Ecuaciones y desigualdades

TALLER 3

DIFERENTES ACERCAMIENTOS A LA RESOLUCIÓN

DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Grados 7

mo

_{a 9}

no

Universidad de Puerto Rico en Bayamón

Departamento de Matemáticas

Preparado por:

TABLA DE CONTENIDO

PRE-PRUEBA

4

OBJETIVOS

5

JUSTIFICACIÓN

6

INTRODUCCIÓN

7

ECUACIONES

7

CONCEPTOS PRELIMINARES 7

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 10

ECUACIONES LINEALES 13

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES 14

ECUACIONES LITERALES 20

ECUACIONES DE FORMA FRACCIONARIA 22

DESIGUALDADES

27

NOTACIÓN DE INTERVALOS 28

INTERVALOS DE LONGITUD FINITA 29

INTERVALOS DE LONGITUD INFINITA 31

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES 33

DESIGUALDADES LINEALES 35

DESIGUALDADES CON TRES MIEMBROS 39

EJERCICIOS ADICIONALES

42

RESPUESTAS

44

RESPUESTAS DE LA PRE–PRUEBA 44

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS EN EL MÓDULO 44

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES 48

PRE-PRUEBA

Nombre: Escuela: Instrucciones: Resuelve los ejercicios según se indica.

1. Simplifica la siguiente expresión combinando términos semejantes −4x−10+6x+7.

2. Simplifica aplicando la ley distributiva 3 4x

(

−5

)

−2y. 3. Clasifica en: expresión algebraica, ecuación o desigualdad.

a. 2x−5=8

b. 2y≤8 c. x−5

4. Determina cuál de estas ecuaciones es lineal. a. 2x+8=3x2

b. z z

(

−5

)

=2 c. 2y−5=4y

5. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 4

(

p+3

)

=24

b. x+2

(

x+3

)

=4 c. 2x−4=8 d. 1

15+ 1 20 =

1 t

e. y 5 =10

6. Resuelve para t, en la fórmula I = prt. 7. Representa gráficamente el intervalo

(

5, 8

]

. 8. Resuelve las siguientes desigualdades.

a. 5x−1≥8x

b. 5<−3y c. 3x−5≤8

OBJETIVOS

Al finalizar este módulo el participante será capaz de:

1. simplificar expresiones algebraicas.

2. identificar y combinar términos semejantes.

3. reconocer y usar propiedades para resolver ecuaciones. 4. identificar ecuaciones lineales.

5. resolver ecuaciones lineales. 6. resolver ecuaciones literales.

7. resolver ecuaciones de forma fraccionaria. 8. reconocer los distintos tipos de intervalos.

9. representar intervalos gráficamente en la recta numérica real. 10. identificar desigualdades lineales.

11. usar las propiedades fundamentales de las desigualdades. 12. resolver desigualdades lineales.

JUSTIFICACIÓN

La teoría de ecuaciones provee una de las herramientas más útiles para modelar problemas aplicados. Esto implica que la resolución de ecuaciones amerita un estudio más detallado y profundo. Aunque existen ecuaciones cuya solución se puede determinar intuitivamente, es necesario desarrollar métodos sistemáticos para resolver ecuaciones. Por otro lado, la teoría de desigualdades también tiene amplias aplicaciones y su resolución es similar a la resolución de ecuaciones. Como en la teoría de ecuaciones, nuestro énfasis será en desarrollar métodos sistemáticos para resolver desigualdades.

INTRODUCCIÓN

En el módulo 2, estudiamos cómo modelar problemas aplicados mediante ecuaciones. En este modulo nos concentraremos en resolver las ecuaciones. Además, trataremos el tema de desigualdades y se estudiará la resolución de éstas.

ECUACIONES

CONCEPTOS PRELIMINARES

Antes de trabajar con la resolución de ecuaciones introduciremos algunos conceptos necesarios para el desarrollo del tema.

DEFINICIÓN: Una expresión algebraica es una combinación de constantes, variables y operaciones.

Recordemos que las constantes son números reales y las variables son letras, que representan números reales.

