La representación y el significado de los
números. El principio de valor relativo para
los números naturales
1. Primeros contactos con los números mayores que diez
Los niños pequeños se encuentran por primera vez con números mayores de 10 en situaciones cotidianas como conversaciones o cuentos. Al principio es posible que no comprendan su significado, y aprendan frases de memoria; más tarde, posiblemente relacionen términos mayores de diez con “muchos” sin conocer su tamaño exacto. Pero cuando aprenden a extender el recitado de números más allá del nueve, estas palabras se integran en la secuencia.
En 1941, Brownwell constató en su estudio que los niños de 5 años aproximadamente sabían contar hasta 20. En otro estudio realizado posteriormente por Fuson, en 1980, con una muestra que puede no ser representativa, demostraba que los niños de 5 a 5 años y medio sabían contar hasta 44, y los de 5 años y medio a 6, hasta 84. En un tercer estudio, realizado por Ginsburg, señalaba el caso de un niño de 5 años y un mes que sabía contar de uno en uno hasta un millón, y por decenas, hasta un millar. Además, establecía que los niños aprenden rápidamente a contar números grandes por repetición de pautas verbales, y que esta actividad les causa gran placer. Un ejemplo sería palabras como decenta (cien), oncienta (ciento diez), docenta (ciento veinte); lo que indica como los niños identifican estas pautas verbales y las reproducen con otras cantidades.
Schaeffer puso de manifiesto que un niño debe tener al menos 5 años para comenzar a apreciar que el orden de aparición de los números en la secuencia de recuento guarda relación con su tamaño relativo. Por tanto, aunque los niños sepan contar hasta 50, puede que no se den cuenta que 47 es mayor que 21, puesto que es improbable que se hayan encontrado en la vida cotidiana con conjuntos de 47 objetos, y, por tanto, no aprecian la magnitud absoluta de ese número.
Sin embargo, el hecho más importante es que la mayoría de estos niños, aunque sepan contar números mayores que diez, en casi ninguna ocasión lo relacionan correctamente con su expresión simbólica escrita. Este hecho se ratifica en una gran cantidad de estudios de distintos estudiosos. Cabe destacar un ejemplo del estudio de Higginson, en el que una niña resume los errores más frecuentes cometidos por los niños en este aspecto. Como por ejemplo, el error en la sufijación (comentado anteriormente), la confusión de símbolos o la incapacidad para apreciar su significado.
2. La idea de agrupamiento
Nuestro procedimiento habitual para registrar números se conoce por “principio de valor relativo”. Quiere decir que nosotros, cuando vemos un número, conocemos qué significado tiene cada cifra según la posición que ocupa (unidades, decenas, centenas…). Este tipo de sistema se funda en el principio de agrupación sucesiva: las unidades se agrupan en decenas, las decenas en centenas, etc. Un ejemplo sería el siguiente, para contar un grupo de objetos (24 en este caso) los agrupamos para que sea más sencillo.
Esta idea constituye un aspecto fundamental de nuestro sistema de representación escrita de números.
Un estudio en este campo, realizado por Bednarz y Janvier (1979, 1982) en niños de 8 a 9 años, relativo a la comprensión conseguida por los niños sobre esta idea de agrupamiento sin recurrir a simbolización mediante guarismos. Su preocupación principal consistía en detectar estrategias demostrativas de comprensión, más que estrategias que meramente produjesen respuestas correctas. Para ello, les plantearon a los niños un problema, valiéndose de materiales concretos, en forma de caramelos. Estos podían venir sueltos, en envoltorios cilíndricos o en bolsas, sin indicarles cuántos caramelos contenían los cilindros y las bolsas. En el problema se pedía realizar una resta mezclada entre bolsas, cilindros y caramelos. Un 40% de los niños dieron signos de comprender la necesidad de saber cuántos cilindros formaban una bolsa y cuántos caramelos formaban un cilindro. Los investigadores identificaron dos estrategias, dividiendo en cada caso a los niños en dos grupos.
