Departamento de Matemáticas
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1
Proporcionar los conocimientos fundamentales
• Algebra Lineal
•Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
que dan las bases sólidas para que le permita desarrollar
modelar y abordar problemas para distintas áreas de la
Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de
Control, Telemática entre otras.
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2
Algebra Lineal
Ecuaciones Diferenciales
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3
Los conceptos y métodos del
álgebra lineal han contribuido
decisivamente al
desarrollo de muchas áreas del
conocimiento de la
Matemática, entre las que podemos
mencionar :
Robótica
Video juegos
La teoría
económica.
Teoría de
redes
La teoría de
códigos y
Criptografía
Astronomía y
programación
lineal
La teoría
cualitativa y
cuantitativa de
de ecuaciones
diferenciales
Algebra
Lineal
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4
Problemas tan amplios como:
Saber descifrar
códigos
como saber la
distribución de
cosecha
Definir el
presupuesto de
un país
Encontrar la
estabilidad
estructural de
un edificio en
ingeniería civil
el cálculo de la
órbita de un
asteroide
Algebra
Lineal
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5
No es exagerado afirmar que sus ideas y resultados aparecen en casi todo desarrollo
humano.
Modernamente, las matrices, como los polinomios o las series de potencias
formales, bien pueden considerarse como arreglos de datos de algún tipo dado
(Sylvester), donde el algebra que se establezca sobre éstas determina la manera en
que éstos datos pueden combinarse para generar nueva información
(Cayley).
La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido, y sin
duda lo seguirá siendo, uno de los métodos más efectivos para hallar su solución.
Herramientas tales como el determinante, las formas
canónicas y las transformaciones lineales, entre muchas otras, contribuyen
decisivamente a facilitar esta labor.
Algebra
Lineal
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Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una
de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio
hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:
Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno
pro-duce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro
produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción
total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"
Algebra
Lineal
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El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales, tal como señalamos,
y más recientemente, con los sistemas
de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones.
En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio
vectorial.
A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de
los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal.
Y tiene su auge con el desarrollo de las computadoras a finales de lo s años 50 del
siglo XX.
Algebra
Lineal
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Los conceptos y métodos del
Ecuaciones diferenciales han
contribuido decisivamente al
desarrollo de muchas áreas del
conocimiento de la
Matemática, entre las que
podemos mencionar :
Robótica
Video juegos
La teoría
económica.
Teoría de
redes
La teoría
mecánica de
fluidos
Astronomía y
programación
lineal
La teoría
control
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¿ qué tienen en común
La propagación de una enfermedad,
la dinámica entre la oferta y la demanda en un sistema económico
La interacción entre seres en una isla
La carrera armamentista entre naciones?
La respuesta es que cada una de esta áreas de investigación se puede modelar
con ecuaciones diferenciales respecto al tiempo que nos apoyan a
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Las palabras claves en el curso son: El cambio, el flujo el movimiento, en
particular de la rapidez a la que las variaciones tienen lugar.
•Cada ser experimenta cambios
•las mareas fluctúan durante el día,
•los países aumentan o disminuyen sus reservas de armas,
• el precio de la gasolina baja y sube.
•En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es
decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.
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En este curso se trata de cómo predecir el futuro.
Para lograrlo disponemos del conocimiento de cómo son las cosas y cuáles son
Las reglas que gobiernan los cambios que ocurrirán.
Del cálculo sabemos que el cambio es medido por la derivada
Y usarla para describir cómo se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.
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Existen tres tipos de técnicas para efectuar esas predicciones a saber:
•Las técnicas analíticas, las cuales implican encontrar fórmulas para los valores
futuros de la cantidad.
•Los métodos cualitativos, que se apoyan en la gráfica de la cantidad como función
del tiempo y en la descripción de su comportamiento a largo plazo.
•Las técnicas numéricas requieren que efectuemos cálculos aritméticos ( o la
computadora) que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
•En este curso abordaremos dos de estas técnicas: las analíticas, cualitativas y las
numéricas.
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13
Historia de las Ecuaciones
Diferenciales
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci
%C3%B3n_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Model
os_matem%C3%A1ticos
Resultados
Otros
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El origen de la dinámica y de las ecuaciones diferenciales se remontan a los
trabajos de Newton ( 1642- 1727) y Leibniz (1646 -1716) basados en el
desarrollo de la nueva parte de las matemáticas: el cálculo
A Newton le preocupaban las leyes que gobiernan el movimiento, le interesaba
la rapidez del cambio
Sin embargo no debe de pensarse que solo los problemas de física se abordan
en ecuaciones diferenciales.
