Calibración de modelos de calidad del agua en redes de distribución

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Área: Recursos Hídricos

Calibración de Modelos de Calidad del Agua en

Redes de Distribución

Óscar Roberto Díaz Duque

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C.

2015

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Óscar Roberto Díaz Tesis II i

TABLA DE CONTENIDO

1 Introducción y objetivos ... 1

1.1 Objetivo General ... 3

1.2 Objetivos Específicos ... 3

2 Marco teórico ... 5

2.1 Historia ... 5

2.2 Modelación de la Calidad del Agua ... 6

2.2.1 Sustancias conservativas y no conservativas ... 6

2.2.2 Reacciones de Calidad del Agua ... 6

2.2.3 Modelación Matemática ... 7

2.2.4 Cinética de la reacción ... 10

2.2.5 Edad del agua ... 12

2.2.6 Desinfección con Cloro ... 12

2.2.7 Modelación del Cloro Libre Residual ... 14

2.2.8 Subproductos de la Desinfección ... 22

2.2.9 Requerimientos del Modelo ... 24

2.3 Calibración del Modelo de Calidad del Agua ... 25

2.3.1 Algoritmos Genéticos ... 25

3 Metodología ... 29

3.1 Modelación Computacional ... 29

3.1.1 Algoritmo de cálculo ... 31

3.1.2 Algoritmos genéticos Matlab ... 33

3.1.3 Función Objetivo: Tipos de Errores ... 34

3.2 Redes de Distribución de Agua Potable ... 34

3.2.1 Red Matriz de Bogotá año 2008 ... 35

3.2.2 Red Hipotética: R28 ... 36

3.2.3 Red Hipotética R112 ... 37

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Óscar Roberto Díaz Tesis II ii 3.3.1 Redes hipotéticas: pruebas preliminares y de calibración con escenarios de distinta

disponibilidad de información en el prototipo ... 38

3.3.2 Red Matriz de Bogotá: prueba de calibración con datos reales ... 44

4 Resultados ... 53

4.1 Comportamiento del modelo de kb variable ... 53

4.2 Pruebas de Calibración Redes Hipotéticas ... 54

4.2.1 Red R28 ... 54

4.2.2 Red R112 ... 60

4.3 Calibración Red Matriz de Bogotá... 67

5 Análisis de resultados ... 75

6 Conclusiones ... 79

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Óscar Roberto Díaz Tesis II iii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Reacción al interior de la tubería (Rossman, 2000). ... 7

Figura 2. Comportamiento cloro residual con la adición de cloro al agua (Acquatron S. A.). ... 14

Figura 3. Modelación cloro libre residual con kb variable (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015). ... 16

Figura 4. Subproductos de la Desinfección (EPA, 2006). ... 23

Figura 5. Comportamiento concentración trihalometanos en la desinfección cloro (Ahn, Lee, Choi, & Koo, 2012). ... 23

Figura 6. Comportamiento del algoritmo genético. ... 26

Figura 7. Diagrama de flujo algoritmo de calibración. ... 32

Figura 8. Red Matriz Sabana de Bogotá. ... 35

Figura 9. Elevación Red hipotética R28. ... 36

Figura 10. Demanda Red hipotética R28. ... 37

Figura 11. Red hipotética R112. ... 37

Figura 12. Rugosidad absoluta Red R28. ... 39

Figura 13. Dirección de flujo Red R28... 40

Figura 14. Rugosidad absoluta red R112. ... 43

Figura 15. Escenario B de medición Red R112. ... 44

Figura 16. Rugosidad absoluta red matriz de Bogotá Marzo 2008. ... 45

Figura 17. Dirección de flujo red matriz de Bogotá Marzo 2008. ... 46

Figura 18. Dirección de flujo por zona red matriz Marzo 2008. ... 46

Figura 19. Precedencia del agua red matriz Marzo 2008. ... 47

Figura 20. Grupos de tuberías de calibración zona Tibitoc. ... 48

Figura 21. Grupos de tuberías de calibración zona I Wiesner. ... 48

Figura 22. Grupos de tuberías de calibración zona II Wiesner. ... 49

Figura 23. Grupos de tuberías de calibración zona El Dorado ... 49

Figura 24. Grupos de tuberías de calibración zona de mezcla Tibitoc-Wiesner. ... 50

Figura 25. Puntos de muestreo red matriz Bogotá... 51

Figura 26. Comportamiento modelo de kb variable. ... 53

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Óscar Roberto Díaz Tesis II iv Figura 28. Cloro libre residual R112. ... 61 Figura 29. Cloro libre residual R28. ... 68

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Óscar Roberto Díaz Tesis II v

ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 1. Comportamiento modelos cinéticos de reacción. ... 11

Gráfica 2. Comparación modelo de kb variable y modelos cinéticos de reacción. ... 17

Gráfica 3. Comportamiento de kb modelos cinéticos de tasa constante y variable. ... 18

Gráfica 4. Variación parámetro α en el modelo de kb variable (β=3). ... 19

Gráfica 5. Variación parámetro β en el modelo de kb variable (α=1 L/mg*d). ... 19

Gráfica 6. Comportamiento de kb con variación de β en el modelo de kb variable (α=1 L/mg*d). ... 20

Gráfica 7. Comportamiento cloro residual en el tiempo Red R28. ... 40

Gráfica 8. Porcentajes de reacción total R28 ... 55

Gráfica 9. Resultados Calibración R28 kw I. ... 56

Gráfica 10. Resultados Calibración R28 kw II. ... 56

Gráfica 11. Resultados Calibración R28 α Fuente 1. ... 57

Gráfica 12. Resultados Calibración R28 β Fuente 1. ... 57

Gráfica 15. Resultados Calibración R112 kw I. ... 61

Gráfica 16. Resultados Calibración R112 kw II. ... 62

Gráfica 17. Resultados Calibración R112 kw III. ... 62

Gráfica 18. Resultados Calibración R112 kw IV. ... 63

Gráfica 25. Resultados Calibración Bogotá α Tibitoc. ... 69

Gráfica 26. Resultados Calibración Bogotá β Tibitoc. ... 69

Gráfica 27. Resultados Calibración Bogotá α Wiesner. ... 69

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Óscar Roberto Díaz Tesis II vi

Gráfica 29. Resultados Calibración Bogotá α El Dorado. ... 70

Gráfica 30. Resultados Calibración Bogotá β El Dorado. ... 70

Gráfica 31. Resultados Calibración Bogotá kw 4. ... 71

Gráfica 34. Comparación Cloro Prototipo y Cloro Modelado Modelo kb Variable. ... 75

Gráfica 35. Comparación Cloro Prototipo y Cloro Modelado Primer Orden kb Constante. ... 75

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Óscar Roberto Díaz Tesis II vii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Funciones toolkit Epanet. ... 30

Tabla 2. Características de los Algoritmos Genéticos. ... 33

Tabla 3. Rango parámetros de calibración. ... 39

Tabla 4. Parámetros de prototipo R28. ... 39

Tabla 5. Escenarios de calibración R28. ... 41

Tabla 6. Parámetros de prototipo R112. ... 43

Tabla 7. Valor promedio concentración puntos de monitoreo Bogotá 2008. ... 52

Tabla 8. Resultados calibración R28. ... 59

Tabla 9. Resultados calibración R112. ... 67

Tabla 10. Resultados calibración Red Bogotá Coeficiente de Cuerpo. ... 73

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Óscar Roberto Díaz Tesis II 1

1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

El sistema de distribución de agua potable es uno de los elementos fundamentales en el funcionamiento de las sociedades urbanas. La infraestructura asociada con las redes de tuberías desempeña un rol social importante en cuanto a que se encarga de distribuir un bien vital básico a la población, permitiendo la obtención del recurso a los ciudadanos y su propio desarrollo personal. El consumo del ser humano de agua se puede relacionar con los distintos sectores de uso del suelo: residencial, comercial, industrial e institucional. De esta manera, la distribución, se asocia con actividades como la alimentación, la higiene, el desarrollo económico, el desarrollo cultural y la seguridad (red contra incendios); lo cual está vinculado al bienestar de la ciudadanía. Garantizar el acceso adecuado al agua potable es un factor determinante en la calidad de vida.