EJEMPLOS:

1. 2+x

2. 6 3x

(

−1

)

DEFINICIÓN: Una expresión del tipo axn , donde a y n son constantes y x es una

variable, se conoce como un término. Al número a se conoce como el coeficiente y xn se conoce como la parte variable.

EJEMPLOS:

1. El término 3x2 tiene coeficiente 3 y parte variable x2.

2. La expresión 3x+2 tiene dos términos: 3x y 2, y el término 2, es una constante.

DEFINICIÓN: Los términos que sólo difieren en los coeficientes, conservando su parte variable idéntica, se les conoce como términos semejantes.

Si una expresión tiene términos semejantes, entonces se puede realizar la operación de suma o resta indicada entre ellos. A este proceso se le conoce como combinar términos semejantes.

EJEMPLOS:

1. Determina cuáles de los siguientes términos son semejantes al término 3x2_:

−5x2

y , 8y2_,

x2_, 1 2x

2_,

3x, −5x2

SOLUCIÓN: Los términos semejantes a 3x2_{, son:}

x2_, 1 2x

2_, −5

x2_.

2. Simplifica la siguiente expresión algebraica 3x2 +

2x−5x2_:

SOLUCIÓN: Observamos que los términos 3x2 y −5x2 son términos semejantes. Luego,

podemos combinarlos para obtener una expresión más simplificada:

3x2+

2x−5x2 = 3x2−

5x2+ 2x =−2x2 ₊

DEFINICIÓN: Una ecuación o igualdad es un enunciado matemático que nos dice que dos expresiones algebraicas son iguales. A las expresiones de cada lado de la igualdad se les conoce como miembros de la ecuación.

NOTA: Es uso y costumbre llamarle a los miembros, lados.

EJEMPLOS: Las siguientes son ecuaciones.

1. 2x−2x2 =

8

2. 2x

(

3x−5

)

=3x+1

3. 75+83+71+85+x

5 =80

DEFINICIÓN: Aquellos valores que al asignarlos a la variable o variables que contienen una ecuación la hacen cierta o la satisfacen, se conocen como las soluciones

de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones se conoce como el conjunto solución.

EJEMPLO: Verifique cuál de los siguientes números

{

2,−5, 9

}

es solución de la

ecuación 2x−8=10.

SOLUCIÓN: Si tomamos a x=2, tenemos

2 2

( )

−8=10 4−8=10 −4=10

Observamos que con el valor x=2 se obtiene un enunciado falso, luego x=2 no

Si tomamos a x=−5, tenemos

2

( )

−5 −8=10 −10−8=10 −18=10

Observamos que el valor x=−5 no satisface la ecuación, por lo tanto no es una solución.

Si tomamos a x=9, tenemos

2 9

( )

−8=10 18−8=10 10=10

Observamos que con el valor x=9 obtenemos un enunciado cierto. Luego x=9

satisface la ecuación, por lo tanto es una solución.

EJERCICIOS

1. Verifica cuál de los siguientes números

{

2, 0,1,−3

}

es solución de la ecuación

3x−1=2x.

2. Verifica cuál de los siguientes números

{

1,−2,−3, 2

}

es solución de la ecuación

3y+5=11.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

DEFINICIÓN: Resolver una ecuación consiste en encontrar todas las soluciones de una ecuación.

EJEMPLO: Resuelva la ecuación 2+x=10.

SOLUCIÓN: Buscamos todos los números reales que sumados a 2 den 10. La única solución es x=8.

Le ecuación del ejemplo anterior es una muy simple, tan simple que fuimos capaces de resolverla usando nuestros conocimiento de los números reales. En general, necesitaremos de una forma más sistemática de resolver ecuaciones. La estrategia general que se utiliza para resolver ecuaciones es reescribir la ecuación dada en ecuaciones más simples pero que tengan las mismas soluciones que la ecuación original.

DEFINICIÓN: Dos ecuaciones son equivalentes si éstas tienen exactamente las mismas soluciones.

EJEMPLO: Las ecuaciones

x+2=7 y x−4=1

son equivalentes. Se puede ver que ambas ecuaciones tienen solamente como solución

x=5.

