Les corbes còniques
Anna Sánchez Llobet
Alba Vila Font
Eva Pacheco Borrell
Pol Riera Arbell
Professors: Josep Callís i Margarida Falgàs
2
Índex
1. Introducció ... 3
2. Justificació del tema ... 4
3. Marc teòric ... 5
3.1. Esquema del tema ... 5
3.2. Concepte ... 6
3.3. Història ... 7
3.3.1. Història de les corbes còniques ... 9
3.4. Propietats ... 12
3.5. Anàlisi del currículum ... 14
4. Recerca i investigació ... 16
4.1. Llibres consultats ... 16
4.2. Extracció de conclusions ... 17
5. Planificació ... 22
5.1. Destinataris ... 22
5.2. Metodologia ... 22
5.3. Objectius ... 24
5.4. Continguts ... 25
5.5. Criteris d’avaluació ... 25
5.6. La fitxa utilitzada ... 25
5.6.1. La fitxa de les activitats ... 25
5.6.2. Justificació de la fitxa ... 28
5.6.3. Llegenda de les icones que hi ha en les activitats ... 30
6. Les activitats ... 32
6.1. Llistat d’activitats ... 32
6.2. Taules de les activitats ... 33
6.2.1. Activitats i objectius ... 33
6.2.2. Activitats i continguts ... 37
6.2.3. Activitats i criteris d’avaluació ... 40
6.3. Fitxes de les activitats ... 43
7. Avaluació grupal ... 128
8. Conclusions ... 130
3
1.
Introducció
Primerament, ens agradaria citar de forma breu què entenem els membres del grup per maleta pedagògica. Així, aquesta és concebuda com a un recurs pedagògic que ha de servir al docent que la utilitzi com a eina útil i eficaç per conèixer, poder aplicar i dur a terme tot un seguit d’activitats i exercicis que han de servir per treballar, i en aquest cas, per conèixer un concepte matemàtic determinat.
La maleta pedagògica que hem dissenyat i que es presenta a continuació està formada per tot un seguit d’eines pensades i orientades per treballar a fons una temàtica matemàtica concreta. La maleta pedagògica està estructurada a partir de quatre mòduls ben diferenciats: la recerca, el marc teòric, les activitats i el material que s’ha confeccionat. Aquests han estat elaborats i presentats a partir del seu treball i la seva reflexió.
El tema que hem escollit, de forma conjunta tots els membres del grup que hem dut a terme aquesta maleta pedagògica, és el moviment com a generador de corbes. Per tal d’acotar un mica més aquest tema, tal i com se’ns ha demanat, hem decidit treballar de forma concreta i específica cinc conceptes relacionats amb el tema escollit, que creiem que poden ser un bon tema d’estudi i d’investigació. Aquests són els següents: l’el·lipse, la hipèrbola, la paràbola i la circumferència.
Hem decidit escollir aquests cinc conceptes ja que creiem que a partir del seu estudi, la seva investigació i la seva recerca sobre ells podrem aconseguir dissenyar i elaborar un seguit d’activitats i materials que, esperem, ens ajudin a poder enfocar aquest tema de manera que sigui treballat de forma innovadora i que tingui en compte totes les fases d’adquisició de l’aprenentatge de les matemàtiques.
4
2.
Justificació del tema
El tema de la maleta pedagògica que hem dissenyat i que es presenta a continuació ha estat escollit gràcies a les recomanacions i tutories realitzades per el docent Josep Callís, professor de la Universitat de Girona de la Facultat d’Educació i Psicologia.
Quan ens varen presentar la proposta de la maleta pedagògica, el tema que s’havia escollit entre tots els membres del grup era un tema diferent, i consistia en treballar els cossos rodons. En un primer moment crèiem adient que el tema que escollíssim per a realitzar la maleta pedagògica, estigues relacionat amb uns continguts matemàtics a partir dels quals poguéssim trobar molta informació i així poder adaptar i dissenyar activitats que poguessin ser útils i que es poguessin adaptar amb facilitat a totes les etapes i els cursos de primària.
Malgrat la nostra proposta i la nostra idea, aquesta no l’hem pogut dur a terme, ja que desprès de realitzar la primera tutoria amb el professor Josep Callís, aquest ens va proposar canviar la nostra proposat per a una altra de diferent. Així doncs, la proposta del docent ha sigut el tema sobre el qual em dissenyat i em dut a terme la nostra maleta pedagògica, el tema escollit és el moviment com a generador de corbes, que vàrem tractar en una de les sessions de gran grup que hem realitzat al llarg del mòdul.
Ens agradaria, doncs, esmentar que, el tema desenvolupat en aquesta maleta pedagògica no ha estat escollit voluntàriament per a els membres del grup, malgrat això, hem tirat endavant la proposta realitzada pel docent i, tot i que em modificat una mica els continguts que ens va proposar, hem respectat la seva proposta.
3.
Marc teòric
3.1.
Esquema del tema i esquema del marc teòric.
La maleta pedagògica
Introducció Justificació del tema El marc teòric
Esquema del tema
Concepte
Història
Historia de les corbes còniques Propietats Anàlisi del currículum Recerca i investigació Llibres consultats Extracció de conclusions Planificació Destinataris Metodologia Objectius Continguts i competències Criteris d’avaluació Fitxa utilitzada
La fitxa de les activitats
Justificació de la fitxa Llegenda icònica Les activitats Llista d’activitats Taules d’activitats Activitats i objectius Activitats i continguts
Activitats i criteris d’avaluació
Fitxes d’activitats
3.2.
Concepte
La paraula “corba” és un terme abstracte que s'usa per descriure el camí d'un punt mogut contínuament. Tal camí és sovint generat per una equació. Exemples senzills són les circumferències, les el·lipses, els polígons, les
paràboles, les corbes tècniques, les hipèrboles, els espirals i les rectes.
Corbes Còniques:
7 La recta perpendicular a la directriu que passa pel focus de la paràbola s'anomena eix de la paràbola. El punt de la paràbola que talla l'eix s'anomena vèrtex de la paràbola.
La hipèrbola es defineix com el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la diferència de les distàncies a dos punts fixos denominats focus.
3.3.
Història
Any Esdeveniment
300 a. C. Euclides defineix les seccions còniques
225 a. C.. Apol·loni de Perge publica Còniques.
1704 Isaac Newton classifica les corbes còniques.
1890 Giuseppe Peano aplicant la definició de Jordà, demostra que un quadrat farcit també és una corba.
Dècada de 1920
Pável Urysón i Karl Menger defineixen el concepte de corba a partir de la topologia.
Euclides va proposar un sistema d'estudi en què es dóna per fet la veracitat de certes proposicions per ser intuïtivament clares i deduir d'elles tots els altres resultats. El seu sistema es sintetitza en la seva obra mestra dels Elements.
En aquesta obra, Euclides construeix tota la geometria i l'aritmètica conegudes fins al moment. La seva obra, en XIII volums, perdurarà com a única veritat geomètrica fins al segle XIX.
Arquímedes va estudiar àmpliament les seccions còniques, introduint en la geometria les primeres corbes que no eren ni rectes ni circumferències, a part del seu famós càlcul del volum de l'esfera, basat en els del cilindre i el con.
8 Apol·loni va descobrir que les còniques es podien classificar en tres tipus, les quals els hi va donar el nom d’el·lipses, hipèrboles i paràboles. També va treballar en diverses construccions de tangències entre cercles, així com en seccions còniques i altres corbes.
A més a més les “còniques”, estudiades per Menecmo i Apol·loni fa tants segles, van constituir una imprescindible eina matemàtica per explicar el mecanisme celeste.
