizaje de la matemática, asignatura que, en general, no es de su agrado. En este conflicto inci-den muchos factores de tipo social, económico, de orinci-den curricular, asociados a la didáctica —que inciden en el aprendizaje y en la enseñanza de esta materia— inhe-rentes a la formación de los docentes, inferidos al propio tema de estudio, por causas de la infraestructura cognos-citiva de los alumnos, entre otros (Camarena, 1984).
Se puede decir que la gran mayoría del alumnado no tiene claro por qué estudia matemáticas, lo cual demerita la motivación hacia esta ciencia; a ello se agrega que, en los objetivos de las carreras técnicas y profesionales se menciona que el egresado deberá poseer una formación integral pero en ninguna parte del currículo se especifica cómo lograrlo. Desde esta perspectiva, la desarticulación entre los cursos de matemática y los de las demás asig-naturas se convierte en un cotidiano conflicto para los alumnos. Para enfrentar estas realidades nace la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias.
En el presente trabajo se muestran los resultados de varias investigaciones educativas relacionadas con el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemá-tica en áreas de la ingeniería, específicamente, áreas en donde la matemática no es una meta en sí misma. Esta serie de investigaciones convergen en el nacimiento de la teoría educativa ya mencionada —matemática en el
contexto de las ciencias— en el nivel universitario, en
in-geniería, que en la actualidad se está aplicando en los ni-veles educativos anteriores, así como en las demás áreas del conocimiento que no forman matemáticos.
La teoría
La teoría matemática en contexto de las ciencias nació en 1982 en el IPN, y reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias que la requieren, entre la matemática y las situaciones de la vida cotidiana, así como entre la matemática y los pro-blemas de la actividad laboral y profesional del futuro egresado (Camarena, 1984, 1987, 1995, 2001a, 2005a, 2007). De hecho, se trata de construir en el estudiante una matemática para la vida que se fundamenta en los siguientes paradigmas:
• La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa.
• La matemática tiene una función específica en el nivel universitario.
• Los conocimientos nacen integrados.
El supuesto filosófico-educativo de esta teoría consis-te en que el estudianconsis-te debe estar capacitado para rea-lizar la transferencia del conocimiento de la matemática
a las áreas que la requieren y con ello las competencias profesionales y laborales son favorecidas. Esta teoría, a través de investigaciones, concibe al proceso de la en-señanza y el aprendizaje como un sistema en donde in-tervienen varios factores, entre los más relevantes se encuentran las características cognitivas, psicológicas y afectivas de los estudiantes; los conocimientos y concep-ciones de los profesores; la epistemología del contenido a aprender y a enseñar; el tipo de currículo y la didác-tica a emplearse (Camarena, 1990, 2004b). Además, el proceso de la enseñanza y el aprendizaje está influenciado e inmerso en un ambiente no tangible de tipo social, cul-tural, económico y político, siempre presente en el con-texto de aprendizaje.
De hecho, los factores descritos se han agrupado en tres elementos fundamentales: el estudiante, el profesor y el contenido a enseñar; más dos elementos de inte-racción: el currículo y la didáctica (figura 1). Por la im-portancia de los elementos fundamentales, éstos se han constituido en una de las llamadas ternas doradas de la educación, lo cual da origen a las cinco fases que forman la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias:
1. Curricular, desarrollada desde 1984. 2. Didáctica, iniciada en 1987.
3. Epistemológica, abordada en 1988. 4. Formación docente, definida en 1990. 5. Cognitiva, estudiada desde 1992.
Figura 1
Terna dorada en educación.
Social Cognitiva Cultural Económico Alumno Político
Curricular Didáctica
Contenido Profesor
EPISTEMOLÓGICA FORMACIÓN DE PROFESORES
Fuente: Camarena, 2000.
Es claro que en el ambiente de aprendizaje están pre-sentes las cinco fases y éstas interactúan entre sí con algún efecto ponderado sobre las demás, es decir, no están aisladas unas de las otras y tampoco son ajenas a las condiciones sociológicas de los actores del proce-so educativo; sin embargo, la exposición formal de la teoría hace necesario fragmentarla en las cinco fases. A continuación se exponen los elementos más relevan-tes de cada una de estas fases, en orden didáctico y no cronológico.
