dos cargas es negativa).

Problemas de física propuestos y resueltos: Potencial eléctrico Por: Pilar Cristina Barrera Silva Ejercicio Se ubica en cada vértice de un cuadrado de 50,0 cm de lado, una partícula cargada de acuerdo con la ilustración, donde 𝑞 = 3,00𝜇𝐶. Determine el valor del potencial eléctrico debido a las cargas en el centro del cuadrado. Propuesta de solución. Determino la distancia entre uno de los vértices del cuadrado y el centro de este, luego aplico el concepto de potencial eléctrico para cargas puntuales: 𝑉 = 𝑘 ∑!! "! sin olvidar que el potencial es negativo solamente cuando la carga tiene signo negativo. Ejercicio teórico: Si el potencial eléctrico debido a dos cargas puntuales en cierto punto es igual a cero. ¿El campo eléctrico en ese punto tiene que ser cero? Razone su respuesta. Respuesta: No siempre. Si se tienen dos cargas puntuales iguales en valor, pero de signos contrarios separadas una distancia 𝑎, el potencial en el punto medio de esta distancia debido a las dos cargas resulta ser nulo, sin embargo, el campo eléctrico en ese mismo punto debido a las dos cargas Escriba aquí la ecuación.es diferente de cero. Física Halliday-Resnick, volumen II, tercera edición 29-6 Dos grandes láminas conductoras paralelas están separadas por 10,0 cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies internas. Un electrón que se encuentra en un punto equidistante de las placas experimenta una fuerza de 1,60X10#$% _{N. Halle la} diferencia de potencial entre las placas. Solución: Ya que la fuerza en magnitud que experimenta el electrón debido al campo eléctrico es: 𝐹 = 𝑞𝐸, es posible determinar el campo eléctrico en magnitud. Conociendo el campo eléctrico puedo determinar el potencial entre las placas a una distancia de 5,00 cm, sabiendo que el campo eléctrico es constante a partir de: 𝑉 = 𝐸𝑑 Física Halliday-Resnick, volumen II, tercera edición (energía potencial: 𝑈 = 𝑘!"!#_" "#) 29.13 Determine la energía potencial eléctrica de la configuración indicada. El cuadrado tiene lado L=1,00 m; q1=1,00𝑋10#&C; q2=-2,00𝑋10#&C; q3=3,00X10#&C;

q4=2,00𝑋10#&C.

Solución: Se sabe que la energía potencia eléctrica es: 𝑈 = 𝑘𝑞𝑞'_{/𝑟 (este término puede ser negativo si una de las} dos cargas es negativa).

Analizo de la siguiente manera: Para traer 𝑞$ desde muy lejos la energía es nula ya que no se hace trabajo con respecto a ninguna carga: 𝑈$ = 0. Para traer la segunda carga se hace trabajo con respecto a la primera, entonces: 𝑈_$,) = 𝑘!)!$_" $% , continuo con un proceso similar, al traer 𝑞* esta carga interactúa con 𝑞₎ 𝑦 𝑞_$ : 𝑈 = 𝑈$,)+ 𝑈$,*+ 𝑈),*+ 𝑈$,++ 𝑈),++ 𝑈*,+ sabiendo que cada termino es: 𝑈 = 𝑘!"!#_" "# Reemplazando valores numéricos se obtiene: U= -6,30𝑋10#,_Joule Física, Sears Semanzky, volumen 2, trece edición. (𝑾 = −∆𝑼) 23.1 Una carga puntual 𝑞$ = +2,40 𝜇𝐶 se mantiene estacionaria en el origen. Una segunda carga puntual 𝑞₎ = −4,30𝜇𝐶 se mueve del punto 𝑥 = 0,150𝑚 ; 𝑦 = 0 al punto 𝑥 = 0,250 𝑚; 𝑦 = 0,250 𝑚. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza eléctrica sobre 𝑞)? Solución: 𝑊_-. = −(𝑈_.− 𝑈_-) Donde 𝑈 = 𝑘!%!$ "%$ entonces 𝑊-. = 𝑈-− 𝑈. 𝑟_- = 0,150𝑚; 𝑟_.= 0,354𝑚 Para hallar 𝑟_.= T0,250)_{+ 0,250}) Entonces: 𝑊-. = −0,356 𝐽 Física, Sears Semanzky, volumen 2, trece edición 𝑬_{𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍} = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆; 𝑼 = 𝒒𝑽; 𝑬_𝒌 =𝒎𝒗𝟐 𝟐 23.13 Una partícula tiene una carga de −5,00𝜇𝐶 y masa 2,00𝑋10#+ _{𝑘𝑔. Se desplaza} desde el punto A, donde el potencial eléctrico es 𝑉₆ = +200 𝑉, hasta el punto B, donde el potencial eléctrico es 𝑉₇ = +800 𝑉. La fuerza eléctrica es la única que actúa sobre la partícula, la cual tiene una rapidez de 5,00 m/s en el punto A. ¿cuál es la su rapidez en el punto B? ¿Se mueve más rápido o más lento en B que en A? razone. Solución: Ya que la energía mecánica se conserva en este sistema, porque la única que fuerza que actúa sobre la partícula cargada es de carácter conservativo: Es posible afirmar: 𝐸_898-:6= 𝐸_898-:7 𝐸_;6+ 𝑈₆ = 𝐸_<7 + 𝑈₇ reemplazando los conceptos: 𝑚𝑣₆) 2 + 𝑞𝑉6 = 𝑚𝑣₇) 2 + 𝑞𝑉7

