Regresión con datos de series de tiempo: Variables no estacionarias

(1)

Regresión con datos de series de tiempo: Variables no estacionarias

En estas notas se desarrollan los aspectos teóricos y prácticos del capítulo 12 de los libros de texto de R. Carter Hill, William E. Griffiths y Guay C. Lim (2012) Principles of Econometrics, 4a.ed. (POE4) y de Lee C. Adkins y R. Carter Hill (2012) Using Stata for Principles of Econometrics (USPOE4).

Variables estacionarias y no estacionarias

Inspección visual

use "C:\POE4\usa.dta", clear generate date = q(1984q1) + _n-1 format date %tq

tsset date

tsline gdp, name(gdp, replace) ylabel(2000(2000)16000,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Real US gross domestic product (GDP)", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_1.gph",replace)

tsline D.gdp, name(dgdp, replace) yline(0) ylabel(-300(100)300,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Change in GDP", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_2.gph",replace)

graph combine gdp dgdp, saving("C:\POE4\g12_C1.gph",replace)

tsline inf, name(inf, replace) ylabel(0(2)14,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Inflation rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_3.gph",replace)

tsline D.inf, name(dinf, replace) yline(0) ylabel(-2(1)2,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Change in the inflation rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_4.gph",replace) graph combine inf dinf, saving("C:\POE4\g12_C2.gph",replace)

tsline f, name(f, replace) ylabel(0(2)12,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Federal funds rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_5.gph",replace)

tsline D.f, name(df, replace) yline(0) ylabel(-3(1)1,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Change in the federal funds rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_6.gph",replace)

graph combine f df, saving("C:\POE4\g12_C3.gph",replace)

tsline b, name(b, replace) ylabel(0(2)14,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Three-year bond rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_7.gph",replace)

tsline D.b, name(db, replace) yline(0) ylabel(-1.6(0.4)1.6,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Change in the bond rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_8.gph",replace)

graph combine inf dinf, saving("C:\POE4\g12_C4.gph",replace)

graph combine gdp dgdp inf dinf, cols(2) saving("C:\POE4\g12_A1.gph",replace) graph combine f df b db, cols(2) saving("C:\POE4\g12_all_A2.gph",replace)

(2)

Algunas series de tiempo de la economía norteamericana 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

Real US gross domestic product (GDP)

-300 -200 -100 0 100 200 300 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date Change in GDP 0 2 4 6 8 10 12 14 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date Inflation rate -2 -1 0 1 2 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

Change in the inflation rate

0 2 4 6 8 10 12 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

Federal funds rate

-3 -2 -1 0 1 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

Change in the federal funds rate

0 2 4 6 8 10 12 14 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

Three-year bond rate

-1.6 -1.2 -.8 -.4 0 .4 .8 1.2 1.6 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

(3)

Estadística descriptiva

summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if tin(1984q2,1996q4) summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if tin(1997q1,)

Propiedades de una serie estacionaria

( ) Media constante (12.1a)

( ) Varianza constante (12.1b)

( ) ( ) Covarianza depende de , no de (12.1c)

La exploración visual no es suficiente. Es necesaria una prueba formal de estacionariedad.

Modelo AR(1)

Es un modelo útil para explicar la diferencia entre una serie estacionaria y una serie no estacionaria

| | (12.2a)

El supuesto | | implica que es estacionaria.

El proceso AR(1) muestra que cada realización de la variable aleatoria contiene una proporción del valor del periodo pasado más un error que sigue una distribución con media cero y varianza .

(4)

Ejemplos, con datos artificiales: clear set obs 500 gen t=_n tsset t gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=0.7*L.y+rnormal(0,1) in X tsline y, ylabel(-6(1)6) yline(0)

clear set obs 500 gen t=_n tsset t gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=1+0.7*L.y+rnormal(0,1) in X tsline y, ylabel(-2(1)10) yline(0)

for num 2/500:replace y=1+0.01*t+0.7*L.y+rnormal(0,1) in X tsline y, ylabel(0(4)24) clear set obs 500 gen t=_n tsset t gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=L.y+rnormal(0,1) in X tsline y, ylabel(-8(4)16) yline(0)

for num 2/500:replace y=0.1+L.y+rnormal(0,1) in X tsline y, ylabel(0(10)60) clear set obs 500 gen t=_n tsset t gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=0.1+0.01*t+L.y+rnormal(0,1) in X tsline y, ylabel(0(200)1400) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y 0 100 200 300 400 500 t -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 100 200 300 400 500 t 0 4 8 12 16 20 24 y 0 100 200 300 400 500 t -8 -4 0 4 8 12 16 y 0 100 200 300 400 500 t 0 10 20 30 40 50 60 y 0 100 200 300 400 500 t 0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 4 0 0 y 0 100 200 300 400 500 t

