Teoremas de existencia y unicidad para problemas de Cauchy

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Tema 6

Teoremas de existencia y unicidad

para problemas de Cauchy

6.1 Introducci´

on

En los temas precedentes hemos estudiado los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, más significativos, que se saben “resolver”: lineales, de variables separadas y separables, homogéneas, Bernoulli, exactas, . . . . Al mismo tiempo que hemos dado técnicas de resolución de ecuaciones, hemos proporcionado, en algunos casos, resultados de existencia y unicidad para proble-mas de valores iniciales (probleproble-mas de Cauchy) asociados. En cada caso, para estos resultados, hemos usado técnicas distintas, propias del tipo de ecuación que se consideraba.

Desafortunadamente las técnicas vistas son únicamente útiles para un grupo muy reducido de ecuaciones. Además, las usadas para la resolución de ciertas ecuaciones son restrictivas, hasta el punto de que en ciertos casos no ten´ıamos asegurado que con ellas se obten´ıan todas las soluciones de la ecuación; recuérdense los casos de variables separables (cuando existen soluciones constantes), ecuaciones que se reducen a separables mediante cambios de variables, ecuaciones de Bernoulli y algunas ecuaciones donde se usan factores integrantes. Sin lugar a dudas el caso más satisfactorio ha sido el caso lineal.

Necesitamos entonces disponer de herramientas teóricas que, en principio, puedan ser usadas en cualquier ecuación diferencial ordinaria de primer orden (en forma expl´ıcita) y en los proble-mas de valores iniciales asociados; que nos permitan dar ciertas informaciones relevantes sobre las soluciones: existencia de soluciones, existencia y unicidad para problemas de Cauchy, forma de los intervalos de definición de las soluciones, comportamiento de las soluciones en los extremos de esos intervalos y otras cuestiones de gran interés que no vamos ahora a mencionar. En general todas estas cuestiones se estudiarán en el curso Ecuaciones Diferenciales II.

En este tema vamos a considerar un problema general de valor inicial

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t₀) = x₀

donde f es una funci´on definida en cierta regi´on D⊂ R2 _{y vamos a obtener resultados de existencia}

y unicidad de soluciones, que suponen una introducción de lo que se estudiará en el próximo curso sobre ecuaciones diferenciales y es posible que algunas de las cuestiones que tratemos aqu´ı se

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prueben en ese curso con otras técnicas. Además, en Ecuaciones Diferenciales II estos resultados se generalizarán a ecuaciones de orden superior y a sistemas de ecuaciones de primer orden.

Las cuestiones que vamos a tratar aqu´ı fueron estudiadas y desarrolladas entre los a˜nos 1820 y 1900 por Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard y Lindel¨of.

• Entre 1820 y 1830, Cauchy prob´o que si f es continua y existe la derivada parcial ∂f∂x y es continua en cierta regi´on D ⊂ R2_{, relacionada con el punto (t}

0, x0), entonces existe un

intervalo I_{" t0} tal que el problema (P ) posee una ´unica soluci´on definida en I.

• En 1838, Liouville simplifica la prueba de Cauchy introduciendo el método de las aproxima-ciones sucesivas, que más tarde se conocerán como iterantes de Picard.

• En 1876, Lipschitz mejora el resultado de Cauchy, sustituyendo la condici´on de que exista ∂f_∂x

y sea continua por una menos fuerte, conocida como condici´on de Lipschitz.

• Posteriormente, todo lo anterior es ligeramente mejorado y generalizado por Picard (1890) y Lindel¨of (1893), siguiendo las mismas ideas dadas por Liouville y Lipschitz. Actualmente el

método y los resultados se les atribuyen a Picard conociéndose como método de las iterantes

de Picard y teoremas de Picard (o m´as generalmente, teoremas de Picard-Lindel¨of ).

Paralelamente, en 1890, Peano probó, sin más que suponer que f sea continua en cierta región, que el problema (P ) posee solución (no necesariamente ´unica) definida en cierto intervalo. Este resultado, que se verá en el siguiente curso, posee diversas pruebas, todas ellas más complicadas que las pruebas del teorema de Picard.

Nuestro objetivo en este tema es dar un par de teoremas de existencia y unicidad para EDOs

de primer orden expl´ıcitas, conocidos como teoremas de Picard o Picard-Lindel¨of.

En temas anteriores hemos estudiado teoremas de existencia y unicidad para ciertos problemas de Cauchy. Por ejemplo, en el caso de las ecuaciones lineales obtuvimos (teorema 2.2) que si a y b son funciones continuas en un intervalo I y t0 ∈ I, el problema

(P ) : !

x!(t) = a(t)x(t) + b(t)

x(t₀) = x₀

posee soluci´on ´unica en I para cualquier x0 ∈ R. ´Este es un resultado de tipo global.

Sin embargo, en el caso de las ecuaciones de variables separables obtuvimos (teorema 3.2), usando el teorema de la funci´on impl´ıcita, que si g y h son continuas en ciertos intervalos It e Ix respectivamente, t₀ _∈I◦t, x0 ∈ ◦ Ix y h(x0)$= 0, entonces el problema (P ) : ! x!(t) = g(t)h(x(t)) x(t0) = x0

posee una ´unica solución definida en un intervalo abierto I con t₀ _{∈ I ⊂ I}t, pero a priori desconoce-mos este intervalo. Una generalización de este resultado, usando de nuevo el teorema de la función impl´ıcita, se obtuvo en el caso de ecuaciones diferenciales exactas. Estos son resultados de tipo

local.

A través de los temas anteriores, en diversos ejemplos, hemos podido apreciar que el que la función f esté definida en _R2 y sea muy regular (por ejemplo f _{∈ C}1(_R2,_{R)) no asegura que un}

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6.1. Introducci´on 129

problema de Cauchy asociado, como (P ), tenga soluci´on definida en_{R. Un ejemplo muy simple e} ilustrativo que confirma esto es

(P ) : !

x!= x2

x(0) = 1

La soluci´on de este problema aut´onomo, definida en el intervalo I = (_{−∞, 1), es la dada por}

x(t) = ₁_−t1 , pero (P ) no posee solución definida en un intervalo que contenga estrictamente a I. Obsérvese que en este caso f ∈ C∞(R2,R), al ser polinómica. Por lo tanto, para obtener un

resultado de tipo global como en el caso lineal no es suficiente con una condición como la anterior. En general, obtendremos resultados de tipo global o de tipo local, según sea la naturaleza de la función f y del conjunto D. En un resultado de tipo global el intervalo de existencia de la solución se conoce a priori mientras que en uno de tipo local se asegura que existe un intervalo (en principio desconocido, hasta que se realicen ciertos cálculos, y “de tamaño peque˜no”) donde (P ) posee solución única. El resultado de tipo global es más satisfactorio que el local.

Para ilustrar que las hipótesis que impuso Cauchy: f y ∂f_∂x continuas en cierta región, están relacionadas con la existencia y unicidad de solución para un problema como (P ), recordamos dos ejemplos vistos en temas anteriores. En el caso lineal, donde se tiene existencia y unicidad, véase que f : I_{× R → R está definida por f(t, x) = a(t)x + b(t) y las funciones f y} ∂f_∂x son continuas en

I× R. Sin embargo, en el ejemplo (visto en el tema 3)

(P ) : !

x! = 3x2/3

x(0) = 0

sucede que en cualquier intervalo I _{" 0 hay definidas infinitas soluciones para (P ) y, en este caso}

f : _R2 _{→ R, definida por f(t, x) = 3x}2/3_{, es continua en} _R2

pero no existe ∂f_∂x(t, 0). En cualquier regi´on razonable conteniendo al punto (0, 0) tenemos puntos de la forma (t, 0).

Para obtener los resultados de existencia y unicidad, necesitamos previamente conocer dos con-ceptos básicos: las condiciones de Lipschitz y las iterantes de Picard (o aproximaciones sucesivas). Por esta razón las siguientes secciones las vamos a dedicar a estas cuestiones. En ellas también aparecerá una forma equivalente de escribir un problema de valor inicial mediante una ecuación in-tegral, lo cual resulta fundamental para abordar nuestros resultados y los que se verán en el próximo

curso de ecuaciones diferenciales. Una vez vistos estos preliminares probaremos el teorema de exis-tencia y unicidad global, al estilo del visto para ecuaciones lineales, y despu´es abordaremos el resultado de existencia y unicidad local.