En el Renaixement, l'el·lipse és la corba de Kepler, i la paràbola serà la de Galileu, el pare de la cinemàtica. Serà ell qui descobreixi que qualsevol projectil llançat a l'aire descriu una trajectòria parabòlica. Dos còniques per explicar els moviments, tant dels cossos més propers a nosaltres, a la superfície terrestre, com els més allunyats en el cel.
Més tard, Newton, amb la seva llei de gravitació universal i amb la demostració que tota òrbita d'un objecte celeste és una de les tres còniques, posarà la cirereta al pastís de les corbes d’Apol·loni.
Per tant, Apol·loni va realitzar un estudi exhaustiu d'aquesta família de corbes i, Galileu, Kepler i Newton, les van col·locar al centre de l'explicació dels moviments celestes, llavors un jove, Blaise Pascal, va a trobar un dels pocs resultats que li van passar per alt a Apol·loni, en un famós manuscrit desaparegut titulat "Sobre les còniques", "Els punts d'intersecció dels parells de costats oposats d'un hexàgon inscrit en una cònica estan en línia recta“.
El càlcul diferencial va permetre a Newton atacar l'estudi i la classificació d'altres corbes de grau major que dos. En el seu Enumeratio linearum tertti ordinis de 1676, ens descriu fins a 72 corbes de tercer grau, encara que alguna se li va escapar.
Al segle XVI el filòsof i matemàtic René Descartes (1596-1650) va desenvolupar un mètode per relacionar les corbes amb equacions. Aquest mètode és l'anomenada Geometria Analítica. A la Geometria Analítica les corbes còniques es poden representar per equacions de segon grau en les variables X i Y.
9 3.3.1. Història de les corbes còniques
3.3.1.1. La circumferència
La circumferència és la corba tancada i plana formada per punts que equidisten d’un altre punt, anomenat centre. La circumferència sorgeix quan es talla un con perpendicular a l'eix del con.
La circumferència és coneguda des de molt abans del començament de la història escrita. És la base de la roda que, amb invencions relacionades com les rodes dentades, fan
possible gran part de la civilització moderna. En matemàtiques, l'estudi de la circumferència ha ajudat a inspirar el desenvolupament de la geometria, entre d’altres.
La ciència antiga, en geometria i astronomia, especialment durant l’edat mitjana, relacionaven la circumferència amb el món diví. Molts creien que hi havia alguna cosa intrínsecament "divina" o "perfecta" que es podria trobar en les circumferències.
Alguns fets importants de la història de les circumferències són:
1700 a.C. el papir Rhind dóna un mètode per trobar l'àrea d'un camp circular. El resultat correspon a 256/81 com a valor aproximat de π.
300 a.C. El llibre 3 dels elements d'Euclides tracta les propietats de les circumferències.
1880 d.C. Lindemann demostra que π és transcendent, tancant definitivament l'antic problema que havia ocupat els matemàtics durant mil·lennis de la quadratura del cercle.
Els elements principals de la circumferència són els següents:
Radi: aquest és qualsevol segment que té un extrem en el centre de la circumferència i l’altre en el perímetre.
10 3.3.1.2. L'el·lipse
És una corba tancada i plana formada per punts que tenen la propietat que la suma de les distàncies de cada un d'ells a dos punts fixos, anomenats focus, és constant i igual a l'eix major de l'el·lipse. Aquesta corba apareix del tall que forma un angle oblic, amb l'eix del con,
sense arribar a ser paral·lel a cap generatriu del con.
Un resum de la història de l’el·lipse seria:
Com a corba geomètrica, va ser estudiada per Menecmo, investigada per Euclides, i el seu nom s'atribueix a Apol·loni de Perge. El focus i la directriu de la secció cònica d'una el·lipse van ser estudiades per Pappus. L’any 1602, Kepler creia que l'òrbita de Mart era ovalada, encara que més tard va descobrir que es tractava d'una el·lipse amb el Sol en un focus. De fet, Kepler va introduir la paraula «focus» i va publicar el seu descobriment el 1609. Halley, el 1705, va demostrar que el cometa que ara porta el seu nom traçava una òrbita el·líptica al voltant del Sol.
Parts de l’el·lipse:
11 Anomenem circumferències focals a les traçades des de cada un dels focus utilitzant com a radi l'eix major o real.
3.3.1.3. La paràbola
És una corba plana, formada per punts que tenen la propietat d'estar cada un d'ells a la mateix distància d'un punt fix, anomenat focus, i d'una recta anomenada directriu. Sorgeix quan el tall del con és paral·lel a una de les generatrius del con.
La història diu que les seccions còniques van ser descobertes per Menecmo en el seu estudi del problema de la duplicació del cub, on demostra l'existència d'una solució mitjançant el tall d'una paràbola amb una
hipèrbola, la qual cosa és confirmat posteriorment per Proclo i Eratóstenes.
No obstant això, el primer que va fer servir el terme paràbola va ser Apol·loni de Perge en el seu tractat “Còniques”, considerada obra mestra sobre el tema de les matemàtiques gregues, i on es desenvolupa l'estudi de les tangents a les seccions còniques.
És Apol·loni qui menciona que un mirall parabòlic reflecteix de forma paral·lela els rajos emesos des del seu focus, propietat usada avui dia en les antenes parabòliques. La paràbola també va ser estudiada per Arquimedes, novament en la recerca d'una solució per a un problema famós: la quadratura del
cercle, donant com a resultat el llibre “Sobre la quadratura de la paràbola”.
Les parts de la paràbola:
12 de la paràbola que talla l'eix s'anomena vèrtex de la paràbola. El focus és el centre de la paràbola.
3.3.1.4. La hipèrbola
És una corba oberta i plana formada per punts; aquests punts tenen una diferència de distàncies constant respecte a dos punts fixos d'un pla, anomenats focus. Aquesta corba va sorgir del tall paral·lel a l'eix del con, tallant dos cons, oposats pel vèrtex i amb el mateix eix. La història de la hipèrbola és la mateixa que la de la paràbola i la resta de còniques, exceptuant la circumferència. És a dir, descobertes per Menecmo i batejades per Apol·loni.
La hipèrbola és una corba cònica que consta de dos vèrtex i una asímptota, és a dir, una línia amb la que mai es creua. A més té un centre i dos focus, i una recta que ajunta els dos vèrtex que s’anomena eix transversal.
3.4.
Propietats
Apol·loni va demostrar que les corbes còniques tenen moltes propietats interessants. Algunes d'aquestes propietats són les que s'utilitzen actualment per definir-les. Potser les propietats més interessants i útils que va descobrir Apol·loni de les còniques són les anomenades propietats de reflexió.
Aquesta propietats consisteixen en que si es construeixen miralls amb la forma d'una corba cònica que gira al voltant del seu eix, s'obtenen els anomenats miralls el·líptics, parabòlics o hiperbòlics, segons la corba que gira.
13 Una propietat interessant de la paràbola és si es rep llum d'una font llunyana amb un mirall parabòlic de manera que els raigs incidents són paral·lels a l'eix del mirall, llavors la llum reflectida pel mirall es concentra en el focus.
Aquesta propietat permet encendre un paper si es col·loca en el focus d'un mirall parabòlic i l'eix del mirall s'apunta cap al sol. Hi ha la llegenda que Arquímedes (287-212 a.C.) va aconseguir incendiar les naus romanes durant la defensa de Siracusa usant les propietats dels miralls parabòlics. En l'actualitat, aquesta propietat s'utilitza per als radars, les antenes de televisió i miralls solars.