Puedo despejar la rapidez de la partícula en el punto B: 𝑣7 =7,42 m/s Aumenta la velocidad, se mueve en dirección donde aumenta la diferencia de potencial. Ejercicio: (potencial cargas puntuales: 𝑽 = 𝒌 ∑ 𝒒𝒊 𝒓𝒊 𝒊 ) Dos cargas puntuales iguales positivas de valor q se ubican sobre el eje horizontal 𝑥, la primera en x=0 y la segunda en x=a. (a)Determine el potencial eléctrico debido a esta distribución de carga en: 0<x<a; x>a y en x<0 (b) graficar el potencial eléctrico como función de la coordenada horizontal. (asumir conocido: q, a) Ejercicio: (potencial cargas puntuales: 𝑽 = 𝒌 ∑ 𝒒𝒊 𝒓𝒊 𝒊 ) Dos cargas puntuales iguales positivas de valor q se ubican sobre el eje vertical 𝑦. La primera en 𝑦 = 𝑎, la segunda en 𝑦 = −𝑎, también se ubica una tercera carga de valor -2q en el origen del sistema de coordenadas. (a) Determine el potencial eléctrico debido a esta distribución de cargas en un punto P sobre el eje horizontal en 𝑥 > 0 (b) diseñe valores numéricos adecuados para determinar el potencial eléctrico en el punto P. Solución: a. ilustrando la situación: ahora determino el potencial eléctrico de la configuración de cargas en el punto P: 𝑉_@ = _√-<!_$BC$+_√-<!_$BC$+<(#)!)_C simplificando: 𝑉_@ =_√-)<!_$ BC$− )<! C notamos que el potencial eléctrico solo tiene signo negativo si la carga es negativa. b. Dejamos al amable lector modelar el ejercicio con valores razonables. Ahora determinemos la componente horizontal de campo eléctrico debida a la distribución de cargas. 𝑑𝑉 = −𝐸_C𝑑𝑥 separo variables para determinar Ex: 𝐸_C = −FG FC=-( Física Halliday-Resnick, volumen II, tercera edición (𝑉 = − ∫ 𝐸_-. C𝑑𝑥) 29.1 Una lámina infinita cargada tiene una densidad superficial de carga 𝜎 = 1,00𝑋10#,_𝐶/𝑚) _{. Halle la separación entre las superficies equipotenciales cuyos} potenciales difieren en 5,00 voltios Solución: Una superficie equipotencial es aquella en la cual el potencial eléctrico se mantiene constante.