Hay una serie de propiedades que se utilizan para obtener ecuaciones equivalentes:

I. Sumar o restar la misma expresión a ambos miembros de la ecuación.

EJEMPLO: Suma o resta a ambos miembros de la ecuación para obtener una ecuación equivalente.

1. x−2=−12

SOLUCIÓN: Sumamos 2 a ambos miembros: x−2+2=−12+2

2. 3y+5=11

SOLUCIÓN: Sumamos −5 a ambos miembros: 3y+5+

( )

−5 =11+

( )

−5

obtenemos 3y=6

II. Multiplicar o dividir la misma expresión, distinta de cero, a ambos miembros de la ecuación.*

EJEMPLOS: Multiplique o divida a ambos miembros de la ecuación para obtener una ecuación equivalente.

1. 3y=6

SOLUCIÓN: Dividimos por 3 a ambos miembros 3y 3 =

6 3

obtenemos y=2

2. x 5=3

SOLUCIÓN: Multiplicamos por 5 ambos miembros x

5

( )

5 =3 5

( )

obtenemos x=15

* Al multiplicar a ambos miembros de una ecuación por una expresión que puede ser cero no se obtiene necesariamente una ecuación equivalente. Considere la ecuación x=2 . Su única solución es x=2 . Si multiplicamos por x a ambos miembros obtenemos la ecuación x2 =2x cuyas soluciones son x=2 y

EJERCICIOS: Suma, resta, multiplica o divide a ambos lados de la ecuación para obtener una ecuación equivalente.

1. y+9=5

2. 2y−1=−2

3. 2y=−1

4. z 4 =2

III. Intercambiar los miembros de una ecuación.

EJEMPLO: Las ecuaciones 2x+3=12+x y 12+x=2x+3 son equivalentes.

IV. Combinar términos semejantes. (como vimos anteriormente)

En resumen,

Propiedades que Producen Ecuaciones Equivalentes

Sumar o restar la misma expresión a ambos miembros de la ecuación.

Multiplicar o dividir la misma expresión, distinta de 0, a ambos miembros de la ecuación.

Intercambiar los miembros de la ecuación. Combinar términos semejantes.

ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación equivalente a una de la forma

ax+b=0

EJEMPLOS:

1. 5x+7=0 es una ecuación lineal 2. x=6 es una ecuación lineal 3. 3+x2 −

x=5 no es una ecuación lineal

EJERCICIOS: Determina si las siguientes ecuaciones son lineales o no. 1. 3−x=2

2. x x

(

+5

)

=2x

3. 2x+7=8x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal se puede resolver usando el siguiente procedimiento como guía:

1. Simplificar las expresiones algebraicas de los dos miembros de la ecuación: utilizando la propiedad distributiva† _{o combinando términos semejantes (de ser necesario).}

2. Sumar o restar la misma expresión a ambos miembros: para convertir la ecuación a la forma ax=b.

3. Multiplicar o dividir ambos miembros por la misma expresión: para convertir la ecuación a la forma x=k, k constante.

4. Verificar la solución: sustituyendo el valor de la variable en la ecuación original y simplificar para determinar si se obtiene un enunciado cierto. Esto no es indispen- sable, se deja como un proceso opcional.

EJEMPLOS: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. 1. 3x+2=11

SOLUCIÓN:

(1) Simplificar las expresiones algebraicas de cada miembro de la ecuación : En este caso no es necesario.

(2) Sumar a ambos miembros –2:

3x+2=11 3x+2+

( )

−2 =11+

( )

−2

3x=9 (3) Dividir ambos miembros por 3:

3x

3 = 9 3 x=3

(4) Verificar la solución (Opcional):

3x+2=11 3 3

( )

+2=11 9+2=11 11=11

2. 2

(

v+3

)

=4

SOLUCIÓN:

(1) Simplificar las expresiones algebraicas de cada miembro de la ecuación : Aplicando propiedad distributiva: 2v+6=4

(2) Sumar a ambos miembros –6:

2v+6+

( )

−6 =4+

( )