El mismo tipo de ecuaciones y de análisis de los sistemas dinámicos se pueden
utilizar para abordar problemas en otras áreas.
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El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada por modelo general de comportamiento
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Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la
Ecuación Diferencial que describe su comportamiento, utilizando para
ello las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.
Por ejemplo cuando se desea diseñar un sistema de control automático,
se requiere
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Sistema
Físico
Sistema (Físico)
a modelar
Función forzante
y(t)
u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecánico (
sistema de suspensión en los autos
)
- Sistema Hidráulico (
llenado o vaciado de un tanque
)
- Sistema térmico (
temperatura en un horno u otro objeto
)
-Sistema Eléctrico (
velocidad de motores, corriente
)
- Sistema Fisiológico (
efecto de una dosis de medicamento en el
cuerpo
)
- Sistema Económico (
inflación
)
- Sistema de producción (
producción entre máquinas
)
-Sistemas sociales ( población )
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Para construir una ecuación diferencial, podemos utilizar:
•
Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
rigen la relación causal entre las variables de interés.
•
Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria
del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que
guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de
naturaleza diferente.
Para después mediante la
Aplicación de algoritmos y recursos
computacionales procesar los datos obtenidos de pruebas
experimentales y ver si el modelo explica la situación.
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Horno
Flujo de
Combustible
:
q
i
(t)
Temperatura:
T(t)
horno
Temperatura
Flujo de gas
Relación causal
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Sistema Físico:
Llenado de un tanque
q
o
(t)
:
Caudal de salida
q
i
(t)
:
Caudal de entrada
A:
área del tanque
p(t)
: señal que regula
el caudal hacia el tanque.
h(t)
: altura del tanque
R
h
: resistencia Hidráulica
Tanque
Caudal
de
entrada
q
i
(t)
Nivel:
h(t);
Caudal de
Salida,
q
o
(t)
Relación causal
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c. c.
2
-3t
2
d y(t)
dy(t)
+ 0.4
+ 0.03 y(t) = 1.5 +
Sen10t
dt
dt
e
Sistema (Físico)
a modelar
La respuesta
y(t)
de un sistema
mecánico ante una función forzante
u(t)
está definida por la ecuación
diferencial;
y(0)= 2; y’(0) = 0
Función forzante
y(t)
u(t)
Respuesta del sistema
)
(
)
(
13
.
0
)
(
4
.
0
)
(
2
2
t
u
t
y
dt
t
dy
d
t
y
t
d
+
+
=
u(t):
Comportamiento
deseado
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Función forzante: u(t)
de
Fun
ción e
s
calón
ma
gnitud
1.5;
multiplicada por
Función
Senoid
al
una
expo
nen
cial
-3t
= 1.5 +
Sen
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predecir la magnitud, si admite
antiderivada.
Si no admite antiderivada se cuenta
con análisis cualitativo utilizando
conceptos de cálculo vectorial para
encontrar la predicción en un punto.
Otra forma es utilizar análisis
numérico.
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24
Por ejemplo :
1. Consideramos los
campos vectoriales
, que
asocian un vector a cada punto en el
espacio, El flujo del agua en la misma
piscina es un campo vectorial: a cada punto
asociamos un vector de velocidad
2.
Las transformadas de Laplace, permite
transformar Ecuaciones diferenciales
lineales en Ecuaciones algebraicas , una
vez que se han resuelto en el dominio
correspondiente se encuentra la solución
de las ecuaciones originales aplicando la
transformada inversa .
La herramienta de la transformada de
Laplace, permiten pasar funciones del
dominio del tiempo a otros dominios donde
las operaciones matemáticas resultan más
simples, cobra su mayor ventaja el
utilizarla cuando la entrada en el modelo
lineal es seccionada
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25
El convertir las reglas que gobiernan la evolución de una cantidad
en una ecuación diferencial se llama modelación, nuestra meta es
emplear la ecuación diferencial
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26
La presente gráfica intenta aclarar las relación entre:
•Solucion General,
•Condiciones iniciales,
•Solución particular;
•El valor de c adecuado
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y' = - x y
En ella se representa
1.Por las lineas verdes toda la familia de funciones:
y = c e
-x2/2
a cual es la solución general de la ED
2.La linea roja representa una solución particular.
