Examen Temas 12 a 15

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 12 a 15

1. (0,8 puntos) Explica el concepto de correlación lineal y cómo se mide. Pon un ejemplo de correlación lineal negativa.

2. Las calificaciones de siete estudiantes de 1º de bachillerato en las asignaturas de Lengua Castellana y Matemáticas han sido las siguientes:

Lengua (X) 6 2 8 5 9 3 7 5

Matemáticas (Y) 8 4 7 4 10 5 8 3

a) (0,5 puntos) Dibuja la nube de puntos asociada. ¿Qué tipo de correlación se da entre las variables estudiadas?

b) (1,5 puntos) Calcula, indicando todos los pasos intermedios, el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

Algunas fórmulas:

2 2

i x

x x n

 

 ; xy x yi i xy n

 

 ;

·

xy x y

r    .

Si utilizas exclusivamente la calculadora debes especificar todos los parámetros que intervienen en las soluciones. En este caso, la puntuación será de 1,2 puntos como máximo.

c) (0,2 puntos) ¿Qué nota en Matemáticas cabría esperar para un alumno que ha sacado 6 en Lengua?

3. En una clase de 1º de bachillerato, el 60 % de los alumnos aprueban Matemáticas, el 50 % aprueban Inglés y el 30 % aprueban las dos asignaturas. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar:

a) (0,6 puntos)Apruebe alguna de las dos asignaturas (una o las dos). b)(0,6 puntos)Apruebe Matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés. c) (0,3 puntos) Apruebe solo una de las dos asignaturas.

d) (0,3 puntos) ¿Son independientes los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés?

4. En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola.

a) (0,6 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?

b) (0,6 puntos) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, halla la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también.

5. Se lanza cinco veces una moneda trucada, en la que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Calcula razonadamente la probabilidad de:

a) (0,7 puntos) Obtener exactamente tres caras. b) (0,8 puntos) Obtener más de tres caras.

6. Supongamos que la estatura de los jóvenes de 18 años de una determinada región sigue una distribución normal de media 175 cm y desviación típica 10 cm. Si se elige uno de esos jóvenes al azar, calcula:

a) (0,5 puntos) La probabilidad de que mida menos de 183 cm. b) (0,5 puntos) La probabilidad de que mida más de 160 cm.

c) (0,7 puntos) ¿Qué altura mínima debe tener un joven para estar entre el 20 % de los más altos?

(2)

Soluciones

2. Las calificaciones de ocho estudiantes de 1º de bachillerato en las asignaturas de Lengua Castellana y Matemáticas han sido las siguientes:

Lengua (X) 6 2 8 5 9 3 7 5

Matemáticas (Y) 8 4 7 4 10 5 8 3

a) (0,5 puntos) Dibuja la nube de puntos asociada. ¿Qué tipo de correlación se da entre las variables estudiadas?

b) (1,5 puntos) Calcula, indicando todos los pasos intermedios, el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

Algunas fórmulas:

2 2

i x

x x n

 

 ; xy x yi i xy n

 

 ;

·

xy x y

r    .

Si utilizas exclusivamente la calculadora debes especificar todos los parámetros que intervienen en las soluciones. En este caso, la puntuación será de 1,2 puntos como máximo.

c) (0,2 punto) ¿Qué nota en Matemáticas cabría esperar para un alumno que ha sacado 6 en Lengua? Solución:

a) A partir de la lectura de los valores de la tabla se observa una correlación positiva (la calificación de Lengua da una idea de la que el mismo alumno obtendrá en Matemáticas).