−6 2v=−2

(3) Dividir a ambos miembros por 2:

2v

2 = −2

2 v=−1

(4) Verificar la solución (Opcional):

2

(

v+3

)

=4 2

(

−1+3

)

=4 2 2

( )

=4 4=4

3. 3 3

(

−x

)

+5=2+x

SOLUCIÓN:

(1) Simplificar las expresiones algebraicas de cada miembro de la ecuación : Aplicando propiedad distributiva: 9−3x+5=2+x

Combinando términos semejantes: 14−3x=2+x

(2) Sumar 3x y –2 a ambos miembros:

14+3x−3x=2+3x+x 14=2+4x

14+

( )

−2 =2+4x+

( )

−2 12=4x

(3) Dividir ambos miembros por 4: 12

4 = 4x

4 3= x x=3

(4) Verificar la solución (Opcional):

3 3

(

−x

)

+5=2+x 3 3

(

−3

)

+5=2+3

3 0

( )

+5=5 0+5=5 5=5

NOTA: En la práctica el sumar y restar a ambos miembros se resume pasando de un miembro de la igualdad al otro cambiando el signo del término, y multiplicar y dividir a ambos miembros se resume realizando la operación contraria al otro miembro de la igualdad.

4. −2

5x+5=11

SOLUCIÓN:

−2

5x+5=11 −2

5x=11−5 −2

5x=6 −5 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − 2 5x ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =6 − 5 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

x=6 −5 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

x=−30

2

x=−15

Verificamos la solución (Opcional):

−2

5x+5=11 −2

5

( )

−15 +5=11 30

5 +5=11 6+5=11 11=11

5. 2

(

x+1

)

−2=2x

SOLUCIÓN:

2x+2−2=2x 2x=2x 2x−2x=0

0=0

Como la ecuación original es equivalente a una ecuación que siempre es cierta, la ecuación original también es siempre cierta sin importar el valor que tome la variable, es decir, la solución son todos los números reales. A este tipo de ecuación, que es cierta para todos los valores admisibles de la variable, se le conoce como una identidad.

6. 2

(

x+1

)

=2x−3

SOLUCIÓN:

2

(

x+1

)

=2x−3 2x+2=2x−3 2x−2x=−3−2

Como la ecuación original es equivalente a una ecuación que siempre es falsa, la ecuación original es siempre falsa sin importar el valor que tome la variable, es decir, la ecuación no tiene solución. A este tipo de ecuaciones se les conoce como una

contradicción. (Note que esta ecuación no es lineal)

7. 3 6

(

t−2

)

+4 3

(

−4t

)

=2 1

(

−t

)

SOLUCIÓN:

3 6t

(

−2

)

+4 3

(

−4t

)

=2 1

(

−t

)

18t−6+12−16t=2−2t 18t−16t+−6+12=2−2t 2t+6=2−2t 2t+2t=2−6

4t=−4 t= −4 4 t=−1

Verificamos la solución (Opcional):

3 6t

(

−2

)

+4 3

(

−4t

)

=2 1

(

−t

)

3 6

(

( )

−1 −2

)

+4 3

(

−4

( )

−1

)

=2 1

(

− −

( )

1

)

3

(

−6−2

)

+4 3

(

+4

)

=2 2

( )

3

( )

−8 +4 7

( )

=2 2

( )

−24+28=4 4=4

EJERCICIOS: Resuelve las siguientes ecuaciones 1. x−7=−9

3. 8x+2=6

(

x+2

)

4. x+

(

2x+6

)

+

(

x−3

)

=51

5. 5 2

(

x+1

)

−5x=5

(

x+1

)

6. 5s+7s−4s+15=27−6s

ECUACIONES LITERALES

En la aplicación de las ecuaciones a la vida diaria nos encontramos en muchas ocasiones con problemas que se modelan mediante fórmulas conocidas, por ejemplo, en problemas

geométricos: fórmulas de área como el área de un triángulo A=bh

2 o en problemas en

física: fórmula de fuerza F=ma.

DEFINICIÓN: Se dice que una ecuación es una ecuación literal si contiene más de una variable.

