PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN:
Para comenzar, debemos decir que los modelos probabilísticos son el fundamento de la estadística inferencial.
Para el tratamiento estadístico de datos con vistas a realizar deducciones, hay que tener en cuenta que el proceso de experimentación (por ejemplo, el muestreo) lleva asociado la idea de azar.
En la práctica existen numerosas situaciones en las que la realización sucesiva de un experimento en las mismas condiciones produce resultados distintos: son los que hemos llamado experimentos de azar o aleatorios; en dichos experimentos las mismas "causas" producen "efectos" distintos: (por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces sale cara y otras cruz, sin que normalmente podamos predecir el resultado de una realización del experimento). A estas situaciones o sucesos se les llama estocásticos o aleatorios a diferencia de las situaciones de tipo determinista, como por ejemplo los modelos de la Mecánica Clásica
Para medir el grado de incertidumbre originado por esta situación introducimos el concepto de probabilidad.
Por lo tanto, para poder utilizar la metodología estadística, es necesario conocer los fundamentos de la Teoría de la Probabilidad.
HISTORIA:
Los juegos de azar existían desde la Edad de Piedra, ya que se jugaba a los dados con uno huesos de animales llamados astrágalos, cuya forma era muy parecida a los dados actuales. Más tarde, los griegos confeccionaron los primeros dados para que los resultados fuesen "regulares".
La primera noticia escrita que se tiene sobre diversos conceptos relacionados con el azar (posibilidad de ganar, estrategias de juegos), aparece en un libro escrito por Girolamo Cardano en 1563 titulado Liber de ludo alae (Libro sobre el juego de los dados).
No se supo nada más del azar, hasta que a principios del siglo XVII el Príncipe de Toscana planteó el siguiente problema a Galileo Galilei: "¿Por qué cuando se lanzan tres dados, obtenemos con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque hay las mismas formas de conseguir 9 que 10?.
El problema quedó como un hecho aislado, pues Galileo no profundizó en el tema, y fueron Pascal y Fermat quienes en 1654 resolvieron, por separado y simultáneamente, el problema plantado a Pascal por el filósofo y hombre de la corte de Luis XIV, el
caballero de la Mére; dando con ello Principio al estudio sistemático de las leyes del azar y Teoría de la Probabilidad.
Los temas relacionados con el azar y la probabilidad aparecen en los programas de educación básica desde 1972. Sin embargo, durante muchos años ha sido práctica frecuente que éstos se dejen para el final del año escolar y luego ya no se alcancen a ver, o que se aborden de manera superficial
DEFINICION:
La probabilidad es una rama de la matemática que se encarga de conocer algo muy difícil de conocer: el azar y los fenómenos aleatorios. ¿Qué son éstos? Los fenómenos aleatorios son aquellos que ocurren al azar, es decir, aquellos en los que no se puede predecir con certeza qué va a ocurrir la siguiente vez que se presenten. Son lo contrario de los fenómenos determinísticos, en los que sí se puede predecir con certeza.
Si buscamos la palabra aleatorio en el “Diccionario del uso del español” (M. Moliner-1983), se define como: “Incierto. Se dice de lo que depende de la suerte o el azar” siendo el azar la “supuesta causa de sucesos no debidos a la necesidad natural ni a una intervención intencionada humana ni divina”
Mientras que si buscamos azar, no lo definen como: “Del árabe ´zahr´, flor, por la que se pintaba en una de las caras del dado”.
Esta definición nos recuerda al los juegos de azar, como el juego de dados, ejemplo típico de fenómeno aleatorio; al igual que encontramos numerosas palabras y expresiones relacionadas con dichas definiciones (causal, accidental, fortuito, impensado, por suerte, de chiripa, de rebote,…)
CONCEPTOS BÁSICOS:
El Cálculo de Probabilidades es la parte de las Matemáticas que se dedica al estudio de los fenómenos (experiencias) aleatorios. Digamos que es la ciencia que estudia las "leyes del azar". Desde este ámbito de las matemáticas se puede dar significado a los términos de estadística y probabilidad a partir de la definición de conceptos tales como:
· Una experiencia es determinista cuando da como resultado un suceso que se puede conocer (predecir) con anterioridad (pequeñas variaciones iniciales implican pequeños cambios en el resultado).
