Cap´ıtulo
8
Integral de Riemann
8.1.
Introducción
El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicial-mente, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, si-guiendo reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el siglo XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemas pasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparon su lugar, los problemas de cua-draturas pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuye a Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el área de una re-gión aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y, entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.
La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área por rectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a la integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito de atribuirle un significado independiente de las técnicas que pudieran utilizarse en los cálculos. Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningún matemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significado matemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho concepto evolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su forma actual.
Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que se dedicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que pienses así. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área o volumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que pueden definirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tiene claramente su área o su volumen y el problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarse funciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que no es evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará a entender lo que quiero decir.
8.1 Ejemplo. Considera la función f WŒ0;1!R que vale2en los números racionales y1
en los irracionales.
¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Pare-cería como la de la figura: dos segmentos de línea recta, uno de ellosyD1sobre el que tendríamos que marcar solamente los puntos irracionales del mismo, y otro y D 2 sobre el que tendríamos que marcar los puntos racionales. La región del plano comprendida entre el in-tervaloŒ0;1y la gráfica def sería el conjunto formado por todos los segmentos verticales de altura1levantados sobre los puntos irracionales de Œ0;1, y por todos los
0 1 2
0 1
segmentos verticales de altura2levantados sobre un punto racional deŒ0;1. ¿Tiene área este conjunto? Si decidimos que tiene área, su valor ¿es 1? ¿es 2? ¿qué significado tiene la integral
r1
0f .x/dx?
Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto de área requiere ser precisado matemáticamente. Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente se presenta en el estudio de la integración de funciones muy generales. Para las aplicaciones más usuales del cálculo integral puede valernos perfectamente la idea intuitiva de área o de volumen. La teoría de la integral que actualmente se considera matemáticamente satisfactoria, la llamada integral de Lebesgue, es difícil y, en mi opinión, innecesaria para los estudios de ingeniería; es una teoría imprescindible para los matemáticos y físicos teóricos, pero no lo es para la gran mayoría de los ingenieros.
prác-tico. Nos interesa la integral como herramienta de cálculo y, aunque para ese propósito la inte-gral de Cauchy sería suficiente para nosotros, estudiaremos la inteinte-gral de Riemann, que es más general sin ser más complicada, y que aporta la ventaja de su gran poder heurístico como ten-dremos ocasión de comprobar. He reducido la teoría al mínimo indispensable para una correcta comprensión del Teorema Fundamental del Cálculo cuya demostración se da con detalle, no así las de otros resultados y propiedades de la integral, de fácil comprensión conceptual, cuyas demostraciones, bastante previsibles, no me ha parecido conveniente incluir.
La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía potencial en un campo de fuerzas.
8.2.
Aproximaciones al área
Sea f WŒa;b!R una función acotada. Representaremos por G.f;a;b/ la región del
plano comprendida entre la gráficayDf .x/, el eje de abscisas y las rectasxDayxDb. Llamaremos a dicha región el conjunto ordenado def entreayb.
a b
yDf .x/
Figura 8.1. Conjunto ordenadoG.f;a;b/de una función
Nos proponemos calcular el área de regiones de este tipo. Puesto que, en general,G.f;a;b/ no puede descomponerse en triángulos o rectángulos, no hay una fórmula que nos permita calcular directamente su área.
En situaciones como esta, una estrategia básica consiste en obtener soluciones aproxima-das que permitan definir el valor exacto del área como límite de las mismas. Fíjate que, al proceder así, estamos definiendo dicho valor exacto, es decir, estamos dando una definición matemática del concepto intuitivo de área1. Naturalmente, queremos que dicha definición sea lo más general posible, lo que depende del tipo de soluciones aproximadas que elijamos. Las aproximaciones consideradas en la teoría de la integral de Lebesgue conducen a un concepto de área muy general. En lo que sigue vamos a considerar las aproximaciones que conducen a la integral de Riemann.
1Ello trae como consecuencia inevitable que haya regiones extrañas en el plano que, según la definición dada,
Como los conceptos que vamos a introducir se interpretan con más facilidad cuando la funciónf es positiva, es conveniente tener bien presente en lo que sigue el siguiente artificio que permite representar cualquier función como diferencia de dos funciones positivas.
Cualquier funciónf puede escribirse como diferencia de dos funciones positivas: fC.x/D jf .x/j Cf .x/
2 DmaxK ff .x/;0g f .x/D
jf .x/j f .x/
2 DmaxK f f .x/;0g Es claro que f .x/DfC.x/ f .x/ y quefC.x/>0,f .x/>0. La funciónfCse llama parte positiva def, y la funciónf se llama parte negativa def. Sif .x/>0se tiene que f .x/DfC.x/yf .x/D0; mientras que sif .x/60se tiene quef .x/D f .x/yfC.x/D0. Fíjate que, a pesar de su nombre y de la forma en que se simboliza, la funciónf es una función positiva. También es consecuencia de las definiciones dadas que jf .x/j DfC.x/Cf .x/.
a b
yDf .x/
a b
yDfC.x/
a b
yDf .x/
Figura 8.2. Partes positiva y negativa de una función
En la integral de Riemann el área del conjunto G.f;a;b/ se aproxima por rectángulos. Para ello, primero se divide el intervaloŒa;ben un número finito de subintervalosŒxk 1;xk, 16k6n, cuyas longitudes pueden ser distintas y con la única condición de que no se solapen:
aDx0<x1<x2< <xn 1<xnDb
Se dice que estos puntos constituyen una partición deŒa;b. A continuación se elige en cada subintervalo un punto tk 2 Œxk 1;xk, y se forma el rectángulo cuya base es el intervalo Œxk 1;xky altura igual af .tk/. Finalmente se forma la suma
n
X
kD1
f .tk/.xk xk 1/.
8.2 Definición. SeaPD faDx0;x1;x2; : : : ;xn 1;xnDbguna partición del intervaloŒa;b, y elijamos un puntotk2Œxk 1;xken cada uno de los intervalos de la misma. El número:
.f;P/D
n
X
kD1
f .tk/.xk xk 1/
se llama una suma de Riemann def para la particiónP. 8.3 Observaciones.
Cuando la funciónf es positiva y suficientemente “buena”, y las longitudes de todos los subintervalos de la partición son suficientemente pequeñas, el número .f;P/es una buena aproximación del área de la regiónG.f;a;b/.
Observa que el rectángulo de altura igual a f .tk/ está en el semiplano superior si f .tk/ >0y en el semiplano inferior sif .tk/ <0. Cuando la funciónf toma valores positivos y negativos podemos escribir:
.f;P/ D
n
X
kD1
f .tk/.xk xk 1/D n
X
kD1
.fC.tk/ f .tk//.xk xk 1/D
D
n
X
kD1
fC.tk/.xk xk 1/ n
X
kD1
f .tk/.xk xk 1/D .fC;P/ .f ;P/
En este caso .f;P/es una aproximación del área deG.fC;a;b/menos el área deG.f ;a;b/. En la siguiente figura puede apreciarse esta aproximación.
a b
yDf .x/
a b
yDf .x/
Figura 8.3. Aproximación por sumas de Riemann
8.4 Definición. Dada una particiónPD faDx0;x1;x2; : : : ;xn 1;xnDbgdel intervaloŒa;b, definamosMkDsupf Œxk 1;xk,mkD Kınff Œxk 1;xk. Los números
S.f;P/D n
X
kD1
Mk.xk xk 1/; I.f;P/D n
X
kD1
mk.xk xk 1/
se llaman, respectivamente, suma superior y suma inferior def para la particiónP2. 8.5 Observaciones.