En estas ecuaciones resolvemos para una de las variables. La variable que escogemos para despejar se considera la desconocida y las otras letras las consideramos constantes. Para resolver por la desconocida usamos la misma guía que usamos para resolver ecuaciones lineales.

EJEMPLOS:

1. Resuelve para a en la ecuación F=ma.

SOLUCIÓN: En la fórmula F=ma deseamos resolver para la letra a, para ello debemos eliminar m que está multiplicando a a. Luego dividimos ambos miembros por m

obteniendo: F

m =a. Resumiendo:

F=ma F m =

ma m F m =a

a= F m

2. Despeja para h en la ecuación A= bh 2 .

SOLUCIÓN:

A=bh

2 2A=bh

2A b =h

h= 2A b

EJERCICIOS:

1. Resolver para l en la ecuación P=2a+2l. 2. Resolver para n en la ecuación PV =nRT.

3. Despejar para t en la ecuación t= t−2 1−L .

ECUACIONES DE FORMA FRACCIONARIA

DEFINICIÓN: Las ecuaciones de forma fraccionaria son aquellas en las que aparece la variable en el denominador de una fracción.

La estrategia que usaremos para resolver este tipo de ecuación es eliminar los denominadores con el propósito de obtener una ecuación lineal. Hay que tener presente que la división por cero no está definida. Por lo tanto, es aconsejable verificar las soluciones.

EJEMPLOS: Resuelve las siguientes ecuaciones de forma fraccionaria.

1. 20

x =5

SOLUCIÓN: Notemos primero que x=0 no es una solución de la ecuación. Multiplicamos a ambos miembros de la ecuación porx≠0

20 x =5 20

x x=5x 20=5x

y luego continuamos como en el caso de las ecuaciones lineales.

20 5 =

5x 5 4= x x=4

2. 2 x− 1 3= 8 5

SOLUCIÓN: En este caso debemos multiplicar por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, que es mcm(x,3,5)=15x , con x≠0 (como en el caso anterior, sabemos que x=0 no puede ser solución de esta ecuación).

2 x − 1 3= 8 5 15x 2 x− 1 3 ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =15x 8 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

Aplicamos la propiedad distributiva

15x 2 x

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ −15x 1 3 ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =15x 8 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

En cada término observamos que la operación que prevalece es la multiplicación, por ello podemos simplificar cada término por separado.

15 2

( )

−5x

( )

1 =3x

( )

8

Ahora procedemos a resolver esta ecuación lineal.

30−5x=24x 30=24x+5x 30=29x 30 29 =x

Entonces la solución de la ecuación es x= 30

3. 3x

x−2 =1+ 6

x−2

SOLUCIÓN: El mcm

(

x- 2,1,x- 2

)

=x−2, como x=2 no es una solución de la ecuación, entonces x−2≠0. Por lo tanto, podemos multiplicar a ambos miembros por x−2.

3x x−2 =1+

6 x−2

x−2

(

)

3x

x−2 ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =

(

x−2

)

1+ 6 x−2 ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3x=x−2+6

3x−x=−2+6 2x=4

x= 4 2 x=2

Note que x=2 no es una solución de la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación original no tiene solución.

NOTA: En el proceso de resolver una ecuación podemos obtener como una posible solución un número que no es solución de la ecuación dada. A este tipo de número se conoce como una solución extraña.

4. 1 3+ 1 4 = 1 y

SOLUCIÓN: Note que y=0 no es una solución de la ecuación. El mcm 3, 4,

(

y

)

=12y, y

12y 1 3+

1 4 ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =12y 1 y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4y+3y=12

7y=12

y=12 7 5. 5 2x + 1 3= 4 x

SOLUCIÓN: El mcm 2

(

x, 3,x

)

=6x, y como x≠0, multiplicamos a ambos miembros por 6x.

6x 5 2x+

1 3 ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =6x 4 x ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 15+2x=24

2x=24−15 2x=9

x= 9 2

6. 1 2x +

1 4−

1 10x =

1 5

SOLUCIÓN: El mcm 2

(

x, 4,10x, 5

)

=20x y como x≠0, multiplicamos a ambos miembros por 20x.

