PROBLEMAS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
1. Una compañía petrolera quiere conectar distintas ciudades, cuyas distancias (km) aparece en el cuadro siguiente, con tuberías que vayan directamente entre las ciudades. ¿Cuál es el mínimo de kilómetros necesarios de tubería?
SOLUCION: Utilizando el algoritmo para hallar al árbol de mínima expansión, luego estos resultados se contrastarán con los resultados del software:
̅
{ } ̅ { } Tomamos el arco que tiene menor distancia en todos lo posibles arcos formado por los 2 conjuntos.
Arco de mínima distancia es ( )
{ } ̅ { } Arco de mínima distancia es ( ) { } ̅ { } Arco de minima distancia es ( ) { } ̅ { } Arco de minima distancia es ( ) { } ̅ { } Arco de minima distancia es ( ) { } ̅ { } Arco de minima distancia es ( )
D M N O P W B 670 758 427 581 211 369 D 361 252 132 492 680 M 332 493 690 759 N 357 394 431 O 391 650 P 521
Entonces tenemos como resultado un árbol de mínima expansión cuya longitud es de: L = 1687
También podemos comprobar este resultado en un programa que sigue el mismo algoritmo pero estos resultados se pueden conseguir de manera inmediata ordenando al software:
2. Para irrigar las tierras bajas, el agua se transporta a través de una red de acueductos desde la presa hasta el valle. A continuación se muestra una red en la que los arcos representa acueductos y el número en cada arco representa el caudal máximo permitido en kilotoneladas por hora. Se desea determinar el caudal máximo de la gran presa a las tierras bajas.
a) Formúlelo como un modelo de programación lineal b) Resuelva el problema aplicando el algoritmo respectivo
SOLUCION: Bueno formulamos este problema de flujo máximo como uno de programación lineal para ello primero definimos las siguientes variables:
Presa 100 60 80 Valle 50 30 70 50 80 40 90
La solución que proporciona el LINDO 6.5 es F = 150
Ahora procederemos a resolverlo con los algoritmos aprendidos en clase: Tomamos como primer paso etiquetar el primer nodo con [ ].
Seleccionamos las ramas con mayores flujos y luego hacemos la siguiente selección:
{ }
Entonces las nuevas ramas del recorrido tienen los siguientes valores: ( ) { } { } { }
Vemos que en esta parte del problema ya no se puede avanzar por lo tanto nos quedamos con los demás el flujo máximo q pasa por la red es:
DE A inicio final flujo 1 2 100 0 100 1 3 80 30 50 2 3 50 10 40 2 4 60 0 60 3 4 70 20 50 3 5 40 0 40 4 5 30 0 30 4 6 80 0 80 5 4 50 50 0 5 6 90 20 70
3. Un banco pronto empezará a conectar terminales de computadora en cada una de las sucursales, con la computadora de su oficina principal, usando líneas telefónicas especiales con dispositivos de telecomunicaciones.
La línea telefónica que emana de una sucursal no necesita conectarse directamente a la oficina principal; puede conectarse indirectamente, conectándola con otra sucursal que esté conectado (directa o indirectamente) con la oficina principal. El único requerimiento es que todas las sucursales estén conectadas por alguna ruta con la oficina principal.
La carga para las líneas telefónicas especiales es directamente proporcional al número de millas involucradas, en donde la distancia (en millas) entre cada par de oficinas es:
DISTANCIA ENTRE PARES DE OFICINAS
Principal S1 S2 S3 S4 S5 Oficina Principal Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 Sucursal 5 ---- 160 270 115 70 190 160 ---- 310 80 220 50 270 310 ---- 175 120 215 115 80 175 ---- 140 240 70 220 120 140 ---- 100 190 50 215 240 100 ---- SOLUCION:
Utilizando el algoritmo para hallar al árbol de mínima expansión, luego estos resultados se contrastarán con los resultados del software:
̅
{ } ̅ { } Tomamos el arco que tiene menor distancia en todos lo posibles arcos formado por los 2 conjuntos.
Arco de mínima distancia es ( )
{ } ̅ { } Arco de mínima distancia es ( ) { } ̅ { } Arco de minima distancia es ( )
{ } ̅ { } Arco de minima distancia es ( ) { } ̅ { } Arco de minima distancia es ( ) Longitud del árbol de mínima Expansión L = 420 lo cual se puede comprobar con el TORA.
4. JARH tiene una gran refinería localizada en N. La gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento en P a través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en S, E, T, B y A. El oleoducto está construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo conocido de miles de galones por hora que pueden enviarse. Estos segmentos y sus respectivas capacidades en miles de galones por hora son:
En P se espera un aumento en la conducción en los próximos meses de verano. Antes de incrementar la tasa de producción de la refinería, la administración de JARH desea convencer el número máximo de miles de galones de gasolina por hora que pueden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de almacenamiento de P.
