1. Considera a un agente que vive dos periodos. En el periodo 1 el agente recibe una dotación igual ay. En el periodo 2 la dotación del agente está dada por
y2= (
y con probabilidadp
0 con probabilidad(1 p)
(i.e. en el segundo periodo hay dos estados del mundo, uno bueno donde recibe dotación y otro malo donde no recibe nada). En el primer periodo el agente puede pedir prestado a la tasar.
Las preferencias del agente están dadas por U c1, c12, c22 =u(c) +
⇥
pu c12 + (1 p)u c22 ⇤
,
donde c1
2 es el consumo en el periodo 2 en el estado 1 y c22 es el consumo en el
periodo 2 en el estado 2 yu(·)satisface todas las propiedades usuales.
a). Plantea el problema de maximización del agente y encuentra las condiciones de primer orden de éste.
b). Usa las condiciones de primer orden para mostrar que se debe cumplir la sigu-iente condición
u0(c1) = (1 +r)⇥pu0 c1
2 + (1 p)u0 c22 ⇤
.
¿Qué interpretación le puedes dar a la anterior condición? ¿Guarda alguna relación con las condiciones de eficiencia de los modelos que conocemos de ECO V?
2. Considera un agente representativo que enfrenta el siguiente problema de max-imización:
max
{ct,bt}1t=0 E0
"1 X
t=0 tc1t
1 #
, 2(0,1), >1
s.a.
ct+bt=yt+ (1 +r)bt 1
bt W, b 1= 0,
donde W es el límite natural de endeudamiento del agente y la dotación sigue el proceso
yt+1=ytexp ⇢
"t+1+1
2 ,
donde las"tson variables aleatorias i.i.d. N(0,1)(i.e. la tasa de crecimiento de la
dotación es aleatoria).
a). Muestra que la Ecuación de Euler del agente se puede escribir como
Etexp ⇢
ln ✓c
t+1
ct ◆
= 1
(1 +r).
(Hint: Considera la Ecuación de Euler estudiada en el modelo de asset pricing visto en clase).
b). Suponiendo que (1 +r) = 1, demuestra quebt= 0para todates un plan
óp-timo para el agente. (Hint: Siln (x)⇠N µ,⌫2 , entoncesE[x] = expnµ+⌫22o).
3. Considera una economía donde hay dos estados de la naturaleza, ambos con una probabilidad de ocurrir de 1/2. En el estado bueno, cada individuo recibe consumo igual a 1. En el estado malo, la fracción de la población recibe consumo igual a 1 ( / ) y la fracción(1 ) de la población recibe consumo igual a 1, donde 0< <1 y 1. El parámetro mide la reducción promedio en el
consumo en el estado malo, mientras que el parámetro mide qué tan ampliamente es compartida ésta reducción en el consumo.
Considera dos activos: el activo 1 paga una unidad del bien de consumo en el estado bueno, pero no paga nada en el estado malo. El activo 2 paga una unidad del bien de consumo en el estado malo, pero no paga nada en el estado bueno. Sea p el precio del activo 2 relativo al activo 1.
Las preferencias del agente están dadas por V =E[U(C)].
a). Considera un individuo cuya posición inicial es cero en los dos activos (i.e. inicialmente no posee ningún activo). Plantea el problema de maximización del agente y encuentra las condiciones de primer orden que definen el óptimo en la solución de éste.
b). Como el consumo en los dos estados es exógeno y todos los individuos son ex-ante idénticos, el precio relativopse debe ajustar hasta el punto en que en equilibrio todos los agentes desean mantener cero de cada uno de los activos. Resuelve la condición del inciso anterior para el valor de equilibrio dep.
c). Encuentra@p/@ .
4. Considera el siguiente modelo con rigideces nominales: la familia representativa enfrenta el problema de maximización
max
{Ct,Lt,Yt,Bt}1t=0
1
X
t=0 tU(C
t,1 Lt)
s.a.
( ) : Ct+
Bt
Pt +⌧t=
Yt
Pt
+(1 +Rt 1)Bt 1
Pt
+⇧t
(µ) : wt(Lt (1 )Lt 1) + (1 )Yt 1=Yt,
donde ⌧ son impuestos que paga el hogar y ⇧ son las ganancias que obtiene por
su participación en las empresas ( y µ son los multiplicadores asociados a cada restricción). Lo nuevo en este problema es la forma en que se genera el ingreso laboralYtdel hogar. Los hogares ofrecen unidades de trabajo a las empresas y si ent
firman un contrato por el sueldowt, éstas unidades de trabajo están comprometidas
a ofrecer sus servicios a la empresa al sueldo contratado hasta que se termine su contrato. Cada periodo un contrato tiene probabilidad de terminación, por lo tanto (Lt (1 )Lt 1) representa el número de unidades laborales que firman
un contrato nuevo en t al sueldo wt. Como una fracción (1 ) de las unidades
laborales no pueden firmar nuevos contratos, éstas generan un ingreso igual al ingreso del periodo anterior. Por lo tanto, el ingreso del hogar en el periodot es igual a
Yt= wt(Lt (1 )Lt 1)
| {z }
ingreso generado por unidades laborales que firman nuevos contratos
+ (1 )Yt 1
| {z }
ingreso laboral de unidades que siguen con contratos anteriores .