Con el objetivo de que esta labor se lleve a cabo de forma apropiada, se han buscado, a través de la historia, alternativas para obtener control y conocimiento sobre el movimiento del agua dentro de las redes de distribución de agua potable (RDAP). Por siglos se ha desarrollado la teoría en la que se basa la química y la física de los fluidos, generando diferentes áreas de estudio como la hidráulica y la calidad del agua. Pero sólo hasta las últimas décadas, la modelación computacional, como la opción más acertada para abordar este asunto, aparece y permite analizar, con rigor, el comportamiento del líquido en su recorrido por las redes. Gracias a que han mejorado significativamente las técnicas de computación y los equipos electrónicos, y se ha avanzado en la generación de conocimiento sobre el comportamiento físico-químico del agua, el propósito de entregar agua potable a la población es cada vez más infalible.

Gracias a modelos hidráulicos es posible estimar de forma rigurosa la presión y el caudal en diferentes puntos de las RDAP. La hidráulica del sistema permite verificar que se tenga la capacidad de abastecer por completo la demanda de agua cumpliendo con las restricciones de operación, de acuerdo con la normatividad. Sin embargo, la cantidad de agua no es el único parámetro pertinente para asegurar la aptitud del servicio. La calidad del agua es una medida de gran importancia ya que permite conocer el estado de sanidad, en diferentes localizaciones en el sistema, del agua enviada a los usuarios. Un modelo de calidad del agua permite establecer si el recurso es apto para el consumo humano con base en la comparación de las estimaciones, y mediciones in-situ, con los estándares normativos.

Por otro lado, la eficacia de un modelo, sea hidráulico o de calidad, reside en la capacidad de estimar con acierto aquellas mediciones que se realizan sobre el prototipo. No importa que un modelo sea muy completo, y complejo, si no es capaz de predecir lo que ocurre en las redes reales de distribución. Por lo anterior, un paso importante después de la modelación es la calibración, que proporciona la capacidad de predecir con exactitud. Es un proceso en donde se busca un valor

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Óscar Roberto Díaz Tesis II 2 apropiado de cada parámetro – del modelo – para que coincida la magnitud de las variables medidas en el prototipo con las modeladas. Un modo de efectuar la calibración es por medio de algoritmos asociados con la inteligencia artificial, métodos iterativos que se rigen bajo alguna lógica. Un ejemplo de esto son los algoritmos genéticos que realizan la optimización de los parámetros por medio de la teoría de la evolución y la selección natural (Clark & Grayman, 1998).

El objeto del presente trabajo se centra en la calidad del agua teniendo en cuenta determinantes como la edad y la concentración de sustancias asociadas a su desinfección en plantas de tratamiento de agua potable (PTAP), principalmente cloro residual. Se busca una manera apropiada de abordar la calibración de modelos de calidad de agua en redes de distribución considerando en mayor medida los mecanismos físicos y químicos relacionados con la forma en que ocurren las reacciones de las sustancias en el agua. Al considerar el comportamiento de las reacciones, se ayuda a la calibración y se aleja al proceso de ser un simple ajuste numérico.

Existen dos razones que hacen que las concentraciones de los compuestos químicos en el agua varíen en el recorrido por la red: la reacción interna de la sustancia en el cuerpo de agua y la reacción con la pared de los conductos. Estos dos procesos se asocian con tasas de reacción, coeficiente de cuerpo (kb) y coeficiente de pared (kw) en cada una de las tuberías del sistema. Al indagar en los

procesos que influencian a los componentes, se encuentra que existen aspectos cualitativos que sirven para guiar la calibración la calidad del agua.

Con respecto al coeficiente de cuerpo durante cerca de 30 años se han aplicado modelos cinéticos de reacción con coeficientes de decaimiento constante para modelar el cloro residual. Sin embargo, en los últimos años, estos modelos han empezado a ser considerados inadecuados por su limitada capacidad de estimar con alta exactitud el decaimiento en el cuerpo de agua (Fisher & Sathasivan, 2011). Por lo tanto, en es esta investigación se utiliza un modelo robusto del cloro residual desarrollado por (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015), el cual tiene una alta efectividad para estimar la variación de la concentración de cloro. Este modelo es aplicado para modelar la reacción en el cuerpo de agua en el recorrido por las RDAP. Por otro lado, el coeficiente de pared está relacionado principalmente con el material de las tuberías. Esta propiedad incide en la transferencia de masa de la sustancia en la pared con la del cuerpo de agua. El coeficiente de pared debe ser un parámetro a calibrar ya que, actualmente, no existe un método que permita obtener experimentalmente un resultado confiable de este proceso físico. Además de la variabilidad que se presenta en las redes de distribución donde cada tubería tiene un ciclo de vida diferente.

Aparte de los modelos de cada tipo de reacción, para calibrar el modelo de la calidad del agua, se evalúan características en la red como la dirección del flujo, la mezcla de agua de diversas fuentes y la información disponible en la red prototipo asociada con la cantidad de puntos de muestreo. En este sentido se espera profundizar en el conocimiento sobre las redes de distribución y el

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Óscar Roberto Díaz Tesis II 3 funcionamiento de la calidad del agua a través de las tuberías procurando contribuir a la comprensión de este tipo de problemas en el contexto colombiano.

La metodología computacional se basa en el uso de dos programas. La programación se hace por medio de Matlab: un lenguaje de programación que cuenta con una herramienta de optimización con algoritmos genéticos que será aprovechada para abordar la modelación y la calibración. En el código, Matlab llama al programa Epanet, ampliamente conocido para modelar en las redes de distribución, y por medio de éste ejecuta la hidráulica y la calidad del agua en la red cuando sea necesario. Luego, a partir de los resultados arrojados por Epanet y llamados por Matlab, el programa los manipula para realizar la optimización de los parámetros con los algoritmos genéticos: la calibración.

Utilizando como caso de estudio la red matriz de la ciudad de Bogotá, se hace una calibración del cloro residual por medio de mediciones reales de la calidad del agua en diferentes puntos de la red. Se hace una comparación de diferentes modelos cinéticos de reacción y el seleccionado para estimar el decaimiento de cloro comprobando qué tan efectivo es este método para realizar la modelación y si las características del agua se pueden representar y estimar de manera correcta a partir de la calibración. Este tipo de modelos contribuye a que las características del agua sean mejor simuladas y se genere un menor número de problemas relacionados con la calidad del agua que consume la población, ya que tener la capacidad de entender su comportamiento, permite tomar mejores medidas para garantizar un abastecimiento adecuado.

1.1 Objetivo General

Establecer un lineamiento adecuado para abordar la calibración en un modelo de calidad de agua para redes de distribución con base en criterios cualitativos. En este sentido, se implementan diversos modelos de calidad de agua en redes hipotéticas y reales con métodos actuales.

1.2 Objetivos Específicos

 Entender y analizar el funcionamiento de los modelos de la calidad que son utilizados actualmente para estimar las condiciones del agua en las RDAP.

 Realizar un programa que comunique a Matlab con Epanet para poder efectuar la modelación y calibración de diversas RDAP.

 Comparar la modelación de la calidad del agua utilizando tasas de decaimiento (kb, kw)

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 Generar diferentes escenarios de disponibilidad de información en el prototipo analizando la selección de los puntos de muestreo para la calibración del modelo.

 Utilizar los algoritmos genéticos como método de calibración buscando las propiedades de creación, selección, reproducción, mutación y cruzamiento de la población que permitan optimizar con mayor efectividad.

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2 MARCO TEÓRICO

En este capítulo se hace un recuento teórico del funcionamiento de un modelo de calidad del agua. Se profundiza en los requerimientos del modelo, la forma en que se hace la modelación y la manera en que se calibra.