· Una experiencia es aleatoria cuando el resultado de la misma no se puede conocer con seguridad hasta que no se realiza (la experiencia); de tal forma que repetida la experiencia varias veces, en las mismas condiciones, los resultados pueden ser distintos (pequeñas variaciones iniciales implican grandes cambios en el resultado).
La realización de experimentos aleatorios usando dispositivos físicos, como dados, fichas, bolas, ruletas… puede requerir bastante tiempo. A veces, incluso puede que no se dispongan de tales dispositivos en número suficiente para toda la clase. Una
alternativa válida consiste en simular tales experimentos por medio de una tabla de número aleatorios. Este procedimiento incluso permite resolver problemas de probabilidad reales haciendo las simulaciones con un ordenador.
Llamamos simulación a la sustitución de un experimento aleatorio por otro equivalente con el cual se experimenta para obtener estimaciones de probabilidades de sucesos asociados al primer experimento. La estimación de la probabilidad que se obtiene con el experimento simulado es tan válida como si se tratase del experimento real. Este es el método que se emplea para obtener previsiones en las siguientes situaciones:
a) Experimentos complejos, como sería planificar el tráfico durante una operación salida.
b) Experimentos peligrosos, como estimar la temperatura de control o la velocidad de reacción permitida en una central nuclear.
c) Situaciones futuras, estudios ecológicos o sobre contaminación ambiental.
· Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
· Sucesos elementales: son los resultados del experimento. Son los formados por un solo resultado.
· Sucesos compuestos: son los que se forman con más de un resultado del experimento. Un suceso compuesto se verifica cuando ocurre alguno de los resultados que lo
componen.
· Suceso unión: el suceso (A o B) se compone de los resultados comunes y no comunes de A y de B. El suceso (A o B) se realiza cuando se realiza A o cuando se realiza B o cuando se realizan los dos.
· Suceso intersección: el suceso (A y B) se compone de los resultados comunes a los sucesos A y B. El suceso (A y B) se realiza sólo cuando se realizan el suceso A y el suceso B simultáneamente.
· Suceso contrario de A: es el formado por los resultados del experimento no incluidos en el suceso A.
· Suceso imposible: es aquel que tiene intersección vacía con el espacio muestral. Nunca ocurre por más que se repita el experimento.
· Sucesos incompatibles: dos sucesos A y B son incompatibles si el hecho de que ocurra uno de ellos impide la realización del otro. En el caso de que A y B se puedan realizar simultáneamente, serán compatibles.
· Frecuencia absoluta (F) de un resultado es el número de veces que se repite dicho resultado en un experimento.
· Frecuencia relativa (fr) de un resultado es el cociente entre la frecuencia absoluta de dicho resultado y el número de veces que se ha realizado el experimento.
Propiedades de las frecuencias relativas:
- Si A es un suceso cualquiera se verifica que fr(A) es mayor o igual que cero y menor o igual que 1.
- La suma de las frecuencias relativas de todos los resultados de un experimento aleatorio es igual a 1.
- La frecuencia relativa de un suceso compuesto es igual a la suma de las frecuencias relativas de los sucesos elementales que lo componen.
· Estimación frecuencial de la probabilidad. La estabilidad de la frecuencia relativa en largas series de ensayos, junto con el hecho de que haya fenómenos para los cuales los sucesos elementales no son equiprobables, hace que pueda estimarse el valor
aproximado de la probabilidad de un suceso a partir de la frecuencia relativa obtenida en un número elevado de pruebas. Este es el único método de asignar probabilidades en experimentos tales como “lanzar una chincheta” o “tener un accidente de coche en una operación retorno”. Pero recuerda que el valor que obtenemos de esta forma es siempre aproximado, es decir, constituye una estimación de la probabilidad.