Quiero advertir que el desarrollo usual en los textos sobre ecuaciones diferenciales es dar, primeramente, el teorema local y posteriormente el global; es más, en algunos de ellos el global pasa desapercibido. A mi entender es más pedagógico ver antes el resultado global, el más satis-factorio, ya que las mismas técnicas que se usan en éste se intentan adaptar, con mayor dificultad, al caso local, comprendiendo as´ı mejor los condicionamientos existentes y porqué resulta menos satisfactorio. No obstante, hay que advertir que el resultado local se puede aplicar a la mayor´ıa de las ecuaciones diferenciales (en este sentido es muy satisfactorio) mientras que el global sólo se puede usar en determinadas ecuaciones, entre las que se incluyen las lineales.

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6.2 Funciones lipschitzianas

Quizás sea conveniente recordar la definición y algunas propiedades de las funciones lipschitzianas de una sola variable, vistas en el curso anterior en las asignaturas de Introdución al Análisis Matemático o en Métodos Numéricos I.

Definici´on. Sea I_{⊂ R. Una funci´on f : I → R se dice que es lipschitziana en I (o que satisface}

una condici´on de Lipschitz en I) cuando existe una constante L > 0 tal que | f(x) − f(y) | ≤ L | x − y | para cada par de puntos x, y_{∈ I.} En tal caso se dice que L es una constante de Lipschitz para f en I.

Obsérvese que si x_{$= y el cociente} f (x)_x−f(y)_−y indica la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (x, f (x)) y (y, f (y)). De esta forma, las condición de Lipschitz lo que indica es que todas estas pendientes están acotadas, es decir,

Existe una constante L > 0 tal que ""_"f (x)− f(y)

x_{− y}

" "

" ≤ L para cada x, y_{∈ I con x $= y.}

Usualmente se supone que I es un intervalo en R, aunque la definici´on tiene sentido en general. Algunas notables relaciones de esta condici´on con otras propiedades conocidas son las siguientes:

1. Es evidente que cualquier funci´on lipschitziana es uniformemente continua, pues dado ! > 0 basta con tomar δ = _L" > 0 para que se verifique que _{| x − y | < δ ⇒ | f(x) − f(y) | < !.}

2. Hay funciones uniformemente continuas que no son lipschitzianas; por ejemplo, f : [0, 1]_{→ R} definida por f (x) =√x ´o f : [_{−1, 1] → R definida por f(x) =}#_{| x | son uniformemente}

con-tinuas, por ser continuas sobre un intervalo compacto, pero no son lipschitzianas. Obsérvese las gráficas de estas funciones y véase que las pendientes de las secantes no están acotadas. Por reducción al absurdo, si suponemos que f es lipschitziana, tomando los puntos x = 0 e

y = _n12 obtendr´ıamos que 1_n ≤ L_n12 y, por tanto, n≤ L para cada n ∈ N, lo que es absurdo.

En el ejemplo f : [0, 1]_{→ R, f(x) =}√x, puede observarse que f es derivable en cada x_{$= 0}

y lim_x→0+f!(x) =∞.

3. Si I es un intervalo y f : I _{→ R es derivable en I con derivada f}! acotada en I, entonces f es lipschitziana en I. En particular, esto sucede si I es un intervalo compacto y f _{∈ C}1(I,R). Si I no es un intervalo este resultado no es v´alido.

En el caso de que I sea un intervalo la propiedad se sigue del teorema del valor medio. En efecto, tenemos que existe L > 0 tal que | f!_(z)_{| ≤ L para cada z ∈ I. Dados dos puntos}

x, y_{∈ I (podemos suponer sin p´erdida de generalidad que x < y) sabemos que existe un z ∈ I}

con x < z < y tal que f (x)_{− f(y) = f}!(z)(x_{− y) y, por tanto, | f(x) − f(y) | ≤ L | x − y |.} As´ı pues una cota de | f!_{| nos sirve como constante de Lipschitz (L = sup}

x∈I| f!(x)| es una buena constante de Lipschitz).

La condición de que I sea intervalo es fundamental para obtener la propiedad anterior (es decir, para aplicar el teorema del valor medio). Obsérvese que si A = (0, 1)_{∪ (1, 2), la función}

f : A_{→ R definida por f(x) =}

!

1 si x∈ (0, 1)

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6.2. Funciones lipschitzianas 131

A (y, por tanto, acotada) pero f no es lipschitziana en A pues de suponer que lo es tomamos

los puntos x = 1− 1

n e y = 1−n1 para llegar a la contradicci´on: n≤ 2L para cada n > 2. 4. Hay funciones lipschitzianas que no son derivables, como por ejemplo, f : R → R definida por

f (x) =_{| x |.}

Por tanto, podemos decir que la condici´on de Lipschitz es una condici´on intermedia entre la continuidad uniforme y la existencia de derivada acotada.

Nosotros vamos a trabajar con funciones f de dos variable: t y x y vamos a usar una condici´on de Lipschitz que s´olo afecta a una de las variables; concretamente a la segunda.

Definici´on 6.1. Sean D_{⊂ R}2 y f : D_{→ R, (t, x) -→ f(t, x). Se dice que f es lipschitziana en D} respecto de la segunda variable x (o que satisface una condici´on de Lipschitz en D respecto de x) cuando existe una constante L > 0 tal que

(6.1) | f(t, x) − f(t, y) | ≤ L | x − y | para cada par de puntos (t, x), (t, y)∈ D.

En tal caso se dice que L es una constante de Lipschitz para f en D respecto a la segunda variable.

Observemos que en este caso la condición anterior, al referirse únicamente a una de las variables, no implica la continuidad de f en D; en todo caso implica que para cada t la función de una sola variable x-→ f(t, x) es uniformemente continua en cierto conjunto.

Para facilitar la escritura, cuando f verifique la definici´on anterior escribiremos f ∈ L(x, D), es

decir, que notamos por L(x, D) al conjunto de todas las funciones f : D_{→ R que son lipschitzianas} en D respecto de la segunda variable x.

Lo que más nos interesa es la relación de esta condición con cierta propiedad sobre la derivada parcial ∂f_∂x cuando esta existe, ya que esto nos va a permitir, en la práctica, reconocer fácilmente cuándo una función es lipschitziana o no lo es de una forma muy simple. La función f :R2 → R,

definida por f (t, x) =_{| x |, confirma que puede suceder que f ∈ L(x, D) sin necesidad de que exista} ∂f

∂x en D; en este caso podemos tomar D =R

2

o cualquier D que corte al eje de ordenadas. Ahora bien, cuando existe ∂f_∂x la relación entre ésta y la condición de Lipschitz es muy estrecha, como muestran los dos siguientes resultados.

Antes de ver estos resultados, una advertencia: para considerar la derivada parcial ∂f_∂x no supondremos que la región D sea abierta en R2 para no descartar as´ı regiones muy interesantes, que aparecen con cierta frecuencia en las ecuaciones diferenciales, donde tiene sentido ∂f_∂x(t, x) a pesar de que el punto (t, x) esté en la frontera de D. Este puede ser el caso de una región como

D = [a, b]× R y a´un en casos como R × [a, b] tambi´en tendr´ıa sentido considerar la derivada en un

sentido lateral en puntos de la frontera.

Proposici´on 6.1. Supongamos que f es lipschitziana respecto de la segunda variable x en un

conjunto D _{⊂ R}2 con constante de Lipschitz L y existe la funci´on ∂f_∂x: D_{→ R. En tal caso} ∂f_∂x es acotada en D y adem´as _|∂f_∂x(t, x)_{| ≤ L para cada (t, x) ∈ D.}

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Lipschitz. Si (t, x)_{∈ D tenemos} ∂f ∂x(t, x) . = lim h→0 f (t, x + h)_{− f(t, x)} h .

Por hipótesis se entiende que para h suficientemente peque˜no (_{| h | < δ para cierto δ > 0) los puntos} (t, x + h) pertenecen a D. Al no suponer D abierto, se interpreta que en alg´un caso esto podr´ıa suceder ´unicamente para h > 0 o bien para h < 0. Sea L una constante de Lipschitz de f respecto de x en D. Seg´un la definición de la condición de Lipschitz se verifica:

" " " "∂f_∂x(t, x) " " " " = " " " "limh→0 f (t, x + h)_{− f(t, x)} h " " " " = limh→0 " " " "f (t, x + h)_h− f(t, x) " " " " ≤ limh→0 L_{| h |} | h | = L

y, as´ı, ∂f_∂x est´a acotada en D por la constante L.