Puesto que para todo tk2Œxk 1;xkesmk 6f .tk/6Mk, deducimos que para toda suma de Riemann, .f;P/, def para la particiónP esI.f;P/6 .f;P/6S.f;P/.
Para cada partición hay una única suma superior y otra inferior.
Cuandof es positiva y suficientemente “buena”, y las longitudes de todos los subinter-valos de la partición son suficientemente pequeñas, el númeroS.f;P/es un valor aproximado
por exceso del área de la regiónG.f;a;b/, y el númeroI.f;P/es un valor aproximado por defecto del área de la regiónG.f;a;b/.
Cuando la función f toma valores positivos y negativos, el número S.f;P/es un valor aproximado por exceso del área deG.fC;a;b/menos el área deG.f ;a;b/, y el nú-meroI.f;P/es un valor aproximado por defecto del área deG.fC;a;b/menos el área de G.f ;a;b/.
En la siguiente figura pueden apreciarse estas aproximaciones.
a b
yDf .x/
a b
yDf .x/
Figura 8.4. Aproximación del área por sumas inferiores y superiores
8.2.1.
Definición y propiedades básicas de la integral
Supongamos que la funciónf es positiva enŒa;b. Es claro que, en tal caso, el valor exacto del área de la región G.f;a;b/ debe ser un número mayor o igual que toda suma inferior, I.f;P/, y menor o igual que toda suma superior S.f;P/. Tenemos, en consecuencia, dos números que son posibles candidatos para el área deG.f;a;b/, a saber:
KınffS.f;P/WP2PŒa;bg y supfI.f;P/WP2PŒa;bg:
Donde hemos representado porPŒa;bel conjunto de todas las particiones del intervaloŒa;b.
Llegados aquí, podemos ya dar la definición principal de la teoría de la integral de Riemann.
8.6 Definición. Seaf una función acotada y positiva enŒa;b. Se dice que el conjuntoG.f;a;b/ tiene área cuando
K
ınffS.f;P/WP2PŒa;bg DsupfI.f;P/WP2PŒa;bg
Dicho valor común es, por definición, el valor del área y lo representaremos por.G.f;a;b//. Cuando esto ocurre, se dice también que la funciónf es integrable Riemann enŒa;by, por definición, la integral def enŒa;bes igual a.G.f;a;b//. Simbólicamente escribimos:
b
w
a
En el caso general en que la función f toma valores positivos y negativos, se dice que f es integrable Riemann enŒa;bcuando lo son las funcionesfCyf , en cuyo caso se define la integral def enŒa;bcomo el número:
b
w
a
f .x/dx D.G.fC;a;b// .G.f ;a;b//
8.7 Observaciones.
No te confundas con la notación. El símbolo rabf .x/dx representa un número. La variablexque figura en él se suele decir que es una variable muda. Naturalmente, la letraxno tiene ningún significado especial y puede sustituirse por la que tú quieras o no poner ninguna; por ejemplo:
b
w
a
f .t/dt; b
w
a
f .s/ds; b
w
a f
son tres formas de escribir lo mismo. Volveremos sobre esta notación más adelante cuando estudiemos técnicas de integración.
La definición anterior debes entenderla como una primera aproximación matemática al concepto intuitivo de área. Aunque te pueda parecer extraño, el concepto de área (y de integral) que acabamos de definir es bastante restrictivo.
En el caso en que la función f toma valores positivos y negativos, observa que la gráfica def se obtiene por simetría respecto al eje de abscisas de las partes de la gráfica de f en las quef .x/ <0. Como regiones simétricas respecto de una recta tienen la misma área, se sigue que:
.G.f;a;b//D.G.fC;a;b//C.G.f ;a;b//D.G.fCCf ;a;b//D
D.G.jfj;a;b//D b
w
a
jf .x/jdx
Seamos prácticos. ¿Cómo podemos, a partir de la definición dada, calcular rabf .x/dx? Una primera idea en este sentido consiste en observar que cuanto mayor sea el número de intervalos de la partición y más pequeña la longitud de cada uno de ellos cabe esperar que la aproximación obtenida sea mejor. Para precisar esta idea, definimos el paso de una partición P, y lo representamos por .P/, como la mayor de las longitudes de los subintervalos de dicha partición.
8.8 Teorema (Convergencia de las sumas integrales). Sea f WŒa;b!R una función inte-grable,fPnguna sucesión de particiones deŒa;btal quef.Pn/g !0y .f;Pn/una suma de Riemann def para la particiónPn. Se verifica entonces que:
lKım
n!1S.f;Pn/Dnl!1Kım .f;Pn/Dnl!1Kım I.f;Pn/D b
w
a
f .x/dx (8.1)
es más interesante usar dicho resultado sensu contrario para calcular los límites de ciertas sucesiones. Para ello se usa con frecuencia el siguiente corolario.
8.9 Corolario. Para toda funciónf integrable enŒ0;1se verifica que:
lKım n!1
1 n
n
X
kD1 f
k n
D
1
w
0
f .x/dx (8.2)
Teniendo en cuenta que cualesquiera sean las funcionesf;gy los números˛; ˇ, se verifica que .˛f Cˇg;P/D˛ .f;P/Cˇ .g;P/, para toda particiónP, se deduce, haciendo uso del teorema8.8, que la integral es lineal. Esta propiedad, junto con otras propiedades básicas de las integrales se recogen en el siguiente resultado.
8.10 Proposición (Propiedades básicas de la integral).
i) Linealidad. Sif;gson integrables enŒa;by˛; ˇson números reales, se verifica que la función˛f Cˇgtambién es integrable enŒa;by
b
w
a
.˛f .x/Cˇg.x//dx D˛ b
w
a
f .x/dx Cˇ b
w
a
g.x/dx:
ii) Conservación del orden. Si f;g son integrables en Œa;b y f .x/6g.x/ para todo x2Œa;b, entonces se verifica que:
b
w
a
f .x/dx 6 b
w
a
g.x/dx
En particular, sif es integrable enŒa;bym6f .x/6M para todox2Œa;b, entonces se verifica la siguiente desigualdad:
m.b a/6 b
w
a
f .x/dx 6M.b a/ (8.3)
iii) Sif es integrable enŒa;btambiénjfj(función valor absoluto def) es integrable en Œa;by se verifica la desigualdad:
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
b
w
a
f .x/dx ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
6 b
w
a
jf .x/jdx (8.4)
iv) El producto de funciones integrables Riemann también es una función integrable Rie-mann.
v) Aditividad respecto del intervalo. Seaa<c<b. Una funciónf es integrable enŒa;b si, y sólo si, es integrable enŒa;cy enŒc;b, en cuyo caso se verifica la igualdad:
b
w
a
f .x/dx D c
w
a
f .x/dx C b
w
c
Ha llegado el momento de preguntarse por condiciones que garanticen que una función es integrable Riemann. Nos vamos a contentar con una respuesta parcial a esta pregunta, que es suficiente para nuestros propósitos.
8.11 Teorema (Condiciones suficientes de integrabilidad Riemann). Sea f WŒa;b!R. Cada una de las siguientes condiciones garantizan quef es integrable Riemann enŒa;b.
i)f está acotada enŒa;by tiene un número finito de discontinuidades enŒa;b. En parti-cular, toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable en dicho intervalo.
ii)f es monótona enŒa;b.