Fase curricular
La fase curricular posee una metodología denominada
dipcing —diseño de programas de estudio de
matemáti-cas en carreras de ingeniería— (Camarena, 1984), fun-damentada en el paradigma educativo que considera que con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herra mientas que utilizará en las materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son una meta por sí mismas; sin dejar a un lado el hecho de que la matemática debe ser “for-mativa” para el alumno. Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología considera que el currícu-lo de matemáticas debe ser objetivo, es decir, fundado sobre bases objetivas.
Para cumplir con la premisa en el marco del paradig-ma educativo planteado, se propone una estrategia de investigación en tres etapas: central, precedente y con-secuente:
• Etapa central. Análisis de los contenidos matemá-ticos tanto explícitos como implícitos en los cursos específicos de la ingeniería.
• Etapa precedente. Definición y detección del nivel de competencias matemáticas que tienen los alum-nos a su ingreso a la carrera.
• Etapa consecuente. Definición de las competencias matemáticas para el desarrollo de la actividad la-boral y profesional.
Con la metodología se obtiene la vinculación curricu-lar interna —entre la matemática y las asignaturas de las ciencias básicas, la matemática y las ciencias bási-cas de la ingeniería, la matemática y las especialidades de la ingeniería—, así como la externa —entre el nivel medio superior y superior, el superior con el posgrado, entre la escuela y la industria. Algunos de los construc-tos teóricos sobresalientes son los diferentes tipos de contenidos que se presentan —algunos apoyan las par-tes teóricas de la ingeniería mientras otros los temas y conceptos de aplicación— quedando por determinar en qué temas deben desarrollarse las habilidades y destre-zas matemáticas y en cuáles no es necesario desarro-llarlas (Camarena, 2002a).
Fase de formación de profesores
En la fase de formación de profesores se diseñó una espe-cialidad en docencia de la ingeniería matemática en elec-trónica, en donde las asignaturas de matemáticas se vinculan con otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines (Camarena, 1990), (tabla 1).
Tabla 1
Áreas vinculadas.
Matemáticas en el contexto de la ingeniería electrónica Matemáticas Ingeniería electrónica Introducción al análisis matemático de una variable real Electrónica básica Cálculo vectorial ElectromagnetismoÁlgebra lineal Control electrónico Ecuaciones diferenciales
ordinarias Circuitos eléctricos Análisis de Fourier Análisis de señales
electromagnéticas Probabilidad Análisis de señales
aleatorias Procesos estocásticos Telefonía
Fuente: Camarena, 1990.
De hecho la investigación, que para tales fines se rea-lizó, arrojó cuatro categorías cognitivas que deberían incluirse en un programa de formación docente en ma-temáticas para el nivel universitario: conocimiento sobre los estudios de ingeniería en donde se labora, conoci-miento de los contenidos a enseñar, conociconoci-miento sobre el uso de tecnología electrónica para apoyar el apren-dizaje del estudiante, y conocimiento acerca del proce-so de enseñanza y de aprendizaje de la matemática. En esta última categoría se incluyen cursos de conocimiento científico y técnico, historia y fundamentos de la mate-mática, procesos de aprendizaje, didáctica y evaluación del aprendizaje, entre otros.
Fase epistemológica
Las investigaciones que se han efectuado verificaron que gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de áreas de ingeniería nace en el contexto de problemas específicos de otras áreas del conocimiento, y que con el tiempo pierden su contexto para ofrecer una matemáti-ca “pura” que es llevada a los ambientes de aprendizaje, lo cual carece de sentido para aquellos estudiantes que no desean ser matemáticos, como lo describe Chevallard (1991). Con la matemática en el contexto de las ciencias se muestra que así como los contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta a su vez le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del contexto, reconceptualizándolos (Muro y Camarena, 2002; Camarena, 1987).
Hay situaciones en donde el ingeniero emplea proce-sos o métodos sin conocer su origen, la fase epistemo-lógica de la teoría que se presenta pone a la luz estas génesis (Camarena, 1987), como el caso de las impe-dancias complejas en circuitos eléctricos.