Estrategia A Estrategia B
Asociaron un número a cada colección de caramelos
Procedieron directamente, “abriendo” bolsas de rollos
GRUPO 1 Algunos de ellos no asociaron el número correcto: al contar, confundieron rollos y caramelos o bolsas con rollos
Algunos tropezaron con dificultades, porque operaron solamente con las bolsas o los rollos, o jugaron simultáneamente con las bolsas y los rollos
GRUPO 2 El 15 % efectuó una asociación numérica correcta y (se dio la circunstancia de que) efectuó debidamente el cómputo
En el grupo 1 se encontraban los que habían comenzado a comprender la situación, pero se encontraron con dificultades que no pudieron resolver. En el 2 estaban los niños que utilizaban estrategias que indicaban una buena comprensión de la numeración, desde el punto de vista del “agrupamiento”.
Estos estudios sirvieron para demostrar que lo importante es que el niño reconozca en qué base se está operando, y su funcionamiento.
3. Lectura y escritura de números
En español, la lectura y elocución de números se efectúa de izquierda a derecha, por ejemplo 354 es trescientos cincuenta y cuatro. Sin embargo, para leer correctamente y dar significado a un número de muchas cifras es preciso evaluar primero su tamaño.
Los niños tardan en adquirir esta técnica. Por ejemplo, Brown cita el caso de un niño que leía 19930 de izquierda a derecha como “mil, noventa y nueve, treinta”.
Cuando el número no es reconocido a primera vista resulta necesario evaluarlo de derecha a izquierda. El problema se presenta igualmente al trabajar con otras bases, las colecciones se agrupan y reagrupan en números distintos de 10. Por ejemplo, en base 5, el número 2143 puede ser leído de izquierda a derecha como “dos, uno, cuatro, tres en base 5” (sería incorrecto leerlo “dos mil…”).
Ginsburg identifica tres fases en el desarrollo de la comprensión del valor relativo, en lo que a simbolización escrita de números concierne. Las fases son las siguientes:
1) El niño escribe correctamente los números, pero no tiene ni idea de porqué
2) El niño comprende que otras formas de escribir un número determinado son erróneas; por ejemplo, que sería incorrecto escribir “31” para denotar “trece”
3) El niño es capaz de relacionar la notación escrita de los números con el principio de valor relativo
Ginsburg considera que no son muchos los niños que alcanzan esta tercera fase durante la educación primaria. El autor subraya también que la capacidad de los niños para habérselas con los números en forma simbólica suele quedar superada por su capacidad aritmética informal, es decir, lo que puede hacer mentalmente o a nivel oral. El niño tiende a asimilar la simbolización del número en función de lo que ya sabe, como los nombres verbales de los números.
Por ejemplo, Joe, de 11 años escribió los símbolos que vemos en la siguiente tabla
Número dictado Número escrito
Diecinueve 19
Cuatrocientos setenta y dos 472
Tres 3
Seis mil veintitrés 600,023
Setenta y un mil ochocientos cuarenta y cinco 710,00845
Ginsburg señala que Joe era incapaz de escribir números de cuatro o más cifras. El proceso inverso, en el que se pide a los niños que digan los números a partir de su forma simbólica, puede suscitar parecidas dificultades. Dickson encontró chicos de bajas calificaciones, de 13 y 14 años, que llamaban “trescientos tres” a “3003”, y “cuatrocientos uno” a “4001”.
Brown encontró chicos de secundaria que hallaban dificultades con el papel posicional del cero, especialmente en el caso de números grandes. Por ejemplo, un chico maduro capaz de expresarse con corrección, a quien su maestra tenía por buen representante de su grupo de edad. Pero aunque sabía leer correctamente el número 521400, el número 8030 era, en cambio, “ochenta cientos treinta”. De igual modo calculó mentalmente en un instante y dio verbalmente las respuestas correctas a “suma diez más 3597”, y “suma cien a 19930”, pero, en cambio, con toda tranquilidad las escribió “367” y “2030”, respectivamente.