Es muy importante el tamaño de la muestra en la estimación de las probabilidades frecuenciales. A mayor tamaño de muestra, mayor fiabilidad, porque hay más variabilidad en las muestras pequeñas que en las grandes.
· Ley del azar o ley de estabilidad de las frecuencias. Al repetir numerosas veces un experimento aleatorio, la frecuencia relativa (fr) de cada resultado tiende hacia un determinado número (que llamaremos probabilidad de dicho resultado). La frecuencia relativa de un resultado tiende, o se aproxima, a la probabilidad cuando el experimento aleatorio se repite un gran número de veces.
La probabilidad, P(S), de un suceso aleatorio, S, es la medida de la posibilidad de que ocurra ese suceso. Se expresa mediante un número comprendido entre 0 y 1.
· Sucesos equiprobables: si todos los resultados de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad, se dice que los sucesos elementales son equiprobables.
· Regla de Laplace: si los sucesos elementales de un experimento aleatorio son
La regla de Laplace permite el cálculo de probabilidades en experimentos sencillos. De todas formas, si el número de casos favorables o posibles es muy elevado, para
contarlos hay que recurrir a la combinatoria.
Axiomas de la probabilidad.
Hay tres modos diferentes de asignar probabilidades, según el tipo de experimento aleatorio:
a) En el caso de espacios de muestras con un número finito de sucesos elementales en los que pueda aplicarse el principio de inferencia, calculamos las
probabilidades usando la regla de Laplace.
b) Si no podemos usar la regla de Laplace, pero tenemos información estadística sobre las frecuencias relativas de aparición de distintos sucesos, podemos obtener una estimación frecuencial de las probabilidades.
c) En los demás casos, el único modo de asignar las probabilidades a los sucesos es de modo subjetivo.
En todos los casos, las probabilidades cumplen unas mismas propiedades, que se recogen en la definición axiomática de la probabilidad.
Toda teoría matemática se desarrolla a partir de una serie de axiomas. Generalmente estos axiomas se basan en la abstracción de ciertas propiedades de los fenómenos que se estudian, que para el caso de la probabilidad son las tres primeras propiedades citadas sobre las frecuencias relativas.
Como consecuencia, se considera que la probabilidad es toda aplicación, definida en el conjunto de los sucesos asociados a un experimento aleatorio, que cumpla las tres siguientes propiedades:
1) A todo suceso “A” le corresponde una probabilidad “P(A)”, número
comprendido entre 0 y 1. Observación: en el experimento compuesto, la suma de todas las probabilidades es igual a uno.
2) La probabilidad del suceso seguro es, “P(E)=1”.
3) La probabilidad de un suceso que es unión de sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades de los sucesos que lo componen.
Otra forma de representar las posibilidades en este experimento compuesto es mediante un diagrama en árbol, que nos sirve también para observar la forma en que se obtiene la probabilidad.
Regla de cálculo: puesto que la mitad de las veces obtenemos cara en el primer experimento y de esta mitad, la mitad de las veces obtenemos cara en el segundo, la probabilidad de obtener dos caras es la mitad de un medio, esto es un cuarto (aplicado a un experimento que consiste en lanzar dos monedas).
En el diagrama en árbol, la probabilidad final de un resultado es el producto de las probabilidades en cada rama que lleva a este resultado.
· Experimentos dependientes e independientes. En el ejemplo del lanzamiento de dos monedas, el resultado de la segunda moneda no depende de lo que salió en la primera. Así observamos que:
- Los resultados del segundo experimento serían los mismos, si no se hubiera llevado a cabo el primero.
En otros casos, el segundo experimento depende del primero, por ejemplo:
- La probabilidad de aprobar un examen mejora con el número de exámenes. - La probabilidad de que una persona tenga un infarto es mayor si a tenido otro
previamente.
- La probabilidad de que un niño tenga los ojos azules es diferente, según el color de los ojos de sus padres.
