CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA DE CAUCHY‐RIEMANN:
Vamos a presentar el concepto de la integral de Cauchy‐Riemann, para integrales de funciones de una variable:
Sea una función continua definida en el dominio (intervalo) Ω ≡ , ⊂ , cerrado y acotado, y procedamos a dividir dicho intervalo mediante una partición ℘ en subintervalos Ω , numerados
1,2, ⋯ , , y de longitud ∆ , de forma que su suma sea la longitud total del intervalo, :
∆
Cada subintervalo está definido por sus abscisas extremas :
℘ , , , ⋯ , ⋯
Ω , , Ω , , ⋯ , Ω , ; Ω , Ω Ω ≡ ,
Siendo continua en , , también lo será en todos y cada uno de los subintervalos Ω. Por el Teorema de Weirstrass sabemos, que siendo continua, en cada subintervalo Ω tendrá un valor máximo y un valor mínimo :
∀ , ∈ , ;
Formemos las sumas siguientes, denominadas sumas de Riemann:
∆ ∆ ⋯ ∆ ∆ ∶ Suma inferior
∆ ∆ ⋯ ∆ ∆ ∶ Suma superior
De esta manera, tenemos:
∆ ∆
∆ ∆ ∆
Siendo una función continua en un intervalo , , si hacemos una partición de , de forma tal que max ∆ → 0 y las tres sumas de Riemann anteriores existen y coinciden, entonces se dice que es integrable en , , y lo representamos por:
lim
∆ → ∆
Donde: , son los límites de integración (inferior y superior, respectivamente); , es la variable de integración; es una medida infinitesimal de la variación de variable considerada. Al límite anterior
, se le denomina integral definida de la función entre los límites y .
NOTA:
La integral definida existe si existe el límite
La integral definida es un valor numérico, único, real y finito.
Una condición suficiente para que sea integrable en , es que sea uniformemente continua en dicho intervalo:
continuidad ⟹ integrabilidad
La integral definida es un valor numérico. La integral indefinida es una familia de funciones.
Habitualmente se suele dar una interpretación geométrica del concepto de la integral de Cauchy‐ Riemann. Para ello, consideremos que es continua, y además positiva 0 .
Cada uno de los sumandos ∆ representa el área de un rectángulo infinitesimal de ancho ∆ , y altura :
De esta forma, la suma inferior representa un área inscrita al área encerrada bajo la curva entre los extremos del intervalo , :
Análogamente, la suma superior representa un área circunscrita al área encerrada bajo la curva entre los extremos del intervalo , :
Cuando → ∞, ambas áreas coinciden y representa el área encerrada bajo la curva, entre los extremos el intervalo , :
lim
→ lim→
Nota: Para facilitar la interpretación geométrica de la integral simple, se estableció que la función fuese positiva. En general no tiene porqué serlo, y por consiguiente al integrar (en definitiva, sumar) habrán sumandos infinitesimales positivos y negativos, y el resultado representará el área neta bajo la curva, es decir, la diferencia de las áreas comprendidas entre las partes positivas y las negativas de la función con el eje de abscisas.
Fig.: Suma inferior de Riemann
⋯
Fig.: Suma superior de Riemann
Propiedades fundamentales de la integral definida:
1. Siendo :
2. Aditividad del dominio de integración (intervalo): Sea
3. Carácter lineal. Si las funciones , son integrables en , , y ∈ :
Fig.: Aditividad del dominio
Fig.: Área neta
4. Si es positiva en , , con , ∀ ∈ , ; 0 :
: 0
Análogamente, si es negativa en , , con , ∀ ∈ , ; 0 :
: 0
5. Acotación. Si las funciones , definidas en , , con , satisfacen la condición :
6. Si la función está definida en :
0
7. Acotación modular (Desigualdad triangular):
| |
8. Teorema de la media o del valor medio para integrales:
Si es una función continua definida en el dominio Ω ≡ , , y es el valor mínimo, y es el valor máximo de en , , se tiene:
Entonces existe un cierto valor , comprendido entre y , , que coincide con el valor de en un cierto punto ∈ , , tal que:
;
9. Teorema de la media generalizada:
Si es una función continua (por tanto, integrable) y positiva, definida en el dominio Ω ≡ , , y es una función continua y acotada en dicho dominio, es decir , se tiene:
Integrando:
Entonces existe un cierto valor , comprendido entre y , , que coincide con el valor de en un cierto punto ∈ , , tal que:
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. REGLA DE BARROW
El teorema fundamental del Cálculo establece básicamente, la relación inversa entre la derivación y la integración. Si una función continua, primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.