La propietat anàloga, que ens diu que un llamp que parteix del focus es reflecteix paral·lelament a l'eix, serveix perquè els fars dels automòbils concentrin el feix en la direcció de la carretera o per estufes. En el cas dels miralls hiperbòlics, la llum provinent d'un dels focus es reflecteix com si vingués de l'altre focus, aquesta propietat s'utilitza en els grans estadis per aconseguir una superfície major il·luminada.
Una propietat molt senzilla de percebre és que qualsevol projectil llançat a l'aire descriu una trajectòria parabòlica.
Més propietats i parts de les corbes còniques:
Focus: són els punts F i F 'de contacte de les esferes inscrites al con amb el pla secant que genera les seccions còniques, i estan situats en l'eix de simetria. L'el·lipse i la hipèrbola tenen dos focus, i la paràbola en té només un.
Vèrtexs: són els punts extrems dels eixos de la corba.
Eixos: amb aquest terme es denomina als eixos de simetria de la corba. Tant l'el·lipse com la hipèrbola tenen dos eixos de simetria que són perpendiculars entre si. La paràbola en té només un.
Centre: és el punt on es tallen els eixos de simetria i, per tant, el centre de la corba.
Directrius: són les rectes d'intersecció que fa el pla secant (que genera la corba cònica) amb els plànols que contenen les circumferències tangents de les esferes amb el con.
14
Circumferència focal: és el lloc geomètric dels punts simètrics de l'altre focus respecte de les rectes tangents a la cònica. El centre d'aquestes circumferències són els focus i els radis són la longitud de l'eix major en el cas de l'el·lipse i la hipèrbola; en la paràbola, el radi és infinit.
3.5.
Anàlisi del currículum
Desprès d’haver revisat el currículum de primària per veure quins continguts matemàtics fan referència a la temàtica que engloba la nostra maleta pedagògica “El moviment com a generador de corbes”: el·lipse, hipèrbola, paràbola, i la circumferència, hem pogut observar que aquest continguts a cicle inicial no apareixen de forma explícita. Tot i aquesta constatació, creiem que podríem començar a introduir aquests continguts al blocs següents:
Espai i forma
˗ Anàlisi de les característiques i propietats de les figures geomètriques.
˗ Localització i descripció de relacions espacials.
Si que podem dir que al final de l’aparició dels blocs de continguts del currículum, apareix un requadre titulat: relacions amb altres àrees. Creiem que els continguts que es treballen a la maleta pedagògica podrien integrar-se també en aquests ítems que es contemplen.
˗ Cerca de regularitats i diferències en l’observació de l’entorn (per exemple, canvis en les persones al llarg del temps).
˗ Observació i localització de formes geomètriques a l’entorn: materials, éssers vius i objectes i produccions humanes.
˗ Descripció oral del procés de mesura i d’estimació. Ús de comparatius i d’adverbis de temps.
˗ Interpretació de la mesura com a instrument de coneixement del món natural: longitud (creixement), pes/massa, capacitat.
15 Relacions i canvi
˗ Comprensió i anàlisi dels patrons, relacions i canvis
Espai i forma
˗ Anàlisi de les característiques i propietats de les figures geomètriques
˗ Localització i descripció de relacions espacials
˗ Identificació i aplicació de transformacions geomètriques
˗ Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre problemes
Mesura
˗ Comprensió de les magnituds mesurables, de les unitats i del procés de mesurar. Pel que fa a el quadre que apareix al final de cada cicle que relaciona i connecta els continguts matemàtics amb la resta de les àrees, també creiem que alguns d’aquests criteris podrien estar relacionats amb els continguts matemàtics de la nostra maleta pedagògica. Aquests són els següents:
˗ Ús de models geomètrics per resoldre problemes d’altres àrees.
˗ Utilització de la simetria i d’elements geomètrics per analitzar i fer produccions artístiques.
˗ Interpretació i ús de la mesura com a instrument de coneixement del món natural: longitud, pes/massa, capacitat.
Pel que fa als continguts matemàtics que apareixen a cicle superior, ens adonem que tampoc hi apareixen continguts que estiguin relacionats amb la nostra maleta pedagògica. Opinem, però, que aquests es podrien introduir a varis blocs de continguts, tals com:
Relacions i canvi
˗ Comprensió i anàlisi dels patrons, relacions i canvis
Espai i forma
˗ Anàlisi de les característiques i propietats de les figures geomètriques
˗ Localització i descripció de relacions espacials
˗ Identificació i aplicació de transformacions geomètriques
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Primària ESO
Llibres consultats
nº de llibres
4.
Recerca i investigació
4.1.
Llibres consultats
La font d’investigació utilitzada per analitzar l’entorn sobre el tema proposat, han sigut els llibres de text següents:
˗ Callejo, M. L., Paz, M. L., Vidal, M. D. (1994) La función de las funciones. Materiales 12-16 para Educación Secundaria (1a ed.). Madrid: Narcea S.A. de Ediciones
˗ Guiteras, J. M., Capella, T., Bertomeu, C., Besora, J., Jané A. (2002). Matemàtiques 1.ESO (1a ed.). Madrid: Mc Graw Hill
˗ Guiteras, J. M., Capella, T., Bertomeu, C., Besora, J., Jané A. (2003). Matemàtiques 2.ESO (1a ed.). Madrid: Mc Graw Hill
˗ Canals, M. A., Dalmau, S., Quintana, J. (1995). Actimates. (1a ed.). Barcelona: Onda
˗ Sanz, M. J., Ibáñez, A., Gómez, R., et al. (1999). Matemàtiques 6 (1a e.). Barcelona: editoral cruïlla
˗ Andrés, J., Diego, J. D., Masip, P. et al. (1995). Matemàtiques 6 (1a ed.). Barcelona: edebé
˗ Zamora, C., Gómez, M., Sánchez, R., et al. (1994). Matemàtiques 5 (1a ed.). Barcelona: edebé
˗ Garriga, C., Sánchez, N., Fransoy, M., et al. (2009). Matemàtiques 6 (1a ed.). Barcelona: laGalera
˗ Garriga, C., Sánchez, N., Martorell, E.., et al. (2009). Matemàtiques 5 (1a ed.). Barcelona: laGalera
˗ Fraile, J. (2010). Matemàtiques 5 (1a ed.). Barcelona: Vicens Vives Un dels aspecte que hem tingut en compte
alhora de seleccionar un llibre ha estat la data de publicació, per tal d’obtenir informació de diversos anys i no només llibre actualitzats dels últims dos o tres cursos.
17 escollit llibres de l’etapa d’educació secundària, ja que aquest tema és treballa i en podíem treure informació diversa per elaborar la investigació.
4.2.
Extracció de conclusions
A la taula que hi ha a continuació, es mostren els resultats de la recerca dels llibres consultats; en ella, es mostra si es treballa algun concepte, quin és, a quina edat va dirigit i quina és la
Recollida de dades dels llibres consultats
Llib re Fig u ra q u e es t re b alla En q u in gra u es t re b alla ? A q u in cu rs va d irigi t? Qu è es treb alla ? Me to d o logi a u tilitz ad a Ma terials
La función de las funciones
paràbola molt ESO equació,
gràfica simbòlica calculadora
hipèrbola bastant ESO equació,
gràfica simbòlica calculadora
Matemàtiques 1
ESO circumferència
una
vegada 1 ESO
Longitud, diàmetre,
radi, centre
manipulativa cordill
Matemàtiques 2
ESO hipèrbola
una
vegada 2 ESO gràfica simbòlica -
Matemàtiques: educació primària 6
circumferència
i cercle Poc
cicle superior
-sisè
longitud simbòlica -
Matemàtiques 6 - - - -
Actimates circumferència una vegada
cicle superior
- sisè
longitud manipulativa roda, cartolina
Matemàtiques:
Cicle Superior 6 - - - -
Matemàtiques 5
(ed. laGalera) - - - -
Matemàtiques: educació primària 5
circumferència molt
cicle superior - cinquè longitud, diàmetre, radi, centre
manipulativa monedes i
pots cilíndrics
Matemàtiques:
Cicle Superior 5 - - - - Matemàtiques 5
(ed. Vicens Vives)
18 metodologia emprada. És a partir d’aquesta taula que hem elaborat els gràfics per posteriorment, extreure les conclusions.