a). Plantea el Lagrangeano y condiciones de primer orden para este problema de maximización.
b). Usa las condiciones de primer orden paraCtyBt para obtener la Ecuación de
Euler.
c). Usa las condiciones de primer orden paraCt,LtyYtpara obtener la condición
de eficiencia intratemporal que define la oferta laboral en t del hogar. Interpreta. ¿Qué le pasa a ésta condición si = 1? Interpreta.
d). Usa la condición de primer orden paraLt para obtener una ecuación en
difer-encias para el salariowt. Define
Qt,t+s⌘ s(1 )sµt+s
µt .
Aludiendo a una condición de transversalidad, demuestra que
wt=
1
X
s=0
Usa nuestra discusión del modelo de asset pricing de Lucas para interpretar la anterior expresión.
e). Usa las condiciones de primer orden paraCtyYtpara encontrar una ecuación en
diferencias para el multiplicadorµt. Aludiendo a una condición de transversalidad,
usa esta ecuación en diferencias para mostrar que
µt=
1
X
s=0
s(1 )s✓Uc(Ct+s,1 Lt+s)
Pt+s
◆
.
Interpreta.
Ahora, considera el problema de la empresa representativa:
max
{Lt,Yt,xt}1t=0
1
X
t=0 t
txt
s.a.
(⇣) : xt=Atf(Lt)
Yt
Pt
(⌫) : Yt=wt(Lt (1 )Lt 1) + (1 )Yt 1,
dondextson las ganancias de la empresa, tes la forma en que la empresa descuenta
ganancias del periodotpara traerlas a valor presente yYtaquí representa los costos
laborales en que incurre la empresa por los contratos que firma hoy y todos los contratos firmados anteriormente que siguen vigentes (⇣y⌫ son los multiplicadores asociados a cada restricción).
f). Plantea el Lagrangeano y condiciones de primer orden para este problema.
g). Usa las condiciones de primer orden para Lt yYtpara encontrar la condición
que define la demanda por trabajo de la empresa. Interpreta. ¿Qué le pasa a ésta condición si = 1? Interpreta.
h). Usa las condiciones de primer orden paraxtyYtpara encontrar una ecuación
en diferencias en la variable⌫t. Usa ésta ecuación en diferencias para mostrar que
⌫t=
1
X
s=0
s(1 )s t+s
Pt+s
.
Como el hogar representativo es el dueño de la empresa, es común asumir que
t=Uc(Ct,1 Lt). Es decir, desde la perspectiva det= 0, la empresa valúa los
i). Usando este supuesto y el resultado de los incisos anteriores demuestra que vt=µt. Usa este resultado para mostrar que
UL(Ct,1 Lt)
Uc(Ct,1 Lt)
=Atf0(Lt).
La restricción presupuestal del gobiernos está dada por
✓B
t Bt 1
Pt ◆
+⌧t=
Rt 1Bt 1
Pt .
j). Usa la restricción presupuestal del gobierno y la restricción presupuestal del hogar representativo para mostrar que
Ct=Atf(Lt).
k). Usando el resultado de los incisos(b), (i), y(j), ¿qué puedes decir acerca del efecto de las rigideces nominales en este modelo? Interpreta.
5. Supón que un agente tiene preferencias sobre un continuo de bienes y que sus preferencias están dadas por
Uh(c(i))i2[0,1]i= ln "✓ˆ 1
0
c(i)✓di
◆1
✓# .
El problema de maximización de utilidad del individuo está dado por
max (c(i))i2[0,1]
ln "✓ˆ 1
0
c(i)✓di
◆1
✓#
s.a. ˆ 1
0
p(i)c(i)diI
a). Encuentra la demanda Marshalliana de cada bien i. ¿Cuál es el valor maxi-mizado de la utilidad del individuo?
b). Ahora, considera el problema de minimización
min (c(i))i2[0,1]
ˆ 1
0
p(i)c(i)di
s.a.
✓ˆ 1
0
c(i)✓di
◆1
✓
= 1
c). DefineC=⇣´1
0 c(i)
✓
di⌘
1
✓
y considera el problema de maximización
max C ln (C)
s.a. P CI.
¿Cuál es el valor maximizado de la función objetivo?