(5)

En general AR(p) incluye los rezagos desde hasta . en t=1 en t=2 ( ) en t=3 ( ) en t

En cada término que contiene y , el exponente de es y el subíndice de es Así, por ejemplo, para el último término de la expresión anterior el exponentes de es y el subíndice de es Reordenando términos La media de es ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{) (} _{) (} ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

para grande y dado que | |

( )

Por lo tanto la media de es [ ] . La varianza de es ( ) [ [ ]] [ ] es decir ( ) [ ( )] ( ) [ ]

Desarrollando el polinomio al cuadrado y considerando que el valor esperado de los términos cruzados en es cero a partir del supuesto de no correlación entre las innovaciones, es decir ( ) [( [ ])( [ ])]

(6)

( ) [ _] _[ _] _[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) _[ _{] (} ₎ _[ _{] (} ₎ _[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) _[ _{] (} ₎ _[ _{] (} ₎ _[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ( ) [ ( ) ( ) ₍ ₎ _]

( ) ( ) ₍ ₎

Por lo tanto, la varianza de es

( )

La covarianza entre dos errores y que están distantes periodos es

( ) [( [ ])( [ ])] [ ]

Sustituyendo (9B.4) y el rezago de a periodos de (9B.4) se tiene

[( ( ) ( ) ( ) ( )

)( ( ) ( ) ( ) )]

Los términos cruzados de originarán términos de covarianza entre y que serán cero, de acuerdo con el supuesto ( ) para hecho en (9.31). Así, el resultado anterior se simplifica a

[ ( ) ( ) ] [ ] [ ( )] [ ( )] [ ] [ ( )] [ ( )] ₍ ₎ ( )

Así, el modelo AR(1) expresado en (12.2a) es un ejemplo clásico de un proceso estacionario con media cero.

Los datos del mundo real difícilmente tendrán media cero. Ahora se introduce el caso de una media distinta de cero, reemplazando en (12.2a) por como sigue

( ) ( )

despejando

(7)

que puede expresarse como

| | (12.2b)

siendo

Por recursividad se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) generalizando en ( ) Media [ ] [ ( ₎ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Varianza [ ] [ ( ₎ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ]] [ ] [ ] ( ) [ _] _[ _] _[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) _[ _{] (} ₎ _[ _{] (} ₎ _[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) _[ _{] (} ₎ _[ _{] (} ₎ _[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ( ) [ ( ) ( ) ₍ ₎ _]

( ) ( ) ₍ ₎

(8)

( )

De acuerdo con lo anterior, se describe la variable desviada de la media , como estacionaria alrededor de cero, o bien la variable como estacionaria alrededor de su valor medio .

Ejemplo: el proceso en el que ( )

Otra extensión de (12.2a) es considerar un modelo AR(1) que fluctúe en torno a una tendencia lineal . En este caso, la serie sin tendencia en forma autorregresiva es

( ( )) | |

desarrollando los términos, agrupando y despejando a se obtiene ( )

( )

( ) ( )

que puede expresarse como

(12.2c)

donde

( ) ( ) Por recursividad se tiene

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) generalizando en [ ( ) _{{( ) ( )} _} ] ( ) { ( ) ( ) _} Media [ ] [ ( ) { ( ) ( ) _} ] [ ] [ ] [ ] [ ( ) ( ) _{] [} ]

(9)

[ ] ( ) { ( ) ( ) _} _[_] _[_] _[_]_[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) { ( ) ( _)} [ ] ( ) ( ) ( ₎ [ ] ( ) ( ) haciendo ( )( ) se obtiene [ ] Varianza

Se deja como ejercicio desarrollar [ ] para obtener un punto adicional en la evaluación final.