También en estos casos podemos usar el diagrama en árbol, pero teniendo en cuenta que ahora las probabilidades del segundo experimento dependen del resultado del primero.
AZAR. PROBABILIDAD (ASPECTOS DIDACTICOS):
Las ideas sobre el azar y la probabilidad pueden irse introduciendo paulatinamente desde los primeros años de la etapa, aunque con un peso creciente a medida que se avanza en ella. Todos los alumnos de Primaria tienen ideas previas sobre el azar, la dependencia e independencia de sucesos, etc. que es preciso conocer y tener en cuenta a la hora de diseñar y proporcionar actividades. No se debe olvidar que éstas deben ir encaminadas, principalmente, al desarrollo y educación de la intuición sobre la probabilidad.
En el lenguaje ordinario existen diferentes términos que describen los fenómenos aleatorios, como casual, accidental, eventual, fortuito, imprevisible, inesperado, ocasional, por suerte, etc. Y también dentro de juegos infantiles, hay expresiones con significado parecido como por chiripa, de rebote, de rechazo, sin querer, sin intención, sin plan, etc.
Atender a esta variedad de usos lingüísticos es importante porque los niños apreciaran el carácter aleatorio de los fenómenos mediante la observación de aspectos de su entorno, y de la realización de actividades y juegos.
El desarrollo de la intuición acerca de la probabilidad se realiza inicialmente a través de valoraciones cualitativas (es muy probable, es más probable que...), para pasar,
posteriormente, a un enfoque frecuencial. El cálculo de frecuencias no debe utilizarse sólo como un método para asignar probabilidad a sucesos; el estudio de las frecuencias proporciona una información muy rica sobre el significado y comportamiento de lo aleatorio. Conviene dejar para años posteriores el lenguaje probabilístico preciso y otros métodos de asignación de probabilidades.
Los materiales manipulables son un recurso sumamente eficaz para un acercamiento al aprendizaje de las probabilidades. Podemos destacar: dados, monedas, urnas, cartas, etc. Pueden utilizarse para crear situaciones lúdicas susceptibles de aprovechamiento para el diseño de actividades relacionadas con el azar. Los alumnos/as deben saber jugar a muchas cosas y está claro que durante la Educación Primaria el juego es estimulante para ellos. La apuesta por un determinado resultado implica al alumno en la tarea y supone una toma de decisiones ante un resultado incierto. Parece conveniente, por ello, utilizar juegos en los que intervenga el azar para desarrollar conceptos, procedimientos y actitudes relativos a él.
Las situaciones didácticas utilizables para el desarrollo del razonamiento probabilístico podrán obtenerse también de otros ámbitos:
Mundo Biológico: se le puede enseñar al alumno que las características heredadas en el nacimiento no se saben anticipadamente y, por tanto, dependen del azar. Así, sexo, color de pelo, peso al nacer, color de los ojos, etc. Casi todos los caracteres genéticos
transmitidos obedecen las leyes del cálculo de probabilidad
Mundo Físico: por ejemplo, los fenómenos meteorológicos ya que diferentes variables de dichos fenómenos (la duración, intensidad y extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas o mínimas; la intensidad y dirección del viento; etc) son variables aleatorias, al igual que sus consecuencias (volumen de agua en un
pantano, los daños de una riada, etc.).
Mundo Social: como vivimos en sociedad, familia, escuela, trabajo, ocio contienen situaciones en las que existen incertidumbres, como el numero de hijos, tipo de trabajo, creencias o aficiones... Especialmente importante de considerar son los juegos de azar, como loterías o quinielas, de tanta trascendencia social e, incluso, psicopatológica.
Mundo Político: los gobiernos, a cualquier nivel, toman decisiones que dependen de fenómenos inciertos y por eso necesitan obtener y elaborar informaciones previas que les ayuden en la toma de decisiones, que les ayuden a prever el resultado de sus decisiones posibles. Por ejemplo: índice de precios al consumo, tasas de población activa, tasas de paro, etc.