A continuación establecemos un resultado, rec´ıproco al dado en la proposición anterior, donde es necesario que D sea un conjunto convexo. Es como el resultado establecido en el punto 3 sobre funciones lipschitzianas de una sola variable, donde resulta fundamental que el conjunto I sea un intervalo (de hecho, en R los únicos conjuntos convexos son los intervalos).

Proposici´on 6.2. Si D es un conjunto convexo en _R2 y f : D_{→ R es tal que existe} ∂f_∂x: D_{→ R}

y es acotada en D, entonces f ∈ L(x, D).

Prueba. La base de la prueba es la aplicaci´on del teorema del valor medio para funciones de una

sola variable, que ´unicamente es v´alido en intervalos. Precisamente esta es la necesidad de que D sea convexo. Es aconsejable hacer algumos dibujos de la regi´on D (en unos casos convexo y en otros no) para entender mejor el razonamiento. En efecto, sea L > 0 tal que

" "∂f

∂x(t, x) "

" ≤ L para cada (t, x)_{∈ D}

y sean (t, x1), (t, x2) ∈ D tales que x1 < x2. Por la convexidad de D, resulta que para cada x tal

que x₁ < x < x₂ se verifica que el punto (t, x) pertenece a D, ya que el punto (t, x) pertenece al segmento que une los puntos (t, x₁) y (t, x₂) (dibújese un sencillo conjunto no convexo donde esto no se verifique). Por tanto, la función gt: [x1, x2]→ R dada por gt(x) = f (t, x) está bien definida.

Esta funci´on es derivable y g!_t(x) = ∂f_∂x(t, x) para cada x ∈ [x1, x2]. Entonces, por el teorema del

valor medio, existe x tal que x₁ < x < x₂ y tal que

gt(x1)− gt(x2) = gt!(x)(x1 − x2),

es decir,

f (t, x₁)_{− f(t, x2}) = ∂f_∂x(t, x)(x₁ _{− x2}). Por tanto,

| f(t, x1)_{− f(t, x2})_{| =}""_∂x∂f(t, x)""| x₁_{− x2}_{| ≤ L | x1} _{− x2}_|, lo que prueba que f _{∈ L(x, D).}

Observaci´on: De la prueba anterior se extrae que una constante de Lipschitz L adecuada es una cota de|∂f_∂x| en D. Una buena constante de Lipschitz es

L = sup (t,x)∈D " "∂f ∂x(t, x) " ".

Como ejemplo de aplicaci´on de lo anterior podemos considerar la funci´on f : D = [_{−1, 1]×R → R} definida por f (t, x) =_{| t | sen}2_{x. El conjunto D es convexo y existe} ∂f

∂x: D→ R siendo ∂f

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6.3. Ecuaci´on integral equivalente 133

2_{| t | sen x cos x y, por tanto,} ""∂f_∂x(t, x)"" ≤ 2. Esto nos confirma que f ∈ L(x, D) y podemos tomar como constante de Lipschitz L = 2.

Es obvio que de las proposiciones 6.1 y 6.2 se obtiene la siguiente caracterización de la condición de Lipschitz, muy útil en la práctica.

Corolario 6.0.1. Si D es un conjunto convexo en R2 y f : D→ R es una funci´on tal que existe

∂f

∂x: D→ R, entonces f ∈ L(x, D) si, y s´olo si, ∂f

∂x es acotada en D.

As´ı por ejemplo, la funci´on f : R2 → R definida por f(t, x) = x2 _{es tal que existe} ∂f

∂x(t, x) = 2x para cada (t, x)∈ R2. Esta funci´on no est´a acotada enR2 (ni en otros dominios deR2) por lo que

f /_{∈ L(x, R}2). Sin embargo s´ı es acotada en el convexo D = R × J, si J es un intervalo acotado. Por tanto en este caso s´ı sucede que f _{∈ L(x, D).}

Obs´ervese que si K es un conjunto convexo y compacto en R2 y existe ∂f_∂x y es continua sobre

K, entonces f ∈ L(x, K), ya que una funci´on continua sobre un conjunto compacto es acotada.

Esta situaci´on es muy interesante pues se da con frecuencia.

6.3 Ecuaci´

on integral equivalente a un problema de Cauchy

Un problema de Cauchy

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t0) = x0

se puede escribir de forma equivalente a una ecuaci´on integral cuando la funci´on f es continua,

lo que es muy útil, pues se usa en muchos resultados sobre ecuaciones diferenciales y, por otra parte, nos va a servir para motivar, más adelante, la introducción de las llamadas aproximaciones

sucesivas, también llamadas iterantes de Picard. El resultado sólo usa resultados muy básicos sobre

integraci´on, el teorema fundamental del C´alculo y la regla de Barrow.

Teorema 6.1. Sean f : D_{→ R una funci´on continua en una regi´on D ⊂ R}2, (t₀, x₀)_{∈ D e I un}

intervalo en R. Una función x: I → R, con gráfica contenida en D, es solución del problema

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t0) = x0

si, y sólo si, x es una función continua en I que verifica la ecuación integral

(6.2) x(t) = x₀+

$ t

t₀

f (s, x(s)) ds para cada t_{∈ I.}

Prueba. Supongamos que x : I _{→ R, con gr´afica contenida en D, es soluci´on del problema (P ).}

Como f y x son continuas la funci´on I → R, s -→ f(s, x(s)) es continua en I (as´ı x! _{es continua en}

I) y, por tanto, integrable Riemann en cualquier subintervalo compacto de I. Por hip´otesis t₀ _{∈ I;}

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$ t t₀ x!(s) ds = $ t t₀ f (s, x(s)) ds y, como%_tt 0 x

!_{(s) ds = x(t)}_{− x(t0}_{) = x(t)}_{− x0}_{, se obtiene que x verifica la ecuación integral (6.2).} Rec´ıprocamente, supongamos que x es una función continua en I que verifica (6.2). Como vimos anteriormente la función g : I → R, s -→ g(s) = f(s, x(s)) es continua en I y por el teorema

fundamental del C´alculo, la funci´on

h : I _{→ R, t -→ h(t) =}

$ t

t₀

g(s) ds

es derivable en I (de hecho es de clase uno en I) y verifica que h!(t) = g(t) = f (t, x(t)) para cada

t _{∈ I. Por tanto, x es derivable en I y verifica que x}!(t) = f (t, x(t)) para cada t _{∈ I. Por otra} parte, es obvio que x(t₀) = x₀. De esta forma x : I _{→ R es soluci´on de (P ).}

Para cada x∈ C(I, R) podemos considerar la funci´on T x definida por

t_{-→ T x(t) = x0} + $ t

t₀

f (s, x(s)) ds.

Supuesto que T x esté bien definida en el intervalo I (lo que requiere que la gráfica de x esté contenida en D), tendr´ıamos un operador (aplicación) T :C(I, R) → C(I, R), x -→ T x. Véase que x

es solución de (P ) si, y sólo si, x : I _{→ R es una función continua (x ∈ C(I, R)) tal que x = T x, es} decir, un punto fijo para T .

Recordamos ahora un resultado sobre puntos fijos, usado en An´alisis Num´erico, donde inter-vienen las funciones lipschitzianas.

Teorema (Teorema del punto fijo para funciones contractivas). Si [a, b] es un intervalo compacto

en R y f : [a, b] → [a, b] es lipschitziana con constante de Lipschitz L < 1 (función contractiva), entonces f posee un único punto fijo en [a, b], es decir, existe un único x_{∈ [a, b] tal que x = f(x),} que, además, se obtiene como l´ımite de la sucesión definida recurrentemente por

!

x₀ _{∈ [a, b] (se elige x0} de forma arbitraria) xn= f (xn−1), n = 1, 2, 3, . . .

Para demostrar este teorema se siguen los siguientes pasos:

1. Haciendo uso de que f es contractiva se prueba que la sucesi´on (xn) es de Cauchy y, as´ı, converge hacia un punto x_{∈ [a, b], ya que [a, b] es cerrado.}

2. Dada la convergencia, se prueba que f (x) = x usando que f es continua, pues x = lim xn = lim f (xn−1) = f (lim xn−1) = f (x).