2.1 Historia

La modelación del comportamiento del agua ha evolucionado a través de la historia. En la década del treinta –del siglo pasado- se propuso la aplicación de modelos matemáticos para estudiar el movimiento del agua en redes de distribución. Hardy Cross (Cross, 1936) introdujo un método iterativo para calcular el flujo del agua en el interior de las redes, es decir, la manera en que el agua se distribuye dentro de las tuberías. En esa época se ejecutaba, el cálculo, de forma manual, lo que representaba un tiempo considerable para la obtención de una solución.

Cerca de los años sesenta, con el desarrollo de los sistemas computacionales, la resolución de los modelos matemáticos iterativos se simplificó generando que el análisis de las RDAP tuviera un impulso notable. La modelación computacional, desde aquel tiempo, ha sido una herramienta primordial para representar el movimiento del recurso hídrico. Así, durante la década siguiente, los años setenta, existía amplia disponibilidad de modelos hidráulicos. En este tiempo se buscaba representar el comportamiento físico, evaluar las condiciones de flujo del agua: el caudal, la velocidad, el volumen, la presión, la energía, etc. (Clark & Grayman, 1998).

No es sino hasta después de 1980 en donde se empieza a tener una preocupación por modelar la calidad del agua. Con el objetivo de obtener una técnica para el control de la calidad del recurso que es enviado a la población, se desarrollan los primeros modelos bajo condiciones de estado estable (Wood, 1980). Luego, a mediados de 1985, aparecen modelos dinámicos de la calidad del agua, que funcionan en conjunto con modelos hidráulicos en simulación de periodo extendido (Clark R. M., Grayman, Males, & Coyle, 1986).

En el año de 1988, (Clark , Grayman, & Males, 1988) realizan una modelación dinámica de la calidad del agua en donde cada ducto es dividido en sub-partes con longitud igual a la distancia recorrida por el contaminante en cada paso de tiempo. Esto permite un análisis más preciso de la forma en que las sustancias se distribuyen al fluir por las tuberías y se origina un cambio en la concentración de la misma. En adelante, se han generado gran cantidad de modelos cinéticos con tasas de reacción constantes y variables; éstos serán detallados posteriormente en este documento.

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2.2 Modelación de la Calidad del Agua

La variable pertinente para evaluar la calidad del agua es la concentración pues esta medida indica la cantidad de una sustancia en el volumen de agua. Se considera que la presencia o ausencia de una sustancia en el agua es un calificativo de su calidad. A la salida de las PTAP el agua enviada contiene diferentes compuestos de origen natural y artificial. Aunque la potabilización pretende eliminar elementos indeseables para el consumo de agua, al final del proceso aún existe un remanente de sustancias naturalmente presentes en el agua como la materia orgánica, compuestos nitrogenados y especies inertes como el flúor. La desinfección del agua, por otra parte, introduce de forma artificial especies que tengan la capacidad de mantener el agua descontaminada por su recorrido en las redes de acueducto hasta los usuarios.

Por ende, el principal objetivo de los modelos de calidad del agua es representar de manera adecuada el comportamiento de la concentración de las sustancias a lo largo de las RDAP. La modelación se realiza desde la salida de las PTAP, en donde el agua ha recibido un tratamiento y se establecen las características iniciales deseadas de la calidad del agua. En adelante se modela matemáticamente el cambio de la concentración en el recorrido por las tuberías. En la normativa existen concentraciones máximas y mínimas permitidas para diferentes sustancias que garantizan la potabilidad del recurso. El propósito de la modelación como herramienta es mantener la calidad del agua dentro de los niveles permisibles para el consumo humano. Por ejemplo, se tiene que los límites de la concentración para cloro residual según la normativa vigente son entre 0.3 y 2 mg/L (Ministerio de Protección Social, 2007).

2.2.1 Sustancias conservativas y no conservativas

En la naturaleza existen dos tipos de sustancias a las que se les hace la modelación de la calidad del agua: las sustancias conservativas y las no conservativas. Las conservativas son aquellas que no reaccionan con los componentes en el agua haciendo que –la sustancia- no se degrade en el tiempo o cambie químicamente en el transporte. Las no conservativas son las que reaccionan, causando una variación en la concentración. Un ejemplo de las sustancias no conservativas son el cloro residual y los subproductos generados, como los trihalometanos; mientras que compuestos inorgánicos estables son sustancias conservativas, como los fluoruros (Ratnayake & Jayatilake, 1999).

2.2.2 Reacciones de Calidad del Agua

Para las sustancias no conservativas, las reacciones relacionadas con la calidad dependen de dos efectos: la reacción que se da en el cuerpo de agua y la reacción asociada con el contacto del flujo y la pared de la tubería (Fisher & Sathasivan, 2011). El primer efecto, asociado con las reacciones que se dan en la masa de agua, al interior del flujo, es donde los diferentes componentes, orgánicos e inorgánicos presentes en el agua, interaccionan químicamente entre sí generando una variación en

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Óscar Roberto Díaz Tesis II 7 su composición. Es común que este cambio de concentración, causado por la reacción en el cuerpo de agua, se asocie a un coeficiente de cuerpo kb(en inglés “bulk”), que representa la tasa a la que la

sustancia se transforma y cambia su concentración. Para el caso del cloro, representado como ClOH en la Figura 1 (ácido hipocloroso), se observa que, en el flujo, reacciona con la materia orgánica natural (MON) presente en el agua a una tasa kb para generar unos subproductos asociados con la

desinfección (SPD). También se da un deterioro de la calidad por el desprendimiento de partículas y subproductos acumulados en las paredes al cuerpo del agua, lo cual incrementa la concentración de los compuestos que reaccionan con el cloro y reducen su concentración.

Figura 1. Reacción al interior de la tubería (Rossman, 2000).

Por otro lado, el segundo efecto ocurre por el contacto del flujo con la pared de las tuberías. Tiene un impacto en la calidad del agua por la reacción de compuestos presentes en las paredes asociados con fenómenos como la corrosión o la capa de biopelícula que se genera con el tiempo de uso en las tuberías. Lo anterior sucede en la capa límite, la zona más próxima del flujo a las paredes de la tubería como se ilustra en la Figura 1. La tasa a la que se da la reacción está dada por un coeficiente de pared kw (en ingles “wall”) y un coeficiente kf de transferencia de masa entre el flujo y la pared.

Más adelante se detallarán estos coeficientes con mayor profundidad (Clark & Grayman, 1998).

2.2.3 Modelación Matemática

La unión de los dos efectos de transformación causa que la concentración inicial de las sustancias, con la que el agua sale de las PTAP, varíe durante su recorrido por la red. El modelo de calidad del agua se basa en el principio de la conservación de la masa entre diferenciales de longitud en las tuberías. Es un modelo de advección-reacción en una dimensión (1D) despreciando el efecto de la dispersión tanto longitudinal como transversal. Esto significa que no existe intercambio de masa entre los diferenciales de volumen generados al interior de las tuberías y que cada volumen diferencial es homogéneo. Así, el transporte ocurre por el movimiento de la masa del agua y por la reacción al interior de la misma. La siguiente expresión ilustra la ecuación general siguiendo con lo explicado previamente (Rossman, 2000):

(20)

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) + 𝑅(𝐶

𝑖𝑗

)

(1)

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) + 𝑘

𝑖𝑗

𝐶

𝑖𝑗 𝑛

(2)

donde:

Cij = Concentración de la sustancia

ui = velocidad de flujo

R(Cij) = reacción total interna de la sustancia en función de la concentración

kij = tasa a la que la sustancia reacciona entre los nudos i y j

n = orden cinético de la reacción

En la Ecuación 1, se evidencia el tipo de modelo utilizado. Se muestra que el cambio de concentración en el tiempo depende de dos términos. El primero, tiene en cuenta el transporte advectivo del contaminante el cual es proporcional a la velocidad de flujo; por esto se requiere conocer la hidráulica antes de aplicar el modelo de calidad del agua. El segundo término representa la reacción total de la sustancia al interior del diferencial de volumen y se puede representar por una tasa de reacción total (kij) obteniendo como resultado la Ecuación 2. Para obtener una solución

numérica, esta ecuación requiere conocer la concentración Cij en x=0 (concentración en la fuente)

para todo el periodo de simulación y un valor para la tasa de reacción kij de la sustancia (Clark &

Grayman, 1998). Es importante notar que en la Ecuación 2, la reacción está dada para el cualquier orden cinético de reacción representado por la potencia n.