20x 1 2x+

1 4−

1 10x ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =20x 1 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 10+5x−2=4x

5x−4x=2−10 x=−8

EJERCICIOS: Resuelve las siguientes ecuaciones de forma fraccionaria

1. 1 6+

1 2 =

1

x

2. 3 4x −

2 5 =

1 x

3. 2− 5 3x−7=2

4. x x+2−

1 2 =0

DESIGUALDADES

Las desigualdades se originan de las relaciones de orden, por lo tanto recordemos los siguientes hechos:

1. Si colocamos dos números distintos en la recta numérica real, el número de la derecha es mayor que el de la izquierda y el número de la izquierda es menor que el de la derecha. Se denota a<b, si a está a la izquierda de b ó b>a, si b está a

la derecha de a.

2. Hay cuatro símbolos de desigualdad

Símbolo En Palabras Ejemplo

> es mayor que 2 > -5

< es menor que 2 < 5

≥ es mayor o igual que 8 ≥ 0

≤ es menor o igual que -8 ≤ 0

En la sección anterior trabajamos con ecuaciones y observamos que el conjunto solución consistía de un único valor, pero en muchas ocasiones nos interesa el rango de valores que puede tener la desconocida. En estos casos en lugar de trabajar con una igualdad trabajamos con una desigualdad. Para ilustrar esto, consideremos la siguiente situación.

EJEMPLO: Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 65, 78 y 81 en los exámenes parciales. Éste desea saber qué puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener un promedio mayor a 80. Establezca una desigualdad que modele este problema. SOLUCIÓN: Denotemos la puntuación del cuarto examen por x. Como vimos en el modulo anterior, para que el promedio de las puntuaciones 65, 78, 81 y x sea

exactamente 80, la ecuación sería 65+78+81+x

4 =80 , pero como nos interesa saber

cuál debe ser su calificación para obtener un promedio mayor a 80, debemos considerar la desigualdad

65+78+81+x

4 >80.

NOTACIÓN DE INTERVALOS

Para representar ciertos subconjuntos de los números reales introducimos una nueva notación:

1. El símbolo denota que no se incluye el punto en la recta numérica real. 2. El símbolo denota que sí se incluye el punto en la recta numérica real. 3. Señalamos un segmento de la recta numérica real resaltándolo.

EJEMPLO: En el siguiente dibujo se incluyen todos los números del 4 al 10 incluyendo el número 10 pero no el 4.

4 10

Este subconjunto de los números reales también lo podemos representar utilizando la notación de intervalos. En esta notación nos concentramos en los puntos extremos del subconjunto.

1. Si el extremo está incluido en el subconjunto se usan corchetes: [ ]. 2. Si el extremo no está incluido en el subconjunto se usan paréntesis: ( ). Por ejemplo,

4 10

se representa por el intervalo (4,10].

INTERVALOS DE LONGITUD FINITA

Gráfica

a b

a b

a b

a b

Conjunto

{x:a≤x≤b}

{x:a<x<b}

{x:a≤x<b}

{x:a<x≤b}

Notación de Intervalo

[a,b]

(a,b)

[a,b)

(a,b]

NOTACIÓN:

1. Al intervalo

[ ]

a,b se le conoce como intervalo cerrado.

EJEMPLOS: Representa gráficamente cada intervalo. 1. (2, 5)

2. (−8, 3]

3. [2, 5]

4. [−8, 3)

SOLUCIONES: 1. (2, 5)

2 5

2. (−8, 3]

-8 3

3. [2, 5]

2 5

4. [−8, 3)

-8 3

EJERCICIOS: Representa gráficamente cada intervalo 1. (4, 7]

3. [3, 6)

4. [−4,−1]

INTERVALOS DE LONGITUD INFINITA

También necesitamos considerar los subconjuntos de números reales que contengan todos los números a la derecha o a la izquierda de un número fijo, es decir, que contengan todos los números mayores o menores que éste. Por ejemplo, considera el conjunto

{

x∈R:x≥2

}

. Como este subconjunto de los números reales contiene todos los

números a la derecha del número 2, para representarlo en notación de intervalos introducimos un nuevo símbolo, ∞, llamado infinito. Similarmente introducimos el símbolo –∞, llamado negativo infinito.