Se sabe que el campo eléctrico de una lámina infinita es: 𝐸_C =_)IH ' ya que este campo es constante el potencial a una distancia 𝑥 de la lámina es: 𝑉 =_)IH '𝑥 , despejando la distancia horizontal: 𝑥 = 8,85𝑋10#+ _{𝑚 en milímetros las superficies equipotenciales están muy cercanas.} 𝑉 = − k 𝐸_C𝑑𝑥 Tomando el diferencial: 𝑑𝑉 = −𝐸_C𝑑𝑥; Ejercicio (Potencial distribución continua: 𝑉 = 𝑘 ∫F!_" ) Anillo con carga: Se distribuye una carga Q de manera uniforme en la longitud de un anillo de radio a. Determine el potencial eléctrico debido al anillo en el punto P sobre el eje del anillo a una distancia x del centro de este. Solución: Planteando la integral para una distribución continua de carga: 𝑉 = 𝑘 ∫_√-F!_$BC$ notemos que en esta situación la distancia r la vemos con la línea punteada. Integrando: 𝑉 = 𝑘 𝑄 √𝑎)_{+ 𝑥}) Aproximación: 𝑥 ≫ 𝑎 Lejos del anillo: se puede expresar: 𝑉 = 𝑘 J CK-$_/C$_B$, ya que x es mayor de 𝑎 el primer término de la raíz tiende a cero, entonces: 𝑉 =<!_C se comporta como una carga puntual Ejercicio: (Potencial distribución continua: 𝑉 = 𝑘 ∫F!_" )

Potencial de una línea de carga. Se distribuye de manera uniforme una carga Q a lo largo de una línea de longitud 2𝑎 que se encuentra a lo largo del eje 𝑦, entre 𝑦 = −𝑎 hasta 𝑦 = 𝑎. Halle el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje x a una distancia 𝑥 del origen. (Sugerencia de solución: revisar ejemplo 23.12 de Sears Zemansky 13 edición) Tomando el diferencial de carga y expresando el potencial de ese diferencial en el punto P: aplico el concepto: 𝑉 = 𝑘 ∫F!_" 𝑉 = 𝑘2 ∫_N-_KMF!_$BC$; tengo en cuenta que el diferencial de carga lo puedo expresar como: 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑦 Integrando y reemplazando límites:𝑉 =_+O∙I$ ' J )-l n p √-$_BC$ B-√-$_BC$ _#-q Ejercicio: (Potencial distribución continua: 𝑉 = 𝑘 ∫F!_" ) Esfera conductora con carga. Una esfera conductora sólida con radio R y carga total Q. (a)Determinar el potencial eléctrico debido a la esfera en: r>R y en 0<r<R (b) Graficar el potencial eléctrico como función de la distancia radial y el campo eléctrico también como función de la distancia radial. Analizar los gráficos. Sugerencia de solución: Revisar ejemplo 23.8 de Sears Zemansky 13 edición) Física. Sears Zemansky, doce edición, volumen 2 23.32 Una carga eléctrica total de 3,50 nC está distribuida de manera uniforme en la superficie de una esfera metálica con un radio de 24,0 cm. Si el potencial es cero en un punto en el infinito, halle el valor del potencial a las siguientes distancias medidas desde el centro de la esfera: a) 48,0 cm b) 24,0 cm c) 12,0 cm a)V=kQ/r donde r=48,0cm por fuera de la esfera V= 65,6 voltios b) en el borde V =kQ/R= 131 voltios c) en r=R V= 131 voltios ya que dentro de la esfera el potencial se mantiene constante! Ups!

Física Halliday-Resnick, volumen II, tercera edición (potencial cargas puntuales: 𝑉 = 𝑘 ∑ !! "! Q con aproximación) Potencial eléctrico debido a un dipolo: Un dipolo lo forman dos cargas de signo contrario, pero del mismo valor, separadas una distancia 2a. Hallar el potencial debido al dipolo en el punto P. (asumir r>>2𝑎) Solución: Calculamos el potencial eléctrico debido a las dos cargas en el punto P: 𝑉 = 𝑘 p 𝑞 𝑟_$− 𝑞 𝑟₎q = 𝑘𝑞( 𝑟₎ − 𝑟_$ 𝑟_$𝑟₎ ) Si r>>2𝑎 se nota en la figura que de manera aproximada se cumple: 𝑐𝑜𝑠𝜃 ="$#"% )- y aproximando 𝑟$𝑟) ≅ 𝑟 ) _{es posible expresar} el potencial del dipolo en la forma: 𝑉 = 𝑘𝑞()-R9ST_"$ ) al valor 2𝑎𝑞 se le llama momento dipolar 𝑝: entonces : p=2𝑎𝑞, finalmente el potencial eléctrico de esta configuración se puede escribir como: V=_+OIUR9ST '"$ Potencial eléctrico de dos cascarones esféricos concéntricos. El interno tiene radio R1= 6,00 cm y carga Q1= 12,0nC el externo tiene radio R2=10,0 cm y carga Q2= -18,0nC. Los cascarones son aislante y tienen la carga distribuida de manera uniforme en cada una de las superficies. a) halle el potencial eléctrico en r= 0, en r= 4,00 cm, en r=8,00 cm b) graficar la función potencial desde r=0 hasta r>10,0cm Solución a)Para hallar el potencial eléctrico se va a aplicar: 𝑉 = − ∫ 𝐸x⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ Veamos el esquema de la situación en el dibujo: Es necesario conocer el campo eléctrico, éste se determina a partir de la Ley de Gauss: r>R2 𝐸$4𝜋𝑟) = 𝑄VW8-/𝜖9 entonces reemplazando valores conocidos con la carga total: 𝐸_$ = −%+,N_"$ En R1<r<R2 con un proceso similar, pero en este caso la carga neta es la del cascarón interno: 𝐸₎ = $N&_"$