Demostración. Según la definición dada, una funciónf positiva y acotada en un intervaloŒa;b es integrable en Œa;b cuando las aproximaciones superiores están arbitrariamente próximas de las aproximaciones inferiores al área del conjunto ordenado def. En otros términos, una funciónf positiva y acotada en un intervaloŒa;bes integrable enŒa;bsi, y sólo si, para todo " > 0, hay una particiónP" deŒa;btal queS.f;P"/ I.f;P"/6"3. Probaremos que las
funciones continuas y las funciones monótonas enŒa;bsatisfacen esta condición.
Ses f WŒa;b!R continua enŒa;b, entonces sabemos quef está acotada enŒa;b. En
particular, hay un número M tal que f .x/6M para todo x 2 Œa;b. Por tanto la función M f es continua y positiva en Œa;b y, como las funciones constantes son integrables, la integrabilidad de la función M f equivale a la integrabilidad def. Podemos, por tanto, suponer quef es positiva enŒa;b. En virtud del teorema7.59la funciónf es uniformemente continua enŒa;b. Por tanto, dado" >0, hay un númeroı >0, tal que para todosx;y2Œa;b conjx yj< ıse verifica quejf .x/ f .y/j< "=.b a/. SeaP"una partición del intervalo
Œa;bcuyos subintervalosIkDŒxk 1;xktienen longitud menor queı. En virtud del teorema 4.29 hay puntos uk; vk e nIk en los que la función f alcanza su valor mínimo y máximo absolutos respectivamente en el intervaloIk. Tenemos que:
S.f;P"/ I.f;P"/D
n
X
kD0
f .vn/ f .un/
.xk 1 xk/ < "
b a
n
X
kD0
.xk 1 xk/D":
Lo que prueba quef es integrable enŒa;b.
Supongamos ahora que f es continua en a;bŒ y acotada en Œa;b pudiendo tener dis-continuidades en los extremos del intervalo. Como f está acotada en Œa;b, podemos seguir suponiendo, por las mismas razones anteriores, que f es positiva enŒa;b. SeaM > 0tal que f .x/6M para todo x 2Œa;b. Dado " > 0, consideremos un intervalo Œc;d donde a < c < d < b yc a < "=3M,b d < "=3M. Por la ya demostrado, comof es inte-grable enŒc;d, hay una partición QdeŒc;dtal que S.f;Q/ I.f;Q/ < "=3. Ampliamos dicha partición a una partición del intervaloŒa;bañadiéndole los puntosayb. Llamemos a la partición deŒa;basí obtenidaP". Tenemos que:
S.f;P"/ I.f;P"/6.c a/M CS.f;Q/ I.f;Q/C.b d/M < ":
discontinuidades def enŒa;b, por la ya demostrado la función f es integrable en cada uno de los intervalosŒa;d1,Œdk;dkC1(kD1;2; : : : ;p 1),Œdp;b. Por tantof es integrable en la unión de todos ellos, es decir, enŒa;b.
Supongamos ahora quef es monótona enŒa;b. Podemos suponer quef es creciente, en cuyo casof .b/ f .x/>0para todox2Œa;b, por lo que, al igual que hicimos antes, podemos suponer quef es creciente y positiva enŒa;b. Dado" >0, tomemos una particiónP"deŒa;b
cuyos subintervalos Ik DŒxk 1;xktengan longitud menor que"=.f .b/ f .a//. Tenemos que:
S.f;P"/ I.f;P"/D
n
X
kD0
f .xk/ f .xk 1/
.xk 1 xk/ < " f .b/ f .a/
n
X
kD0
f .xk/ f .xk 1/
D
D "
f .b/ f .a/.f .b/ f .a//D":
Lo que prueba quef es integrable enŒa;b. 2
En relación con el punto ii) de este teorema, conviene observar que hay funciones monóto-nas con infinitas discontinuidades.
8.12 Ejemplo. La función f WŒ0;1!R dada porf .0/D1 yf .x/D E.1=x/
X
nD1 1
2n para to-dox 20;1, donde E.1=x/indica la parte de entera de1=x, es decreciente enŒ0;1y tiene discontinuidades en todos los puntos de la forma n1
C1 paranD1;2; : : :. Observa que la función viene dada por:
f .x/D 8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :
1 2;
1
2 <x61; 1
2C 1 4;
1 3 <x6
1 2; 1
2C 1 4 C
1 8;
1 4 <x6
1 3; 1
2C 1
4 C C 1
2n; nC11 <x6 1n;
1; xD0;
En la figura8.5puedes ver su gráfica en la que se han indicado con trazos verticales punteados
las discontinuidades de salto de la función.
Un tipo frecuente de funciones integrables son las que se definen a continuación.
8.13 Definición. Se dice que funciónf es continua a trozos en un intervaloŒa;bsi hay una particiónaDx0<x1<x2< : : : <xn 1<xnDbdel intervaloŒa;bde forma que:
f es continua en cada intervaloxi 1;xiŒ, paraiD1;2; : : : ;n.
f tiene límites laterales finitos en los puntosxi,iD0;1; : : : ;n.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
1
1 2 1
3 1 4 1 5 1 6 1
2 1
2C
1 4 1
2C
1
4C
1 8 1
2C
1
4C
1
8C
1 16
Figura 8.5. Función monótona con infinitas discontinuidades
8.14 Corolario. Seamf ygfunciones que coinciden en todos los puntos de un intervaloŒa;b excepto en un número finito de ellos. Entonces se verifica que f es integrable enŒa;bsi, y sólo si,ges integrable enŒa;b, en cuyo caso se verifica que las integrales enŒa;bde ambas funciones coinciden.
Demostración. Definamos hDf g. La función h es nula en todos los puntos de Œa;b excepto en un conjunto finito de ellos, por tanto,hes una función continua a trozos enŒa;by, en consecuencia,hes integrable enŒa;b. Además, es evidente querabh.x/dx D0(piensa que el conjunto ordenado dehentreayb es un conjunto finito de segmentos verticales). Si, por ejemplo,f es integrable enŒa;b, la igualdad gDf himplica que tambiénges integrable enŒa;byrabg.x/dx Drabf .x/dx rabh.x/dx Drabf .x/dx. 2
8.15 Observación. El resultado anterior nos dice que, para estudiar la integrabilidad de una función, podemos modificar los valores de la misma en un conjunto finito de puntos porque eso no afecta para nada a su integrabilidad ni al valor de su integral. Igualmente, si una función no está definida en un conjunto finito de puntos de un intervalo, para estudiar su integrabilidad la definimos como queramos en dichos puntos, con la seguridad de que la función resultante será o no integrable con independencia de nuestra definición. En particular, una función continua y acotada enŒa;bn fa1;a2; : : : ;amg, donde losaj son puntos deŒa;ben los quef no está definida, es integrable enŒa;b.
integrabilidad enŒ0;1, podemos definirf .0/D1(o el valor que tú quieras); con ello,f es una función continua en0;1y acotada enŒ0;1, por lo que es integrable enŒ0;1.
8.2.2.
El Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una función integrable f WŒa;b!R, podemos definir una nueva función FWŒa;b!R
por:
F.x/D
x
w
a
f .t/dt para todox 2Œa;b
Observa que aquí la variable esx – el límite superior de la integral. Por eso, es obligado no ~
usar la misma letraxcomo variable de la funciónf en el integrando.F.x/es la integral de la funciónf en el intervaloŒa;x.
Por definición F.x/D.G.fC;a;x// .G.f ;a;x//. Por supuesto, sif es positiva entonces F.x/D.G.f;a;x//es el área del conjunto ordenado def entreayx. No debes olvidar en lo que sigue que F.x/Draxf .t/dt se ha definido en términos de áreas. A la función F la llamaremos la función área def enŒa;b.