Un aspecto en que los chicos de secundaria manifiestan decidida debilidad es con los números mayores de mil. Brown señala que ello puede ser debido a la incapacidad de reconocer que en los números hablados, a diferencia de los escritos, se hace uso, no sólo de la base diez, sino también de la base mil.
En nuestra notación escrita utilizamos un espacio o punto para separar cada grupo de millares, como en 21 730 000. Esta forma “oculta” de utilizar el millar como nueva base de numeración parece crear confusiones en los niños. Brown informa que muchos de los niños entrevistados dieron el nombre de “millones” a los números de la columna “decenas de millar”. Tenemos pruebas de dicha confusión en la encuesta propuesta por CSMS:
5214 el 2 denota centenas 521400 el 2 denota…
En la cual la tasa de aciertos fue tan sólo:
1º curso 2º curso 3º curso 4º curso
22% 32% 31% 43%
Gran parte de lo dicho, sobre las dificultades de los niños para adquirir y comprender el principio de valor relativo, encuentra refuerzo en un estudio dirigido por Luriya, en el que se ocupa de la investigación de los efectos de la acalculia (deficiencias en el concepto de número y en el cálculo, provocadas por un cierto tipo de enfermedad cerebral localizada). La
importancia del trabajo de Luriya recae en su convicción de que la destrucción del concepto de número y de las materias a él ligadas, a resultas de la enfermedad, refleja, a la inversa, la secuencia primitiva en que se desarrollaron los conceptos.
cuando al hablar no se especificaban los ceros, sus pacientes eran incapaces de escribir el número correctamente. Por ejemplo, el número mil tres fue reiteradamente escrito 10003 y el número mil veintiocho era transcrito 128 o 10028. Prácticamente todos los pacientes
cometieron errores con estos ejemplos.
4. Ordenación
Podemos contemplar el concepto de valor relativo desde el punto de vista de la ordenación de números en sus posiciones relativas, tal como aparecían sobre la recta numérica. Esta idea conlleva una noción de adición y de sustracción, concebida como la obtención de números mayores o menores. Vamos a examinar aquí la naturaleza de algunas de las dificultades que experimentan los niños con esta faceta del valor relativo.
Berdnarz y Janvier idearon otra tarea para investigar hasta qué punto era comprendido el principio de valor relativo por los niños de ocho a nueve años con que trabajaban, analizando las estrategias que éstos empleaban en la tarea siguiente. Cada niño jugaba una partida con el investigador.
La tarea consistía en componer dentro de él cualquier número mayor que 423; el primero en conseguirlo era el ganador. Para ello se lanzaba por turno un dado marcado de 0 a 5. Cuando le tocaba jugar al niño, éste lanzaba el dado y anotaba en una hoja aparte el número que salía. Decidía entonces si iba a utilizarlo o no para alguna de las tres posiciones. Si no lo quería, lo tachaba.
Estudiando la destreza de los niños en este juego, Bednarz y Janvier descubrieron que: a) El 15% ni siquiera fueron capaces de conseguir un nº mayor que 423.
b) El 40% se valió de una estrategia posicional, lo que significa que solamente utilizarían un digito en una cierta posición si este era estrictamente mayor que el que ya la ocupaba.
H T U
c) El 35% utilizó una mezcla de estrategias o métodos no sistematicos. Por ejemplo, esperar a que salga un 5 para empezar por la izquierda.
d) El 10% demostraron buena comprensión del principio de valor relativo. En términos operativos, tal comprensión quedó definida por acciones como:
Seleccionar ‘4’ para colocarlo en la casilla izquierda cuando las condiciones son favorables, como, por ejemplo, cuando se tiene ya un 3, 4, o 5 en posición central, etc.
Esta actividad no es solo interesante por su valor instrumental en la determinación de la naturaleza de la comprensión del niño sino también por su utilidad didáctica.
5. Sumar y restar mentalmente
Brown en el informe del estudio CSMS, declara que algunos niños mostraron un conocimiento superficial de los nombres de las posiciones, que fácilmente podría hacernos concluir que comprendían las ideas de valor relativo.