A partir de tots els llibres de text, que ens han servit per saber el grau que es treballa el tema escollit, podem concloure que a l’etapa de primària no es treballa el tema de les corbes còniques i, si s’hi fa referència, és de manera superficial, sobretot en l’últim cicle, on només s’hi
treballa la longitud de la circumferència d’una manera manipulativa.
A més a més, també observem que es planteja el mateix tipus d’activitat per buscar la longitud i els elements de la circumferència. Aquesta classe d’activitat, sempre simbòlica, es planteja tot representant un dibuix d’una roda de bicicleta per tal de trobar la longitud, el radi i el diàmetre d’una circumferència tot seguint unes pautes. Hem observat que, normalment, el tema de la circumferència el trobem situat al final del llibre de text de cicle superior; aquest fet ens fa pensar que, per falta de temps, moltes vegades aquest tema no es treballa i, per tant, els alumnes no poden adquirir la base necessària per tal de conèixer els diferents elements de la circumferència.
Un cas que ens ha sobtat és un llibre de cinquè de primària en el qual, es treballa la circumferència amb profunditat, dedicant-li tot un tema. En ell, es treballa la circumferència i els diferents elements que la formen. A la vegada, les activitats proposades són, manipulatives
0 1 2 3 4 5 6
Si No
Comparativa dels llibres utilitzats en el qual es treballa en algun aspecte
nº de llibres de Primària nº llibres ESO
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Metodologia utilitzada en els llibres
Primària
19 i utilitzen materials quotidians que els alumnes es troben el dia a dia, tant a casa com a l’escola. Ara bé, també hem
comprovat que no hi ha continuïtat a sisè.
Una situació diferent és la que passa a l’etapa d’educació secundària, a on el tema es treballa amb més profunditat, sobretot la paràbola i la hipèrbola, d’una manera simbòlica, sense donar peu a cap tipus de manipulació ni vivenciació, sinó que es fa ús
de la calculadora. Un altre aspecte que també es treballa són les gràfiques, per tal de representar les equacions, de les paràboles i les hipèrboles.
En un dels llibres de text de l’etapa de secundària, hi trobem un cas excepcional de manipulació. Aquesta s’utilitza per tal de descobrir la longitud de la circumferència; però tan sols hi trobem una activitat. Per tal de desenvolupar-la s’empra un cordill per saber la longitud de la circumferència.
Juntament, amb la metodologia que s’utilitza per a treballar les diferents corbes i quines són les figures que s’ensenyen, hem comprovat la freqüència amb la qual es treballa cada una de les figures anteriors, tant a l’etapa de primària com a educació secundària. Amb aquesta realització, ens hem adonat de que a primària si que hi ha un cas en el qual es parla del cercle, a educació secundària, no es menciona. Un altre aspecte rellevant que també és observat, és el fet de que ni a l’etapa de Primària ni en l’Educació Secundària, no es parla d’en cap cas de l’el·lipse. aquesta figura, no s’ha vist en cap d’ells llibres, ni tan sols la seva representació. 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Figures que es treballen en els llibres
Primària ESO
0 1
Freqüènica amb la qual es treballen les figures geomètiques en base als llibres de ESO
consultats
20 Un altre aspecte a
remarcar, són els elements que formen part de cada una de les figures còniques estudiades. per una banda, ens trobem amb que la longitud de la circumferència es treballa en diversos llibres de primària, però en els
llibres d’educació secundària, ja no hi és. però, per contra, en l’etapa de l’educació secundària es treballa l’equació de la paràbola i la hipèrbola i la representació corresponent de les dues figures en un eix de coordenades.
En moltes ocasions, hem observat que els llibres de text van acompanyats d’una guia pel professorat, on s’hi explica com desenvolupar les activitats que es proposen en el llibre de l’alumne, d’una manera seqüenciada i pautada i sempre a partir d’una didàctica simbòlica. Volem manifestar que estem en contra de totes les guies de professorat que segueixen aquest tipus de metodologia simbòlica. Tanmateix, si el llibre de text està acompanyat d’una guia destinada al docent, creiem que hauria de ser més variada en quant a les metodologies que podem utilitzar per desenvolupar les activitats, essent aquestes més vivencials i manipulatives.
Finalment, volem destacar que és un tema que no es treballa a l’etapa de primària i, quan es fa, es realitza d’una manera inadequada. Per aquest motiu, i veient les mancances que hem trobat en els llibres de text que fan referència a aquest tema, creiem que s’hauria de fomentar més l’ús de la manipulació i la vivenciació en les activitats, per tal que els coneixements quedin integrats de manera permanent en els alumnes. Tanmateix, cal destacar que és important que els nens i les nenes passin, d’una manera gradual, per les diferents etapes de l’aprenentatge
0 1
Freqüènica amb la qual es treballen les figures geomètriques en base als llibres de Primària consultats
molt bastant 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Freqüècia amb la qual es treballen els elements i representacions de les figures a
Primària
Circumferència
El·lipse
Paràbola
21 (vivenciació, manipulació, simbolització, abstracció i generalització). D’aquesta manera, aquest procés d’adquisició dels coneixements farà que els alumnes obtinguin uns aprenentatges més significatius i lligats a la realitat quotidiana que els envolta.
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Freqüècia amb la qual es treballen els elements i representacions de les figures a
ESO
Circumferència
El·lipse
Paràbola
22
5.
Planificació
5.1.
Destinataris
Ens agradaria, primerament, deixar constància dels destinataris pels quals s’ha dissenyat la nostra maleta pedagògica.
Cal dir que el disseny, la construcció de tot el treball, així com també les activitats i els materials que se’n deriven, estan pensats i dissenyats de manera que siguin els docents els que en puguin fer ús. Així, esperem que a través del nostre treball i la nostra recerca a través del tema que s’ha treballat “El moviment com a generador de corbes (circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola) els docents que estiguin interessats a treballar aquest contingut matemàtic puguin fer servir la nostra maleta com a un recurs pedagògic ric, potent i útil per a poder desenvolupar-lo i començar a treballar-lo a les aules de tots els cicles de primària. D’aquesta manera doncs, els destinataris últims d’aquesta maleta pedagògica, són els alumnes de les escoles catalanes que treballin la temàtic que hem treballat al llarg d’aquesta maleta pedagògica.
5.2.
Metodologia
La metodologia que utilitza la maleta pedagògica està basada en la teoria del procés d’aprenentatge de les matemàtiques que divideix el procés en 5 etapes, la vivenciació, la manipulació, la simbolització, la abstracció i la generalització.
En aquests procés els alumnes comencen vivint l’aprenentatge (la persona és subjecte del problema que necessita solució), tot seguit passem a la etapa de manipulació (els alumnes utilitzen objectes i materials per resoldre els aprenentatges), la següent etapa és la simbolització en la que els materials i els fets és transformen en llenguatge escrit o parlat i aquesta etapa permet ampliar les possibilitats d’investigació.