También se ha determinado un constructo teórico de-nominado transposición contextualizada (figura 2), aquí
la matemática aprendida por los estudiantes en la escuela sufre transformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias (Camarena, 2001a), como el caso de la delta de Dirac para modelar una señal eléc-trica impulsiva.
Figura 2
Transposiciones.
Conocimiento erudito Transposición Conocimiento a ser enseñado Transposición Conocimiento a ser aplicadoTransposición didáctica Transposición contextualizada
Fuente: Camarena, 2001a. Como parte de esta etapa se cuenta con una serie de
situaciones de matemática contextualizada para ser usa-das en clase, como los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias en el contexto de los circuitos eléctricos (Ca-marena, 1987), cálculo vectorial en el contexto de la teo-ría electromagnética (Ongay, 1994), análisis de Fourier en el contexto del análisis de señales electromagnéticas (Camarena, 1993), ecuaciones diferenciales parciales en el contexto de la cuerda vibrante (Camarena, 2004a), transformada de Laplace en el contexto de los circuitos eléctricos (Suárez y Camarena, 2000), serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa (Muro y Ca-marena, 2002), por nombrar algunos. Los obstáculos epistemológicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se identifican en esta fase para ser usados en la planeación didáctica de los cursos mediante el diseño de actividades de aprendizaje que ayuden a revolverlos
Fase didáctica
Esta fase contempla un proceso metodológico para el desarrollo de las competencias profesionales, con el cual se fomenta el desarrollo de las habilidades para la transferencia del conocimiento, éste incluye tres etapas (Camarena, 2005a):
1. Presentar la estrategia didáctica de la matemática
en contexto en el ambiente de aprendizaje.
2. Implantar cursos extracurriculares con actividades destinadas a desarrollar las habilidades del pensa-miento, habilidades metacognitivas y habilidades para aplicar heurísticas al resolver eventos con-textualizados, así como actividades para bloquear creencias negativas.
3. Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres de los estudios del alumno, a fin de resolver eventos reales de la industria.
Primera etapa
Presentación a los estudiantes de la estrategia didác-tica la matemádidác-tica en contexto (Camarena, 1995), con una matemática contextualizada en las áreas del conoci-miento de su futura profesión en estudio, en actividades de la vida cotidiana, profesionales y laborales a través de eventos contextualizados que pueden ser problemas o proyectos. En general, esta estrategia didáctica desarro-lla la teoría matemática de acuerdo con las necesidades y ritmos que dictan los cursos de la ingeniería.
La matemática en contexto contempla nueve etapas que se despliegan en el ambiente de aprendizaje en equi-pos de tres estudiantes —líder académico, líder emocio-nal, líder de trabajo.
1. Identificar los eventos contextualizados. 2. Plantear el evento contextualizado.
3. Determinar las variables y las constantes del evento.
4. Incluir los temas y conceptos matemáticos necesa-rios para el desarrollo del modelo matemático y so-lución del evento.
5. Determinar el modelo matemático. 6. Dar la solución matemática del evento.
7. Determinar la solución requerida por el evento. 8. Interpretar la solución en términos del evento y
dis-ciplinas del contexto.
9. Presentar una matemática descontextualizada De las etapas mencionadas se tiene dos observaciones, una referida a la planeación didáctica y otra a la modela-ción matemática.
Observación 1. Es importante hacer notar que los puntos 4 y 9 requieren de una planeación didáctica es-pecífica que se traduce por parte del docente en el dise-ño de actividades didácticas guiadas por los siguientes elementos (Camarena, 2004b):
• Tránsito entre los diferentes registros de represen-tación. En la matemática se cuenta con los registros numérico, algebraico, analítico, contextual y visual, este último incluye gráficas, diagramas, esquemas y dibujos que deben ser usados por el profesor para llegar a los diferentes estilos de aprendizaje del es-tudiante.
• Tránsito del lenguaje natural al matemático y vicever-sa. Se cuenta con una categorización de las represen-taciones en este tránsito: problemas con enunciado literal, con enunciado evocador y con enunciado com-plejo (Olazábal y Camarena, 2003).
• Construcción de modelos matemáticos. Si el alum-no alum-no puede construir un modelo matemático de un evento a abordar, significa que no puede hacer la transferencia del conocimiento matemático a otras ciencias. Es importante que este elemento forme parte de los hilos conductores de la enseñanza y del aprendizaje.