A veces hay que considerar funciones de la formaH.x/Drcxf .t/dt en dondea<c<b yx2Œa;b; por lo que es necesario precisar lo que se entiende porrcxf .t/dt cuandox <c. El convenio que se hace es que:
v w
u
f .t/dt D u
w
v
f .t/dt
cualesquiera sean los númerosuyv. La justificación de este convenio es que, con él, la igual-dad:
y
w
x
f .t/dt C z
w
y
f .t/dt C x
w
z
f .t/dt D0 (8.5)
se cumple cualesquiera sean los puntosx;y;zdel intervaloŒa;b. Compruébalo.
Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha llevado de f aF.x/Draxf .t/dt. Nuestro problema es: ¿Cómo podemos recuperar la función f a partir del conocimiento de la función área def? El resultado que sigue, uno de los más útiles del Cálculo, establece una relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el concepto de área y el de tangente a una curva, pues dicho resultado afirma que la pendiente de “la curva área def”,yDF.x/, en un puntoxes igual af .x/.
8.16 Teorema (Teorema Fundamental del Cálculo). Seaf WŒa;b!R una función inte-grable y definamos FWŒa;b!R por:
F.x/D x
w
a
f .t/dt (8.6)
ii) En todo puntocdeŒa;ben el quef sea continua se verifica queFes derivable en dicho punto siendoF0.c/Df .c/. En particular, sif es continua enŒa;b, entoncesF es derivable enŒa;byF0.x/Df .x/para todox2Œa;b.
Demostración.
i) Comof es integrable debe estar acotada. SeaM > 0tal quejf .x/j6M para todo x2Œa;b. Entonces, six <yson puntos deŒa;btenemos que
jF.y/ F.x/j D ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
y
w
x f .t/dt
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
6 y
w
x
jf .t/jdt 6M.y x/
Por la misma razón, si suponemos quey < x, tendremos que jF.y/ F.x/j6M.y x/. Estas dos desigualdades nos dicen quejF.y/ F.x/j6Mjy xjpara todo par de puntos x;y2Œa;b. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad deFenŒa;b.
ii) Pongamos
F.x/ F.c/
x c f .c/D
F.x/ F.c/ .x c/f .c/
x c D
x
w
c f .t/dt
x
w
c
f .c/dt
x c D
D
x
w
c
.f .t/ f .c//dt
x c
Dado," > 0, la continuidad def encnos dice que hay unı > 0tal que para todot2Œa;b conjt cj< ıse tiene quejf .t/ f .c/j< ". Tomemos ahora un punto cualquierax2Œa;b tal quejx cj< ı. Entonces es claro que para todot comprendido entrex ycse tendrá que
jt cj< ıy, por tanto,jf .t/ f .c/j< "por lo que: ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
x
w
c
.f .t/ f .c//dt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
6"jx cj
Deducimos que para todox2Œa;btal quejx cj< ı, yx¤c, se verifica que
ˇ ˇ ˇ ˇ
F.x/ F.c/
x c f .c/
ˇ ˇ ˇ ˇD
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x
w
c
.f .t/ f .c//dt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
jx cj 6
"jx cj
jx cj D" Hemos probado que lKım
x!c
F.x/ F.c/
x c Df .c/, esto es,Fes derivable encyF
0.c/Df .c/.2
8.2.3.
Primitivas. Regla de Barrow
8.17 Definición. Dada un función hWŒa;b!R, cualquier función H WŒa;b!R que sea
Es importante advertir que no todas las funciones tienen primitivas. Por ejemplo, una condi-ción necesaria que debe cumplir una funcondi-ción para tener primitivas es que dicha funcondi-ción tenga la propiedad del valor intermedio pues, como recordarás, las funciones derivadas tienen esa propiedad. También, como consecuencia del teorema del valor medio, es inmediato que dos primitivas de una función en un mismo intervalo se diferencian en una constante. Por ello, si conocemos una primitiva de una función en un intervalo las conocemos todas.
El siguiente resultado es una consecuencia muy importante del Teorema Fundamental del Cálculo.
8.18 Corolario. Toda función continua en un intervalo tiene primitivas en dicho intervalo.
Demostración. Seaf una función continua en un intervaloI. Elijamos un punto˛2I. Cual-quiera seax2I el intervalo de extremos ˛yx está contenido enI yf es continua en él y por tanto es integrable en él. Podemos por ello definir la función H WI !R dada para todo
x2I porH.x/Dr˛xf .t/dt. Esta función es derivable en todo intervalo cerrado y acotado contenido enI. Pues siŒa;bI, para todox2Œa;bse tiene que:
H.x/D x
w
˛
f .t/dt D a
w
˛
f .t/dt C x
w
a
f .t/dt:
Por tanto, salvo una constante aditiva, la funciónH coincide en el intervaloŒa;bcon la función área def enŒa;b, es decir, con la funciónF.x/definida por8.6. Comof es continua enŒa;b (por ser continua enI) el teorema fundamental del cálculo nos dice queFes derivable en todo puntox 2Œa;byF0.x/Df .x/. Deducimos queH es derivable en todo puntox 2 Œa;by H0.x/Df .x/.
Finalmente, el hecho de queH sea derivable en todo intervalo cerrado y acotado contenido enI, implica, por la propiedad local de la derivabilidad, queH es derivable enI y su derivada
en todo puntox2Iviene dada porH0.x/Df .x/. 2
Es importante que aprecies que este es un resultado de existencia; es la definición que hemos dado de área – y por consiguiente de integral – lo que nos ha permitido construir la función primitiva de f. La integración es por tanto una herramienta que permite construir una función cuya derivada es conocida; por eso la integración es una potente herramienta para construir nuevas funciones.
8.19 Estrategia.
Para derivar funciones de la forma H.x/D rag.x/f .t/dt donde f es una función continua y g es una función derivable, se aplica el teorema fundamental del cálcu-lo y la regla de la cadena para derivar la función compuesta H.x/DF.g.x//, donde F.x/Draxf .t/dt.
Para derivar funciones de la formaH.x/Druv..xx//f .t/dt dondef es una función con-tinua yu,vson funciones derivables, se escribeH.x/Drav.x/f .t/dt
ru.x/
a f .t/dt y se aplica lo dicho en el punto anterior.
primitiva def enŒa;b. Sihes una tal primitiva, entonces las funcionesF.x/Draxf .t/dt, y h.x/ h.a/son dos primitivas def enŒa;bque coinciden en un punto, pues ambas se anulan ena. Deducimos queF.x/Dh.x/ h.a/para todox2Œa;by, por tanto, F.b/Drabf .t/dt D h.b/ h.a/. Podemos generalizar este resultado como sigue.
8.20 Teorema (Regla de Barrow). Sea f WŒa;b!R integrable y supongamos quehes una primitiva def enŒa;b. Entonces:
b
w
a
f .t/dt Dh.b/ h.a/
Demostración. SeaPD faDx0;x1;x2; : : : ;xn 1;xnDbguna partición deŒa;b. Aplicando el teorema de valor medio, tenemos que:
h.b/ h.a/D
n
X
kD1
.h.xk/ h.xk 1//D
n
X
kD1
f .tk/.xk xk 1/D .f;P/
La igualdad anterior nos dice que para toda partición P de Œa;b hay alguna suma de Rie-mann def asociada a dicha partición, .f;P/, que es igual ah.b/ h.a/. Si ahora toma-mos una sucesión fPngde particiones del intervaloŒa;btales que.Pn/ !0, tenemos que h.b/ h.a/D .f;Pn/para alguna suma de Riemann, .f;Pn/, def asociada a la partición Pn. Pero sabemos que .f;Pn/!rabf, por lo que obtenemos queh.b/ h.a/Drabf. 2
Fíjate que en la regla de Barrow no se supone que f sea continua sino tan sólo que es integrable y que, además, tiene una primitiva.