23 Finalment, l’última etapa és la generalització, que és caracteritza per ser la etapa en què les persones elaboren, descobreixen, creen... noves lleis matemàtiques, nous aprenentatges i formulen teories, definicions, etc.
Les 40 activitats de la maleta estan repartides entre aquestes 5 etapes. Tot i que no de manera igual, perquè la maleta pedagògica està enfocada a l’educació primària i les etapes que necessiten una maduració intel·lectual alta es treballaran més als estudis superiors. Per aquesta raó trobarem poques activitats d’abstracció i generalització, i per contra hi abunden les activitats de vivenciació i manipulació.
Amb aquesta selecció d’activitats hem volgut que els alumnes adquireixin una molt bona base de coneixement sobre el tema escollit, per així preparar i organitzar la ment per una futura ampliació del tema. Gran part de les activitats ajuden a reforçar idees bàsiques sobre les corbes còniques, sobretot es treballen les més senzilles, com la circumferència o l’el·lipse, i les més complexes es treballen de forma introductòria; la paràbola si que es treballa algun concepte teòric i alguna propietat, però de la hipèrbola, molt poc, perquè aquesta té un nivell de dificultat elevat i i creiem que és més recomanable treballar-la a secundària.
Per crear una molt bona base matemàtica hem escollit moltes activitats vivencials, activitats on l’alumne és el protagonista i, per tant, l’aprenentatge és molt directe. Aquesta metodologia sovint és més limitada que treballar amb símbols, però és amb la vivenciació que els alumnes adquireixen un aprenentatge significatiu i útil per la seva vida.
Enllaçat amb l’última idea del paràgraf anterior, creiem que els aprenentatges ja siguin de matemàtiques, o de qualsevol àrea, han d’estar estretament lligats amb la vida, l’entorn proper dels alumnes. Per exemple, un alumne aprendrà més si li ensenyem a sumar cromos dels “Pokémon” que si el fas sumar les pàgines d’un llibre. Aquesta teoria, es basa en el fet que l’alumne s’interessarà molt més per un aprenentatge que li pot ser útil i, per tant, és tasca del mestre adaptar els aprenentatges als interessos dels seus alumnes.
A més a més, creiem que les activitats han d’estar lligades al món natural, i per aquesta raó hem seleccionat un gran nombre d’activitats que treballen les matemàtiques relacionades amb la natura, com per exemple les que parlen de l’univers, de la llum del sol, de la gravetat, etc. Aquest aprenentatge fomenta una relació sana amb l’entorn i, per tant, esdevé interdisciplinari.
24 treballar de diferents formes. Algunes activitats són individual per reforçar la competència d’iniciativa personal i autoestima, altres en parelles per fomentar l’empatia i la comunicació correcte i respectuosa entre iguals. Finalment hem introduït activitats en grups de més de dos membres per treballar els aspectes anteriors, però també per treballar totes les competències que es posen en pràctica durant la vida quotidiana, competències ciutadanes, comunicatives, emocionals...
Finalment, ens agradaria que qualsevol mestre que es proposi ensenyar, ha de adaptar la metodologia al seu grup classe. És a dir, cal escollir quines tècniques, paraules, exemples, activitats, feedbacks, etc. utilitzaràs per aconseguir que els alumnes adquireixin el màxim d’aprenentatge, per tant si tenim una classe molt fragmentada fomentarem els treballs grupals i cooperatius. Si tenim uns alumnes de classes baixes potser haurem de parlar de xapes i no de cromos de “Pokémon”. Per tant, la metodologia ha de ser escollida pel mestre sempre tenint en compte les necessitats de l’alumne i s’ha d’escollir la que afavorirà un aprenentatge significatiu i de qualitat per als nens i nenes.
5.3.
Objectius
A l’hora d’elaborar la maleta pedagògica corresponent ens vam plantejar els següents objectius:
Ha de ser un recull i elaboració de materials per a poder portar a terme un treball matemàtic i lingüístic a partir del bagatge de l’alumnat.
Ha de ser un recurs didàctic que serveixi per apropar l’alumnat al món del moviment com a generador de corbes.
Ha de ser una eina per conscienciar al professorat de transformar l’ensenyament de les matemàtiques cap a millor.
Ha de ser un recurs útil i pràctic per al professorat.
25
5.4.
Continguts i competències
CONTINGUTS
La circumferència, les seves propietats i la seva mesura. L’el·lipse i les seves propietats.
La paràbola i les seves propietats. La hipèrbola i les seves propietats.
Anàlisi de totes aquestes figures geomètriques.
Identificació i aplicació d’aquestes figures geomètriques.
Utilització d’aquestes figures geomètriques per resoldre problemes.
COMPETÈNCIES
Les competències que es treballen en aquesta maleta pedagògica bàsicament són la competència matemàtica relacionada amb la competència lingüística i audiovisual tot utilitzant com a recurs la competència en el coneixement i la interacció amb el món físic i la competència artística i cultural.
5.5.
Criteris d’avaluació
L’avaluació d’aquesta maleta pedagògica es portarà a terme a partir d’unes graelles on s’hi trobaran esmentades les 40 activitats i un ítem avaluable, que s’haurà de marcar amb una creueta quan l’alumne el compleixi.
5.6.
La fitxa utilitzada
5.6.1. La fitxa de les activitats
26
OBJECTIU
CONTINGUT MATEMÀTIC
CICLE
METODOLOGIA
RECURSOS
AGRUPAMENT
NOM DE L’ACTIVITAT
OBJECTIUS
CONTINGUTS MATEMÀTICS
Conceptuals:
Procedimentals:
CICLE
CONTINGUTS D’ALTRES
ÀREES
Conceptuals:
Procedimentals:
COMPETÈNCIES BÀSIQUES
Procedimentals:
27
DESENVOLUPAMENT DE L’ACTIVITAT
Normatives:
Metodologia:
Participants/Agrupament/Organització:
Explicació activitat:
VARIACIONS DE L’ACTIVITAT
28 5.6.2. Justificació de la fitxa
La fitxa model que hem cregut adient per a realitzar les activitats de la nostra maleta pedagògica, tal i com heu vist anteriorment, consta dels apartats que pareixen habitualment en totes els fitxes d’activitats. Aquestes parts són:
˗ Nom de l’activitat
˗ Cicle al qual va dirigida l’activitat
˗ Objectius
˗ Competències bàsiques
˗ Desenvolupament de l’activitat
˗ Material necessari
˗ Variacions de l’activitat
Els apartats que sí que hem cregut que podíem modificar i que no són comuns a totes les fitxes d’activitats són els següents:
˗ Continguts matemàtics
˗ Conceptuals
˗ Procedimentals
˗ Continguts d’altres àrees
˗ Conceptuals
˗ Procedimentals
˗ Continguts previs
Hem cregut adient afegir aquests apartats, ja que d’aquesta manera, podem saber quins continguts matemàtics concrets es treballen en una activitat específica, tant els que fan referència als conceptuals com als procedimentals.
Tanmateix, també hem cregut interessant deixar constància dels continguts relacionats amb les altres àrees que es treballen en una activitat concreta, tant dels continguts conceptuals com dels procedimentals. Per últim, també hem afegit un petit apartat de continguts previs, per tal de que el docent conegui i sigui conscient de quins són els continguts previs necessaris que haurien d’haver treballat els alumnes per a poder dur a terme aquesta activitat.