3. Para la unicidad del punto fijo resulta esencial que f sea contractiva.

En nuestro caso, teniendo en cuenta la forma equivalente de escribir el problema de Cauchy como una ecuación integral, vamos a seguir un método parecido pero mucho más complicado (no vamos a suponer que L < 1) para obtener nuestros resultados de existencia y unicidad.

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6.4. Aproximaciones sucesivas (iterantes de Picard) 135

6.4 Aproximaciones sucesivas (iterantes de Picard)

Lo visto en la parte final de la secci´on anterior sugiere que, dado el problema de Cauchy

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t0) = x0

y supuesto que f : D → R es continua en D, consideremos la función constante t -→ x0(t) = x₀ (que verifica la condición inicial del problema (P ) pero puede que no sea solución de la ecuación diferencial) y, a partir de ella, construyamos la sucesión de funciones: x1 = T x0, x2 = T x1, x3 = T x₂, . . . xn= T xn−1, es decir, las definidas por

x₁(t) = x₀ + $ t t₀ f (s, x₀) ds x2(t) = x0 + $ t t₀ f (s, x1(s)) ds x3(t) = x0 + $ t t₀ f (s, x2(s)) ds ... xn(t) = x0 + $ t t₀ f (s, x_n−1(s)) ds, n = 1, 2, 3, . . . (6.3)

Estas son las llamadas aproximaciones sucesivas o iterantes de Picard asociadas al problema (P ). Puede haber un problema de definici´on de las iterantes, que depender´a de la forma del conjunto

D, pues véase que para definir una iterante xn necesitamos que la anterior xn−1 tenga su gráfica contenida en D, que es donde está definida la función f . Por otra parte, no queda claro en qué intervalo de R están definidas estas iterantes. Más adelante analizaremos estas cuestiones. En principio, lo que s´ı es evidente es que, salvando los problemas mencionados, todas las iterantes son funciones derivables y con derivadas continuas (como consecuencia del teorema fundamental del Cálculo) y todas verifican la condición inicial del problema (P ), es decir, xn(t0) = x0.

A continuaci´on, vamos a ver dos ejemplos de problemas de Cauchy asociados a ecuaciones

lineales. Vamos a ver que en estos casos no hay problema para definir las iterantes asociadas y

vamos a determinar tales iterantes comprobando en cada caso que convergen puntualmente hacia la soluci´on ´unica del problema.

Ejemplo 6.1. Consideremos el problema de Cauchy (P ) : !

x! = x

x(0) = 1

Sabemos que tal problema posee una única solución definida en _{R que es la función definida} por x(t) = et.

En este caso, f : R2 → R est´a definida por f(t, x) = x, que obviamente es continua en R2. Por

tanto, la ecuaci´on integral equivalente a (P ) es

x(t) = 1 +

$ t

0

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La iterante inicial asociada a (P ) es la función constante x₀:_{R → R, t -→ x}₀(t) = 1. Las demás iterantes están definidas en R y vienen dadas as´ı:

x₁(t) = 1 + $ t 0 x₀(s) ds = 1 + $ t 0 1 ds = 1 + t x₂(t) = 1 + $ t 0 x₁(s) ds = 1 + $ t 0 (1 + s) ds = 1 + t +t 2 2! x₃(t) = 1 + $ t 0 x₂(s) ds = 1 + $ t 0 & 1 + s +s 2 2 ' ds = 1 + t + t 2 2 + t3 3! ...

En general, se comprueba trivialmente, por inducci´on sobre n, que

xn(t) = 1 + t 1! + t2 2!+· · · tn n!

ya que supuesto probado lo anterior para n, tenemos para n + 1 lo siguiente:

xn+1(t) = 1 + $ t 0 xn(s) ds = 1 + $ t 0 & 1 + s 1!+ s2 2! +· · · sn n! ' ds = 1 + t + t 2 2· 1!+ t3 3· 2! +· · · tn+1 (n + 1)n! = 1 + t 1!+ t2 2!+ t3 3! +· · · tn+1 (n + 1)!·

V´ease que para cada t∈ R existe

lim n→∞xn(t) = limn→∞ n ( k=0 tk k! . = ∞ ( k=0 tk k! = e t_.

As´ı pues la sucesión de iterantes converge puntualmente en R hacia la solución única del problema

(P ). Es bien conocido que, además, la sucesión (xn) converge uniformemente hacia la función exponencial en intervalos compactos.

Ejemplo 6.2. Consideremos el problema de valor inicial (P ) : !

x!(t) = t + x(t)

x(0) = 1

Sabemos que tal problema posee una única solución definida enR. Las soluciones de la ecuación homogénea asociada x! = x son las definidas por x(t) = C et. Buscando una solución particular por el método de Lagrange o, mejor en este caso, por el método de los coeficientes indeterminados, se encuentra xp(t) =−t − 1, por lo que las soluciones de la ecuación diferencial lineal son las dadas

por x_C(t) = C et_{−t − 1 e imponiendo la condición inicial x(0) = 1 se obtiene que la solución única} de (P ) es la definida por x(t) = 2 et_{−t − 1.}

En este caso f : _R2 _{→ R est´a definida por f(t, x) = t + x, que obviamente es continua en R}2.

La ecuaci´on integral equivalente a (P ) es

x(t) = 1 +

$ t

0

&

(11)

6.4. Aproximaciones sucesivas (iterantes de Picard) 137

Las iterantes asociadas a (P) son las definidas por

x₀(t) = 1 x₁(t) = 1 + $ t 0 (s + x₀(s)) ds = 1 + $ t 0 (s + 1) ds = 1 + t +t 2 2 x2(t) = 1 + $ t 0 (s + x1(s)) ds = 1 + $ t 0 & 1 + 2s +s 2 2 ' ds = 1 + t + t2+t 3 3! x₃(t) = 1 + $ t 0 (s + x₂(s)) ds = 1 + $ t 0 & 1 + 2s + s2+s 3 3! ' ds = 1 + t + t2+t 3 3 + t4 4! x₄(t) = 1 + $ t 0 (s + x₃(s)) ds = 1 + $ t 0 & 1 + 2s + s2+s 3 3 + s4 4! ' ds = 1 + t + t2+t 3 3 + t4 4_{· 3}+ t5 5! ...

Obs´ervese que podemos escribir las iterantes x₂, x₃ y x₄ as´ı:

x₂(t) = 1 + t + 2t 2 2!+ t3 3! x3(t) = 1 + t + 2 &t2 2!+ t3 3! ' +t 4 4! x4(t) = 1 + t + 2 &t2 2!+ t3 3! + t4 4! ' +t 5 5!,

lo que nos permite ver una ley de recurrencia. En general, se comprueba fácilmente por inducción sobre n, que xn(t) = 1 + t + 2)t 2 2! +· · · tn n! * + t n+1 (n + 1)! y véase que para cada t_{∈ R se verifica}

lim

n→∞xn(t) = 1 + t + 2(e

t_{−t − 1) + 0 = 2 e}t_{−t − 1 = x(t).}

As´ı pues, también en este caso, la sucesión de iterantes converge puntualmente en _{R hacia la} solución única del problema (P ).

A la vista de los dos ejemplos anteriores nos planteamos si lo sucedido en estos se va a verificar con cualquier problema de valor inicial. La respuesta es en general negativa; lo que sucede es que

el caso lineal es muy especial y ya probaremos que esto se verifica en todos los problemas lineales.

Por otra parte apreciamos que, en cuanto se complica un poco la ecuación, aún en el caso lineal, el cálculo de las iterantes resulta tedioso y posiblemente sea muy dif´ıcil encontrar una expresión general de la iterante xn, por lo que no estamos convencidos del valor práctico del método de las aproximaciones sucesivas. Escepticismo justificado porque realmente las iterantes tienen un valor teórico más que práctico; éstas se usarán para probar nuestros teoremas de existencia y unicidad.

En el caso: D = I_{× R , donde I es un intervalo en R, no hay problemas para definir las}

iterantes. A este tipo de conjuntos, muy interesantes, les llamaremos bandas verticales. Cualquier función definida sobre I tiene su gráfica en D; por tanto, no solamente están bien definidas sino que además todas las iterantes están definidas en el intervalo I. Esto es lo que sucede en el caso de una ecuación lineal x! _{= a(t)x + b(t), donde a y b son funciones continuas en un intervalo I.} En este caso la función definida por f (t, x) = a(t)x + b(t) está definida y es continua en la banda

D = I_{× R. Pero, claro est´a que podemos tener problemas con otras ecuaciones diferenciales; por}

(12)

esta no tuviese su gráfica contenida en D por lo que no tendr´ıa sentido la expresión de la siguiente iterante x2, al menos como función definida en I, a no ser que la definamos en un intervalo más

peque˜no, contenido en I. Esto crear´ıa un serio problema.