De A Capacidad N S 150 S T 125 T P 130 N B 80 S B 60 B E 100 E A 75 E T 50 A P 90
SOLUCION:
El problema mostrado se puede
representar como una red de oleoductos que los arcos representen las distancias que están de estaciones de bombeo a otra estación: { } { } { }
DE A inicio final flujo N S 150 20 130 N B 80 5 75 S T 125 0 125 B E 100 20 80 T P 130 0 130 E T 50 40 10 E A 75 0 75 A P 90 15 75
5. Las eliminatorias para el mundial se acercan y la selección peruana te necesita! Tenemos un esquema del equipo con 12 posiciones, una por cada jugador (el portero es el número 1) más una para la portería contraria (que es el número 12). Para cada par de jugadores (a, b), tenemos la probabilidad, P[a, b] €(0, 1), de que un pase desde a hasta b salga bien, es decir, que no lo intercepte el equipo contrario. La matriz no es simétrica, y P[a, 12] indica la probabilidad de que a marque un gol al patear.
A partir de esas probabilidades básicas, se puede calcular la probabilidad de una secuencia de pases, mediante el producto.
La probabilidad de que la secuencia de pases a b c salga bien será: P[a, b]*P[b, c], y así sucesivamente. Una estrategia de juego es una secuencia de pases que empieza en nuestro portero y acaba en gol en la portería contraria.
Utilice algún algoritmo eficiente que encuentre la estrategia de juego óptima, es decir, la secuencia de pases entre 1 y 12 que maximice la probabilidad de salir bien.
Aplicar el algoritmo, indicando la estrategia óptima y la probabilidad asociada.
SOLUCION:
Modelo de redes, formularemos como un problema de ruta corta aplicando una transformación logarítmica que convierta la probabilidad en la suma de logaritmos de probabilidades; es decir P1K = P1 x P2 x P3 x P4 x ……x Pk es la probabilidad de no ser detenido entonces
Como queremos la maximización de como ≤ 0 la maximización a su vez equivale a la
minimización de .
Transformando cada probabilidad a logarítmica Nodo 1 – 2 - = 0.04576 Nodo 1 – 3 - = 0.15490 Nodo 2 – 3 - = 0.22185 Nodo 2 – 5 - = 1.00000 Nodo 3 – 4 - = 0.30103 Nodo 3 – 6 - = 1.00000 Nodo 3 – 12 - = 0.69897 Nodo 4 – 1 - = 0.04575 Nodo 4 – 3 - = 0 Nodo 4 – 6 - = 0.09691 Nodo 5 – 12 - = 0.15490 Nodo 6 – 5 - = 0.52289 Nodo 6 – 12 - = 0.22185
Con el último grafo podemos usar el INVOP para determinar la ruta más corta entre el jugador 1 y la portería contraria que es el número 12.
Si - = X
= = 0.168
sería la probabilidad más alta y el camino seria
6. Un taller de tractores se encuentra atendido únicamente por un empleado.
Supongamos que el cuadro de llegadas se corresponde a un proceso de Poisson, de modo que los tiempos de servicio siguen distribuciones exponenciales. Consideremos que, después de observar la evolución del taller, se estima que la tasa de llegada es de 10 vehículos por día y que el tiempo de servicio es de 1 hora. Suponiendo que el empleado arregla los tractores por estricto orden de llegadas y tomando una jornada laboral de 12 horas, se pide contestar a lo siguiente:
a) Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento. b) Número medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario c) Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado. d) Tiempo medio que un vehículo está en el sistema.
SOLUCION: Datos:
10.vehículos/jornada
12 vehículos / jornada.
0.833a) Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento. Por complemento: (1- P0) (Probabilidad que sea arreglado en el momento) Siendo: P0 = (1-
)1- (1-
) =
= 0.833b) Número medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario
4
.
166
)
10
12
(
12
10
2 2
Tractoresc) Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado.
= ( ) = 0.416 x 12 horas = 4.992 horasd) Tiempo medio que un vehículo está en el sistema. Siendo: Tiempo en el sistema= tiempo de espera + tiempo de servicio
1
SW
= = = 6 horas7. Con rubíes y zafiros la joyería Coronas fabrica dos tipos de anillos. Un anillo tipo 1 requiere 2 rubíes, 3 zafiros y 1 hora de trabajo de un joyero. Un anillo tipo 2 requiere 3 rubíes, 2 zafiros y 2 horas de trabajo de un joyero. Cada anillo tipo 1 se vende a 400
, y cada anillo tipo 2 a 500
Se pueden vender todos los anillos producidos por Coronas. Actualmente, Coronas dispone de 100 rubíes, 120 zafiros y 70 horas de trabajo de un joyero. Se pueden comprar más rubíes a un costo de 100
el rubí. La demanda del mercado requiere una producción de por lo menos 20 anillos tipo 1, y por lo menos 25 anillos tipo 2. Coronas desea maximizar la ganancia.Resuelva este problema con la ayuda de un software, por ejemplo LINDO, y conteste a las siguientes cuestiones:
a) Formularlo como uno de programación lineal. b) Estandarizar el programa lineal.
c) Suponga que cada rubí cuesta 190
, en lugar de 100
. ¿Todavía compraría Coronas rubíes? ¿Cuál sería la nueva solución óptima para el problema?d) Suponga que Coronas solamente tuviera que producir 23 anillos tipo 2. ¿Cuál sería la utilidad de Coronas ahora?
e) ¿Cuál es la máxima cantidad que tendría que estar dispuesto a pagar Coronas por otra hora de trabajo de un joyero?
f) ¿Cuál es la máxima cantidad que tendría que estar dispuesto a pagar Coronas por otro zafiro?