Al tener en cuenta que la reacción total R(Cij) se da por los factores mencionados en el Numeral

3.2.2, la reacción en el cuerpo del agua y la reacción con las paredes de la tubería, la Ecuación2, se puede representar de la siguiente forma:

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) + 𝑘

𝑏

𝐶

𝑖𝑗 𝑛

₊

𝑘𝑓

𝑅𝐻

(𝐶

𝑖𝑗

− 𝐶

𝑤

)

𝑛

₍₃₎

donde: kb = coeficiente de cuerpo

kf= coeficiente de transferencia de masa

RH = radio hidráulico de la tubería

CW = concentración de la sustancia en la pared de la tubería

En la Ecuación 3, la reacción total se representa por el comportamiento conjunto de las reacciones en el cuerpo de agua y en la pared de la tubería. El primero está representado por la tasa de reacción de cuerpo kb; mientras que la segunda tiene en cuenta un gradiente de difusión en donde ocurre

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Óscar Roberto Díaz Tesis II 9 trasferencia de masa kf, el radio hidráulico y la concentración de la sustancia modelada en la pared

de la tubería (Rossman, Clark, & Grayman, 1994).

Luego, si se supone un balance de masa de primer orden en la pared de la tubería de la siguiente manera:

𝑘

_𝑓

(𝐶 − 𝐶

_𝑤

) = 𝑘

_𝑤

𝐶

_𝑤

(4)

donde:

kw = coeficiente de pared o demanda de la sustancia en la pared Al unir las dos Ecuaciones anteriores, 3 y 4, se obtiene:

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) + 𝑘

𝑏

𝐶

𝑖𝑗

𝑛

₊

𝑘𝑤𝑘𝑓

𝑅𝐻(𝑘𝑤+𝑘𝑓)

𝐶

𝑖𝑗

𝑛

(5)

La Ecuación 5 es la expresión diferencial general utilizada por los programas computacionales para llevar a cabo la modelación de la calidad del agua a través de RDAP. En la ecuación, los coeficientes de cuerpo y de pared, pueden ser positivos o negativos, indicando el incremento o decrecimiento de la concentración con el tiempo. Un ejemplo de lo anterior es el decaimiento de cloro residual en las redes y, en contraste, la formación de subproductos de la desinfección.

Para calcular el coeficiente de transferencia de masa kf, se utilizan de forma usual las siguientes

ecuaciones (Rossman, Clark, & Grayman, 1994) (Rossman, 2000):

𝑘

𝑓

= 𝑆ℎ ∗

𝐷

𝑑

(6)

donde:

Sh = Número de Sherwood

D = Coeficiente de difusión molecular de la sustancia d = diámetro de la tubería

El número de Sherwood se debe diferenciar dependiendo de la naturaleza del flujo. Para flujo laminar:

𝑆ℎ = 3.65 +

0,0668(

𝑑 𝐿)𝑅𝑒 𝑆𝑐

1+0.04[(𝑑_𝐿)𝑅𝑒 𝑆𝑐]

2/3

(7)

donde:

L = longitud de la tubería Re = número de Reynolds Sc = número de Schmidt

(22)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 10 Para el caso del flujo turbulento, el número de Sherwood se calcula de la siguiente forma:

𝑆ℎ = 0.0149𝑅𝑒

0.88

𝑆𝑐

1/3

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En ambos casos anteriores, el número de Schmidt y el número de Reynolds se definen como:

𝑆𝑐 =

𝜈

𝐷

(9)

𝑅𝑒 =

𝑢∗𝑑

𝜈

(10)

donde:

ν = viscosidad cinemática del agua

2.2.4 Cinética de la reacción

Al recordar la expresión general de la conservación de la masa en la Ecuación 1:

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) + 𝑅(𝐶

𝑖𝑗

)

(1)

el tercer término en la expresión pretende representar la reacción total del compuesto químico en el volumen diferencial de agua en un delta de tiempo. Como se mencionó antes, en la Ecuación 2, la reacción total R(Cij) es asociada con un modelo cinético de reacción para el cambio de

la concentración. En las RDAP es adecuado utilizar una función potencial en donde existe la posibilidad de variar el orden cinético de la reacción. La forma general de esta expresión es la siguiente:

𝑅(𝐶

_𝑖𝑗

) = 𝑘

_𝑖𝑗

𝐶

_𝑖𝑗𝑛

(11)

Por otro lado, un modelo se puede ajustar para que tienda hasta un valor límite. Este valor es la concentración mínima de la sustancia si se modela el decaimiento, y la concentración máxima para una reacción de incremento. La ecuación general es la siguiente (Rossman, 2000):

 Para crecimiento:

𝑅(𝐶

_𝑖𝑗

) = 𝑘

_𝑖𝑗

(𝐶

_𝐿

− 𝐶

_𝑖𝑗

)𝐶

_𝑖𝑗𝑛−1

(12)

donde:

(23)

 Para decaimiento:

𝑅(𝐶

_𝑖𝑗

) = 𝑘

_𝑖𝑗

(𝐶

_𝑖𝑗

− 𝐶

_𝐿

) 𝐶

_𝑖𝑗𝑛−1

(13)

donde:

CL= Concentración límite mínima

A partir de la modelación dinámica de las Ecuaciones 11 y 13, en las siguientes gráficas se presenta el comportamiento de los modelos cinéticos de reacción con primer y segundo orden de magnitud en el tiempo. Éstos son los más utilizados para la modelar el decaimiento de cloro residual. Se utiliza una tasa constante k de 0.4 d-1_{(para modelos de primer orden) y L/(mg*d) (en modelos de segundo} orden). Para ambos casos la concentración límite utilizada fue de 0.4 mg/L.

Gráfica 1. Comportamiento modelos cinéticos de reacción.

En las gráficas anteriores se puede observar la diferencia entre la modelación de primer orden y de segundo orden. Los modelos de segundo predicen, al inicio, un decaimiento mayor que los de primer orden; pero luego, a medida que el tiempo incrementa y la concentración disminuye, la pendiente de los modelos de 2do orden disminuye significativamente haciendo que su decaimiento sea menor que los de los de 1er orden en la etapa final. Lo anterior significa que la convergencia hacia el valor mínimo de concentración se da en menor tiempo en los modelos cinéticos de primer orden.

(24)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 12 También se observa que la concentración límite representa la concentración mínima a la que puede decaer el modelo, el valor hacia el que la ecuación diferencial converge. Está relacionado con la concentración total de los compuestos disponibles para reaccionar con el cloro lo que genera que la sustancia modelada no decaiga más allá de la disponibilidad de reacción.