Las consideraciones anteriores nos llevan a tener que considerar dos situaciones. La m´as satis-factoria es la que se da cuando D = I_{× R y f : D → R es continua en D y satisface una condici´on}

de Lipschitz respecto de la segunda variable en D. En este caso vamos a obtener un resultado de

existencia y unicidad muy satisfactorio, que llamaremos teorema de existencia y unicidad global, porque obtendremos solución ´unica del problema de Cauchy definida en el intervalo I, como sucede con las ecuaciones lineales. La otra situación es cuando D no es una banda vertical o bien, siendo D banda vertical, la función f no satisface una condición de Lipschitz respecto de la segunda variable en D o ambas cosas a la vez (la continuidad de f sobre D siempre se supone). En esta segunda situación, bajo determinadas hipótesis, obtendremos un teorema de existencia y unicidad local, al estilo de los obtenidos en el caso de ecuaciones de variables separables o exactas, donde se asegura la existencia de un intervalo I, que puede ser muy “pequeño”, tal que el problema (P ) posee una ´

unica soluci´on definida en I.

6.5 Teoremas de existencia y unicidad global

Hablamos de teoremas porque en principio necesitamos probar el resultado en el caso de que el intervalo I, base de la banda D = I_{× R, sea compacto (a lo largo de la prueba se verá la necesidad} de que el intervalo sea de esta forma). Una vez probado este caso, probaremos el caso general en el que I puede ser cualquier intervalo, basándonos en el teorema ya probado y usando una condición que llamaremos condición de Lipschitz generalizada.

Teorema 6.2 (Teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindel¨of). Supongamos que se

verifi-can las siguientes tres hip´otesis:

(I) D = [a, b]_{× R donde [a, b] es un intervalo compacto en R.} (II) f : D → R es continua en D.

(III) f es lipschitziana en D respecto de la segunda variable.

En tal situaci´on, para cada (t₀, x₀)_{∈ D el problema de Cauchy}

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t₀) = x₀

posee una ´unica soluci´on definida en el intervalo [a, b].

Adem´as, las iterantes de Picard xn: [a, b]→ R asociadas a (P ), dadas por

xn(t) = x0 +

$ t

t₀

f (s, x_n₋₁(s)) ds, n = 1, 2, 3, . . . , x₀(t) = x₀,

convergen uniformemente en el intervalo [a, b] hacia la soluci´on del problema (P ).

Observaci´on: El punto (t₀, x₀) puede estar en la frontera de la banda vertical D = [a, b]_{× R, es} decir, puede ser de la forma (a, x₀) o (b, x₀). En el primer caso podemos decir que la soluci´on es

(13)

6.5. Teoremas de existencia y unicidad global 139

una solución a la derecha del problema (P ) y en el segundo que es una solución a la izquierda. Prueba. Sea I = [a, b]. Como cualquier función x : I _{→ R tiene su gráfica en D y f continua en} D, tenemos, como consecuencia del teorema 6.1, que x : I _{→ R es solución de (P ) si, y sólo si, x es}

una funci´on continua en I que verifica

(6.4) x(t) = x0 +

$ t

t₀

f (s, x(s)) ds para cada t∈ I.

Vamos a probar que la ecuación integral anterior sólo posee una solución continua. Para esto, al

ser D una banda vertical, podemos definir sin problema alguno las iterantes de Picard xn: I → R, las cuales son funciones continuas (de hecho son de C1(I,R)) y verifican xn(t0) = x0. El esquema

de la prueba que vamos a llevar a a cabo es el siguiente:

1. Probaremos que la sucesi´on de iterantes (xn) converge uniformemente en el intervalo I hacia una funci´on continua x : I → R.

2. Comprobaremos que esta función x (l´ımite uniforme de las iterantes) verifica la ecuación integral y, por tanto, es solución del problema (P ).

3. Por ´ultimo probaremos que (P ) no posee otra soluci´on distinta de x.

En cada uno de los tres puntos anteriores, aparte de la continuidad de f , haremos uso de manera esencial de la condici´on de Lipschitz de f respecto de la segunda variable:

(6.5) _{| f(t, x) − f(t, y) | ≤ L | x − y |} para cada par de puntos (t, x), (t, y)_{∈ D}

y en el segundo punto utilizaremos de forma esencial que la convergencia de las iterantes es uniforme (no basta con la convergencia puntual).

1.- (Convergencia uniforme de las iterantes). Para probar que la sucesi´on de iterantes (xn) converge uniformemente en el intervalo I, la clave est´a en expresarlas de la siguiente forma:

(6.6) xn(t) = x0 + n ( m=1 & xm(t)− xm−1(t)'.

Fijado t ∈ I es evidente que la sucesión numérica (xn(t)) es convergente en R si, si sólo si, la serie numérica+_m&xm(t)− xm−1(t)'es convergente, para lo cual es suficiente con la convergencia absoluta de la serie, es decir: +∞_m=1_{| x}m(t)− xm−1(t)| < ∞ para cada t ∈ I. De esta forma se tendr´ıa que la sucesión de iterantes converge puntualmente en I. Ahora bien, no es suficiente con la convergencia puntual; necesitamos algo más fuerte, como es la convergencia uniforme. Para probar que la serie funcional +_m&xm− xm−1' converge uniformemente en I y, por tanto, la sucesión de iterantes, vamos a usar el criterio M de Weierstrass (Criterio de la Mayorante de Weierstrass) para lo cual necesitamos probar que existen unas constantes cm ∈ R

+

tales que (6.7) | xm(t)− xm−1(t)| ≤ cm para cada t∈ I y cada m = 1, 2 . . . y

∞ ( m=1

cm<∞.

Para esto haremos uso esencial de la condición de Lipschitz (6.5). Para visualizar mejor lo que se obtiene vamos a empezar con los casos m = 1 y m = 2. A la hora de estimar _{| x1}(t)_{− x0}(t)_| necitamos hacer la siguiente consideración. La función f es continua en D y, por tanto, la función

I _{→ R, t -→ f(t, x0}) es continua en I. Como I es compacto, tal funci´on est´a acotada en I, es decir, existe una constante M > 0 tal que

(14)

| f(t, x0)_{| ≤ M para cada t ∈ I} y, por tanto, para cada t_{∈ I se verifica}

(6.8) | x1(t)− x0(t)| =""" $ t t0 f (s, x0) ds " " " ≤""" $ t t0 | f(s, x0)| ds""" ≤ M| t − t0|.

Podr´ıamos obtener finalmente la estimaci´on_{| x1}(t)_{− x0}(t)_{| ≤ M(b − a) = c1}, pero necesitamos la

obtenida inicialmente (estimaci´on m´as fina) para dominar adecuadamente_{| x2}(t)_{− x1}(t)_{|. Tenemos}

| x2(t)−x1(t)| ≤""" $ t

t0

| f(s, x1(s))−f(s, x0)| ds""" y | f(s, x1(s))−f(s, x0)| ≤ L | x1(s)−x0|.

Supongamos que t > t₀. En este caso

| x2(t)_{− x1}(t)_{| ≤} $ t t0 L_{| x1}(s)_{− x0}_{| ds ≤} (6.8) LM $ t t0 | s − t0| ds = LM $ t t0 (s_{− t0}) ds = LM (t− t0) 2 2 . Para t < t₀ se obtiene | x2(t)_{− x1}(t)_{| ≤} $ t0 t | f(s, x1 (s))_{− f(s, x0})_{| ds ≤ L} $ t0 t | x1 (s)_{− x0}_{| ds ≤ LM} $ t0 t | s − t0| ds = LM $ t0 t (t₀_{− s) ds = LM} (t0 − t) 2 2 .

Por tanto, podemos afirmar que

(6.9) _{| x2}(t)_{− x1}(t)_{| ≤ ML}| t − t0|

2

2! para cada t∈ I.

Obs´ervese que la desigualdad obtenida en (6.8) puede escribirse como_{| x1}(t)_−x0(t)_{| ≤ ML}0 | t−t0|1

1!

con lo cual apreciamos una ley de recurrencia y vamos a comprobar, por inducci´on sobre m, que para cada m se obtiene la siguiente desigualdad:

(6.10) | xm(t)− xm−1(t)| ≤ ML

m−1| t − t0|m

m ! para cada t∈ I.