∞

–∞

1 0 -1 -2

-3 2 3

Utilizando estos símbolos podemos definir cinco intervalos de longitud infinita. Gráfica

a

a

b

b

Conjunto

{x:x≥a}

{x:x>a}

{x:x≤b}

{x:x<b}

Los números reales

Notación de Intervalo

a,∞

[

)

a,∞

( )

−∞,b

(

]

−∞,b

(

)

−∞,∞

(

)

EJEMPLOS:

1.

(

−∞, 5

]

5

2.

(

−4,∞

)

-4

EJERCICIOS: Representa gráficamente los siguientes intervalos. 1.

[

3,∞

)

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES

Resolver una desigualdad consiste en encontrar todos los valores de la variable que satisfacen la desigualdad. La estrategia general es obtener desigualdades más simples pero que tengan las mismas soluciones que la desigualdad original. Para ello usamos las

propiedades fundamentales de las desigualdades. La propiedad de la adición para las desigualdades es análoga a la propiedad de sumar o restar la misma expresión a ambos miembros de una ecuación, sin embargo la propiedad de la multiplicación requiere más atención:

I. Propiedad de la adición de una desigualdad: Se puede sumar o restar la misma expresión a ambos miembros de la desigualdad y el sentido se la desigualdad no cambia.

II. Propiedad de la multiplicación de una desigualdad: Se divide en dos casos,

1. si multiplicamos por una expresión positiva a ambos miembros de la desigualdad, se mantiene el sentido de la desigualdad.

Si c>0y a<b, entonces ac<bc.

2. si multiplicamos por una expresión negativa a ambos miembros de la desigualdad, se invierte el sentido de la desigualdad.

Si c<0 y a<b, entonces ac>bc.

NOTA: Considere la desigualdad 5<10. Si multiplicamos por -1 a ambos miembros de la desigualdad, obtenemos -5<-10. Note que esto no tiene sentido. Concluimos que debemos escribir -5>-10. Esto ilustra que es necesario invertir el sentido de la desigualdad al multiplicar por un número negativo.

EJEMPLOS:

1. Aplica la propiedad de la adición a la desigualdad x−5≤3

SOLUCIÓN: Debemos sumar a ambos miembros de la desigualdad 5, obteniendo

x−5≤3

x−5+5≤3+5

x≤8

2. Aplica la propiedad de la multiplicación a las siguientes desigualdades a. 3y<6

SOLUCIÓN: Como debemos dividir‡ _{a ambos miembros por un número positivo} el sentido de la desigualdad se mantiene

3y<6 3y

3 < 6 3

y<2

b. −x

2 >2

SOLUCIÓN: Como debemos multiplicar por

( )

−2 , entonces el símbolo < cambia

por >:

−x

2 >2

(−2) −x 2

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ <2(−2)

x<2

( )

−2

de donde tenemos que x<−4.

‡ _{Recuerda que dividir entre un número, por ejemplo dividir por 3, es equivalente a multiplicar por} 1 3, es por eso que la división se incluye en la propiedad de la multiplicación de las desigualdades.

EJERCICIOS: Aplica la propiedad de la adición o de la multiplicación a las siguientes desigualdades.

1. y+8>9

2. −3x<15

3. y 6 >−2

DESIGUALDADES LINEALES

Vamos a trabajar con desigualdades lineales. Éstas se identifican al analizar el exponente de la parte variable, en cualquier término, el cual debe ser 1, después de simplificar.

Una desigualdad lineal se puede resolver siguiendo los siguientes pasos:

1. Simplificar las expresiones algebraicas de los dos miembros de la desigualdad, utilizando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes (de ser necesario).

2. Usar la propiedad de la adición de una desigualdad.

3. Usar la propiedad de la multiplicación de una desigualdad. 4. Revisar la solución: verifique que la solución tiene sentido.

NOTA: El conjunto solución se puede representar en la recta numérica real y en notación de intervalo.