Al profundizar en los modelos cinéticos de reacción para las RDAP, si se toma la Ecuación 5, la ecuación diferencial para la concentración aplicada a redes de distribución (detallada en el Numeral 3.2.3) se observa que los componentes asociados con la reacción se rigen bajo modelos cinéticos:

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) + 𝑘

𝑏

𝐶

𝑖𝑗

𝑛

₊

𝑘𝑤𝑘𝑓

𝐶

𝑖𝑗

𝑚

₍₅₎

donde:

n = orden de la reacción en el cuerpo del agua m = orden de la reacción con la pared de la tubería

Es importante entender, en la ecuación anterior, que el orden cinético de la reacción puede modelarse de forma diferenciada para los dos componentes de la reacción total en el agua, siendo n y m los órdenes de magnitud asociados con cada uno. Si se quisiera tener cuenta una concentración límite, como explicó en las Ecuaciones 12 y 13, la expresión para modelar este proceso en las RDAP sería la siguiente (se ilustra para decaimiento):

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝜕𝐶𝑖𝑗

𝜕𝑥

) − 𝑘

𝑏

(𝐶

𝑖𝑗

− 𝐶

𝐿,1

)𝐶

𝑖𝑗 𝑛−1

−

𝑘𝑤𝑘𝑓

(𝐶

𝑖𝑗

− 𝐶

𝐿,2

)𝐶

𝑖𝑗

𝑚−1

(14)

2.2.5 Edad del agua

Un componente importante en los modelos de calidad es la edad del agua. Con el tiempo, el nivel de concentración de las sustancias puede decaer, como en el caso cloro residual, o incrementar, como en los subproductos. Funciona como un indicador –de la calidad del agua- al considerar que una masa de agua de avanzada edad es de calidad deteriorada, en donde todos los residuos de la desinfección han desaparecido (Clark & Grayman, 1998). Para modelar la edad del agua se le considera como una sustancia no conservativa con cinética de reacción de orden cero y una tasa de reacción igual a 1. De esta manera, el tiempo de permanencia aumentará con directa proporcionalidad al delta de tiempo de la modelación.

2.2.6 Desinfección con Cloro

Como se ha mencionado, el cloro, en la modelación de la calidad del agua y como desinfectante en las RDAP, es de uso común. Es un compuesto con la capacidad de mantener concentración residual en el agua potabilizada a lo largo de periodos extendidos de permanencia impidiendo la contaminación en su recorrido por las tuberías de la red hacia los usuarios. También es considerado

(25)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 13 altamente costo-efectivo en comparación con otros desinfectantes como el ozono (Warton, Heitz, Joll, & Kagi, 2006).

Se añade al agua en forma gaseosa (Cl2) o en estado líquido como hipoclorito de calcio (Ca(OCl)2),

hipoclorito de sodio (NaOCl) o dióxido de cloro (CLO2). A continuación se muestran las reacciones de estos compuestos en contacto con el agua: la hidrólisis.

 Cloro en forma gaseosa:

𝐶𝑙

₂

+ 𝐻

₂

𝑂 → 𝐻𝑂𝐶𝑙 + 𝐻

+

_{+ 𝐶𝑙}

−

₍₁₅₎

𝐻𝑂𝐶𝑙 → 𝐻

+

+ 𝑂𝐶𝑙

−

(16)

 Hipoclorito de Calcio

𝐶𝑎(𝑂𝐶𝑙

₂

) + 2𝐻

₂

𝑂 → 2𝐻𝑂𝐶𝑙 + 𝐶𝑎(𝑂𝐻)

₂

(17)

 Hipoclorito de Sodio

𝑁𝑎𝑂𝐶𝑙 + 𝐻

₂

𝑂 → 𝐻𝑂𝐶𝑙 + 𝑁𝑎𝑂𝐻 (18)

Los compuestos clorados producidos en las reacciones son el ácido hipocloroso (HOCl) y el ion hipoclorito (OCl-_{). El}_{cloro libre residual}_{es la concentración total de los anteriores compuestos junto} con el cloro (Cl2) disponible (Xin, Da-ming, Jing-yao, Ukita, & Hong-bin, 2003).

Por otro lado, el agua contiene nitrógeno de manera natural en forma de sustancias orgánicas y en amoniaco (NH3). Cuando éstos reaccionan con el ácido hipocloroso generan compuestos organoclorados y cloraminas. Los últimos son compuestos considerados desinfectantes secundarios en los sistemas de distribución por su lenta reacción comparada con el cloro libre residual. Se les conoce como el cloro residual combinado (Xin, Da-ming, Jing-yao, Ukita, & Hong-bin, 2003). En la siguiente figura se muestra un ejemplo del comportamiento de la concentración de cloro a medida que éste es agregado al agua.

(26)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 14 Figura 2. Comportamiento cloro residual con la adición de cloro al agua (Acquatron S. A.).

En la figura se puede observar el progreso del cloro residual en cuatro etapas. La primera, cuando se inicia la inyección de cloro, éste reacciona con facilidad con compuestos inorgánicos como iones inorgánicos (Mn+2_{, Fe}+2_{, S}-2_{) sin dejar concentración residual disponible. En la segunda sección, se} inicia la formación de cloraminas y compuestos organoclorados, como se explicó antes, en donde predomina la presencia de monocloramina (NH2Cl). Luego, cuando se alcanza una relación molar de Cl2:NH3 de 5:1, la concentración de cloro residual combinado alcanza su punto máximo y entra en la tercera etapa en donde la cloramina se destruye formando dicloramina (NHCl2). Por último, cuando la relación molar es aproximadamente 7.6:1 la concentración alcanza un punto mínimo, llamado el punto de quiebre, en donde todo el amoniaco se oxidó a nitrógeno (N2), nitrato o tricloraminas; al seguir agregando cloro después de este punto se genera la producción de cloro libre residual. La suma del cloro residual combinado y el cloro residual libre es el cloro residual total (Medora Corporation, 2013).

2.2.7 Modelación del Cloro Libre Residual

Como se ha mostrado en los numerales asociados con la modelación matemática de la calidad del agua y la cinética de reacción, existen amplias posibilidades para modelar el movimiento de las sustancias a lo largo de las RDAP. En cuanto al cloro libre residual, se debe tener en cuenta sus características específicas como elemento y las condiciones de reacción al entrar en contacto con en el agua al ser usado como desinfectante. Es decir, para simular el decaimiento de la concentración del cloro libre residual, se debe escoger un modelo que sea coherente con su comportamiento con el fin de representar adecuadamente las condiciones de la realidad.

(27)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 15 La eficacia del modelo de calidad del agua reside en la escogencia adecuada del tipo de modelo y, posteriormente, de la estimación correcta de los parámetros que requiere el modelo para funcionar. Como se mencionó en el Numeral 3.2.3, para obtener una solución numérica a la ecuación diferencial de la concentración en RDAP, se debe conocer la concentración en la fuente para todo el periodo de simulación y los valores de las tasas de reacción. En este sentido, ya que la concentración en la fuente es un valor conocido, la identificación de los coeficientes de cuerpo y de pared es fundamental para una estimación correcta. A continuación se detalla, para cada coeficiente, la forma en que se va a modelar el cloro residual.

2.2.7.1 Coeficiente de Cuerpo (kb)

El primer componente de las reacciones del cloro se da en la masa de agua. El modelo escogido para esta investigación se basa en el trabajo realizado por (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015), en donde se realiza un análisis del comportamiento de kb como un coeficiente de reacción variable. Es decir, el

coeficiente de cuerpo no se mantiene estable en el modelo, sino que a medida que ocurren las reacciones, también presenta una variación en el tiempo. A continuación se presenta la ecuación utilizada para calcular el coeficiente de cuerpo variable:

𝑘

𝑏,𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

= 𝛼 ∗ 𝑒

−𝛽∗[𝑋(𝑡)]

(19)

donde:

α, β = parámetros del modelo X(t) = “fractional convertion”

El término X(t) está relacionado con la máxima cantidad de cloro que puede reaccionar en el agua, es decir, es afín con el término de la concentración límite. Su estimación se basa en la relación entre el cloro que ha reaccionado hasta el tiempo t sobre la cantidad total de cloro que puede reaccionar (demanda de cloro total). Esta última es un indicio de la concentración total de las sustancias presentes en el agua con capacidad de reaccionar con el cloro residual.