Una consecuencia importante, es que de esta forma podemos calcular integrales a base de encontrar la primitiva de la función que se integra. Gracias a este Teorema no se necesita el cálculo del límite de la suma para encontrar el resultado de la integral definida.
Aunque el Teorema se conoce en la forma convencional dada por Barrow, sus antecedentes fueron establecidos independientemente por Newton y Leibniz.
Si es una función continua en un intervalo , , y admite primitiva en , , entonces:
NOTAS:
Para que sea primitiva ha de ser continua en , , y en todo , .
Obsérvese que la constante genérica de la integral indefinida desaparece como resultado de la resta.
INTEGRALES IMPROPIAS
Cuando NO se dan las condiciones que establece la integral de Riemann, bien porque la función subintegral (integrando) tiene discontinuidades (no está definida o no está acotada en todo el intervalo cerrado), o bien porque alguno de los límites de integración no es finito, decimos que la integral es impropia. En estos casos, la integral puede converger o diverger.
Para el cálculo de las integrales impropias se recurre al cálculo de límites. En algunos casos, el cálculo consiste en hallar el límite de una sucesión de integrales sobre intervalos finitos, que progresivamente se van ampliando. He aquí algunos ejemplos:
Uno de los extremos del intervalo de integración no está acotado. En este caso, la integral impropia es el límite cuando el extremo afectado tiende a ∞:
lim
→ lim→
Los dos extremos no están acotados. Descomponemos la integral en dos, tomando como referencia un punto de valor finito :
lim
→ lim→
La función está definida en un intervalo semiabierto , , , :
lim
→ lim→
Si el integrando tiene una serie de puntos interiores de discontinuidad, para cada uno de ellos se descompone la integral. Por ejemplo en :
lim
→ lim→
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
Las técnicas de cálculo de una integral definida “propia” hallando su primitiva, son las mismas que las de una integral indefinida. Sin embargo conviene tener en cuenta algunas consideraciones.
Simplificaciones por simetrías:
Si el integrando es una función par, , y el dominio de integración es simétrico
, , el cálculo de la integral se puede simplificar en la forma:
2
Si el integrando es una función impar, , y el dominio de integración es simétrico , , el cálculo de la integral se puede simplificar en la forma:
0
Cambios de variable: Al hacer un cambio de variable en una integral definida, hay que tener en cuenta que los límites de integración corresponden a valores de la variable inicial. Por tanto, para calcular el valor correcto de la integral definida se puede proceder de cualquiera de estas dos formas:
Transformar los límites de integración a valores de la nueva variable y continuar la integración hasta aplicar la Regla de Barrow con los nuevos límites:
⟹ ⟹
Expresar los nuevos límites de forma simbólica y continuar la integración hasta obtener la expresión final. Antes de aplicar la Regla de Barrow, deshacer el cambio de variable hasta expresar la solución en la variable inicial, y aplicar Barrow con los límites de integración iniciales.
⟹
Ejemplo:
sen cos
0 ⟹ sen 0 ⟹ 0
⟹ sen 1 ⟹ ⁄2
sen cos
⁄
1 sen cos
⁄
cos
⁄
1 cos 2 2
⁄
2 1 cos 2
⁄
2
sen 2 2
⁄
4
Ejemplo:
√2 1
2 1
2 2
1 ⟹ 1
5 ⟹ 3
1 2⁄ √
1
2 1
1 2 3
16 3