Da seguidamente como ejemplo una cuestión en la que solamente era necesario sumar una unidad más:
“Este contador indica cuántas personas han pasado a un campo de fútbol:”
“Después de haber entrado una persona más, el contador marcará:”
Prácticamente uno de cada tres (el 32%) de los niños de 12 años de una muestra grande y representativa dieron una respuesta errónea. Las entrevistas nos permitieron ver algunas razones de que así fuera, por ejemplo:
“Shakeel (12 años, segundo curso) dio:
Dado que “noventa y nueve más uno hacen cien””.
Brown menciona también el ejemplo de María (13 años, tercer curso), que al pedírsele que sumaran diez a 3597, dio el resultado de 35917. María explicó por qué:
- María: “Tres mil, cincuenta y nueve, siete. ¿Le sumo el uno al siete?”
- Entrevistadora: “¿A ti qué te parece?
6. Descomposiciones
Otra faceta de la comprensión del principio de valor relativo es la facilidad para reorganizar o descomponer un número.
Tres cuestiones tomadas de un estudio norteamericano realizado por Flournoy, Brandt y McGregor, indican que sus 106 alumnos de 13 años encontraban cierta dificultad en esta faceta del valor relativo:
a) ¿Qué significa 25 centenas y 4 decenas? Menos del 25% dio la correcta, B.
A. 25040 C. 2504
B. 2540 D. Ninguno de los anteriores.
b) ¿Cuál de las siguientes frases significa 15320? El 36% eligió la correcta, C. A. 15320 decenas C. 1532 decenas
B. 15 centenas y 320 decenas D. 1532 decenas y 20 unidades c) ¿Cuál de las cifras equivale a lo del cuadro? El 17% respondió bien, C.
A. 3486 C. 5686
B. 5386 D. Ninguna de las anteriores
Las dificultades de comprensión de la descomposición de un número revisten particular importancia para la sustracción.
7. Multiplicación y división por potencias de diez
La base misma en que se funda el sistema rotacional de valor relativo está en la idea de agrupación en decenas, decenas de decenas…, esto es, de la multiplicación expresada en potencias de diez.
La auténtica comprensión del valor relativo presume la comprensión del hecho de que al multiplicar cualquier cantidad por una potencia de diez, las cifras representativas de dicha cantidad seguirán siendo las mismas, pero ocuparán diferente posición, utilizando ceros donde sean necesarios para ocupar las posiciones.
En el estudio de Flournoy, Brandt y McGregor figuraban cuestiones relativas a esta noción de multiplicación por potencias de diez:
a) ¿Cuántas veces mayor es el valor del seis rodeado por un círculo que el del seis subrayado, 6? El 35% acertó, C.
A. 10 C. 1/10
B. 1/100 D. 100
b) En 1864, ¿Cuántas veces mayor es el valor representado por el 8 que el representado por el 4? El 30% respondió correctamente, B,
A. 2 C. 100
B. 200 D. 20
Dickson, en el Reino Unido, ha estudiado el rendimiento de niños de 13 y 14 años de bajas calificaciones en esta faceta de la noción de valor relativo. A estos niños se les pidió individualmente que comparasen los dígitos iguales de números polidígitos.
A los niños les cuesta mucho captar esta idea de “cuántas veces es mayor o menor”. A la vista de estos hechos, Dickson trató de estudiar este aspecto del valor relativo enfocándolo desde la división.
A los niños les costaba encontrar la relación que subyace al principio de valor posicional. Los diálogos de esta naturaleza constituyen medios de enseñanza muy útiles. Pero para evitar que el alumno se confunda en dudosos procedimientos computacionales, una calculadora electrónica sería una ayuda inestimable.
8. Estimación y aproximación (con números enteros)
Hoy en día la facilidad de disponer de una calculadora en casa, reniega a un segundo plano la utilización del lápiz y papel para el cálculo. Una de estas destrezas es la de aproximar el resultado esperado, con el fin de detectar errores en el manejo de la máquina.