8.2.4.
Las funciones logaritmo y exponencial
Quiero convencerte de que muchas veces el cálculo integral proporciona la interpretación más intuitiva de una función. Considera, por ejemplo, la función logaritmo natural. Quizás sepas expresar log2como límite de una sucesión o algo parecido; pero, ¿puedes representar de alguna forma intuitiva el número log2? ¿Sabrías representar gráficamente el número log2? En la siguiente gráfica puedes ver el número log2.
0 1 2
0 1 2 3 4
w2 1
1 t dt yD 1x
Espero que estés de acuerdo conmigo: la forma más fácil e intuitiva de imaginar el número logt es como el área de la región plana limitada por la curva yD1=x, las rectasxD1,xDt, y el eje de abscisas. Dicha área se considera positiva sit >1y negativa sit <1. Dicho de otra forma:
logtD
t
w
1 1 xdx
Es frecuente interpretar esta igualdad de la siguiente forma: la función logx es derivable y log0xD1=x; por tantor1t 1xdx Dlogt log1Dlogt. ¡Parece que hemos probado algo! Y no es así porque en este razonamiento estamos usando que la función logaritmo es derivable y eso es algo que no hemos probado. Todavía peor: ni siquiera hemos dado una definición de la función logaritmo que permita probar las propiedades de dicha función. Usualmente se define logx como el númeroy que verifica que eyDx. La existencia de ese númeroyestá lejos de ser evidente. El propio número e tiene que ser definido de alguna forma apropiada.
Hago estas reflexiones para que te des cuenta de que lo que conoces de las funciones lo-garitmo, exponencial, trigonométricas: : :, es un conocimiento descriptivo. De estas funciones conoces, porque te lo han dicho, su comportamiento; pero no creo que hayas demostrado sus propiedades. Bueno, no quiero que pienses que tus profesores de bachillerato te ocultan infor-mación, lo que ocurre es que una definición de estas funciones que permita probar su existencia y demostrar sus propiedades requiere herramientas matemáticas que no tienen cabida en las enseñanzas medias. Precisamente, el Teorema Fundamental del Cálculo permite definir estas funciones de forma fácil, elegante y correcta.
Olvida ahora todo lo que sepas de la función logaritmo natural. ¿Lo has olvidado ya? Sigamos.
8.21 Definición. La función logaritmo natural es la función logWRC!R definida para todo
t >0por:
logtD t
w
1 1 xdx
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la función logaritmo natural es derivable (y por tanto continua) y que log0t D1=t. Como la derivada es positiva, deducimos que dicha función es estrictamente creciente.
Dado a > 0, sea h.x/Dlog.ax/. Entonces h0.x/D a=.ax/D1=x. Luego la función h.x/ log.x/tiene derivada nula enRC, por lo que es constante y, como paraxD1es igual
a loga, se sigue queh.x/ log.x/Dloga. Hemos probado así que log.ax/DlogaClogx para todoa>0y para todox>0.
Observa que en poco más de tres líneas hemos obtenido ya las propiedades principales del logaritmo. Sigamos nuestro estudio.
De lo ya visto se sigue que log.2n/Dnlog2para todo número enteron. De aquí se deduce que la función logaritmo natural no está mayorada ni minorada y, como es estrictamente cre-ciente, concluimos que lKım
x!0logxD
∞y lKım
x!C1logxD C
∞. Por tanto, podemos afirmar
que dicha función es una biyección estrictamente creciente deRCsobreR.
Representemos provisionalmente por 'WR!R la función inversa del logaritmo. Dicha
que'es derivable y para todox2Res:
'0.x/D 1
log0.'.x//D'.x/
Ahora, dados,x;y2R, seana;b;2RCtales quexDloga,yDlogb. Entonces: '.xCy/D'.logaClogb/D'.log.ab//DabD'.x/'.y/
Hemos probado así que'.xCy/D'.x/'.y/para todosx;y2R. De esta igualdad se deduce
fácilmente que apara todo número racionalr se verifica que'.r/D'.1/r. El número'.1/se representa con la letra e, es decir, es el número definido por la igualdad log eDr1ex1dx D1. Con ello para todo número racional r se tiene que'.r/Der, por lo que se usa la notación '.x/Dexpara representar a la función exponencial.
Fíjate con qué facilidad y elegancia hemos obtenido las propiedades principales de las funciones logaritmo natural y exponencial. Quedan así justificados todos los resultados vistos en capítulos anteriores que dependen de dichas propiedades.
Así mismo, podemos definir la función arcotangente de la forma:
arc tgxD x
w
0 1 1Ct2dt:
Lo que constituye un punto de partida para definir las demás funciones trigonométricas. Este proceso está desarrollado con detalle en [16]. Veremos más adelante otro procedimiento más directo para definir las funciones trigonométricas.
8.3.
Integrales impropias de Riemann
Una de las limitaciones de la teoría de la integral de Riemann que hemos desarrollado es que en ella se consideran funciones acotadas en intervalos acotados. Queremos evitar es-tas limitaciones y considerar funciones no acotadas o intervalos no acotados. Los siguientes ejemplos indican el camino a seguir.
8.22 Ejemplo. La funciónf .x/Dp1
x no está acotada en el intervalo0;1. Comoh.x/D2
p
x es una primitiva def enŒ0;1, para todot 20;1se tiene que:
1
w
t 1
p
x dx Dh.1/ h.t/D2 2
p
t ÷ lKım t!0
1
w
t 1
p
xdx D2: Por tanto es natural definir:
1
w
0 1
p
xdx D2:
8.23 Ejemplo. Para todo˛ >0se tiene que: t
w
0
e ˛x dx D 1 ˛.1 e
˛t/
÷ lKım t!C1
t
w
0
e ˛x dx D 1 ˛: Por ello es natural definir:
C1w
0
e ˛x dx D 1 ˛:
En el primer ejemplo hemos considerado una función no acotada, y en el segundo un inter-valo no acotado.
8.24 Definición. Sea f WŒc;bŒ!R una función continua en el intervalo Œc;bŒ, donde
supo-nemos quec2Ry quebun número real mayor queco bienbD C∞. Se define la integral impropia de Riemann def enŒc;bŒcomo el límite:
b
w
c
f .x/dx D lKım t!b
t
w
c
f .x/dx (8.7)
Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un número real, en cuyo caso se dice también que la integral def es convergente enŒc;bŒ.
Sea fWa;c!R una función continua en el intervaloa;c, donde suponemos quec2R
y queaun número real menor queco bienaD ∞. Se define la integral impropia de Riemann def ena;ccomo el límite:
c
w
a
f .x/dx D lKım t!a
c
w
t
f .x/dx (8.8)
Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un número real, en cuyo caso se dice también que la integral def es convergente ena;c.
Cuando el límite (8.7) o (8.8) existe y es igual aC∞(resp. ∞) se dice que la respectiva integral es positivamente o negativamente divergente.