Finalmente en 0<r<R1 E3=0 ya que la carga neta en esta

región es nula.

Ahora determinemos el potencial eléctrico en cada región:

Para r>R2 𝑉_$ = − ∫ 𝐸xxxx⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ = − ∫ −_$ %+,N_"$ 𝑑𝑟 = −%+,N_" + 𝐶_$ ; la constante 𝐶_$ = 0 ya que el

potencial se aproxima a cero si r 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, entonces: 𝑽_𝟏 = −𝟓𝟒,𝟎_𝒓 Ahora determino el potencial en R1<r<R2 con un proceso similar: 𝑉) = − k 𝐸xxxx⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ = − k) 108 𝑟) 𝑑𝑟 = 108 𝑟 + 𝐶) Para determinar 𝐶₎ se tiene en cuenta que la función debe ser continua, entonces hallo el potencial 𝑉_$ en r=R2, esto es: 𝑉_$ = −%+,N_N,$ = −540 voltios

Aplico este resultado en 𝑉):

−540 = $N&_N,$ + 𝐶) de donde 𝐶) = −1620 entonces el potencial en esta región es: 𝑽_𝟐= 𝟏𝟎𝟖 𝒓 − 𝟏𝟔𝟐𝟎 Finalmente determino el potencial en la región 0<r<R1 , como la función debe ser continua, hallo el potencial 𝑉₎ en r=R1: 𝑉₎ = 108 0,06− 1620 = 180 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠 Este valor resulta válido para 0<r<R1 entonces: V3= 180 voltios

Ahora hallamos el potencial en los puntos donde lo solicita el ejercicio: En r= 0 y r= 4,00cm V3= 180 voltios En r= 8,00 cm el potencial corresponde a la segunda región esto es: R1<r<R2 V2=-270 voltios b) gráfico: Análisis: De acuerdo a lo esperado el potencial eléctrico resulta constante en la región donde el campo eléctrico es nulo, varía luego de acuerdo a una función potencial inversa en la región comprendida entre los dos radios de los cascarones y finalmente se acerca a cero para r mayor que el radio del cascarón exterior.

Potencial de una esfera maciza aislante: Esfera maciza no conductora con carga total Q distribuida de manera uniforme en todo su volumen, el radio de la esfera es R. Determinar potencial eléctrico debido a la esfera en r≥R y en 0≤r≤ 𝑅. Graficar el potencial eléctrico como función de la distancia r. Solución: Para hallar el potencial eléctrico debido a la esfera vamos a aplicar para las dos regiones el concepto: 𝑉 = − k 𝐸x⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ El vector campo eléctrico debido a una esfera aislante maciza de radio R es a partir de Ley de Gauss: 𝐸x⃗_$ = 𝑄 4𝜋𝜀₉𝑟) 𝑟̂ 𝑟 ≥ 𝑅 𝐸x⃗) = 𝑄𝑟 4𝜋𝜀₉𝑅* 𝑟̂ 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 Notamos que en estos resultados cuando 𝑟 = 𝑅 el campo eléctrico coincide en magnitud, es decir 𝐸$ = 𝐸); este resultado indica que la función es continua. 𝐸(𝑅) = _+O\J ']$ en magnitud Ahora determinamos el potencial eléctrico: Para 𝑟 ≥ 𝑅 𝑉$ = − k 𝑄 4𝜋𝜀₉𝑟)𝑟̂ ∙ 𝑑𝑟𝑟̂ Ya que el vector campo eléctrico y el vector posición son paralelos : 𝑟̂ ⋅ 𝑟̂ = 1 La integral es inmediata: 𝑉$ = − ∫_+O\'"J $𝑑𝑟= J +OI'"+ 𝐶$ Para hallar 𝐶_$ asumo que si 𝑟 → ∞ 𝑉 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶_$ = 0 Así la función potencial es: 𝑉_$= _+OIJ '" (1) Vamos a hallar ahora el potencial eléctrico Para 𝑟 ≤ 𝑅 , aplicando el concepto antes mencionado y teniendo en cuenta el campo eléctrico de la esfera aislante en esta region: 𝑉₎ = − k 𝑄𝑟 4𝜋𝜀₉𝑅* 𝑟̂ ∙ 𝑑𝑟𝑟̂ Realizando el producto escalar e integrando: 𝑉₎ = − k 𝑄𝑟 4𝜋𝜀₉𝑅* 𝑑𝑟 = − 𝑄𝑟) 8𝜋𝑒₉𝑅*+ 𝐶) el potencial 𝑉) es:

𝑉₎ = − 𝑄𝑟) 8𝜋𝜖₉𝑅*+ 𝐶) La función potencial eléctrico es continua, lo que implica que en 𝑟 = 𝑅; 𝑉₎ = 𝑉_$ : 𝑄 4𝜋𝜖₉𝑅 = − 𝑄 8𝜋𝜖₉𝑅+ 𝐶) despejando la constante 𝐶₎ 𝐶₎ = 3𝑄 8𝜋𝜖_N𝑅 Finalmente el potencial eléctrico en esta región es: 𝑉₎ = −_&OIJ"$ '](+ *J &OI)] ; factorizando: 𝑉₎ =_&OIJ '](3 − "$ ]$) (2) Veamos el gráfico de la función potencial eléctrico: Nota: en la pestaña videos de este sitio virtual encontramos este ejercicio explicada en detalle

Física. Tipler-Mosca, volumen II, quinta edición 23-55 .. Dos cortezas cilíndricas de gran longitud y conductoras poseen cargas iguales y opuestas. La corteza interior tiene radio 𝑎 y una carga +q; la exterior tiene un radio 𝑏 y una carga –q. La longitud de cada corteza cilíndrica es L. Halle la diferencia de potencial existente entre las dos capas de la corteza (en 𝑎 < 𝑟 < 𝑏) Solución: Veamos una ilustración de los cilindros vistos de frente: aplicando ley de gauss en la región indicada: 𝐸2𝜋𝑟𝐿 = 𝑞/𝜖₉ notamos que en esta región solo está la carga de la corteza con radio 𝑎 en la superficie gaussiana, entonces: 𝐸 =_)O^I! '" Ahora determino el valor del potencial eléctrico entre los radios a partir de: 𝑉_-. = − ∫ 𝐸x⃗. 𝑑𝑟⃗ = − ∫ _)O^I! '"𝑑𝑟 = − ! )O^I'ln ( . -) . - Ya que hemos determinado el potencial en dirección del campo eléctrico, debemos hallar este resultado en dirección contraria a E, entonces: 𝑉_.- = 𝑞 2𝜋𝐿𝜖₉ln ( 𝑏 𝑎) Ejercicio: dos cortezas concéntricas esféricas, la interna con radio a y carga +q y la externa con radio b y carga -q. Determine el potencial eléctrico entre a y b es decir en la región: 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 Solución Primero determino el campo eléctrico en la región indicada: 𝐸4𝜋𝑟) _{= 𝑞/𝜖} 9 Entonces: 𝐸 =_+O"!_$I ' Ahora hallo el potencial eléctrico: 𝑉_-. = − ∫ _+O"!_$I '𝑑𝑟 = ! +OI'( $ .− $ -) . - 𝑉-. = 𝑞 4𝜋𝜖₉p 𝑎 − 𝑏 𝑎𝑏 q = − 𝑞 4𝜋𝜖₉p 𝑏 − 𝑎 𝑎𝑏 q Este potencial se ha determinado en dirección del campo eléctrico, en consecuencia hallo 𝑉_.-= _+OI! '” .#--.• Física. Tipler-Mosca, volumen II, quinta edición 23.56 Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie. A una distancia radial de 20,0 cm de esta superficie el potencial es 150 V. Determine el radio de la esfera y la carga que ésta tiene. Explicar por qué el potencial es menor a 20,0 cm de la superficie de la esfera.