29
˗ Normatives
˗ Metodologia
˗ Participants/Agrupament/Organització
˗ Explicació activitat
Creiem que aquests ajudaran a tenir una idea clarificadora i entenedora de l’activitat que es proposa.
Per últim també creiem oportú esmentar que en aquets model de fitxa que hem utilitzat hi hem fet aparèixer un segon aspecte al qual cal fer-hi referència, ja que aquest tampoc és comú a les fitxes d’activitats habituals. Aquest aspecte fa referència a la columna que apareix al marge dret de la pàgina. Dins d’aquesta columna i apareixen tot un seguit de requadres, cada un dels quals porta un encapçalament en forma de títol i va acompanyat d’una icona que el representa. Aquests quadres fan referència a :
˗ Objectiu
˗ Contingut matemàtic
˗ Cicle
˗ Metodologia
˗ Recursos
˗ Agrupament
˗ Forma
Aquest aspecte creiem que és adient que consti en el nostre model de fitxa, ja que aquest model permetrà al docent obtenir informació de forma ràpida i visual de l’activitat que està consultant en aquell moment concret. D’aquesta manera facilitem la seva selecció d’activitats, ja que, si per exemple, ens interessa trobar una activitat per treballar de forma simbòlica, en gran grup i en la qual es treballi un contingut matemàtic determinat, aquest disseny de fitxa et permet fer-ho de forma ràpida i fàcil.
30 5.6.3. Llegenda de les icones que hi ha en les activitats
A continuació, hi ha la llegenda de les icones emprades en les fitxes, totes elles estan classificades segons la seva funció i representació:
Objectiu
Adquisició d’estratègies Descoberta/ Generalització Aplicació de coneixements
Contingut matemàtic
Mesura Geometria Geometria en l’espai
Estadística
Cicle
Cicle inicial Cicle mitjà Cicle superior
Metodologia
Vivenciació Manipulació Simbolització
31
Abstracció Generalització / Descoberta
Recursos
TIC Termòmetre Altres recursos
Agrupament
Individual Parella/Petit grup Grupal
Figura
Circumferència El·lipse Paràbola
32
6.
Les activitats
6.1.
Llistat d’activitats
ACTIVITAT 1 : Descobrim formes circulars del nostre entorn. ACTIVITAT 2 : Identifiquem els radis del nostre entorn. ACTIVTAT 3 : L’el·lipse i el seu moviment
ACTIVITAT 4: Descobrim l’el·lipse en un con ACTIVITAT 5:Fem un dibuix a partir d’el·lipses ACTIVITAT 6 : La paràbola aquàtica
ACTIVITAT 7: La corba elàstica ACTIVITAT 8: Il·luminem hipèrboles
ACTIVITAT 9 : Treballem els radis, diàmetres, cordes i centres de la circumferència. ACTIVITAT 10: La simetria de la circumferència
ACTIVITAT 11: La simetria de les circumferències. ACTIVTAT 12: Decoració el·líptica
ACTIVITAT 13: El·lipses de llum
ACTIVITAT 14: Transformació d’una el·lipse a cercle ACTIVITAT 15: Descoberta d’una propietat de l’el·lipse ACTIVITAT 16: El camí marcat de la pilota
ACTIVITAT 17: Caçadors de Paràboles ACTIVITAT 18: La sorra parabòlica ACTIVITAT 19: Parts de la hipèrbola
ACTIVITAT 20: Hipèrboles en el nostre entorn ACTIVITAT 21: Representem hipèrboles ACTIVITAT 22: Rellotges de sorra hiperbòlics ACTIVITAT 23: Posem noms!
ACTIVITAT 24: La circumferència i el seu focus
ACTIVITAT 25: Quin és l’element bàsic per poder construir una circumferència? ACTIVITAT 26: Descobrim el perímetre de la roda
ACTIVITAT 27: Fem circumferències amb cordills
33 ACTIVITAT 29: Descoberta de la simetria de l’el·lipse
ACTIVITAT 30: L’el·lipse i la reflexió
ACTIVITAT 32 :Tots els camins porten al Focus ACTIVITAT 33: Concentrem la llum
ACTIVITAT 31: Les el·lipses del sistema solar ACTIVITAT 34 : Com Il·luminar el camí? ACTIVITAT 35: La paràbola al món estadístic ACTIVITAT 36: La cuina parabòlica
ACTIVITAT 37: Construïm hipèrboles ACTIVITAT 38: Pont parabòlic i hiperbòlic
ACTIVITAT 39: Classifiquem formes geomètriques ACTIVITAT 40: Cons màgics
6.2.
Taules de les activitats
A continuació es mostren una sèrie de taules que fan més fàcil la visualització de cada una de les activitats i els diferents ítems d’avaluació que es relaciona, objectius, continguts i metodologia utilitzada en cada una.
6.2.1. Activitats i objectius
La següent taula, és una relació de cada una de les activitats amb els objectius generals plantejats per assolir en aquesta maleta són els següents:
1. Identificar, analitzar i descriure objectes i espais de l’entorn amb formes geomètriques.
2. Buscar semblances i deferències entre dos figures geomètriques. 3. Aplicar la mesura dins l’àmbit de la geometria cònica
4. Comunicar oralment o per escrit coneixements i processos matemàtics duts a terme durant l’activitat.
34 7. Comprovar la validesa de les respostes i reconèixer la validesa de diferents processos
de resolució.
8. Seleccionar de forma adequada l’estratègia per mesurar longituds. 9. Manipular material plàstic per construir les figures demanades. 10. Participació activa durant el desenvolupament de l’activitat. 11. Mostrar una actitud positiva envers el treball en grup. 12. Respectar i acceptar les opinions dels companys.
13. Conèixer els diferents instruments per a construir formes geomètriques.
14. Descobrir i integrar en el seu coneixement els diferents tipus de corbes generats a partir del moviment.
Objectiu 1 Objectiu 2 Objectiu 3 Objectiu 4 Objectiu 5 Objectiu 6 Objectiu 7 Objectiu 8 Objectiu 9 Objectiu 1 0 Objectiu 1 1 Objectiu 1 2 Objectiu 1 3 Objectiu 1 4 Objectiu 1 5
Activitat 1 x x x x x x x x x
Activitat 2 x x x x x x x X x
Activitat 3 x x x x
Activitat 4 x x
Activitat 5 x x
Activitat 6 x x x x x x x X
Activitat 7 X x x x x x X x
Activitat 8 x x x x
Activitat 9 x x x x x x x
Activitat 10 x x x x x
Activitat 11 x x x x x x
Activitat 12 x
Activitat 13 x x x
Activitat 14 x x
Activitat 15 x x
Activitat 16 x x x x x x x x x x
Activitat 17 x x x x x x x x
Activitat 18 x x x x x x x x x x
Activitat 19 x x
Activitat 20 x x x x x
Activitat 21 x x x
Activitat 22 x x x
Activitat 23 x x
Activitat 24 x x x x x x
36
Activitat 26 x x x x x x x x x x
Activitat 27 x x x x x x X x
Activitat 28 x x x x x x
Activitat 29 x
Activitat 30 x x
Activitat 31 x x x
Activitat 32 x x x x x x x x x x
Activitat 33 x x x x x x x x x x
Activitat 34 x x x x x x x x x x
Activitat 35 x x x x x x x x
Activitat 36 x x x x x x x x x
Activitat 37 x x x
Activitat 38 x x x x
Activitat 39 x x x x x x
6.2.2. Activitats i continguts
En la taula que hi ha a continuació, hi ha una relació de cada una de les activitats amb els continguts i forma geomètrica que treballa. A la vegada, també hi ha una relació de la metodologia que s’utilitza per treballar durant el desenvolupament de l’activitat.