𝑋(𝑡) =

−∆𝐶𝐶𝑙(𝑡)

∆𝐶𝐶𝑙,𝑚𝑎𝑥

=

−[𝐶𝐶𝑙(𝑡)−𝐶𝐶𝑙(0) ]

∆𝐶𝐶𝑙,𝑚𝑎𝑥

(20)

donde:

∆CCl(t) = Cloro consumido hasta tiempo t

CCl(t) = Concentración de cloro en el tiempo t

CCl(0) = Concentración de cloro en el tiempo 0

∆CCl,max = Demanda de cloro total

Juntando las Ecuaciones 19 y 20 se obtiene la siguiente expresión para el cálculo del coeficiente de cuerpo variable (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015):

𝑘𝑏

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

= 𝛼 ∗ 𝑒

−𝛽∗[−∆𝐶𝐶𝑙(𝑡)

(28)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 16 Analizando la Ecuación 20 se puede establecer que, para la condición inicial cuando t=0, el valor de ∆CCl(0) es también igual a cero. Lo anterior, en la Ecuación 21, significa que α es un parámetro con magnitud igual al valor inicial del coeficiente de cuerpo variable, es decir, cuando se encuentra en la fuente. El parámetro β es un valor adimensional que representa, en cierto modo, la velocidad a la que cambia la reactividad de la sustancia a medida que la concentración decae. Se establece por medio de pruebas de concentración en el tiempo a partir de concentraciones iniciales diferentes. La investigación realizada por (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015) demostró una alta efectividad en este método para modelar la concentración del cloro residual como se muestra en sus resultados para una fuente de agua:

Figura 3. Modelación cloro libre residual con kb variable (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015).

Al aplicar la conservación de la masa para encontrar una ecuación diferencial, del comportamiento de la concentración de cloro, que se vea representada por la tasa de reacción variable se llega a lo siguiente (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015):

𝜕𝐶𝐶𝑙

𝜕𝑡

= 𝑘𝑏

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

∗ 𝐶

𝐶𝑙

∗ [∆𝐶

𝐶𝑙,𝑚𝑎𝑥

+ ∆𝐶

𝐶𝑙

(𝑡)] (22)

𝜕𝐶𝐶𝑙

𝜕𝑡

= 𝛼 ∗ 𝑒

(29)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 17 La Ecuación 23 representa la reacción del cloro en la masa de agua como un modelo de segundo orden con una concentración límite de decaimiento representada por la demanda de cloro total. La diferencia de este modelo con los cinéticos tradicionales reside en la variación de la tasa de reacción con el tiempo. Esta modificación establece que, a medida que el cloro reacciona en el agua, su reactividad disminuye por la menor presencia de sustancias disponibles para reaccionar.

Para analizar el comportamiento del modelo escogido de la reacción en el cuerpo de agua, se generan dos gráficas. La primera ilustra el comportamiento de la concentración del cloro residual en los modelos cinéticos de reacción (primer y segundo orden) y se incluye el modelo de segundo orden utilizado en esta investigación, que establece una tasa de reacción (kb) variable en el tiempo

dependiente de la concentración. Para modelar la Ecuación 23 se utilizó un valor de 𝛼 = 0.4 L/(mg*d) que es igual a la tasa constante en los modelos cinéticos. Si en la misma ecuación el valor de β fuera igual a 0, se tendría un coeficiente kb constante igual a α lo cual representa un modelo cinético de

reacción. Luego, para que kb se considere variable, el parámetro β debe ser un valor mayor a cero.

Para evidenciar el efecto que tiene la variabilidad de kb en la concentración de cloro, se utiliza un

valor de β = 3. La segunda gráfica muestra la variación de la tasa de reacción (kb) en el tiempo para

cada modelo.

(30)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 18 Gráfica 3. Comportamiento de kb modelos cinéticos de tasa constante y variable.

En la Gráfica 2, al observar los dos modelos de segundo orden, se encuentra la diferencia de modelar con un coeficiente de cuerpo variable y uno constante. En el modelo de kb variable, a medida que la

concentración decrece, la reactividad de la sustancia y su tasa de reacción disminuye como se ilustra en la Gráfica 3. Esto genera que la variación de la concentración sea menor a medida que aumenta el tiempo de modelación con respecto a los modelos con tasas constantes decaimiento. Es importante recalcar que si se usara un valor de β igual a 0 en la Ecuación 23, se obtiene un kb

constante, causando que el comportamiento del modelo sea exactamente igual a uno de segundo orden.

Con el ánimo de entender la influencia de los parámetros sobre el modelo de kb variable, se analiza

el comportamiento de la concentración de cloro en el tiempo cuando se varía la magnitud de α y β. En las siguientes gráficas se ilustra, inicialmente, la variación del parámetro α con un valor fijo de β y luego viceversa.

(31)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 19 Gráfica 4. Variación parámetro α en el modelo de kbvariable (β=3).

En la anterior gráfica se encuentra que el valor de α simboliza la tasa inicial de decaimiento. A medida que aumenta su valor, se observa un mayor decaimiento inicial representado por una pendiente cada vez más pronunciada. Después de la etapa inicial, la variación de la concentración parece uniformizarse hacia una velocidad de reacción similar, lo cual está influenciado por el valor de β igual en todos los casos.

(32)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 20 Por otro lado, si se varía el valor de β, a medida que se incrementa se da un menor decaimiento de cloro como en la Gráfica 5. Este parámetro representa la tasa a la que la reactividad (kb) de la

sustancia decrece, por lo tanto, como se observa en la Gráfica 6, entre mayor es el valor de β, más rápido decae la tasa de reacción kb.

Gráfica 6. Comportamiento de kb con variación de β en el modelo de kb variable (α=1 L/mg*d).

Para obtener los parámetros del modelo α y β, es necesario realizar pruebas en el tiempo de la concentración de cloro. El ensayo consiste en tomar varias muestras de agua de la misma fuente y agregar diferente cantidad de cloro a cada una. De esta manera se eleva la concentración inicial de las muestras a distinta magnitud. Después, se mide dinámicamente la concentración de cada muestra registrando el decaimiento de cloro. El resultado de la prueba descrita debería ser similar a la Figura 3, que son los resultados obtenidos por (Hua, Vasyukova, & Uhl, 2015) en una fuente de agua en su estudio. Luego, con la concentración medida, se realiza una regresión de los datos ajustando los valores de los parámetros para que predigan con exactitud la concentración del cloro en su proceso de decaimiento medido experimentalmente.

2.2.7.2 Coeficiente de Pared (kw)

Mientras que la tasa de reacción kb, y sus respectivos parámetros α y β, pueden ser estimados a

partir de pruebas en muestras de agua en la fuente, el coeficiente de pared (kw) para las tuberías en

la redes de distribución es un parámetro es difícil de cuantificar experimentalmente. No existe un método efectivo que estime con certeza la tasa de reacción. Además de la elevada complejidad y

(33)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 21 variabilidad que existe en una red de distribución en donde cada tubería tiene un ciclo de vida diferente. De esta manera, el coeficiente de pared debe ser establecido por medio de la calibración de los modelos de calidad de agua.

Cuando se realiza el proceso de la modelación de la calidad del agua, es prioritario caracterizar las propiedades de la reacción en el cuerpo de agua, ya que existen las pruebas indicadas y estandarizadas para representarla (Fisher & Sathasivan, 2011). El coeficiente de pared es un parámetro que debe ser obtenido durante la calibración del modelo en la búsqueda de valores apropiados que minimicen la diferencia de la concentración medida en el prototipo con la modelada. Entre mejor sean representadas las características de la reacción en el seno del agua, mejor serán estimadas las tasas de reacción en la pared.

En cuanto al orden cinético de la reacción en la pared, se ha encontrado que para tuberías de hierro de avanzada edad, con gran presencia de corrosión, la pérdida de cloro residual predomina por las reacciones en las paredes, y se describe como un comportamiento de orden cero. En materiales más lisos, como el plástico, el cloro residual decae por efectos de la biopelícula principalmente, y se puede describir como un modelo de reacción de primer orden (Vasconcelos, y otros, 1996).