SOLUCION:
a) Formulando como una programación Lineal la función objetivo y las restricciones son: Definiendo las variables:
Las ganancias es la función a optimizar en este caso a maximizar.
Entonces la cantidad de rubís q se utilizaran será 100 + donde representa la parte adicional de lo que dispone. “
b) la formulación se puede estandarizar ingresando variables artificiales:
RESOLVIENDO EN PROBLEMA EN LINDO 6.5
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 19000.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 25.000000 0.000000 X3 15.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 100.000000 3) 10.000000 0.000000 4) 0.000000 200.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 -200.000000 NO. ITERATIONS= 5
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 400.000000 INFINITY 100.000000 X2 500.000000 200.000000 INFINITY X3 -100.000000 100.000000 100.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 15.000000 INFINITY 3 120.000000 INFINITY 10.000000 4 70.000000 3.333333 0.000000 5 20.000000 0.000000 INFINITY 6 25.000000 0.000000 2.500000 c) Como los precios de rubí aumentan a 190
“
Vemos que los coeficientes de la función objetivo han variado veamos si se encuentra en su rango admisible para que la solución básica no cambie.
[ ] [ ]
La solución óptima no cambia dado que los coeficientes de la función objetivo se encuentran en sus rangos admisibles.
d) Si tuviera que producir 23 anillos del tipo 2 entonces cuanto veremos si el restricción número 6 se encuentra en su rango admisible para que la solución óptima no cambie.
[ ] [ ]
por lo tanto la solución óptima sigue siendo la misma entonces la nueva función objetivo será:
( )( )
8. Al comenzar un año un especulador de pisos puede haber comprado o no un piso. Si lo posee tiene tres alternativas cada año: no hacer nada con el, venderlo y comprar otro, o solamente vender el piso. Si no posee un piso puede no hacer nada o comprar uno nuevo.
Si un piso esta un año completo en posesión sin hacer cambios, existe un cargo por gestión de 100 dólares.
En la tabla se dan los precios, en miles de dólares, estimados de compra y venta durante los próximos cuatro años.
Determinar la estrategia optima a adoptar en los próximos cuatro años, sabiendo que el especulador parte inicialmente con un piso y quiere poseer otro al finalizar el plazo.
SOLUCION:
Formaremos una matriz de decisión con los acontecimientos y las estaciones los acontecimientos serán:
NN: No hace Nada VC: Vender y Comprar V: Solo Vender C: Solo Comprar
y lógicamente las estaciones que son los 4 años respectivos. Las decisiones no necesariamente son las mismas en los siguientes años.
Tenemos como restricción que al finalizar el cuarto año el especulador termina con otro piso del que tenía inicialmente por lo tanto en el cuarto año solo tenemos que descartar la posibilidad que Vender por que se quedaría sin piso y ese dato no se encuentra como parte del problema.
Usaremos esta matriz para que nos brinden datos, dibujado el grafo respectivo. ( )
Año Precio de compra Precio de venta
1 2 3 4 10 12 22 14 15 16 17 15
Con estos datos podemos formular nuestra programación linear para maximizar la ganancia:
SUJETO A: USANDO EL LINDO 6.5:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12000.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST NN1 0.000000 5100.000000 VC1 1.000000 0.000000 V1 0.000000 0.000000 NN2 0.000000 4100.000000 VC2 1.000000 0.000000 V2 0.000000 0.000000 C2 0.000000 18000.000000 NN3 0.000000 0.000000 VC3 0.000000 4900.000000 V3 1.000000 0.000000 C3 0.000000 27000.000000 VC4 0.000000 2100.000000 C4 1.000000 0.000000 NN2V1 0.000000 6000.000000 NN3V2 0.000000 5000.000000
Los resultados nos dicen que en el primer año deberíamos de Vender y Comprar un piso. Para el segundo año también Vender y comprar un piso, para el Tercer año solo se debe vender el piso para que al cuarto año se compre un piso.
Este sería el plan a seguir para el especulador ya que así obtendrá su máxima ganancia este problema también se puede resolver mediante árbol de decisiones pero es esta ocasión decidí plantear como una
programación lineal para así evitar grandes gráficos como era formar el árbol de decisiones ya que es extenso para poder dibujarlo.