Sea fWa;bŒ!R una función continua en el intervaloa;bŒ, donde ∞6a<b6C∞. Seac2R cona < c < b. Se dice que la integral def es convergente ena;bŒcuando las
integrales def ena;cy enŒc;bŒson convergentes, en cuyo caso se define: b
w
a
f .x/dx D c
w
a
f .x/dx C b
w
c
f .x/dx (8.9)
8.25 Observación. Como para todou2c;bŒse verifica que: x
w
c
f .t/dt D
u
w
c
f .t/dt C
x
w
u
f .t/dt;
8.26 Ejemplo. Seaa¤1. Se tiene que: t
w
1 1 xadx D
t1 a
1 a
1
1 a
Deducimos que:
C1w
1 1
xadx Dt!C1lKım t
w
1 1 xadx D
8 <
: 1
a 1 sia>1
C∞ sia<1
(8.10)
Análogamente:
1
w
0 1
xadx DtlK!ım0 1
w
t 1 xadx D
8 <
: 1
1 a sia<1
C∞ sia>1
(8.11)
8.27 Ejemplo. Seaa¤1. Usando la técnica de integración por partes, que estudiaremos más adelante, es fácil calcular una primitiva de la funciónf .x/D logx
xa . Comprueba que:
F.x/D x 1 a. 1
C.1 a/logx/ .1 a/2
es una primitiva def enRC. Por tantort
1f .x/dx DF.t/ F.1/. En consecuencia: C1w
1 logx
xa dx D
8 <
: 1
.1 a/2 sia>1
C∞ sia<1
(8.12)
Análogamente:
1
w
0 logx
xa dx D
8 <
: 1
.1 a/2 sia<1 ∞ sia>1
(8.13)
8.3.1.
Criterios de convergencia para integrales
8.28 Proposición (Criterio básico de convergencia). Sea f continua y positiva en Œc;bŒ. Entonces, la integral def enŒc;bŒes convergente si, y sólo si, la funciónF.x/Drcxf .t/dt está mayorada enŒc;bŒ, en cuyo caso:
b
w
c
f .t/dt Dsup (wx
c
f .t/dt Wx2Œc;bŒ
)
En otro caso la integral def enŒc;bŒes positivamente divergente.
Las afirmaciones hechas son consecuencia de que, por serf positiva en Œc;bŒ, la función F.x/Drcxf .t/dt es creciente enŒc;bŒ.
El siguiente criterio es consecuencia inmediata del anterior.
8.29 Proposición (Criterio de comparación). Sean f y g continuas y positivas en Œc;bŒ. Supongamos que la integral degenŒc;bŒes convergente y quef .x/6g.x/para todox2Œc;bŒ. Entonces la integral def enŒc;bŒtambién es convergente.
De este criterio se deduce fácilmente el siguiente.
8.30 Proposición (Criterio límite de comparación). Sean f y g continuas y positivas en Œc;bŒ. Supongamos que:
lKım x!b
f .x/
g.x/ D2R C:
Entonces las integrales def ygenŒc;bŒambas convergen o ambas divergen positivamente. Demostración. De la hipótesis hecha se deduce que existe un número u 2c;bŒ tal que para todox2Œu;bŒse verifica que:
1 26
f .x/ g.x/ 6
3
2 ” g.x/62f .x/63g.x/:
De estas dos desigualdades se deduce, por el criterio de comparación anterior, que las integrales def y degenŒu;bŒson ambas convergentes o ambas divergen positivamente. Basta tener ahora
en cuenta la observación8.25. 2
8.31 Definición. Se dice que la integral de f es absolutamente convergente en un cierto intervalo cuando la integral de la funciónjfjes convergente en dicho intervalo.
Naturalmente, los criterios de convergencia antes vistos para integrales de funciones posi-tivas, pueden usarse para estudiar la convergencia absoluta de la integral de cualquier función. Por ello, el siguiente resultado es de gran utilidad. Para demostrarlo usaremos la siguiente ca-racterización de la existencia de límite.
8.32 Proposición (Condición de Cauchy para la existencia de límite). Sea b un número real o bienb D C1, sea c < b y sea f WŒc;bŒ!R una función. Equivalen las siguientes afirmaciones:
a) La funciónf tiene límite finito enb, es decir, lKım
x!bf .x/DL2 R.
b) Para todo" >0existe un númerou" 2c;bŒtal que para todosx;y 2u";bŒse verifica
Demostración.
a÷b/. Por hipótesis, para todo " > 0 existe un número u" 2c;bŒ tal que para todo
x 2u";bŒse verifica quejf .x/ Lj< "=2. Paray 2u";bŒtambién serájf .y/ Lj< "=2.
Deducimos que:
jf .x/ f .y/j D jf .x/ L .f .y/ L/j6jf .x/ Lj C jf .y/ Lj< " 2 C
" 2D": b÷a/. Probaremos que hay un númeroL2Rtal que para toda sucesiónfxng !bse verifica
queff .xn/g !L. Según sabemos, por la proposición7.41, esto equivale a quef tenga límite en b igual a L. Sea fxng ! b, para probar que ff .xn/g es convergente probaremos que dicha sucesión verifica la condición de Cauchy. Dado " > 0, por la hipótesis hecha, hay un númerou"2c;bŒtal que para todosx;y2u";bŒse verifica quejf .x/ f .y/j< "=2. Como fxng ! c, existe un número natural m" tal que para todop >m" se tiene quexp 2u";cŒ.
Deducimos que si p>m" yq>m", entoncesjf .xp/ f .xq/j < ", lo que prueba que la sucesión ff .xn/g es de Cauchy y, por el teorema de completitud deR, es convergente. Sea
L 2R el límite deff .xn/g. Si ahora consideramos cualquier otra sucesión fyng ! b, el
mismo razonamiento anterior prueba que ff .yn/g converge. Debemos probar que su límite también esL. Para ello, basta con observar que, como consecuencia de la hipótesis hecha, la sucesiónff .xn/ f .yn/gconverge a0, pues para todonsuficientemente grande se tiene que
xn;yn2u";bŒ, por lo quejf .xn/ f .yn/j< ". 2
La proposición anterior tiene una versión análoga para el caso de considerar un intervalo del tipoa;cconaun número real oaD 1.
La condición del punto b) de la proposición anterior se llama condición de Cauchy paraf enb.
8.33 Teorema. Si la integral de f es absolutamente convergente, entonces la integral de f también es convergente.
Demostración. Supongamos que la integral def es absolutamente convergente enŒc;bŒ. Pon-gamosG.x/Drbxjf .t/jdt,F.x/Drcxf .t/dt. Por la hipótesis hecha, existe el límite deGen by es finito. En tal caso, se verifica la condición de Cauchy paraG enb. Dado" >0, hay un númerou" 2c;bŒtal que para todosx;y 2u";bŒesjG.x/ G.y/j< ". Teniendo en cuenta
la desigualdad:
jF.x/ F.y/j D
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x
w
c f .t/dt
y
w
c f .t/dt
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
D ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
y
w
x f .t/dt
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
6 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
y
w
x
jf .t/jdt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
D jG.x/ G.y/j;
se deduce que la funciónFverifica la condición de Cauchy enb, por lo que dicha función tiene límite finito enb, es decir, la integral def enŒc;bŒes convergente. 2
8.4.
Teoremas del valor medio para integrales
cualquiera de dicho intervalo, podemos aplicar el teorema del valor medio a la función derivable F.x/Dr˛xf .t/dt en el intervaloI. Según dicho teorema, para cualquier par de puntosa;b2I se verifica que hay algún puntoccomprendido entreaybtal que:
F.b/ F.a/
b a DF
0.c/: Pero esta igualdad es lo mismo que:
1
b a
b
w
a
f .x/dx Df .c/ ” b
w
a
f .x/dx Df .c/.b a/:
El número b a1 rabf .x/dx se llama promedio integral o media integral de f enŒa;b. Con poco esfuerzo podemos obtener un resultado más general.