CURRICULUM:
La probabilidad, como tal, no aparece como un tema específico en la educación primaria, aunque encontramos menciones al tema en forma implícita y explícita.
Por ejemplo, el objetivo general 6 para el área de matemáticas formulado por el
Ministerio de Educación y Ciencia (MEC), sugiere el trabajo con fenómenos aleatorios: “Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica, y formarse un juicio sobre la misma”.
Este objetivo es desarrollado en el bloque de contenidos referido a organización de la información en los siguientes términos, donde se alude a los experimentos aleatorios, dentro de los conceptos, recogiendo como tal “Carácter aleatorio de algunas
Dentro de los procedimientos en este mismo bloque se incluye también la “expresión sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado por el alumno”.
Respecto a criterios de evaluación sobre la probabilidad especifica el número 11, en el que se contempla claramente una introducción a la asignación de probabilidades en casos sencillos: “Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado de juegos de azar sencillos, y comprobar dicho resultado”.
ASPECTOS COGNITIVOS:
El primer paso para comenzar a enseñar probabilidad es asegurarnos de que los niños son capaces de diferenciar las situaciones aleatorias y deterministas. Se puede comenzar este apartado considerando los estudios realizados por Piaget e Inhelder y Fischbein.
Los estudios de Piaget e Inhelder ayudan a entender la evolución del razonamiento probabilístico de los niños, situándola dentro de sus estudios sobre las etapas generales de evolución psicológica de los niños.
Según Piaget el desarrollo cognitivo del niño se realiza en varias etapas:
· Preoperacional (4 - 7 años)
· Operaciones concretas (7 - 11 años)
· Operaciones formales (12 años en adelante)
Las distintas etapas no cambian pero lo que si puede hacerlo son las edades en que cada niño alcanza cada una de ellas. Las alcanza cuando está preparado para ello, incluso antes o después de las edades indicas.
Es decir, que Piaget e Inhelder pensaban que los niños pequeños no pueden comprender bien el azar, porque para ello tendrían que entender la relación de causa y efecto. Por ello piensan que no hay una intuición del azar innata en el niño, como no existía
tampoco en el hombre primitivo, que atribuía los sucesos aleatorios a causas ocultas o a la “voluntad de los dioses”.
Existen coincidencias y diferencias entre las teorías de ambos autores sobre las intuiciones probabilísticas de los niños, que son:
1) Periodo preoperacional
- Intuición del azar: ambos autores concluyen en que no existe una intuición del azar innata en el niño, por lo que dirigen sus investigaciones a determinar como se desarrolla esta intuición en la mente del niño. Para Piaget e Inhelder, esta comprensión presupone previa la posesión de un esquema lógico, combinatorio (que el niño debe construir). Para Fischbein, una cierta comprensión intuitiva del azar opera sin instrucción previa, estando presente en la conducta diaria de cada niño, de modo que si se le presentan ejemplos donde el número de posibilidades es pequeño, el niño razona correctamente.
- Intuición de frecuencia relativa: como conclusión se obtiene de que el niño adapta sus predicciones a las probabilidades de los sucesos que se le presentan como estímulo, aunque sus respuestas no llegan a coincidir totalmente con la frecuencia de los mismos. Esta conducta también se puede obtener sin que se estimule al niño cuando acierta, lo que demuestra que este fenómeno es una formación cognitiva mental.
- Estimación de posibilidades y la noción de probabilidad: Piaget e Inhelder consideran que el niño en esta etapa no es capaz de estimar las posibilidades a favor o en contra de los sucesos aleatorios, pero Fischbein piensa que el niño es capaz de hacer juicios probabilísticos en el sentido de que, cuando es posible un control experimental y operaciones auxiliares de comparación y cálculo simples, el niño puede partir de una estimación intuitiva de posibilidades a favor de algún suceso.