Para realizar esta estimación el niño tiene que haber adquirido los principios
fundamentales del valor relativo. Ginsburg demuestra que una niña de nueve años que parecía haber adquirido dicha compresión, muestra una capacidad de cálculo mediocre.
Se le dictan unos nº a la niña, que los coloca de izquierda a derecha; pero a pesar de esto tras pedirle que nos estime el resultado, nos sorprende dando una estimación muy aproximada:
Suma de la niña: Suma correcta escrita: Aproximación: 18392
6 15700
79 2342
163 940
940 163
2342 79
15700 6
19230 19230
Luego se la propuso a chicos de 15 años de Inglaterra una prueba similar, se les pidió sumar 1056+672 con calculadora, observo que todos o ejecutaron correctamente, pero a la hora de razonar la respuesta sólo dos tercios contestaron con lógica.
Primero se ve que muestran a una tendencia al redondeo por defecto (aproximar del 97 a 90) en lugar de redondear por exceso a 100.
Una explicación es que no utilizan una regla de cálculo, consistente en utilizar una aproximación de una o dos cifras.
Ejemplo:
1056+672 :::: 1100+700
Dave parece estar tratando de usar mentalmente los métodos tradicionales con lápiz y papel, pero comenzando cada vez desde la izquierda en lugar de por la derecha.
9. Consecuencias para la didáctica. Requisitos previos y trabajos
iniciales
Ronshausen (1978) dice que antes de presentar el principio del valor relativo al escolar de primaria, este debería ser capaz de hacer lo siguiente:
Conocer la cardinalidad del nº del 0 al 9.
Sabe contar de 1 a10 tanto rutinaria como racionalmente. Sabe leer los símbolos de 0 a 9.
Es capaz de asociar estos símbolos con conjuntos.
El niño sabe escribir los símbolos de 0 a 9 cuando oye sus nombres o cuando ve el conjunto.
Una vez el niño haya adquirido estos conceptos, ya estará preparado para presentarle la agrupación de las decenas.
El centro de Matemáticas ILEA (1975) dio a conocer unas directrices para la asimilación del valor relativo de las decenas y centenas:
Formar haces de lápices, agrupándolos en decenas y unidades. Unir objetos en decenas y unidades, en lugar de la mera agrupación.
Actividades con aparatos estructurales prefabricados, como los bloques Dienes Base 10.
Pasar a decenas y unidades, donde la decena no tiene señaladas y distinguibles las unidades individuales
En esta etapa el niño se encuentra preparado ahora para representar “diez” utilizando un objeto que solamente es distinguible de “uno” por su diferencia de color o posición.
El niño se encuentra preparado ahora para servirse de un ábaco
Es necesario pasar por todas estas etapas para que el niño vaya captando la abstracción que supone el paso de objetos en decena y unidades a la representación de unas y otras mediante unas mismas entidades.
Ronshausen (1978) presenta un trabajo muy interesante basado en la primera etapa (formación de haces), donde muestra la necesidad que tiene el niño de multitud de estas experiencias a lo largo de muchos meses para comenzar a captar de verdad el concepto del valor relativo.
Todo lo visto hasta ahora es aplicable a la asimilación de tridígitos o polidígitos, pero esto no debe hacernos suponer que se van a adquirir automáticamente, sino que también será necesario un bagaje de experiencias para la asimilación de los mismos.
El plan de Abbey Wood para el desarrollo de valor posicional resalta la importancia del recuento y de los dispositivos mecánicos de recuento.
10. Consecuencias para la didáctica. Actividades más avanzadas
Una vez que el niño a adquirido la noción de que se pueden emplear los dígitos 0 a 9 para cada uno de los lugares, resulta posible el desarrollo de conceptos ligados al valor relativo, a un nivel relativamente abstracto, mediante actividades con tarjetas rotuladas con cifras.A juicio de Easterday, el trabajo con fichas digitales resulta particularmente adecuado para los alumnos de menor capacidad de expresión y comprensión verbal, los cuales –en su
experiencia- parecen defenderse bien con esta técnica. Además, señala que el material de este tipo se presta fácilmente a situaciones de gran grupo o para empleo en el aula, preparando los dígitos en transparencias y proyectándolos con un retroproyector. Los niños pueden responder verbalmente o por escrito.