3.Las condiciones iniciales están definidas por el punto y están como título de la
4.gráfica.
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Conceptos-Teoría
Herramientas
analíticas
Transformada de
Laplace
Herramientas
Tecnología
http://www.falstad.com/mathphysics.html
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que asocian un vector a cada punto en el
espacio, El flujo del agua en la misma
piscina es un campo vectorial: a cada
punto asociamos un vector de velocidad
2. Las transformada s de Laplace,
permite transformar Ecuaciones
diferenciales lineales en Ecuaciones
algebraicas , una vez que se han
resuelto en el dominio correspondiente
se encuentra la solución de las
ecuaciones originales aplicando la
transformada inversa .
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30
with(DEtools);
Problema
La ecuación diferencial
Modela la población de cierta especie en donde p(t) es la población (en miles) de cierta especie en
el instante t
Bosqueja el campo de direcciones
En base al campo de direcciones contesta:
Si la población inicial es 3000 ¿Qué puede decir se acerca de la población
¿Si p(0)=1.5, cuál es la población Cuándo el tiempo es muy grande?
¿Si p(0)=.5, cuál es la población Cuándo el tiempo es muy grande?
¿Puede una población de 900 crecer hasta 1100?
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dy
dx
= x
2
+ y
2
nos dice que a lo largo
de la curva x
2
+ y
2
= 1,
las curvas solución de la ecuación tienen
pendiente 1, es decir, cruzan la circunferencia
de radio 1 con un ángulo de 45 .
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2. Las transformada s de Laplace,
permite transformar Ecuaciones
diferenciales lineales en Ecuaciones
algebraicas , una vez que se han
resuelto en el dominio correspondiente
se encuentra la solución de las
ecuaciones originales aplicando la
transformada inversa .
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33
La transformada de Laplace posee propiedades que
facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales
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34
La teoría Computacional
La teoría de Comunicación
La teoría de control
La Transformada de LAPLACE (TL) es una herramienta matemática que se emplea
entre otras aplicaciones en el estudio de
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35
La importancia de la herramienta radica en que permite reducir
Ecuaciones Diferenciales
Sistemas Mecánicos y eléctricos
Ley de
Newton
Ley de
Kircchof
2
2
dt
x
d
m
x
m
F
=
′′
=
∑
∑
V
=
E
(t
)
)
(
2
2
t
f
kx
dt
dx
dt
x
d
m
+
β
+
=
)
(
2
2
t
E
kq
dt
dq
dt
q
d
L
+
β
+
=
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f(t)
x(t)
k
b
m
Fuerza de
entrada
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
dt
t
x
d
m
dt
t
dx
b
t
kx
t
f
ma
F
=
−
−
=
∑
Desplazamiento,
salida del
sistema
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38
k
bs
ms
s
F
s
X
k
bs
ms
s
X
s
F
s
X
ms
s
bsX
s
kX
s
F
dt
t
x
d
m
dt
t
dx
b
t
kx
t
f
+
+
=
+
+
=
=
−
−
=
−
−
2
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
cero)
a
igual
iniciales
s
condicione
ndo
(considera
término
cada
a
Laplace
de
ada
transform
la
Aplicando
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
Suspensión de un automóvil
Función de
transferencia
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)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
t
o
e
dt
t
i
C
dt
t
i
C
t
Ri
dt
t
di
L
t
i
e
=
+
+
=
∫
∫
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40
Resultados
Otra forma es
utilizar análisis
numérico.
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41
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Yn Yn(
)
(
)
(
,
3
)
4
2
2
,
2
3
2
1
,
2
2
,
1
4
3
2
2
2
1
6
1
1
1
k
n
y
h
n
x
f
h
k
k
n
y
h
n
x
f
h
k
k
n
y
h
n
x
f
h
k
n
y
n
x
f
h
k
k
k
k
k
n
y
n
y
h
n
x
n
x
+
+
⋅
=
+
+
⋅
=
+
+
⋅
=
⋅
=
+
+
+
⋅
+
=
+
+
=
+
( )
1
1
;
2
=
=
=
′
xy
y
dx
dy
y
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