2) Periodo de operaciones concretas:
- Intuición de azar: a través de la adquisición de esquemas operaciones espacio-temporales y lógicos-matemáticos, el niño adquiere la capacidad de distinguir entre el azar y lo deducible, incluso a nivel conceptual; pero no se completa aún (solo se completa desde la representación que es una intuición primaria). El niño comienza a comprender la interacción de cadenas causales que conducen a sucesos predecibles, y la irreversibilidad de los fenómenos aleatorios.
- Intuición de la frecuencia relativa: esta intuición, a través de experimentos de aprendizaje probabilístico, mejora con la edad. Si la intuición se observa como un resultado cognitivamente fijado de experiencias acumulables, parece razonable que la intuición de esta frecuencia se desarrolle de un modo natural como resultado de las experiencias del niño con situaciones que implican sucesos aleatorios, en los cuales las respuestas deben expresar una estimación correcta de las frecuencias relativas de los fenómenos.
- Operaciones combinatorias: los niños buscan modos de realizar inventarios de todas las permutaciones, variaciones y combinaciones posibles en un conjunto dado con un nº pequeño de elementos, y llegan a procedimientos rudimentarios de cálculo mediante ensayo y error; al final de este periodo (10-11 años), Fischbein ha demostrado que los niños con ayuda de instrucción, asimilan procedimientos enumerativos usados en la construcción de diagramas de árbol.
3) Período de Operaciones Formales:
- Intuición del azar: para Piaget e Inhelder, el adolescente agrupa las relaciones no determinadas de fenómenos aleatorios según esquemas operacionales. Una vez que se presenta una situación aleatoria, por medio del uso de estos esquemas se hace
inteligible, y la síntesis entre el azar y lo operacional conduce al adolescente al concepto de probabilidad. Pero, para Fischbein, la síntesis entre el azar y lo deducible no se realiza espontáneamente y completamente al nivel de las operaciones formales; razona que esta deficiencia es que las tradiciones culturales y educativas de la sociedad
moderna orientan el pensamiento hacia explicaciones deterministas unívocas, según las cuales los sucesos aleatorios caen fuera de los limites de lo racional y científico. Para él, la intuición del azar es irreconciliable con una estructura del pensamiento lógico, y es relegada a una clase inferior, como un método inadecuado de interpretación que no cumple los requisitos científicos.
- Intuición de frecuencia relativa: el niño en este periodo ha hecho progresos, particularmente en casos donde las predicciones tienen algún resultado práctico.
- Estimación de posibilidades y noción de probabilidad: Piaget encuentra que, para experimentos con bolas, los niños de 12 años dan respuestas correctas desde el principio. Fischbein añade a esto el hecho de que incluso niños de 9-10 años pueden responder correctamente a estas situaciones si poseen instrucción adecuada.
- Operaciones combinatorias: ambos autores concluyen que el niño adquiere la
capacidad de utilizar procedimientos sistemáticos para realizar inventarios de todas las permutaciones posibles, variaciones y combinaciones de un conjunto dado de
elementos. Pero Fischbein apunta a que pueden asimilar procedimientos combinatorios con la ayuda de la instrucción a partir de los 10 años.
Conclusión de Fischbein : la intuición probabilística no se desarrolla espontáneamente, excepto dentro de unos límites muy estrechos. La comprensión, interpretación,
evaluación y predicción de fenómenos probabilísticos no pueden ser confiadas a intuiciones primarias que han sido despreciadas, olvidadas y abandonadas en un estado rudimentario de desarrollo bajo la presión de esquemas operacionales que no pueden articularse con ellas. Pero, que es necesario entrenar desde los primeros niveles la base intuitiva relevante al pensamiento probabilístico.
Cuantificación de la probabilidad, según Piaget e Inhelder:
Para el caso de cuantificación de probabilidad, Piaget e Inhelder (1951) realizaron una investigación. Presentaron a los niños dos colecciones de fichas blancas, con o sin cruz en su reverso; igualmente, se les proporcionaba la composición de cada una de las colecciones que eran distintas. La tarea consistía en decidir en cual de las dos colecciones sería más fácil obtener una cruz al tomar una de las fichas (previamente mezcladas
El resultado del estudio fue el siguiente:
a) En el primer estadio existe una ausencia de comparación lógico-aritmética que impide a los niños resolver el problema. Se divide en dos etapas:
· La noción de probabilidad no es accesible en la primera etapa puesto que se precisa incluir la parte en el todo, los casos favorables en el conjunto de casos posibles, compuestos disyuntivamente.