• Resolución de eventos contextualizados. Es nece-sario ayudar al alumno a desarrollar las habilidades para lograr la resolución de eventos. La matemática
en contexto toma como herramienta la resolución
de problemas y el aprendizaje basado en proyec-tos, así como sus elementos de formación: heurís-ticas, metacognición, creencias, entre otros. • Argumentación, habilidad de conjeturar y partir de
supuestos. Uno de los elementos formativos que ofrece la matemática es argumentar, conjeturar y seguir un proceso a partir de supuestos, sin que se desee formar como matemáticos a los futuros inge-nieros, pero sí es deseable que desarrollen las ha-bilidades formativas que otorga la matemática para un mejor desempeño profesional.
• Búsqueda de analogías. Las analogías que pueda usar el docente en clase asistirá al estudiante para que establezca amarres a las estructuras cogniti-vas establecidas.
• Identificación de nociones previas. Si se conocen las nociones previas con que cuenta el estudiante, el docente podrá diseñar sus actividades a partir de éstas y apoyar la construcción de conocimien-tos significativos en el sentido de Ausubel, Novak, y Hanesian (1990).
• Identificación de obstáculos. Los obstáculos se cla-sifican en epistemológicos en el sentido que los maneja Brousseau, didácticos los que provoca el profesor, cognitivos los que están inferidos a los conocimientos anteriores del estudiante y ontogé-nicos aquellos que son inherentes a las caracterís-ticas físicas y hereditarias del estudiante.
• El conocimiento se presenta en espiral. Es impor-tante que el docente tome en cuenta este hecho porque le abre el camino para repasar constante-mente conocimientos ya tratados en el mismo curso o en estudios anteriores, lo cual apoya la construc-ción y reconstrucconstruc-ción del conocimiento.
• Uso de la tecnología electrónica. En el presente siglo la tecnología no puede estar fuera de ninguna actividad profesional, para el caso de la docencia es imperioso que se incorpore como una herramien-ta de apoyo al aprendizaje. Por lo común, no hay tiempo en los espacios didácticos para incursionar en otras actividades que consuman los tiempos pro-gramáticos, por lo cual debe incursionarse en la tecnología —plataformas tecnológicas educativas, foros de discusión, comunidades virtuales— que de alguna manera extienden los tiempos del aula. Las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), hacen que el estudiante vaya a sus propios ritmos porque los tiempos cognitivos son diferentes a los didác-ticos. Además, le facilita retroceder o avanzar cuando desee, repasando y reforzando los conocimientos.
Observación 2. Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica de la matemática en contexto es la elaboración del modelo matemático, situación que exigió investigaciones (Camarena, 2001b), que abordaron las interrogantes: ¿qué es un modelo matemático?; ¿qué es modelación matemática?; ¿qué elementos cognitivos in-tervienen?; ¿qué habilidades del pensamiento son indis-pensables para la modelación?
La matemática en ingeniería es un lenguaje, ya que casi todo lo que se dice en esta área se representa con la simbología matemática. Es más, que se represente a través de la terminología matemática y se haga uso de la matemática en la ingeniería, le ayuda a la ingenie-ría a tener carácter de ciencia por un lado, y le facilita su comunicación con la comunidad científica de ingenie-ros por el otro.
Dentro del conocimiento de la ingeniería hay proble-mas de ingeniería, asimismo se tiene objetos de la in-geniería que para su mejor manejo o referencia se les representa matemáticamente, y también se tiene situa-ciones que se pueden describir a través de la simbolo-gía matemática. Estos casos permitirán caracterizar a los modelos matemáticos. A continuación se muestran ejemplos de cada caso:
a) Problemas. Se quiere conocer el fenómeno de carga de un condensador (capacitor) cuya capacitancia es C y está conectado en serie con un resistor de resis-tencia R a las terminales de una batería que sumi-nistra una tensión constante V. Este planteamiento se puede representar en una ecuación diferencial lineal:
R d dtq(t)
1
cq(t) V
Bajo el término problema se incluyen los fenóme-nos que se presentan en la ingeniería como la carga de un condensador, la caída libre de un cuerpo, el movimiento de un péndulo, entre otros.
b) Objetos. Una señal eléctrica del tipo alterno sinusoi-dal; la señal es el objeto de la ingeniería que se re-presenta con la siguiente la función:
f(t) A sen (t)
c) Situaciones. El condensador de carga q=q(t) está totalmente descargado al inicio del problema. Es-ta situación se puede represenEs-tar matemáticamente tomando en cuenta que al inicio del problema t=0 y que la carga es una función del tiempo como q(0)=0.