De manera esquemàtica, els continguts que es treballen en cada una de les activitats són: La circumferència:
- Radi - Corda - Centre - Diàmetre - Simetria L’el·lipse:
- Focus - Segments - Formació - Simetria - Forma La paràbola
- Vèrtex - Focus - Simetria - Reflexió La hipèrbola
- Focus - Vèrtex - Forma
Continguts Metodologia
Circumferència El·lipse Paràbola Hipèrbola
Vi venciaci ó M an ip u laci ó Si m b o litzaci ó Ab stracció D esc o b er ta Rad i Co rd a
Centre Diàm
et re Si m et ria Fo rm a Fo cus Seg m ent s Fo rm ació Si m et ria Fo rm a Vèrte x Fo cus Si m et ria Reflex ió Fo cus Vèrte x Fo rm a Represen tació
Activitat 1 x x
Activitat 2 x x x
Activitat 3 x x x
Activitat 4 x x x
Activitat 5 x x
Activitat 6 x x
Activitat 7 x x x
Activitat 8 x x
Activitat 9 x x x x x x
Activitat 10 x x x x
Activitat 11 x x
Activitat 12 x x x
Activitat 13 x x x
Activitat 14 x x x x x x
Activitat 15 x x
Activitat 16 x x x x
Activitat 17 x
Activitat 18 x x x x
Activitat 19 x x x
Activitat 20 x x
Activitat 21 x x
39
Activitat 23 x x
Activitat 24 x x x
Activitat 25 x x x
Activitat 26 x x
Activitat 27 x x x
Activitat 28 x
Activitat 29 x x x
Activitat 30 x x x
Activitat 31 x x
Activitat 32 x x x x
Activitat 33 x x x
Activitat 34 x x x x x
Activitat 35 x x
Activitat 36 x x x x x
Activitat 37 x x
Activitat 38 x x
Activitat 39 x x x x x
6.2.3. Activitats i criteris d’avaluació
A continuació, hi ha la taula en la qual es relacionen les activitats amb els criteris d’avaluació de cada una de les activitats plantejades en aquesta maleta pedagògica. Els criteris d’avaluació, són els que es detallen tot seguit:
1. Reconèixer objectes i espais de l’entorn amb formes geomètriques. 2. Identificar les propietats geomètriques de figures.
3. Saber mesurar dins l’àmbit de la geometria.
4. Explicar verbalment o per escrit continguts o seqüències desenvolupades. 5. Ús de l’eina més adequada per representar figures geomètriques.
6. Comunicar els resultats de les tasques amb un llenguatge matemàtic més específic. 7. Contrastar les respostes i els diferents processos seguits.
8. Escollir de manera oportuna com mesurar una longitud. 9. Utilitzar material plàstic per elaborar les figures demanades. 10. Col·laborar activament en la realització de les activitats.
11. Manifestar un comportament adequant durant el treball entre iguals. 12. Tenir en compte els diferents punts de vista dels companys.
Cri te ri 1 Cri te ri 2 Cri te ri 3 Cri te ri 4 Cri te ri 5 Cri te ri 6 Cri te ri 7 Cri te ri 8 Cri te ri 9 Cri te ri 1 0 Cri te ri 1 1 Cri te ri 1 2 Cri te ri 1 3 Cri te ri 1 4
Activitat 1 x x x x x x
Activitat 2 x x x x x x
Activitat 3 x x X
Activitat 4 x x
Activitat 5 x
Activitat 6 x x x x X X x x x
Activitat 7 x x x x X X x x x
Activitat 8 x x x x X X
Activitat 9 x x x x x
Activitat 10 x x X x
Activitat 11 x x x X x x
Activitat 12 x x x
Activitat 13 x x x
Activitat 14 x x
Activitat 15 x x
Activitat 16 x x x x X X x x x
Activitat 17 x x x X x x x
Activitat 18 x x x x x x x x
Activitat 19 x X
Activitat 20 x x x x X x x x
Activitat 21 x x x X x x x
Activitat 22 x x x x x x
Activitat 23 x x X x x x
Activitat 24 x X x x x
Activitat 25 x x x X x x
42
Activitat 27 x x x X x x x x
Activitat 28 x x x X x x x x
Activitat 29 x x x
Activitat 30 x x x
Activitat 31 x x
Activitat 32 x x x x x x x x x
Activitat 33 x x x x x x x x x x x
Activitat 34 x x x x x x x x x x x
Activitat 35 x x x x x x x x x
Activitat 36 x x x x x x x x x
Activitat 37 x x x x x
Activitat 38 x x x x x x x
Activitat 39 x x x x
6.3.
Fitxes de les activitats
A continuació, hi ha totes les fitxes de les activitats plantejades en aquesta maleta pedagògica, hem intentat que fossin de diferents metodologies i per a tots els cicles de l’etapa d’Educació Primària. Totes les activitats pretenen acostar a l’alumne a adquirir nous coneixements d’una manera molt més propera en lloc d’utilitzar sempre el mateix tipus de material, com ara és el llibre de text, el llapis i el paper.
Per tal de programar aquestes activitats, hem intentat que n’hi haguessin que es poguessin realitzar a l’exterior, d’aquesta manera els alumnes poden veure, comprovar i vivenciar les matemàtiques d’una manera més propera i diferent.
44
OBJECTIU
CONTINGUT MATEMÀTIC
CICLE
METODOLOGIA
RECURSOS
AGRUPAMENT
ACTIVITAT 1 :
Descobrim formes circulars del nostre entorn.
OBJECTIUS
Identificar formes circulars del nostre entorn.
Recollir objectes quotidians que tinguin forma de circumferència.
CONTINGUTS MATEMÀTICS
Conceptuals:
Identificació de formes circulars.
Procedimentals:
Reconeixement d’objectes amb formes circulars.
CI
CONTINGUTS D’ALTRES ÀREES
Conceptuals
Utilitzar vocabulari matemàtic específic.
Procedimentals:
Reconèixer formes circulars.
COMPETÈNCIES BÀSIQUES
Competència matemàtica.
Procedimentals:
CONTINGUTS PREVIS
Coneixement de les formes geomètriques (circumferència).
45
DESENVOLUPAMENT
DE L’ACTIVITAT
Normatives:
Per tal de que es puguin dur a terme les activitats caldrà que els alumnes hagin
portat tot d’objectes amb forma de circumferència de casa, ja que sinó no es
podrà desenvolupar l’activitat.
Metodologia:
Manipulació
Participants/Agrupament/Organització:
Activitat grupal
Explicació activitat:
L’activitat consisteix en que els alumnes recullin de casa tot un seguit d’objectes
que creguin que tenen forma de circumferència. Una vegada els hagin portat a
l’aula es posaran tots en una mateixa taula i es demanarà que cada alumne, de
forma individual, expliqui perquè ha portat aquest objecte, quines
característiques fan que aquell objecte sigui una circumferència. Aquest procés
es seguirà amb cada un dels alumnes, i la resta de companys podrà anar
intervenint i donant la seva opinió sobre els objectes que han portat els
companys.
VARIACIONS DE L’ACTIVITAT
Una possible variació d’aquesta activitat pot consistir en que enlloc de portar els
objectes només en facin un llistat. També podríem demanar als alumnes que
aquesta llista s’elabori de forma conjunta en grups petits de treball i que
seguidament es comparteix aquesta llista amb la resta dels alumnes.