8.34 Teorema (Primer teorema de la media para integrales). Seanf una función continua en Œa;by g una función positiva e integrable enŒa;b. Entonces se verifica que hay algún puntoc2Œa;btal que:
b
w
a
f .x/g.x/dx Df .c/ b
w
a
g.x/dx: (8.14)
Demostración. Por el teorema de Weierstrass4.29,la funciónf alcanza un valor mínimo,m, y un valor máximo,M, enŒa;b. Comog.x/>0para todox 2Œa;b, tenemos que:
mg.x/6f .x/g.x/6M g.x/ .para todox 2Œa;b/:
La funciónfges integrable enŒa;bpor ser producto de funciones integrables. Como la integral conserva el orden entre funciones, se sigue que:
m b
w
a
g.x/dx 6 b
w
a
f .x/g.x/dx 6M b
w
a
g.x/dx:
De esta desigualdad se sigue que sirabg.x/dx D0, entonces también esrabf .x/g.x/dx D0 y la igualdad del enunciado se satisface trivialmente para todoc2Œa;b. En otro caso debe ser
rb
ag.x/dx >0y deducimos que: m6
rb
af .x/g.x/dx
rb
ag.x/dx
6M:
Puesto que la imagen porf del intervaloŒa;bes el intervaloŒm;M, de la desigualdad anterior se sigue que hay algúnc2Œa;btal que:
f .c/D rb
af .x/g.x/dx
rb
ag.x/dx :
8.35 Teorema (Segundo teorema de la media para integrales). Sea'una función monótona y con derivada continua enŒa;b, y seaf una función continua enŒa;b. Entonces hay algún puntoc2Œa;btal que:
b
w
a
f .x/'.x/dx D'.a/ c
w
a
f .x/dx C'.b/ b
w
c
f .x/dx (8.15)
Demostración. Supongamos que'es decreciente enŒa;by'.b/D0. Definamos las funciones F.x/Draxf .t/dt yH.x/DF.x/'.x/. Tenemos queH0.x/DF0.x/'.x/CF.x/'0.x/D f .x/'.x/CF.x/'0.x/. Por la regla de Barrow, obtenemos que:
b
w
a
f .x/'.x/CF.x/'0.x/
dxDH.b/ H.a/D0÷ b
w
a
f .x/'.x/dxD b
w
a
F.x/. '0.x//dx:
Como '0.x/>0para todox 2Œa;b, podemos aplicar a la última integral el primer teorema de la media que asegura que hay algúnc2Œa;btal que:
b
w
a
F.x/. '0.x//dx DF.c/ b
w
a
. '0.x//dx DF.c/'.a/D'.a/ c
w
a
f .x/dx:
Hemos probado así que hay unc2Œa;btal que: b
w
a
f .x/'.x/dx D'.a/ c
w
a
f .x/dx: (8.16)
Esta igualdad es un caso particular de la igualdad del enunciado (recuerda que hemos supuesto que'.b/D0). Consideremos ahora que'es decreciente enŒa;b(no suponemos que'.b/D0). Podemos aplicar la igualdad8.16a la función ' '.b/y obtenemos que hay algúnc2Œa;b tal que:
b
w
a
f .x/.'.x/ '.b//dx D.'.a/ '.b// c
w
a
f .x/dx ÷ b
w
a
f .x/'.x/dx D'.a/ c
w
a
f .x/dx C'.b/ b
w
a
f .x/dx '.b/ c
w
a
f .x/dxD
D'.a/ c
w
a
f .x/dx C'.b/ b
w
c
f .x/dx:
Esto demuestra el teorema para ' decreciente. El caso en que ' sea creciente se reduce al
anterior considerando la función '. 2
8.5.
Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real
Una función compleja de variable real es una función de la formah.t/Df .t/Cig.t/donde f,gson funciones reales definidas en un intervaloI. Se dice quef es la parte real dehyg es la parte imaginaria, y escribimosf DRe.h/,gDIm.h/. Cuando las funcionesf ygson derivables, se dice quehes derivable y se define su derivada por la igualdad:
h0.t/Df0.t/Cig0.t/:
Cuando las funcionesf ygson integrables en un intervaloŒa;bse dice quehes integrable en Œa;by se define la integral dehenŒa;bpor la igualdad:
b
w
a
h.t/dt D b
w
a
f .t/dt Ci b
w
a
g.t/dt:
Naturalmente, siFyGson, respectivamente, primitivas def ygen un intervaloŒa;b, enton-cesH.t/DF.t/Ci G.t/es una primitiva dehenŒa;by se verifica la regla de Barrow:
b
w
a
h.t/dt D b
w
a
f .t/dt Ci b
w
a
g.t/dt D.F.b/ F.a//Ci.G.b/ G.a//DH.b/ H.a/:
Análogamente, sif ygson continuas en un intervaloI y elegimos un puntoa2I, la función:
H.x/D x
w
a
h.t/dt D x
w
a
f .t/dt Ci x
w
a g.t/dt
es una primitiva dehenI.
8.36 Ejemplo. Sea˛Ciˇun número complejo, la función:
h.t/De.˛Ciˇ/tDe˛teiˇtDe˛tcos.ˇt/Cie˛tsen.ˇt/ es derivable y su derivada viene dada por:
h0.t/D˛e˛tcos.ˇt/ ˇe˛tsen.ˇt/Ci ˛e˛tsen.ˇt/Cˇe˛tcos.ˇt/ D De˛t.˛Ciˇ/ cos.ˇt/Cisen.ˇt/D.˛Ciˇ/e˛teiˇtD.˛Ciˇ/h.t/: Como era de esperar, hemos obtenido que:
d dte
.˛Ciˇ/t
D.˛Ciˇ/e.˛Ciˇ/t: En consecuencia:
w
e.˛Ciˇ/t dt D 1
˛Ciˇe
.˛Ciˇ/t (8.17)
8.5.1.
Ejercicios propuestos
365. Seaf .x/D e xsenx
x . Justifica quef es integrable enŒ0;1y se verifica la desigualdad 06r01f .x/dx 6e 1.
366. Sea f una función continua y positiva en Œa;b tal que rabf .x/dx D0. Prueba que f .x/D0para todox 2Œa;b.
367. Justifica las desigualdades:
a/ 1 6 <
2
w
0 dx 10Cx <
1 5I b/
1 10p2 <
1
w
0 x9dx 10Cx <
1 10I c/
1
nC1 <log nC1
n < 1 n:
Deduce de la última desigualdad que eDlKım1C 1n
n .
368. Calcula la integral rf .x/dx donde f .x/Dsenx Ccosx, y calcula el área de la región limitada por la gráfica def y el eje de abscisas cuandox2Œ ; .
369. Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas como sumas de Riemann.
a/xnD
1˛C2˛C Cn˛
n˛C1 ; .˛ >0/ b/xnD
1 p
n.nC1/C 1 p
n.nC2/C C 1 p
n.nCn/ c/xnD
1 nC1 C
1
nC2C C 1 nCn d/xnD
n n2C1 C
n
n2C4C C n n2Cn2 e/xnD
nC1 n2C1C
nC2
n2C4 C C
nCn n2Cn2
f /xnD n
X
kD1
.n k/k
n3 g/xnD 1 n2
n
X
kD1 k sen k n 2
h/xnD
.2n/! n!nn
1=n
i/xnD nq
X
kDnpC1 1
k .p;q2N; p<q/
370. Considera la función f WŒ0;1!R definida porf .x/D1=x E.1=x/para0<x61,
yf .0/D0. Prueba que: 1
w
0
f .x/dx D lKım t!0
1 w t 1 x E 1 x
dx D1 ;
371. Sea f derivable en Œa;b y sea M > 0 tal que jf0.x/j6M para todo x 2 Œa;b. Dadon2NseaP la partición deŒa;bdefinida por los puntosxkDaCkb a
n , donde kD0;1;2; : : : ;n. Pongamos˛D
n
X
kD1 f .xk/
b a
n . Prueba que:
S.f;P/ ˛6M.b a/ 2
n ;
y deduce que:
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ b w a
f .x/dx ˛
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
6M.b a/ 2
n :
372. Calcula las siguientes integrales.
a/ 1
w
0
.x2 1/62xdx b/ 2
3 w
2 3
jcosxjdx c/
e w 1 logx x dx d/ e2 w e 1
xlogxdx e/
2 w
0
senpx
p
x dx f /
4 w
0
1Csenx cos2x dx
g/ 4 w 0 p
cosxsenxdx h/
w
0
senx
cosxC4dx i/ 2
w
1
2 x
x3 dx
Sugerencia. Todas ellas son inmediatas y se calculan usando la regla de Barrow.