De los tres casos mencionados, lo que caracteriza a los modelos trabajados en esta investigación son los ob-jetos y los problemas, por lo que la definición de modelo matemático es aquella relación matemática que describe
objetos o problemas de la ingeniería. El análisis de
pro-blemas reales, de propro-blemas trabajados en investigacio-nes de la ingeniería y problemas abordados en los textos de ingeniería, clasifica a los modelos matemáticos según se muestra en la figura 3.
Figura 3
Clasificación de los modelos matemáticos
según su caracterización.
Caracterización de los modelos matemáticos
Modelaje de objetos de la ingeniería
Modelaje de problemas de la ingeniería La clasificación está en
función del uso que le da la ingeniería
La clasificación está en función de las áreas
cog-nitivas de la ingeniería Fuente: Camarena, 2001b.
De las etapas de la matemática en contexto y lo de-tectado en el análisis de los problemas estudiados para la investigación, se construye la definición del término modelación matemática como el proceso cognitivo que
se tiene que llevar a cabo para llegar a la construcción del modelo matemático de un problema u objeto del área del contexto. Este proceso cognitivo consta de tres
momentos que constituyen los indicadores de la mode-lación matemática:
1. Identificar variables y constantes del problema, se incluye la identificación de lo que varía y lo que per-manece constante que por lo general está implícito. 2. Establecer relaciones entre éstas a través de los conceptos involucrados en el problema, implícita o explícitamente, ya sean del área de la matemática o del contexto.
3. Validar la relación matemática que modela al pro-blema, para lo cual hay que regresar y verificar que se involucre todos los datos, variables y conceptos. Dependiendo del problema, algunas veces, se puede validar el modelo matemático mediante la expresión matemática cuando predice la información otorga-da o la experimental. En otros casos, para valiotorga-dar el modelo, es necesario dar la solución matemática para que se predigan los elementos involucrados. Un punto importante es que el modelo matemático no es único, hay varias representaciones matemáticas que describen el mismo problema, razón por la cual es pre-ciso su validación (tercer momento). La forma de abor-dar (o resolver) matemáticamente el modelo matemático tampoco es única, elemento que permite verificar la ver-satilidad de la matemática así como su consistencia.
Elementos cognitivos (Camarena, 2005b). Para lle-var a cabo la modelación matemática son indispensables los siguientes elementos cognitivos:
• Enfoques de los temas y conceptos matemáticos del área del contexto. Cada tema y concepto posee va-rios enfoques, por ejemplo, la derivada es un co-ciente de diferenciales, es un límite muy particular, es la operación inversa a integrar, es una razón de cambio, es la pendiente de la recta tangente a la curva, entre otros. Conocer estos enfoques es ne-cesario para modelar.
• La transposición contextualizada. Es conocido el hecho de que el saber científico sufre una trans-formación para convertirse en un saber a enseñar, denominado transposición didáctica (Chevallard). El conocimiento que se lleva al aula sufre otra transformación para convertirse en un saber de aplicación, a lo que se denomina transposición
con-textualizada (Camarena, 2001a).
• Manejo conceptual de la matemática descontextua-lizada. Es importante que sea del conocimiento del alumno que la matemática es universal en el sen-tido de que es aplicable a varios contextos. Den-tro de la matemática en el contexto de las ciencias se concibe como matemática conceptual aquella de la cual si se tiene el concepto es porque se puede transferir ese conocimiento, porque se conocen los diferentes enfoques de concepto, se conocen los puntos de control de error del concepto, se cono-cen los patrones de comportamiento del concepto cuando se mueven los parámetros que lo compo-nen, porque se puede transitar entre los diferen-tes registros de representación del concepto, entre muchos otros.
Habilidades del pensamiento (Camarena, 2005b). Al igual que en los elementos cognitivos —a través del análisis de la instrumentación de problemas de cada área