MATERIAL NECESSARI
46
OBJECTIU
CONTINGUT MATEMÀTIC
CICLE
METODOLOGIA
RECURSOS
AGRUPAMENT
ACTIVITAT 2 : Identifiquem els radis del nostre entorn.
OBJECTIUS
Identificar radis de diversos objectes del nostre entorn.
CONTINGUTS MATEMÀTICS
Conceptuals:
Radi
Circumferència
Procedimentals:
Identificar objectes de l’entorn en els quals puguem identificar radis de
forma visual.
CI
CONTINGUTS D’ALTRES ÀREES
Conceptuals
Utilitzar un vocabulari matemàtic específic i acurat.
Procedimentals:
Identificar objectes de l’entorn en els quals i puguem reconèixer de forma
visual el seu radi.
COMPETÈNCIES BÀSIQUES
Competència matemàtica
Procedimentals:
CONTINGUTS PREVIS
Radi
Diàmetre
Circumferència
47
DESENVOLUPAMENT DE L’ACTIVITAT
Normatives:
Per tal de que l’activitat es pugui dur a terme caldrà que els alumnes hagin
realitzat la tasca que els haurà encomanat el docent. Aquesta haurà consistit en
demanar als alumnes que facin un llistat, o bé que portin tot d’objectes en els
quals hagin pogut identificar el seu radi. Aquest aspecte serà fonamental, ja que
sinó no es podrà dur a terme l’activitat.
Metodologia:
Manipulació
Participants/Agrupament/Organització:
Activitat grupal
Explicació activitat:
L’activitat consistirà en demanar als alumnes que presentin el llista del objectes,
o bé que els mostrin (en cas que els hagin dut a l’aula) de tots aquells que
creguin que a simple vista se’n pugui identificar el radi. Cada alumne els
presentarà, explicarà el perquè han escollit aquell objecte i n’identificarà el seu
radi. La resta dels alumnes podran intervenir per tal de donar la seva opinió i el
seu punt de vista.
VARIACIONS DE L’ACTIVITAT
En lloc de demanar que facin un llistat dels objectes o que ela portin a l’aula,
també es podria demanar que en facin un dibuix, que n’identifiquin un dins la
mateixa aula o que la llista s’elabori amb petit grup.
Una altra possible variant pot consistir en que es demani als alumnes que portin
tot d’objectes en els quals es pugui identificar el seu radi de forma visual, però
que no sigui l’alumne que ha porta l’objecte qui el mostri als seus companys,
sinó que sigui un dels seus companys.
MATERIAL NECESSARI
48
OBJECTIU
CONTINGUT MATEMÀTIC
CICLE
METODOLOGIA
RECURSOS
AGRUPAMENT
FORMA
ACTIVITAT 3 :
L’el·lipse i el seu moviment
OBJECTIUS
Construir una el·lipse a partir del moviment.
Fixar-se en les característiques de l’el·lipse.
Utilitzar en el nom adequat per als diferents elements.
Mostrar iniciativa i participació.
Acceptar les propostes dels companys.
CONTINGUTS MATEMÀTICS
Conceptuals:
El·lipse
Focus
Procedimentals:
Moviment
CICLE:
CI
COMPETÈNCIES BÀSIQUES
Competència matemàtica.
Competència autonomia i iniciativa personal.
Procedimentals:
CONTINGUTS PREVIS
Conèixer que és una el·lipse.
Saber que l’el·lipse es forma a partir de dos focus.
Identificar la forma de l’el·lipse.
DESENSOLUPAMENT DE L’ACTIVITAT
Normatives:
Respectar les opinions del grup.
Comprovar els diferents procediments.
Metodologia:
Manipulativa
Participants/Agrupament/Organització:
49
Explicació activitat:
Abans d’iniciar l’activitat, caldrà apartar les taules i les cadires de l’espai, de
manera que els alumnes es puguin col·locar en tot l’espai de l’aula. En cas de ser
possible, s’anirà al gimnàs de l’escola.
Per tal d’iniciar l’activitat, el mestre amb l’ajuda de dos alumnes, dibuixarà a la
pissarra una el·lipse utilitzant un cordill, per tal de que els alumnes vegin el
procés a seguir. Al mateix temps, els anirà mencionant els diferents noms. Tot
seguit, el docent farà grups de tres i entregarà a cada grup un tros de cordill, un
retolador i paper d’embalar. A continuació, els alumnes, hauran de dibuixar una
el·lipse al paper d’embalar, utilitzant el material que els ha entregat el mestre.
A partir del material els alumnes hauran d’agafar un cordill i aguantar-lo sense
tensar-lo, a partir d’aquí els dos extrems, es transformaran en els focus i estan
subjectats, un costat per a cada alumne. A continuació, l’altre alumne, i tensant
el cordill, l’haurà de resseguir comprovant que la forma que en surt, és una
el·lipse.
Serà important que en cas de que els alumnes no els surti el procés que han de
seguir, caldrà que el docent els vagi guiant a partir de preguntes, com ara:
-
Recordeu quina és la forma de l’el·lipse
-
I els focus?
-
Heu comprovat que el fil estigui tens durant el dibuix?
VARIACIONS DE L’ACTIVITAT
Per tal de comprovar que sempre que no es tensa el cordill i es fixen els extrems,
surt una el·lipse, caldrà que els alumnes, vagin canviant les distàncies dels focus.
MATERIAL NECESSARI
Paper d’embalar
Cordill
50
OBJECTIU
CONTINGUT MATEMÀTIC
CICLE
METODOLOGIA
RECURSOS
AGRUPAMENT
FORMA
ACTIVITAT 4:
Descobrim l’el·lipse en un con
OBJECTIUS
Descobrir com es pot trobar una el·lipse en un con.
Construir de manera acurada un con.
Respectar i fer un bon ús del material.
Acceptar les respostes dels companys
CONTINGUTS MATEMÀTICS
Conceptuals:
L’el·lipse.
Procedimentals:
CI
CONTINGUTS
D’ALTRES ÀREES
Conceptuals:
Què és un con.
Quina forma té un con.
Procedimentals:
Construcció d’un con.
COMPETÈNCIES BÀSIQUES
Competència matemàtica.
Competència artística i cultural.
Procedimentals:
CONTINGUTS PREVIS
51
DESENVOLUPAMENT DE L’ACTIVITAT
Normatives:
Respecte pel material.
Utilitzar les pròpies eines.
Pensar la resolució més adequada.
Metodologia:
Manipulativa
Participants/Agrupament/Organització:
Activitat individual
Explicació activitat:
El docent repartirà un tros de plastilina a cada alumne i un tall de fil de cuca. A
continuació, cada un haurà de construir un con el més exacte possible. Tot
seguit, utilitzant el fil de cuca hauran de comprovar i mirar per a on poden i com
han de tallar el con per tal d’obtenir una el·lipse.
Una vegada els alumnes hagin descobert com es troba l’el·lipse en un con, se’ls
deixarà temps per tal de que facin altres figures, com ara una esfera i comprovin
si es pot tallar d’alguna manera per tal de que surti l’el·lipse. D’aquesta manera
els alumnes podran comprovar que l’el·lipse surt del con i no d’una altra figura.
VARIACIONS DE L’ACTIVITAT
Una vegada els alumnes han trobat l’el·lipse la poden pintar i estampar en un
full, d’aquesta manera comprovar i comparar les diferents formes obingudesque
els surten i comprovar si realment és la forma que es buscar i que ha demanat el
docent.
MATERIAL NECESSARI
Plastilina
52
OBJECTIU
CONTINGUT MATEMÀTIC
CICLE
METODOLOGIA
RECURSOS
AGRUPAMENT
FORMA