Representando los pares de valores: (6, 8), (2, 4),.., (7, 8), (5, 3) se observa una nube de puntos alargada y con tendencia creciente; esto sugiere una correlación lineal directa y fuerte: los puntos se sitúan a izquierda y derecha de una recta. Por tanto, puede deducirse que la nota de Lengua determina de alguna manera la de Matemáticas.

b) De acuerdo con las fórmulas de los parámetros hay que hacer sumas, sumas de cuadrados y sumas de productos; para ello resulta eficaz la siguiente tabla:

i

x yi xi2 yi2 xiyi

6 8 36 64 48

2 4 4 16 8

8 7 64 49 56

5 4 25 16 20

9 10 81 100 90

3 5 9 169 15

7 8 49 64 56

(3)

La recta de regresión es

2

4, 0489

6,125 5, 625

2, 2326

y  x  y0,81x1,56.

(Es la que se ha trazado anteriormente).

c) Si x = 6, y0,81·6 1,56 6, 42 puntos.

3. En una clase de 1º de bachillerato, el 60 % de los alumnos aprueban Matemáticas, el 50 % aprueban Inglés y el 30 % aprueban las dos asignaturas. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar:

a) (0,6 puntos)Apruebe alguna de las dos asignaturas (una o las dos). b)(0,6 puntos)Apruebe Matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés. c) (0,3 puntos) Apruebe solo una de las dos asignaturas.

d) (0,3 puntos) ¿Son independientes los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés? Solución:

Sean M e I los sucesos aprobar Matemáticas e Inglés, respectivamente. Se sabe que:

 

0, 60

P M  , P I

 

0,50; P M

 I

0,30.

Puede hacerse un diagrama de Venn como el adjunto.

a) Por la probabilidad de la unión de sucesos:

 

 

P M I P MP IP MI = 0,60 + 0,50 – 0,30 = 0,80.

b) Por la probabilidad condicionada:

 

0,30

/ 0, 60

0,50

P M I P M I

P I

   .

 Como P M I

/

P M

 

0, 60 ambos sucesos son independientes. (Se volverá a ver).

c) Apruebe Matemáticas pero no Inglés o apruebe Inglés pero no Matemáticas:

0,3 0, 2 0,5

P M I P IM    .

d) Los sucesos M e I serán independientes si P M

 I

P M P I

   

· .

(4)

4. En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola.

a) (0,6 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?

b) (0,6 puntos) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, halla la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también.

Solución:

Sean B y N los sucesos extraer bola blanca o negra. Con los datos del problema se construye el diagrama de árbol ajunto.

a) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra es:

(1ª )·

2ª /1ª

(1ª )·

2ª /1ª

P NP B P N BP N P N N

= 10 3· 3 2· 30 6 3 13 12 13 12 156 13

   .

b) Por Bayes, la probabilidad de que la primera bola fuese negra si la segunda bola extraída ha sido negra es:

1ª / 2ª

(1ª )·

/1ª

P N P N N P N N

P N

 =

3 2 ·

2 1

13 12

3 12 6

13

  .

5. Se lanza cinco veces una moneda trucada, en la que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Calcula razonadamente la probabilidad de:

a) (0,7 puntos) Obtener exactamente tres caras. b) (0,8 puntos) Obtener más de tres caras. Solución:

La probabilidad de obtener P C( )0, 6; la de obtener cruz, P C

 

0, 40.

El experimento de lanzar cinco veces esa moneda y contar el número de caras que se obtienen puede estudiarse como una binomial B(5, 0,6).

Si X mide el número de caras obtenidas en los cinco lanzamientos, se tiene:

a)

3

5 ·0, 6 ·0, 43 2 10·0,3456 0,3456 3

P X      

(5)

Se trata de una población N(175, 10). Se tipifica haciendo el cambio 175 10

X

Z   .

a)

183

183 175

0,8

10

P X  P Z   P Z

  = 0,7881.

b)

160

160 175

1,5

( 1,5) 10

P X  P Z   P Z   P Z

  = 0,9332.

c) Hay que hallar el valor de k tal que P Z

k

0, 20 k = 0,84.

Por tanto: 175 0,84 10

X

 X > 183,4 cm.

Figure

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Referencias

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