Un ejemplo de este tipo de series es el proceso en el que ( ) ( )

Modelos de caminata aleatoria

Considerando el caso especial de en el modelo AR(1) de la expresión (12.2a)

(12.3a)

La solución por recursividad en t=1

en t=2

( ) ∑

(10)

generalizando en t ∑ Media [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Varianza [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

La media es constante y la varianza no es constante, por lo que la serie de caminata aleatoria es no estacionaria. Un ejemplo de este tipo de caminata aleatoria es el proceso

en el que y no hay tendencia determinística.

En la descomposición de ∑ , el término ∑ es denominado tendencia estocástica.

Caminata aleatoria con drift o deriva

Considerando el caso especial de en el modelo AR(1) de la expresión (12.2a) con un intercepto

(12.3b)

La solución por recursividad en t=1 en t=2 ( ) ∑ generalizando en t ∑ Media [ ] [ ∑ ] [∑ ] ∑ [ ] Varianza [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

La media y la varianza no son constantes, dependen de , por lo que la serie de caminata aleatoria con drift es no

estacionaria.

(11)

Caminata aleatoria con drift y tendencia

Considerando el caso especial de en el modelo AR(1) de la expresión (12.2a) con un intercepto y tendencia

(12.3c)

La solución por recursividad en t=1 en t=2 ( ) ∑ generalizando en t ( ( ) ) ∑

En el resultado anterior se toma en cuenta el resultado aplicable a la progresión geométrica ( )

Se deja como ejercicio desarrollar [ ] y [ ] para obtener dos puntos adicionales en la evaluación final.

Es claro que para este proceso que la media y la varianza no son constantes, dependen de , por lo que el proceso de caminata aleatoria con drift y tendencia es no estacionaria.

Regresiones espurias

Detectar si una serie de tiempo es estacionaria o no, antes de realizar el análisis econométrico es importante para no incurrir en el riesgo de obtener resultados aparentemente significativos a partir de datos no relacionados al emplear series no estacionarias. Estas regresiones son espurias.

Para ilustrar este problema consideremos dos series independientes de caminata aleatoria

donde y son errores independientes ( ). Las series se generan independientemente, de manera que una no

tiene relación con la otra.

(12)

use "C:\poe4\spurious.dta", clear gen time = _n

tsset time regress rw1 rw2 estat bgodfrey

tsline rw1 rw2, name(g1, replace) scatter rw1 rw2, name(g2, replace)

̂ ( ) 0 20 40 60 R W p ro c e s s 0 200 400 600 800 time RW process RW process 0 20 40 60 R W p ro c e s s 0 20 40 60 RW process

(13)

Cuando se estima un modelo de regresión con series de tiempo no estacionarias, los resultados pueden indicar espuriamente una relación significativa, cuando ésta no existe. Típicamente, los residuales de estas regresiones se muestran altamente correlacionados. En estos casos, los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios no cumplen con las propiedades usuales y los estadísticos no son confiables. En virtud de este problema latente, ¿cómo probar

estacionariedad en una serie de tiempo? y ¿cómo manejar el análisis de regresión con datos no estacionarios?

Pruebas Dickey-Fuller de raíces unitarias para estacionariedad

La manera formal de probar estacionariedad es examinando el valor de en el modelo AR(1). Casos

1. Proceso AR(1) sin constante y sin tendencia A partir de

(12.4)

donde es independiente con media cero y varianza constante . Restando en ambos lados de la igualdad

se obtiene la ecuación de prueba

( )

o equivalentemente

(12.5a)

donde y .

El contraste de hipótesis es para no estacionariedad contra | | para estacionariedad. Entonces, la hipótesis puede plantearse en términos de o de :

Si no se rechaza la serie corresponde a un proceso no estacionario, , es decir , que equivale a . Si se rechaza la serie corresponde a un proceso estacionario.

2. Proceso AR(1) con constante y sin tendencia A partir de

(14)

( )

o equivalentemente

(12.5b)

donde y .

3. Proceso AR(1) con constante y con tendencia A partir de

( )

o equivalentemente

(12.5c)

donde y .

(15)

Los valores críticos de la prueba Dickey-Fuller

El estadístico calculado para la prueba Dickey-Fuller es denominado estadístico y su valor debe ser comparado con el correspondiente valor crítico a un nivel de significancia dado. La regla de decisión: si se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad. Si no se rechaza la hipótesis nula.