373. Seaf una función continua tal quer0xtf .t/dt Dsenx xcosx. Calcula f .=2/y f0.=2/.
374. Sea Seaf una función continua y definamosF.x/D x w 1 t t w 1
f .s/ds !
dt. CalculaF0.1/ yF00.x/.
375. Calcula la derivada de las siguientes funciones.
a/G.x/D
x3 w
0
cos.t2/dt b/G.x/D
1
w
x2
esent dt
c/G.x/D
x2 Cx w p x 1
2Cp3t2dt d/G.x/D
ex w
1
sen.logt/dt
e/G.x/D x w 0 0 @ y2 w 1 1 1Csen2t dt
1
Ady f /G.x/D
rx 1 sen
u u du w
0
1 t2Csen4t dt
g/G.x/D
senw2x
ex
cos.log2.t2//dt h/G.x/D 1
w
0 3x2t3 1Ct4dt
376. Calcula todas las funciones de claseC1enRtales que:
f .x/2D x
w
0
f .t/2Cf0.t/2
dt C2008:
377. Prueba que para todox2Œ0; =2se verifica la igualdad:
cosw2x
0
arc cosptdt C
senw2x
0
arc senpt D
4
378. Seaguna función derivable enRy dos veces derivable en0, siendo ademásg.0/D0.
Estudia la derivabilidad de la función f WR!R definida por: f .0/Dg0.0/; f .x/D 1
x x
w
0 g.t/
t dt .x¤0/: ¿Esf de claseC1?
379. Sea FWŒ0;C1Œ!R definida porF.x/Dr2x x e t
2
dt. Estudia los extremos relativos y absolutos deF, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y calcula el límite deFenC1.
380. Seaf la función dada por:
f .x/D
2 x; six61; 2Cx; six>1. Estudia la derivabilidad deF.x/Dr0xf .t/dt.
381. Calcula los siguientes límites.
a/ lKım x!0 x>0
x2 w
0
sen.pt/dt
x3 b/ xlKım!0 x
x
w
0 et2 dt
x
w
0
et2sentdt
c/ lKım x!0
x>0 x2 w
0
e t2 e 1 dt
xpx
d/ lKım x!0
x2 C1 w 1 e t t dt
x2 e/ x!C1lKım x
w
0 et2 dt
!2
x
w
0
e2t2 dt
f / lKım x!0
x
w
0
.sentCcost 1/dt x2
382. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcúlalas cuando sean convergentes.
a/ C1w
1
dx
xp4x2CxC1 b/ C1w
0
xe x2 dx c/ C1w
0
1
p
x.1Cx/dx d/
C1w
0
1Cx4
.x2C1/3dx e/ 1
w
0 logx
x dx f /
C1w 1
Sugerencias. En a) hacerxD1=t y en d)xDtgt.
383. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias.
a/ 1
w
0
1 cosx
x2px dx b/ 1
w
0 x
x senx dx c/
C1w
0
xC5 x3Cx dx
d/ C1w
1 x
ex 1dx e/ 1
w
0
logxlog.1 x/dx f / 1
w
0 1
p
xsen.1=x/dx Sugerencia. Los criterios de comparación pueden ser útiles.
384. Estudia la convergencia de la integral
ID
C1w
0
x˛xCsenx x senx dx
Según los valores de˛2R.
385. Prueba que la integralr1C1senxpxdx es absolutamente convergente parap >1, es con-vergente pero no absolutamente concon-vergente para 0 < p61y no es convergente para p60.
Sugerencia. Para0<p61usa el segundo teorema de la media.
386. Estudia para qué valores de˛yˇson convergentes las integrales siguientes.
a/ C1w
1
x˛eˇx dx b/ C1w
0
1
x˛.1Cxˇ/dx c/
1
w
0
x˛.1 x/ˇdx
Sugerencia. Utiliza el criterio límite de comparación.
387. Justifica que hay una función f WR!R derivable cuya derivada esf0.x/Dsen.1=x/
para todox¤0, yf0.0/D0. 388. Sea f WRC
o !R la función definida porf .0/D0,f .1/Dlog2y
f .x/D
x2 w
x 1
logt dt .0¤x¤1/: a) Prueba que lKım
x!1f .x/Dlog2y justifica quef es de claseC 1.
Aplicación. Calcula la integral 1
w
0
t 1
logt dt.
Sugerencia: Seag.t/Dt 1
logt. Utiliza el primer teorema de la media para integrales para obtener que si0<x¤1hay algún puntocDc.x/comprendido entrexyx2tal que:
f .x/Dg.c/ x2 w
389. Justifica, usando integrales, que para todox >0se verifica que: 1
1Cx <log.1Cx/ logx< 1 x: Dedduce que, dadop2N,p>2, se verifica que:
lKım n!1
pn
X
kDnC1 1
k Dlogp:
8.5.2.
Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 180 Seaf .x/D e xsenx
x . Justifica quef es integrable enŒ0;1y se ve-rifica la desigualdad06r01f .x/dx 6e 1.
Solución. Como06senx6xpara todox2Œ0;1, se sigue que06f .x/6ex6e para todox 20;1. En consecuencia la funciónf está acotada y es continua enŒ0;1n f0g. Podemos ahora apoyarnos en la observación8.15para concluir quef es integrable en Œ0;1. Alternativamente, podemos definirf .0/D1con lo que cual resulta continua en todo el intervaloŒ0;1. Finalmente, como la integral conserva el orden, tenemos que:
06f .x/6ex 8x 2Œ0;1 ÷ 06 1
w
0
f .x/dx 6 1
w
0
ex dx De 1
©
Ejercicio resuelto 181 Seaf una función continua y positiva enŒa;bconrabf .x/dx D0. Prueba quef .x/D0para todox 2Œa;b.
Solución. Seax 2 Œa;b. Pongamosrabf Draxf Crxbf. Como f .t/>0 para todo t 2 Œa;b, se verifica que rxbf >0, por lo que 0Drabf >raxf >0. Deducimos que
rx
af D0. Comof es continua enŒa;b, la funciónF.x/D
rx
af es derivable enŒa;by F0.x/Df .x/para todox2Œa;b. Evidentemente,F0es la función nula, luegof .x/D0 para todox2Œa;b.
Alternativamente, la función F.x/Draxf .t/dt es derivable conF0.x/Df .x/>0, lo que implica queF es creciente enŒa;b. ComoF.a/DF.b/D0, deducimos que F.x/D0para todox2Œa;b, lo que implica quef es la función nula enŒa;b.
©
Ejercicio resuelto 182 Justifica las desigualdades:a/ 1 6 <
2
w
0 dx 10Cx <
1 5I b/
1 10p2 <
1
w
0 x9dx 10Cx <
1 10I c/
1
nC1 <log nC1