La desigualdad ha sido probada anteriormente para m = 1 y m = 2. Supongamos que se verifica para m y vamos a comprobar que es v´alida para m + 1 siguiendo el mismo razonamiento que en la obtenci´on de (6.9) (caso m = 2). Vamos a suponer el caso t > t₀ pero la prueba es similar para el caso t < t0, de la misma forma que se ha visto para (6.9). En efecto, si t≥ t0 tenemos

Obsérvese que en lo obtenido anteriormente ha sido fundamental que las iterantes xn tengan sus gráficas en una región D donde f _{∈ L(x, D) para usar (6.5).}

De la desigualdad (6.10) se obtiene inmediatamente

(6.11) _{| x}m(t)− xm−1(t)| ≤

M L

&

L(b_{− a)}'m

(15)

Al ser el intervalo I acotado, es decir, b_{− a < ∞, se tiene c}m∈ R

+

y, por otra parte, ∞ ( m=1 & L(b_{− a)}'m m ! = e L(b−a)_{−1 < ∞.}

En definitiva, +∞_m=1cm <∞ y queda as´ı probada la condici´on (6.7) y, por tanto, la convergencia

uniforme de las iterantes en el intervalo I hacia una funci´on x : I → R.

Es bien conocido que si una sucesi´on xn: I → R, n = 1, 2 . . . , de funciones continuas sobre

I, converge uniformemente en I hacia una función x, la función l´ımite uniforme x también es continua en I. Queda as´ı demostrado el primer punto de la prueba.

2.- (La existencia de solución). Sea x : I _{→ R la función obtenida anteriormente como l´ımite} uniforme de las iterantes xn. La convergencia uniforme de (xn) hacia x en el intervalo I significa que dado cualquier ε > 0 existe un natural n₀ (que sólo depende de ε) tal que

| xn(t)− x(t) | < ε para cada n > n0 y cada t∈ I.

La convergencia uniforme implica (pero no es equivalente a) la convergencia puntual lim

n→∞xn(t) = x(t) para cada t∈ I. Fijemos un t∈ I. Seg´un lo anterior tenemos que

x(t) = lim

n→∞xn+1(t) = x0 + limn→∞ $ t

t₀

f (s, xn(s)) ds.

Queremos probar que

(6.12) lim n→∞ $ t t₀ f (s, x_n(s)) ds = $ t t₀ f (s, x(s)) ds

pues, de esta forma, x verifica la ecuación integral (6.4) y, por tanto es solución en el intervalo I del problema (P ), quedando as´ı probada la existencia de solución. Para probar (6.12) hacemos uso de nuevo de la condición de Lipschitz (6.5) y de la convergencia uniforme de las iterantes hacia x en I. En efecto, " " " $ t t₀ f (s, xn(s)) ds− $ t t₀ f (s, x(s)) ds""_{" ≤} ""_" $ t t₀ | f(s, xn (s)_{− f(s, x(s) | ds}""_" ≤ $ b a | f(s, xn (s)_{− f(s, x(s) | ds ≤ L} $ b a | xn (s)_{− x(s) | ds.}

Dado ε > 0 existe n0 = n0(ε)∈ N tal que | xn(s)− x(s) | <

ε

L(b_{− a)} para cada n > n0 y cada s∈ I.

Por tanto, dado ε > 0 existe n₀ = n₀(ε)_{∈ N tal que} " " " $ t t₀ f (s, xn(s)) ds− $ t t₀ f (s, x(s)) ds " " " < ε para cada n > n0,

lo que nos confirma (6.12). De esta forma queda probada la existencia de soluci´on x : I _{→ R para} el problema (P ).

(16)

3.- (La unicidad de solución)1_{. Para probar la unicidad también será esencial la condición de}

Lipschitz (6.5). Supongamos que y : I → R es otra soluci´on de (P ), y, por tanto, de la ecuaci´on

integral (6.4). La idea es probar que

y(t) = lim

n→∞xn(t) para cada t∈ I,

donde xnson las iterantes de Picard y, por tanto, como limn→∞xn(t) = x(t), se concluir´ıa que y(t) =

x(t) para cada t_{∈ I. Para probar esto seguiremos un procedimiento an´alogo al usado en el punto 1,}

para la prueba de la existencia; m´as concretamente vamos a seguir un procedimiento parecido al que llevamos a cabo para estimar_{| x}n(t)−xn−1(t)|. Como queremos probar que limn→∞| y(t)−xn(t)| = 0, vemos inicialmente lo que sucede con los casos n = 1 y n = 2 para as´ı encontrar una ley de recurrencia. Para estimar adecuadamente| y(t) − x1(t)| consideramos

A = m´ax

t∈I | y(t) − x0|.

El máximo A_{∈ R}+ _{está asegurado al ser la función y continua en el intervalo compacto I. Como}

la gráfica de la función y está contenida en D y f ∈ L(x, D), para cada t ∈ I se verifica

| y(t) − x1(t)_{| =} ""_")x₀ + $ t t₀ f (s, y(s)) ds*₋)x₀+ $ t t₀ f (s, x₀) ds*""_" ≤ """ $ t t₀| f(s, y(s)) − f(s, x0 )_{| ds}""_{" ≤ L}""_" $ t t₀| y(s) − x0| ds " " " ≤ AL | t − t0|.

Usamos ahora la estimaci´on obtenida anteriormente para dominar_{| y(t) − x2}(t)_{| as´ı:}

| y(t) − x2(t)| = """ $ t t₀ f (s, y(s))− f(s, x1) ds""_{" ≤ L}""_" $ t t₀ | y(s) − x1 (s)| ds""" ≤ AL2""" $ t t0 | s − t0| ds""" = AL2 | t − t0| 2 2! .

Visto lo anterior, ahora se puede comprobar f´acilmente, por inducci´on sobre n, la desigualdad

| y(t) − xn(t)| ≤ AL

n| t − t0|n

n ! para cada t∈ I

y, de esta forma, podemos concluir que

| y(t) − xn(t)| ≤ A

&

L(b− a)'n

n ! para cada t∈ I.

Como limn_→∞ (L(b_{n !}−a))n = 0 se concluye que lim

n→∞| y(t) − xn(t)| = 0 para cada t ∈ I, es decir,

y(t) = lim

n→∞xn(t) para cada t∈ I. De esta forma queda probado el teorema.

Observaci´on: En todos los pasos de la demostraci´on se ha usado de forma esencial el hecho de que

I es compacto y que f es lipschitziana en D respecto de la segunda variable.

Un importante ejemplo de aplicaci´on del teorema anterior lo tenemos en las ecuaciones

dife-renciales lineales.

1_{Existen otras pruebas de la unicidad distintas de la que vemos aqu´ı, posiblemente m´}_{as cortas, pero usando}

(17)

Ejemplo 6.3. El caso lineal x!(t) = a(t)x(t) + b(t) donde las funciones a y b son continuas en

un intervalo compacto I = [a, b].

Consideremos un problema de Cauchy asociado

(P ) ! x!= a(t)x(t) + b(t) x(t₀) = x₀ donde t0 ∈ I y x0 ∈ R. Tenemos D = I_{× R} y f : D_{→ R, (t, x) -→ f(t, x) = a(t)x + b(t)} y se verifica lo siguiente:

1. D es una banda vertical de base compacta. 2. f es continua en D por ser a y b continuas en I.

3. Como a es continua en I, y ´este es compacto, la funci´on es acotada, as´ı que podemos fijar

L > 0 tal que_{| a(t) | < L para todo t ∈ I, y entonces}

| f(t, x) − f(t, y) | ≤| a(t) | | x − y | ≤ L | x − y | para cada par de puntos (t, x), (t, y)_{∈ D,} es decir, f ∈ L(x, D).

Por tanto, estamos en las condiciones del teorema de existencia y unicidad global. En consecuencia ratificamos el resultado del teorema 2.2, visto en el tema 2, que asegura que cualquier problema de Cauchy asociado a una ecuación lineal posee solución ´unica en el intervalo I. Además, pode-mos afirmar que las iterantes de Picard asociadas convergen uniformemente hacia la solución del problema. Esto justifica, en parte, lo que se vió en los ejemplos 6.1 y 6.2.