Berdnarz y Janvier ofrecen otra actividad de valor relativo, que presentan mediante un juego. Las fichas que vemos en esta página se mezclan, boca arriba, sobre la mesa.
Tengo este número (se escribe y lee en voz alta el 402) y este otro (se hace otro tanto con el 513). Estoy pensando en un número que es mayor que 402 y menor que 513, un número que está entre los dos. Tú tienes que averiguar el número en el que estoy pensando, pero tienes que escribirlo con las fichas. (Cada vez que se hace un ensayo, el entrevistador aclara si su número es mayor o menor). (Si el alumno no puede hallar el número, se le dice, y el chico ha de construirlo con las fichas)
11. Consecuencia para la didáctica. Utilización de diversas bases
de numeración
Como hemos visto, en el sistema de representación de números que venimos utilizando, las unidades se agrupan en decenas, las decenas, en <<decenas de decenas>> (centenas) y así sucesivamente. Es lo que se conoce por sistema de base 10. Ya a principios de siglo, los pedagogos estaban recomendando el uso de bases de numeración distintas de diez para facilitar a los niños la comprensión del principio de valor relativo.
Dienes proponía que, para facilitar la abstracción de la idea de valor relativo, debería
disponerse de bloques de madera en cierto número de bases diferentes (Bloques Aritméticos Multibase, BAM). En base 3, por ejemplo, el sistema consiste en cierto número de bloques de cada una de las formas siguientes:
0 unos 1 uno
3 dieces
4 unos 3 unos
12 unos 2 unos
11 unos 10 unos
5 unos
4 dieces 5 dieces 40 dieces 41 dieces
42 dieces 43 dieces 45 dieces 51 dieces
Dienes proponía también una representación más abstracta mediante fichas o cuentas de colores, en la cual tres blancas valieran (por ejemplo) una amarilla; 3 amarillas, una ver; 3 verdes valieran una roja; 3 rojas una azul, y así sucesivamente.
La tercera de las representaciones propuestas por Dienes consistía en un modelo similar a un ábaco que utilizaba arandelas dispuestas en columnas, siendo esta vez cada arandela
equivalente a uno, tres, nueve, veintisiete, etc. (si se trabaja en base 3), dependiendo de la columna en la que apareciese.
Como resultado del trabajo de Dienes, el empleo de diferentes bases de numeración quedó incorporado a muchos planes de matemáticas “modernas” de las escuelas primaria y secundaria.
Sin embargo, las pruebas recogidas para evaluar la eficacia del método “multibase” resultan un tanto equívocas. Los estudios realizados en los Estados Unidos son tajantes a este respecto. Callahan y Glennon resumen cierto número de ellos que comparan los métodos “denario puro” y “multibase””, y concluyen:
El informe APU de la primera encuesta de primaria, con niños de once años, hace notar que “las aplicaciones a los números en bases distintas de 10…fueron contestadas correctamente por muy poco alumnos”. Sin embargo, el informe APU no permite saber si estos bajos resultados se deben a que hoy son pocos los niños de primaria habituados a trabajar en diversas bases de numeración, o a que dicha materia, aunque frecuentemente es explicada, es mucho menos frecuentemente comprendida. Incluso cabe en lo posible que muchos niños puedan afrontar técnicamente en esta etapa el trabajo con diversas bases, pero no alcancen a comprender su interés para ayudarles a entender más profundamente nuestro sistema habitual de base 10.
12. Resumen
Como ha podido verse, la comprensión del sistema de valor relativo ofrece muchas facetas. Da la impresión de que los errores de concepto se producen tanto en los alumnos de secundaria como en los de primaria, y, de hecho, para algunos de ellos, su comprensión sigue siendo incompleta, incluso al concluir el cuarto curso de enseñanza secundaria.