2.2.7.3 Modelo de Cloro Libre Residual Seleccionado

En resumen de las secciones anteriores, la modelación de la calidad de agua para el cloro libre residual en RDAP se realizará, para las reacciones en el cuerpo del agua por medio de un modelo cinético de segundo orden con un coeficiente de reacción (kb) variable y un modelo de primer orden

para las reacciones en la pared. Con base en la modelación matemática (Numeral 3.2.3) y en la cinética de las reacciones (Numeral 3.2.4), la ecuación definitiva utilizada en esta investigación de la conservación de la masa para el cloro residual en las RDAP sería la siguiente teniendo en cuenta que es que se trata de un proceso de decaimiento:

𝑑𝐶𝐶𝑙

𝑑𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝑑𝐶𝐶𝑙

𝑑𝑥

) − 𝑘

𝑏,𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

𝐶

𝐶𝑙

[∆𝐶

+ ∆𝐶

𝐶𝑙

(𝑡)] −

𝑘𝑤𝑘𝑓

𝐶

𝐶𝑙

(24)

Teniendo en cuenta la Ecuación 21 del coeficiente de cuerpo variable, si se reemplaza en la Ecuación 24, el resultado es el siguiente:

𝑑𝐶𝐶𝑙

𝑑𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝑑𝐶𝐶𝑙

𝑑𝑥

) − 𝛼 ∗ 𝑒

∆𝐶𝐶𝑙,𝑚𝑎𝑥]

_𝐶

𝐶𝑙

[∆𝐶

+ ∆𝐶

𝐶𝑙

(𝑡)] −

𝑘𝑤𝑘𝑓

𝐶

𝐶𝑙

(25)

2.2.7.4 Mezcla de agua de diferentes fuentes

En una RDAP es usual que el agua que abastece a la población provenga de diferentes fuentes. En este sentido, es requerida una expresión que gobierne el evento de mezcla de agua teniendo en

(34)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 22 cuenta que cada volumen tiene asociado un caudal y una concentración de cloro diferente. De igual manera, el coeficiente de cuerpo depende del comportamiento único que presenta cada fuente en la reacción de la sustancia en el seno del agua, y si ocurre un evento de combinación del líquido ésta se debe tener en cuenta para el cálculo del coeficiente de cuerpo de la mezcla.

En primera instancia, se considera mezcla completa de la calidad del agua en los nudos. Esto quiere decir que la concentración de cloro en un nudo en donde hay llegada de dos fuentes se calcula por medio de un promedio ponderado del caudal proveniente de cada una. Esto se representa por la siguiente ecuación:

𝐶

_{𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎}

=

∑ 𝐶𝑗∗(𝑉𝑗)

𝑘 𝑗=1

∑𝑘_𝑗=1(𝑉_𝑗)

(26)

donde:

Vj = Volumen de agua de la fuente j

CRj = Concentración de la sustancia en la fuente j

k = número total de fuentes de agua

Como se mencionó en el Numeral 3.2.7.1, el comportamiento de las reacciones en el seno del agua se representa bien por un modelo de kb variable con parámetros α y β para cualquier muestra de

agua. Esto significa que cada fuente maneja una pareja de parámetros que describen el comportamiento del decaimiento del cloro en el cuerpo de agua. Así, cuando ocurre la combinación, es adecuado considerar a cada fuente por su comportamiento individual generando un promedio ponderado de la tasa de reacción (kb) a partir de la importancia relativa establecida por el porcentaje

de volumen de agua proveniente de cada fuente y la cantidad del cloro que aún no ha reaccionado en cada una. La siguiente ecuación fue estudiada por Hua, Vasyukova y Uhl (2015) obteniendo buena efectividad en sus resultados.

𝑘

_{𝑏,𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎}

=

∑ 𝑘𝑏𝑗∗(𝑉𝑗∗𝐶𝑅,𝑗)

𝑘 𝑗=1

∑𝑘_𝑗=1(𝑉_𝑗∗𝐶_𝑅,𝑗)

(27)

donde:

kbj = Coeficiente de cuerpo para la fuente j

2.2.8

Subproductos de la Desinfección

En las RDAP la desinfección es un proceso utilizado para entregar el agua en condición potable a partir de una concentración residual de la sustancia utilizada como desinfectante. La adición de cloro u ozono, evita la posibilidad del desarrollo de organismos perjudiciales para la salud en el agua que reciben los consumidores. Sin embargo, en el proceso de desinfectar el agua medio de una concentración residual, a medida que el desinfectante se consume en el recorrido por las tuberías

(35)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 23 de la red, la reacción con precursores en el agua como la materia orgánica genera una serie de subproductos de la desinfección (DBP: siglas en inglés de “desinfection by-products”) como se observa en la Figura 4.

Figura 4. Subproductos de la Desinfección (EPA, 2006).

Los subproductos principales de esta reacción son los trihalometanos (THM) y los ácidos haloacéticos (HAA5) los cuales generan efectos perjudiciales sobre la salud ya que son cancerígenos (Richardson, Plewa, Wagner, Schoeny, & Demarini , 2007). En su potencial de daño sobre los seres humanos reside la necesidad de modelar su comportamiento en conjunto con el cloro residual para cuantificar hasta qué punto la desinfección es adecuada, desde la perspectiva de los subproductos generados.

En la literatura se encuentra que su predicción se realiza por medio de un modelo de crecimiento de primer orden con una concentración máxima límite, de la forma en la Ecuación 12, obteniendo un ajuste adecuado con los datos experimentales. A continuación se muestra la solución analítica para modelar los trihalometanos y un esquema de su comportamiento en el tiempo (Ahn, Lee, Choi, & Koo, 2012):

𝐶

_{𝑇𝐻𝑀𝑠}

= 𝐶

_𝑜

+ 𝐶

_𝐿

∗ (1 − 𝑒

−𝑘∗𝑡

_{) (28)}

(36)

2.2.9 Requerimientos del Modelo

Estimar la calidad del agua en las RDAP requiere de dos modelos. El primero es un modelo hidráulico que se desarrolle por métodos físicamente basados que cumplan las leyes de la conservación de la masa y la energía. El segundo modelo es el que condiciona la dinámica de la calidad del agua, en donde modelos matemáticos regidos por la conservación de la masa se ajustan al comportamiento físico-químico del agua y predicen variables como la edad o la concentración. Al inicio se deben establecer las condiciones de la modelación: el delta de tiempo (∆t) en el que se discretiza la simulación, si se realiza en estado estable o en periodo extendido, para sustancias conservativas o no conservativas, la cinética de la reacción adecuada dependiendo de la sustancia a modelar y si la mezcla en los nudos es completa o incompleta. También es necesario determinar la forma en que los tanques de almacenamiento modelan el comportamiento del agua en su interior.

Las variables de entrada requeridas por los modelos se pueden dividir en tres categorías: la información de la red, las condiciones iniciales de la modelación y la información requerida en cada paso de tiempo. A continuación se detalla cada una de ellas (Clark & Grayman, 1998).

 Información de la red:

o Topología: ubicación de nudos, fuentes, tanques, bombas y tuberías

o Geometría: longitud y diámetro de tuberías y tanques de almacenamiento

o Parámetros: coeficientes de pérdidas menores, rugosidad

o Demanda de agua

 Condiciones iniciales:

o Concentración en las fuentes

o Concentración inicial de la sustancia en cada nudo

o Volumen de agua en los tanques

 Información requerida para cada paso de tiempo:

o Dirección de flujo

o Caudal y velocidad de flujo

o Concentración en cada nudo y en las fuentes

Para modelar la calidad del agua se requiere que se haya efectuado la modelación hidráulica antes. En este sentido, la eficacia de los modelos de calidad depende de la adecuada calibración de la hidráulica de flujo en la red. Con las variables iniciales conocidas se corre el modelo hidráulico; después, el modelo de calidad del agua se ejecuta con base en los resultados de la simulación hidráulica.