Si el término de error está autocorrelacionado, se tiene la ecuación con intercepto extendida en un número suficiente de términos de rezago que capturan la dinámica completa del proceso. Dicha ecuación es

∑

(12.6)

donde , , … Se agregarán tantos términos de rezago de la primera diferencia

como sean necesarios que aseguren que los residuales no estén correlacionados. También se puede considerar incluir rezagos de la variable dependiente. El número de rezagos necesario puede determinarse examinando la función de autocorrelación (ACF) de los residuales o la significancia de los coeficientes estimados de los rezagos de primera diferencia . Con base en (12.6) las pruebas de raíces unitarias y sus variantes (sin intercepto o con tendencia) son conocidas como pruebas Dickey-Fuller aumentadas.

En la práctica se utilizan las pruebas Dickey-Fuller aumentadas (en lugar de la versión no aumentada) para asegurar que los errores son no correlacionados. En todo caso son empleados los valores críticos de la siguiente tabla presentada en el texto de R. Carter Hill, William E. Griffiths y Guay C. Lim (2012)

(16)

Procedimientos para la prueba Dickey-Fuller

Los valores críticos de las pruebas Dickey-Fuller se derivan de las siguientes simulaciones

Proceso verdadero Ecuación de prueba

( )

Primero, elaborar la gráfica de la serie de tiempo de la variable y seleccionar la prueba Dickey-Fuller adecuada con base en una inspección visual de la gráfica.

i) Si la serie fluctúa en torno a una media muestral de cero, emplear la prueba para el modelo sin constante y sin tendencia.

ii) Si la serie fluctúa en torno a una media muestral diferente de cero, emplear la prueba para el modelo con constante y sin tendencia.

iii) Si la serie fluctúa en torno a una tendencia lineal, emplear la prueba para el modelo con constante y con tendencia.

Segundo, proceder con una de las prueba de raíz unitaria tomando en cuenta que es importante la elección correcta de los valores críticos de acuerdo con la ecuación de prueba estimada, la cual, depende de la ausencia o presencia de los términos constante y de tendencia.

Las pruebas Dickey-Fuller: ejemplo

Considere dos series de tiempo de tasas de interés: la tasa de rendimiento de fondos federales y la tasa de

rendimiento de un bono a tres años . En las gráficas respectivas de primeras diferencias se observa una media distinta de cero, por lo que se realizará la prueba con la ecuación con constante y sin tendencia. El modelo (12.6) con los rezagos requeridos de acuerdo a su significancia es

para

∑

(17)

para

∑

En Stata

use "C:\poe4\usa.dta", clear gen date = q(1984q1) + _n - 1 format %tq date

tsset date

* Augmented Dickey Fuller Regressions with built in functions dfuller f, regress lags(1)

dfuller b, regress lags(1)

̂

( ) ( )

El estadístico DF calculado -2.50 es mayor que el valor crítico -2.86, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad de la serie . No hay suficiente evidencia que sugiera que sea estacionaria.

̂

( ) ( )

El estadístico DF calculado -2.70 es mayor que el valor crítico -2.86, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad de la serie . No hay suficiente evidencia que sugiera que sea estacionaria.

(18)

Orden de integración

Si es una serie de caminata aleatoria, entonces o . La primera diferencia de es

y como es una variable aleatoria independiente con media y varianza , entonces es estacionaria. Es decir, la serie de caminata aleatoria es integrada de orden uno y denotada como I(1).

En general, el orden de integración de una serie de tiempo es el mínimo número de veces que requiere ser diferenciada para hacerla estacionaria.

Ejemplo: La serie de tiempo de la tasa de rendimiento de los fondos federales en Estados Unidos, . Para determinar el orden de integración de nos preguntamos ¿es estacionaria ?

En la inspección visual se vio que es no estacionaria y parece ser estacionaria

Formalmente, disponemos de los siguientes modelos de prueba Dickey-Fuller para la serie de la primera diferencia de ,

Modelo aumentado

( )

∑

( )

Modelo con constante y tendencia

( )

Modelo con constante

( )

Modelo sin constante y sin tendencia

(19)

En Stata

tsset date

dfuller D.f, regress trend lags(4) dfuller D.f, regress trend

dfuller D.f, regress

dfuller D.f, regress noconstant

( )̂ ( )

( ) ( )

El estadístico DF calculado -5.49 es menor que el valor crítico -1.94, por lo que se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad de la serie . Hay suficiente evidencia que sugiere que es estacionaria.