· En esta etapa, es más fácil diferenciar la parte y el todo, aunque dos problemas sean formalmente equivalentes. Y va adquiriendo la intuición de que el número de casos favorables se relaciona con la probabilidad de obtener uno de ellos. Por último, las soluciones se basan en apreciaciones intuitivas.
b) En el segundo estadio, se consigue hacer comparaciones con una sola variable. Se divide en otros dos subestadios:
· Este subestadio se caracteriza por el éxito en los problemas que implican la
comparación de una sola variable y el fracaso sistemático en los casos de composición proporcional. Los problemas de una variable se pueden resolver mediante
comparaciones aditivas, mientras, que las cuestiones de proporcionalidad suponen un doble cociente y por tanto las ideas de fracción y proporción, que el niño de esta etapa no ha adquirido.
· En el segundo subestadio se caracteriza por una solución empírica progresiva de las cuestiones de proporcionalidad.
c) En el tercer estadio, se da una solución general y rápida. Las nociones probabilísticas fundamentales no se construyen hasta este nivel, ya que las operaciones formales son, psicológicamente, operaciones de segunda orden, es decir operaciones construidas sobre operaciones y precisan un poder hipotético deductivo mayor que las operaciones
concretas.
Evaluación de intuiciones probabilísticas por Fischbein:
Estos autores se interesan por la influencia que la enseñanza de la probabilidad tendría indirectamente en los juicios probabilísticos intuitivos.
Según estos autores, es posible desarrollar nuevas aptitudes intuitivas si el alumno se involucra de manera personal en una actividad práctica que le proporcione la
Realizaron un estudio, el cual evaluaron a través de dos cuestionarios:
1. Diseñado para evaluar hasta que punto los alumnos sometidos al estudio, habían asimilado los conceptos enseñados y eran capaces de usarlos.
2. No requería conocimientos previos sobre probabilidad y estaba diseñado para valorar el efecto indirecto de la instrucción sobre los errores intuitivos.
Al final obtuvieron la conclusión de que el pensamiento probabilístico y el
razonamiento proporcional se basan en dos esquemas mentales distintos, a pesar de compartir el mismo origen.
El estudio de evaluación de Green
El objetivo era investigar que conceptos o intuiciones aleatorias están dentro de la mente de los niños de edad comprendida entre 11 y 16 años.
Para ello se diseñó un test especial de conceptos probabilísticos que constaba de tres partes:
· Puntuación combinatoria: capacidad de enumerar todos los casos en un experimento aleatorio.
· Puntuación verbal: comprensión de los términos que usamos para referirnos al azar y la probabilidad.
· Puntuación probabilística: razonamiento probabilístico propiamente dicho.
Investigaciones en el campo de la Educación Matemática
Falk, y Levin (1980) realizan una investigación con niños de 4 a 11 años, sobre comparación de probabilidades en contexto de bolas en urnas, ruletas y peonzas. Clasificaron las tareas de acuerdo al contexto y al tipo de fracciones presentadas en la comparación, según el siguiente esquema:
a) El número de casos favorables es menor, mayor o igual en el conjunto de mayor probabilidad.
b) El número de casos favorables es menor, mayor o igual en el conjunto de menor probabilidad.
c) Los dos conjuntos son equiprobables y el número de casos favorables es menor, mayor o igual en el primer conjunto presentado.
Ello da un total de nueve clases de problemas. Además dividieron los problemas en tres tipos, según las proporciones analizadas se refiriesen a los siguientes casos:
a) Una proporción es mayor y otra menor que 1/2. b) Una proporción es 1/2 y la otra diferente.