(37)

2.3 Calibración del Modelo de Calidad del Agua

Teniendo definidas todas las condiciones de la modelación, los parámetros asociados con las tasas de reacción en el cuerpo de agua y en las paredes de las tuberías, y todos los requerimientos del modelo, por medio de soluciones numéricas iterativas se modela la calidad del agua, obteniendo como resultado la predicción de la concentración de las sustancias a lo largo de las RDAP. La calidad del agua se puede conocer en todos los nudos de la red de una forma dinámica en el tiempo. No obstante, las estimaciones del modelo deben acoplarse al comportamiento real de las redes en operación. La calibración es el proceso de ajuste de las variables de entrada del modelo para que éste estime condiciones similares a las mediciones realizadas sobre muestras de agua tomadas en la red prototipo.

Para ejecutar la calibración se debe contar, entonces, con mediciones de la concentración en puntos discretos de la red a los que se le conoce como puntos de monitoreo. Es importante llevar registro no sólo de la concentración de las sustancias sino también de la hora de la medición dada la conocida variabilidad temporal de esta característica en las RDAP. Una medición continua de la concentración en diferentes puntos de monitoreo en la red es la información idónea si se busca calibrar un modelo de calidad del agua dinámico.

Para llevar a cabo la calibración, se hace una búsqueda exhaustiva de los parámetros desconocidos por medio de un algoritmo de optimización. Una configuración apropiada de los parámetros, debe buscar minimizar el valor de la función objetivo. Esta función en las redes de distribución es la cuantificación del error entre la situación modelada con respecto a la del prototipo. Se utilizan, comúnmente, el error medio absoluto, el error cuadrático medio, el error máximo, etc.

𝑑𝐶𝐶𝑙

𝑑𝑡

= −𝑢

𝑖

(

𝑑𝐶𝐶𝑙

𝑑𝑥

) − 𝛼 ∗ 𝑒

∆𝐶𝐶𝑙,𝑚𝑎𝑥]

_𝐶

𝐶𝑙

[∆𝐶

+ ∆𝐶

𝐶𝑙

(𝑡)] −

𝑘𝑤𝑘𝑓

𝐶

𝐶𝑙

(25)

Recordando la Ecuación 25, los parámetros a calibrar de la reacción en el cuerpo de agua, son α y β, y el coeficiente de pared (kw) con respecto a la reacción en las paredes de la tubería. En teoría, los

parámetros α y β son cuantificados por medio de pruebas del comportamiento de cloro en el tiempo sobre muestras de agua tomadas en la fuente, sin embargo existe la posibilidad de manejarlos como parámetros a calibrar si no se cuenta con la información.

2.3.1 Algoritmos Genéticos

Una de las maneras de abordar la calibración de los sistemas de distribución es por medio de la inteligencia artificial. Existen diferentes metodologías metaheurísticas que realizan una búsqueda exhaustiva, siguiendo un razonamiento lógico, en el espacio de solución para optimizar los parámetros del problema asociado. Algunas de ellas son la búsqueda de armonía, búsqueda dispersa, entropía cruzada, recocido simulado, enjambre de partículas, etc. (Saldarriaga, Páez , León,

(38)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 26 López, & Cuero, 2013). Otra forma de encontrar soluciones óptimas es con el uso de redes neuronales.

Para este trabajo se utilizará la heurística de los algoritmos genéticos. En esta metodología, con base en la dinámica evolutiva de los seres vivos y de la selección natural, el algoritmo genera una población inicial de individuos los cuales pone a prueba por medio de una función objetivo y selecciona aquellos con mejor aptitud para que sobrevivan a la siguiente generación, se crucen y muten. En esta heurística cada individuo representa una configuración de los parámetros en el modelo y es independiente al resto de individuos de la población. A partir de la población inicial, de múltiples configuraciones de los coeficientes, se ejecuta la calidad del agua en cada una y se compara la función objetivo.

El programa Matlab utiliza un algoritmo genético elitista. Esto quiere decir que la única información que se comparte de una población a la siguiente es la de los individuos con mayor aptitud o individuos élite. En el paso de una población a otra sólo sobreviven los individuos que tuvieron el mejor rendimiento en la función objetivo, en la minimización de los errores. Después, los individuos élite proceden de varias maneras: (1) todos los individuos élite sobreviven a la siguiente generación; (2) ocurre reproducción y cruzamiento, haciendo que los individuos élite, como padres de la generación, se recombinen generando individuos cada vez más aptos; este es el proceso de la selección natural; y (3) algunos individuos mutan, incrementando la posibilidad de encontrar mejores soluciones; esto evita que el algoritmo se estanque en óptimos locales y continúe en la búsqueda del óptimo global.

Figura 6. Comportamiento del algoritmo genético.

En la figura anterior se ilustra el comportamiento del algoritmo genético. En esta simulación hay una población de 5 individuos durante 10 generaciones. Los individuos élite tienen color negro; una mutación se representa por el color rojo, y aquellos que se cruzan con color azul. Se puede observar

(39)

Óscar Roberto Díaz Tesis II 27 que los individuos élite se recombinan y mutan, algunas veces, obteniendo individuos –hijos- más aptos que sí mismos. También se evidencia la importancia de la mutación para encontrar individuos mejores generación tras generación: en la generación 6 y en la 10, el individuo élite fue aquel que mutó en generaciones anteriores.

Al final de un número establecido de iteraciones, el algoritmo genético identifica el individuo que tiene los parámetros más apropiados para optimizar la función objetivo. Este individuo sobrevive hasta la última iteración. La solución encontrada representa la mejor combinación de parámetros, y por medio de ésta, el modelo tiene la capacidad de predecir acertadamente la calidad del agua. En este punto termina la calibración. El resultado final es un modelo con parámetros calibrados capaz de predecir con acierto las condiciones existentes en las RDAP. Después de tener un modelo calibrado, se pueden generar diversos escenarios para analizar alternativas que promuevan la mejoría de la calidad del servicio del abastecimiento de agua (Vega & Takahashi, 2007).

(40)

(41)

3 METODOLOGÍA

En este capítulo se detalla la manera en que las herramientas computacionales son aplicadas para calibrar el modelo de cloro libre residual. Asimismo, se explican las distintas pruebas realizadas para analizar el comportamiento del modelo sobre dos redes hipotéticas y la red matriz de Bogotá.

3.1 Modelación Computacional

Como se señaló en el capítulo del marco teórico en la sección sobre la calibración del modelo, los programas usados para modelar y calibrar computacionalmente los modelos de calidad del agua en este proyecto, son Epanet y Matlab. El primero permite la modelación hidráulica y la modelación de calidad del agua en las RDAP. Con el segundo se pretende desarrollar un código de programación que tiene como objetivo aplicar un modelo dinámico de la calidad del agua y realizar una optimización de los parámetros en su calibración. Se requiere un método computacional gracias a que se hacen cálculos iterativos de optimización.

En el programa, Matlab le proporciona las variables de entrada del modelo -los coeficientes de cuerpo y pared de cada tubería- a Epanet ajustando la red al inicio de cada periodo de tiempo. Luego, con los resultados, Matlab hace uso de los algoritmos genéticos para hacer la calibración de los parámetros. La función objetivo de la optimización es el error entre las concentraciones medidas en el prototipo con las modeladas en Epanet.

El acoplamiento de los dos programas se hace en Matlab utilizando funciones proporcionadas por los desarrolladores de Epanet para poder alterar las condiciones de la modelación con facilidad. En la carpeta en donde se está realizando la programación, se debe agregar el “toolkit” de Epanet. En el éste se encuentran tres archivos principales: epanet2.lib, epanet2.dll, epanet.h; en ellos se encuentra la librería que contiene las funciones que permiten manipular la simulación de Epanet desde Matlab.

Antes de hacer la conexión entre los dos programas, se debe contar con archivos (.inp) que contengan las redes que serán modeladas. Estos archivos contienen información sobre las condiciones de la modelación hidráulica, de la modelación de la calidad del agua, las características topológicas y geométricas de la red, los patrones de demanda, etc. Contienen todas las variables de entrada del modelo para luego aplicarlas en la modelación. A continuación se hará un recuento de las funciones utilizadas del “toolkit” de Epanet.