La serie es no estacionaria y la serie es estacionaria. La serie es I(1) y la serie es I(0).

Ejemplo: La serie de tiempo de la tasa de rendimiento de un bono a tres años en Estados Unidos, . Para determinar el orden de integración de nos preguntamos ¿es estacionaria ?

(20)

Formalmente, disponemos de los siguientes modelos de prueba Dickey-Fuller para la serie de la primera diferencia de ,

Modelo aumentado

( )

∑

( )

Modelo con constante y tendencia

(

)

(

)

Modelo con constante

( )

Modelo sin constante y sin tendencia

( )

En Stata

tsset date

dfuller D.b, regress trend lags(4) dfuller D.b, regress trend

dfuller D.b, regress

dfuller D.b, regress noconstant

( )̂ ( )

( ) ( )

El estadístico DF calculado -7.66 es menor que el valor crítico -1.94, por lo que se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad de la serie . Hay suficiente evidencia que sugiere que es estacionaria.

(21)

Cointegración

Como regla general, las variables de series de tiempo no estacionarias no deben ser utilizadas en los modelos de regresión, para evitar el problema de la regresión espuria. Sin embargo, hay una excepción a esta regla.

Si y son variables no estacionarias I(1), entonces esperamos que su diferencia o cualquier combinación lineal de ellas tal como sea también I(1).

Sin embargo, hay un caso importante cuando es un proceso estacionario I(0). En este caso, se dice que y son variables cointegradas.

Cointegración implica que y tienen similares tendencias y a partir de que la diferencia es estacionaria, ellas nunca van a diverger lejos una de la otra.

Una forma natural de probar si y son variables cointegradas es probar si los errores son estacionarios. A partir de que no podemos observar , se prueba la estacionariedad de los residuales MCO

̂ ̂ ̂ mediante la prueba Dickey-Fuller.

La prueba de cointegración es en efecto, una prueba de estacionariedad de los residuales. Si los residuales son estacionarios, entonces y son cointegradas. Si los residuales son estacionarios, entonces y son no cointegradas y, cualquier relación aparente de regresión entre ellas se dice que es espuria.

Para probar estacionariedad de los residuales se toma como base la ecuación

̂ ̂ (12.7)

donde

̂ ̂ ̂

Se examina el estadístico (tau) para el coeficiente estimado de la pendiente. La ecuación de prueba puede incluir los términos necesarios ̂ , ̂ , para eliminar autocorrelación en .

Los valores críticos para la prueba de cointegración para las siguientes ecuaciones

Ecuación 1 (sin constante y sin tendencia) ̂ (12.8a)

Ecuación 2 (con constante) ̂ ̂ ̂ (12.8b)

Ecuación 3 (con constante y con tendencia) ̂ ̂ ̂ ̂ (12.8c) son

(22)

Ejemplo de prueba de Cointegración

El procedimiento Engle-Granger para la prueba de Cointegración considera el siguiente contraste de hipótesis Las series no cointegran Residuales no estacionarios Las series son cointegradas Residuales estacionarios A continuación se desglosa un ejemplo con los pasos para la decisión de inferencia en dicha prueba. En Stata

tsset date tsline b f regress b f

predict ehat, residual

dfuller ehat, regress noconstant lags(1) dfuller ehat, noconstant lags(1)

Se observa que ambas series son no estacionarias, la regresión por MCO de en función de es ̂

( ) ( ) ( ) (12.9)

La estimación y la prueba de raíz unitaria Dickey-Fuller aumentada para los residuales estimados por MCO es ̂ ̂ ̂

( ) ( )

Equivalentemente, la siguiente instrucción nos devuelve el estadístico Dickey-Fuller calculado sin desplegar los resultados de la regresión de la prueba

0 5 10 15 1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 date

(23)

A partir de que hay un término constante significativo en (12.9), empleamos el valor crítico de la ecuación (2) de la tabla de valores críticos, por lo que al 5% de significancia se tiene que -4.196 < -3.37. Se rechaza la hipótesis nula de no cointegración, es decir, se rechaza la hipótesis nula de que los residuales MCO son no estacionarios y se concluye que la serie de residuales es estacionaria. Esto implica que las series de la tasa de rendimiento de los bonos y de la tasa de rendimiento de los fondos federales cointegran. Hay una relación fundamental entre las dos variables (la relación estimada de regresión es válida y no espuria).