Ahora bien, en el teorema de existencia y unicidad probado en tema 2 para ecuaciones lineales el intervalo I no ten´ıa porqu´e ser compacto; pod´ıa ser cualquier intervalo. Observemos que, en el caso lineal, si I es cualquier intervalo, lo que obtenemos es una condici´on como

| f(t, x) − f(t, y) | ≤ L(t) | x − y | para cada par de puntos (t, x), (t, y)∈ D,

donde L : I _{→ R es la función dada por L(t) = | a(t) |, que es una función continua y que no toma} valores negativos (en el caso lineal se obtiene la igualdad). Esto nos lleva a la siguiente definición:

Definici´on 6.2. Sea I cualquier intervalo (no degenerado) deR. Se dice que una funci´on f : D =

I× R → R, (t, x) -→ f(t, x), satisface una condici´on de Lipschitz generalizada en D respecto de la segunda variable x cuando existe una funci´on L : I _{→ R continua en I (y no negativa) tal que}

(6.13) _{| f(t, x) − f(t, y) | ≤ L(t) | x − y |} para cada par de puntos (t, x), (t, y)_{∈ D.}

Cuando se verifique la condici´on (6.13) escribiremos f ∈ LG(x, D). Obviamente f ∈ L(x, D) ⇒ f ∈ LG(x, D), pero el rec´ıproco no es cierto. La funci´on f : R2 → R definida por f(t, x) = tx

verifica la condici´on (6.13), siendo L(t) =_{| t |, pero f /}_{∈ L(x, R}2) ya que existe la derivada parcial ∂f

∂x: R

2

→ R y no es acotada en R2. Lo que s´ı se verifica obviamente, y haremos uso de esto en nuestro pr´oximo resultado de existencia y unicidad, es que

(18)

De hecho, f _{∈ LG}&x, [a, b]_{× R}' _{⇐⇒ f ∈ L}&x, [a, b]_{× R}' y cuando f no depende de la variable t ambas condiciones son tambi´en equivalentes.

Procediendo de forma análoga a como vimos con la condición de Lipschitz, la utilización de la derivada parcial ∂f_∂x, cuando esta existe, nos proporciona una caracterización muy manejable de la

condici´on de Lipschitzs generalizada.

Proposici´on 6.3. Sea I cualquier intervalo de _{R y f : D = I × R → R tal que existe la funci´on}

derivada parcial ∂f_∂x: D→ R. La función f verifica una condición de Lipschitz generalizada en D respecto de la variable x si, y sólo si, existe una función continua L : I _{→ R tal que}

(6.14) |∂f_∂x(t, x)| ≤ L(t) para cada (t, x)∈ D.

Prueba. Si suponemos que f verifica la condici´on (6.13) y (t, x)_{∈ D se tiene}

" " " "∂f_∂x(t, x) " " " " = " " " "limh→0 f (t, x + h)_{− f(t, x)} h " " " " = limh→0 | f(t, x + h) − f(t, x) | | h | ≤ limh→0 L(t)_{| h |} | h | = L(t).

Rec´ıprocamente, supongamos que se verifica la condici´on (6.14) donde L : I → R es una funci´on

continua. Vamos a seguir un razonamiento análogo al llevado a cabo en la prueba de la proposición 6.2, usando el teorema del valor medio para funciones de una sola variable. Además, en este caso, dada la forma especial de la región D = I × R → R (que es convexa) resulta aún más

simple la prueba. En efecto, para cada t_{∈ I podemos considerar la funci´on g}t:R → R dada por

gt(x) = f (t, x). Esta funci´on es derivable en R y g!t(x) = ∂f∂x(t, x) para cada x∈ R. Si (t, x) y (t, y) son dos puntos cualesquiera de D se verifica

| f(t, x) − f(t, y) | = | gt(x)− gt(y)| = | gt!(z)(x− y) | = " "∂f ∂x(t, z) " "| x − y | donde z es un punto del intervalo abierto de extremos x e y. Por tanto,

| f(t, x) − f(t, y) | ≤ L(t) | x − y |

y, como L es continua en I, se verifica que f ∈ LG(x, D).

Observación: La definición dada de Lipschitz generalizada as´ı como el resultado anterior se adaptan perfectamente al caso más general donde se consideran funciones f definidas en regiones del tipo

D = I _{× J, correspondiendo lo anterior al caso J = R. En el pr´oximo teorema la regi´on es de la}

forma D = I_{× R y por esto hemos destacado este caso.}

Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad 6.2 podemos establecer otro an´alogo donde el intervalo I puede ser cualquiera pero suponiendo ahora que f ∈ LG&x, I× R'. La ´unica diferencia es que no se va a poder asegurar, en general, la convergencia uniforme de las iterantes en el intervalo I; ´unicamente podremos asegurar convergencia puntual. As´ı pues el resultado es el siguiente:

(19)

Teorema 6.3 (Teorema de existencia y unicidad). Supongamos que se verifican las siguientes

tres hip´otesis:

(I) D = I_{× R donde I es un intervalo (no degenerado) en R.} (II) f : D _{→ R es continua en D.}

(III) f satisface una condici´on de Lipschitzs generalizada en D respecto de la segunda variable. En tal situaci´on, para cada (t0, x0)∈ D el problema de Cauchy

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t₀) = x₀

posee una única solución definida en el intervalo I. Además, las iterantes de Picard xn: I → R

asociadas a (P ) convergen uniformemente en cada subintervalo compacto [a, b] del intervalo I (que contenga a t0) y, por tanto, convergen puntualmente en I hacia la soluci´on de (P ).

Prueba. Es conocido que, dado un intervalo no degenerado I y un punto t₀ _{∈ I, existe una sucesi´on}

(Im) de intervalos compactos tal que

t₀ _{∈ I1} _{⊂ I2} _{⊂ · · · I}m⊂ Im+1 ⊂ · · · y ∪∞m=1Im= I.

Para ilustrar mejor lo afirmado anteriormente y convencernos, en parte, de que este resultado es válido, describimos a continuación intervalos con esta propiedad en varios ejemplos significativos, que pueden adaptarse fácimente a otros casos parecidos.

I =_R t₀ = 0 Im = [−m, m] I = [0,∞) t0 = 2 Im = [0, m + 2] I = (0,_∞) t₀ = 1.5 Im = [_m1, m + 1] I = (−1, 1) t0 = 0 Im = [−1 + 1 m+1, 1− 1 m+1] I = (1, 4] t₀ = 3 Im = [1 + _m1, 4]

Consideremos las bandas Dm = Im× R. Al ser Im compacto, la condici´on (III) implica que para cada m se verifica f _{∈ L(x, D}m). Por otra f es continua en cada Dm. Por tanto, se puede hacer uso del teorema 6.2 en cada banda Dm para asegurar que el problema (P ) posee una ´unica

soluci´on definida en Im, que llamaremos xm. Dada la unicidad de cada xm, como soluci´on de (P )

definida en Im, se tiene que xm+1 restringido a Im coincide con xm, de manera que la funci´on

x : I → R, t -→ x(t) = xm(t) si t∈ Im

est´a bien definida. La funci´on x es derivable en I ya que dado t ∈ I existe m tal que t◦ ∈ Im◦ y, como x(t) = xm(t), se tiene que x es derivable en t y verifica

x!(t) = x!_m(t) = f (t, xm(t)) = f (t, x(t)).

Si t es un extremo de I el razonamiento es an´alogo considerando la derivabilidad por la derecha o por la izquierda. Por otra parte, x(t₀) = x₁(t₀) = x₀. Por tanto, x es soluci´on del problema (P ) en

(20)

Si y : I _{→ R es solución de (P ) en I, para cada m ∈ N se verifica que y : I}m → R es solución de (P ) en Im y, por tanto, y = xm = x en Im (dada la unicidad de xm). Como y y x coinciden en cada intervalo Im, entonces coinciden en I. As´ı pues, x es la única solución de (P ) definida en I.

Por ´ultimo, las iterantes xn est´an bien definidas en I al ser D = I× R. Si [a, b] es un intervalo compacto tal que t₀ _{∈ [a, b] ⊂ I, aplicando de nuevo el teorema 6.2 en la banda [a, b] × R, podemos} afirmar que las restricciones de las iterantes al intervalo [a, b] convergen uniformemente en [a, b] hacia la soluci´on de (P ) en ese intervalo, que es x_|_[a,b]. Por otra parte, dado t_{∈ I, tomamos un} intervalo [a, b] tal que t, t₀ _{∈ [a, b] y, como (x}n) converge puntualmente hacia x en [a, b], se verifica que limn→∞xn(t) = x(t). De esta forma se concluye que las iterantes convergen puntualmente en

I hacia la soluci´on de (P ).