Sus resultados muestran que, a partir de los 6 años, los niños manifiestan un razonamiento de tipo probabilístico y el error dominante en los niños pequeños fue elegir el conjunto con mayor número de casos favorables. Los contextos resultaron equivalentes para el propósito de medir la capacidad de los niños para evaluar probabilidades.
Analizando el patrón de respuestas del mismo estudiante en los diferentes problemas, encontraron muy pocos casos de comportamiento sistemático respecto a un principio incorrecto dado. Los niños parecen no encontrarse en un "estadio puro" de desarrollo. Tampoco parecen seguir siempre la misma estrategia. También se encontraron niños que seguían prejuicios irrelevantes en la resolución del problema.
Los autores sugieren que la probabilidad se compone de dos subconceptos: azar y proporción. Se debe tener consciencia de la naturaleza incierta de la situación para aplicar los cálculos de proporciones. La capacidad de calcular proporciones, por sí sola, no implica necesariamente la comprensión de la probabilidad, ya que se precisa tener en cuenta la imposibilidad de controlar o predecir los resultados.
SITUACIONES Y RECURSOS.
Los resultados de diversas investigaciones proporcionan orientaciones sobre cómo ayudar a los niños en el desarrollo del razonamiento probabilístico. Algunas de estas orientaciones son:
- Proporcionar una amplia variedad de experiencias que permitan observar los fenómenos aleatorios y diferenciarlos de los deterministas.
- Estimular la expresión de predicciones sobre el comportamiento de estos fenómenos y los resultados, así como su probabilidad.
- Organizar la recogida de datos de experimentación de modo que los alumnos tengan posibilidad de contrastar sus predicciones con los resultados producidos y revisar sus creencias en función de los resultados.
- Resaltar el carácter imprevisible de cada resultado aislado, así como la
variabilidad de las pequeñas muestras, mediante la comparación de resultados de cada niño o por parejas.
- Ayudar a apreciar el fenómeno de la convergencia mediante la acumulación de resultados de toda la clase y comparar la fiabilidad de pequeñas y grandes muestras.
Ahora vamos a describir algunos tipos de actividades y recursos para el estudio de la probabilidad en primaria.
Juegos y sorteos.
Por otro lado, los niños juegan al parchís, la oca y otros juegos de azar. Algunos de estos juegos contribuyen a la formación de creencias, como, por ejemplo, que el número cinco es el más difícil cuando se lanza un dado. Todas estas actividades se podrían aprovechar en relación con la introducción de la probabilidad.
Experimentación y estimación frecuencial de probabilidades.
En este tipo de actividades se proporciona a los alumnos algunos dispositivos
generadores de resultados aleatorios, como dados, monedas, ruletas… La finalidad será que los alumnos experimenten y adquieran una experiencia de lo aleatorio, incluyendo la observación de la imprevisibilidad de resultados, la variabilidad de las pequeñas muestras y la convergencia gradual a la probabilidad teórica.
Construcción de dispositivos aleatorios.
En esta actividad se proporcionan a los alumnos cartulina, tijeras y pegamento para construir dispositivos aleatorios con resultados equiprobables y no equiprobables. La finalidad es que los alumnos distingan los casos en que es posible o no es posible aplicar el principio de indiferencia. Asimismo, les permitirá apreciar la utilidad de la estimación frecuencial de la probabilidad en aquellos casos en que no puede aplicarse dicho
principio. En la construcción de estos generadores aparecen conexiones con otros temas, como poliedros regulares y no regulares, desarrollo de poliedros, sector circular.
Recursos en Internet.
Existen juegos en Internet muy interesantes sobre probabilidad. Esta tarea les gusta mucho a los niños, ya que manejan las nuevas tecnologías, y les permite aprender nuevos conocimientos mediante juegos en Internet… además de aplicar y conocer conocimientos matemáticos como puede ser el de probabilidad.
CONCLUSIÓN
Finalmente, debemos destacar que la enseñanza de la probabilidad debe hacerse