Las implicaciones económicas de este resultado son

i) Cuando la Reserva Federal implementa política monetaria a través del cambio en la tasa de fondos federales, la tasa del bono también cambiará asegurando que los efectos de la política monetaria se transmiten hacia el resto de la economía.

ii) En contraste, la efectividad de la política monetaria podría verse obstaculizada si las tasas del bono y los fondos federales estuvieran espuriamente relacionadas lo que implicaría que sus movimientos tendrían muy poca relación de una variable a otra.

El modelo de corrección de error

Una relación entre variables I(1) es reconocida como una relación de largo plazo, mientras que una relación entre variables I(0) es reconocida como una relación de corto plazo. Se describirá una relación dinámica entre variables I(0) la cual entraña una relación de cointegración, conocida como modelo de corrección de error a corto plazo.

El modelo de corrección de error ofrece una forma coherente de combinar efectos de corto y largo plazos. Consideremos, para las variables no estacionarias y , el modelo ARDL(1,1) visto en la expresión (9.47)

Por sencillez, consideremos rezagos de orden 1, aunque en general, el análisis se mantiene para cualquier número de rezagos. Consideremos que y están cointegradas, lo que significa que hay una relación de largo plazo entre ellas. Para derivarla fijamos

Sustituyendo en el modelo ARDL(1,1)

agrupando y factorizando

(24)

( ) ( )

Esta ecuación puede expresarse como

donde

Con esto, se ha derivado la relación de largo plazo que prevalece entre las dos variables I(1). Ahora vamos a manipular el modelo ARDL(1,1) para ver cómo se encuentra inmersa la relación de cointegración. A partir de

restando ( ) sumando el término ( ) ( ) ( ) ( ) donde

factorizando para los primeros tres términos del lado derecho de la igualdad ( ) ( ) ( ) ( ) donde reordenando ( ) (12.10) donde

(25)

Así, la expresión entre paréntesis en (12.10) es la relación de cointegración entre y en el marco general de los modelos ADRL. También se le denomina ecuación de corrección de error, pues

a) es la desviación de de su valor de largo plazo , es decir, el error en el

periodo previo.

b) es el factor de corrección de al error. Si el error en el periodo previo es positivo,

entonces disminuirá y será negativa. Si el error en el periodo previo es negativo,

entonces aumentará y será positiva.

Lo anterior significa que si existe una relación de cointegración entre y , de tal manera que los ajustes transmiten el mecanismo de corrección de error, empíricamente se debe encontrar que , es decir,

SI no hay evidencia de cointegración entre las variables, el término será estadísticamente no significativo.

El modelo de corrección de error nos permite probar la existencia de una relación de largo plazo entre las variables, así como evaluar cambios o ajustes de corto plazo entre las variables, incluyendo los ajustes que permiten lograr la relación de cointegración.

Esto nos muestra que se puede trabajar con variables que sean I(0)

,

y variables que sean I(0)

,

en la misma ecuación en la que y sean cointegradas, lo que significa que el término contenga

residuales estacionarios. Ejemplo:

Considere el modelo de tasas de rendimiento de bonos y fondos federales. Al estimar (12.10) y considerando los términos y el del cambio del rezago para purgar los efectos de la correlación serial

̂ ( )

(26)

̂ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) La prueba de estacionariedad Dickey-Fuller Aumentada sobre los residuales

̂ ( )

̂ ̂ ̂

( ) ( )

A partir de que -3,927 < -3.37 se rechaza la hipótesis nula de residuales no estacionarios. Hay evidencia de que los residuales son estacionarios, por lo tanto las series y son cointegradas.

En Stata:

tsset date gen Db=D.b

nl (Db = -{alpha}*(L.b-{beta1}-{beta2}*L.f)+{delta0}*D.f+{delta1}*D.L.f), variables(L.b L.f D.L.f) scalar theta1 = 1-_b[alpha:_cons]

scalar list theta1

gen ehat = L.b - _b[beta1:_cons]-_b[beta2:_cons]*L.f reg D.ehat L.ehat L.D.ehat, noconst