El resultado de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales lineales, visto en el tema 2, se sigue trivialmente del teorema anterior. Por otra parte, este nos confirma que la convergencia puntual de las iterantes hacia la soluci´on ´unica de un problema de Cauchy, vistas en los ejemplos 6.1 y 6.2, se generaliza a cualquier problema lineal.

A continuación vemos algunos ejemplos de aplicación del teorema 6.3. En estos, y en otros casos que aparecen en los ejercicios propuestos, resulta muy útil el uso de la proposición 6.3 para reconocer si la función f verifica una condición de Lipschitz generalizada. Los primeros ejemplos corresponden a ecuaciones conocidas, vistas en temas anteriores. En el último la ecuación es irreconocible y, posiblemente, no se sepa resolver.

Ejemplo 6.4. (P ) :    x!(t) = cos x(t) 1_{− t}2 x(0) = x0 , donde x0 ∈ R.

La ecuaci´on es de variables separables: x!(t) = g(t)h(x(t)), donde g : (−1, 1) → R definida por g(t) = ₁_−t12 y h :R → R, definida por h(x) = cos x, son continuas.

Con la teor´ıa vista en el tema 3, ´unicamente en el caso de que cos(x₀)_{$= 0 podemos asegurar que} tal problema posee una ´unica solución en cierto intervalo abierto I tal que 0_{∈ I ⊂ (−1, 1), a priori} desconocido. En el caso de que cos(x0) = 0 tenemos una solución constante válida en I = (−1, 1)

pero no tenemos asegurada la unicidad de soluci´on. As´ı si x₀ = π/2 tenemos la soluci´on constante

x(t) = π/2. Por otra parte, los c´alculos para la resoluci´on de (P ) son complicados.

El teorema 6.3 nos permite obtener fácilmente más información. De hecho, podemos tratar, con el mismo esfuerzo, un problema con una condición inicial genérica: x(t0) = x0.

Sean I1 = (−∞, −1), I2 = (−1, 1) e I3 = (1,∞) y consideremos las bandas verticales Dk = Ik× R, k = 1, 2, 3. Para cada k la funci´on

f : Dk→ R, (t, x) -→ f(t, x) = cos x 1_{− t}2

est´a bien definida y es continua en Dk.

Por otra parte, existe la funci´on derivada parcial ∂f_∂x: Dk → R y verifica

∂f ∂x(t, x) =− sin x 1− t2 y por tanto " " "∂f_∂x(t, x)""_{" ≤} 1 |1 − t2_| = L(t), para todo(t, x)∈ Dk,

(21)

En definitiva, podemos asegurar que si (t0, x0)∈ Dk, el problema

(P ) : !

x!(t) = cos x(t)₁_−t2 x(t0) = x0

posee una ´unica soluci´on definida en el intervalo Ik. En particular, el problema propuesto posee una ´

unica solución en el intervalo I = (_{−1, 1) cualquiera que sea x0} _{∈ R. Obsérvese que en particular,} la función constante x(t) = π/2 es la única solución en I = (−1, 1) del problema correspondiente a x₀ = π/2, lo que no estaba asegurado por el método de variables separables.

Ejemplo 6.5. (P ) :    x!(t) = | sen x(t) | 1_{− t}2 x(0) = x0

En este ejemplo, an´alogo al anterior, proceder´ıamos de la misma forma si no fuese porque ahora la funci´on

f : D = (−1, 1) × R → R, (t, x) -→ f(t, x) = | sen x |

1− t2 ,

que es continua en la banda D, no posee funci´on derivada parcial ∂f_∂x: D _{→ R. Por tanto, no} podemos aplicar la proposici´on 6.3, pero se puede ver que f ∈ LG(x, D) usando directamente la

definici´on y el teorema del valor medio. Si (t, x), (t, y)_{∈ D se verifica}

| f(t, x) − f(t, y) | = """1−t12| sen x | −₁_−t12 | sen y | " " " = 1−t12 " "| sen x | −| sen y |"" ≤ 1 1−t2 | sen x − sen y | = = ₁_−t12 | cos z | | x − y | ≤ ₁_−t12 | x − y |,

donde z un punto del intervalo abierto de extremos x e y.

En consecuencia, para cada x0 ∈ R el problema (P ) posee una ´unica soluci´on definida en el intervalo I = (_{−1, 1).}

Observación: En el ejemplo anterior hemos solventado el problema que planteaba el valor absoluto usando la desigualdad""| a | −| b |"" ≤ | a − b |. Precisamente, usando esta desigualdad se comprueba trivialmente que si una función f satisface una condición de Lispchitz (Lipschitz generalizada) la función_{| f | satisface la misma condición. Esto puede resultar útil en algunos casos.}

Ejemplo 6.6. (P ) : !

x!(t) = sen2(t_{− x(t))}

x(0) = 0

Este ejemplo se estudió y resolvió en el tema 4 (véase ejemplo 4.3) pues la ecuación, del tipo

x!(t) = ϕ(at + bx(t) + c), se reduce a una ecuación de variables separables mediante el cambio de función incógnita y(t) = t_{− x(t).}

En este caso, la funci´on

f : D =_{R × R → R, (t, x) -→ f(t, x) = sen}2(t_{− x)} es continua en la banda D, posee funci´on derivada parcial ∂f_∂x: D→ R y verifica

∂f

∂x(t, x) =−2 sen(t − x) cos(t − x) y, por tanto,

" "

(22)

Consecuentemente, f es lipschitziana en D respecto de la segunda variable (y, por tanto, f _∈

LG(x, D)) y podemos asegurar que el problema (P ) posee una ´unica soluci´on definida en R. Esto,

a priori, no lo pod´ıamos saber cuando estudiamos el problema en el tema 4, aunque finalmente pudimos comprobar que ten´ıa soluci´on definida en_{R, concretamente la funci´on:}

x :_{R → R, t -→ x(t) = t − arctan t.}

Obs´ervese que, con el mismo esfuerzo que hemos tratado este ejemplo, pod´ıamos haber estudiado un problema gen´erico (P ) :

!

x!(t) = sen2(t_{− x(t))}

x(t0) = x0

para obtener el mismo resultado.

Ejemplo 6.7. (P ) :    x!(t) = x 3_{(t) e}t 1 + x2_(t)+ log t· cos x(t) x(t₀) = x₀

La ecuación es irreconocible; al menos no es de los tipos de ecuaciones estudiados en los temas anteriores y Mathematica no es capaz de resolver esta ecuación. Sin embargo, podemos tratar este ejemplo como en los casos anteriores; sólo que aqu´ı los cálculos se complican un poco. La función

f : D = (0,∞) × R → R, (t, x) -→ f(t, x) = x

3_et

1 + x2 + log t· cos x

es continua en la banda vertical D, posee funci´on derivada parcial ∂f_∂x: D_{→ R y verifica para todo} (t, x)_{∈ D lo siguiente:} ∂f ∂x(t, x) = 3x2_et_{(1 + x}2₎_{− x}3_et_2x (1 + x2₎2 − log t · sen x = 3x2_{+ x}4 (1 + x2₎2e t_{− log t · sen x.}

Intentando acotar la expresi´on anterior, obtenemos inicialmente " " "∂f_∂x(t, x)""_{" ≤} 3x 2_{+ x}4 (1 + x2₎2e t₊_{| log t |.}

Por otra parte,

3x2+ x4 (1 + x2₎2 ≤ 3x2+ 3x4 (1 + x2₎2 = 3x2(1 + x2) (1 + x2₎2 = 3x2 1 + x2 ≤ 3 y, en consecuencia, " " "∂f_∂x(t, x)""_{" ≤ 3e}t+_{| log t | = L(t),}

donde la función L : (0,_{∞) → R es continua. Por tanto, f ∈ LG(x, D) y podemos asegurar que} para cada t0 > 0 y cada x0 ∈ R el problema (P ) posee una única solución definida en el intervalo I = (0,_{∞), aunque no tengamos ni idea de cuál es la solución.}

6.6 Teorema de existencia y unicidad local

Recordemos las tres hip´otesis que se necesitan para poder asegurar que un problema como

(P ) : !

x!(t) = f (t, x(t))

x(t₀) = x₀