EJEMPLOS: Resuelve las siguientes desigualdades. Representa la solución gráficamente y en notación de intervalo.

1. 2x+2>1

SOLUCIÓN: Vemos que la expresión de cada miembro de la desigualdad están simplificadas, por lo tanto pasamos al siguiente paso, sumamos

( )

−2 a ambos miembros

de la desigualdad, así:

2x+2>1 2x+2+

( )

−2 >1+

( )

−2

2x>−1

Luego, usamos la propiedad de la multiplicación para las desigualdades para eliminar el número 2, como dividimos por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene,

2x 2 ≥ −

1 2

x≥ −1 2

obteniendo como solución el intervalo −1 2,∞ ⎡ ⎣⎢

⎞

⎠⎟ y en la recta numérica real:

−1 2

Note que este intervalo contiene todas las posibles soluciones de esta desigualdad.

2. 4k <3k+7

SOLUCIÓN: Vemos que las expresiones a cada miembro de la desigualdad están simplificadas, por lo tanto pasamos al siguiente paso, movemos el término 3k al otro miembro de la desigualdad con el signo contrario,

4k<3k+7 4k−3k<7

obteniendo k<7

Observamos que la solución de la desigualdad es el intervalo

(

−∞, 7

)

y lo dibujamos en

la recta numérica real.

7

3. 2x−5≤5x

SOLUCIÓN:

2x−5≤5x

2x−5x≤5

−3x≤5

x≥ −5

3

Nota que dividimos por −3a ambos lados y por ello el sentido de la desigualdad cambió,

donde el intervalo solución es −5

3,∞

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ y representamos la solución en la recta numérica

real:

−5

4. 65+78+81+x 4 >80

SOLUCIÓN: Simplificamos el miembro izquierdo de la desigualdad:

65+78+81+x 4 >80

224+x 4 >80

Multiplicamos por 4, 224+x>320

Sumamos

(

−224

)

a ambos miembros, obteniendo

x>320−224

x>96 Dibujamos la solución

96

EJERCICIOS: Resuelve las siguientes desigualdades. Representa el conjunto solución en la recta numérica real y en notación de intervalo.

1. 5x<3x−5 2. −10z≥ −50

3. 15y−80≥16y+20

DESIGUALDADES CON TRES MIEMBROS

DEFINICIÓN: Una desigualdad con tres miembros es una desigualdad que describe que un número está entre otros dos, ésta contiene dos signos de orden y tres expresiones algebraicas.

Para resolver una desigualdad de este tipo, usamos un procedimiento similar al que usamos para resolver desigualdades lineales simples.

EJEMPLOS: Resuelve las siguientes desigualdades de tres miembros. Represente la solución en notación de intervalos y gráficamente.

1. 4<2x<6

SOLUCIÓN: Aplicamos la propiedad de la multiplicación para desigualdades, dividimos por 2 los tres miembros de la desigualdad, manteniendo el sentido de la desigualdad.

4<2x<6 4

2 < 2x

2 < 6 2 2<x<3

donde la solución de la desigualdad es el intervalo

( )

2, 3 , en la recta numérica real:

2. 8<x−1≤12

SOLUCIÓN: Aplicamos la propiedad de la adición para desigualdades, sumamos 1 a los tres miembros de la desigualdad.

8<x−1≤12 8+1<x−1+1≤12+1

9<x≤13

observamos que la solución de la desigualdad es el intervalo

(

9,13

]

y dibujamos en la

recta numérica real:

9 13

3. 5≤3x+1<11

SOLUCIÓN:

5≤3x+1<11 5−1≤3x<11−1 4≤3x<10 4

3 ≤ 3x

3 < 10

3 4

3 ≤x< 10

3

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo 4

3, 10

3

⎡ ⎣⎢

⎞

⎠⎟. En la recta numérica real se

representa este intervalo como sigue:

4 3

10 3

4. −3≤1−2x≤7

SOLUCIÓN:

−3≤1−2x≤7

−3−1≤ −2x≤7−1

−4≤ −2x≤6

−4

−2 ≥

−2x

−2 ≥ 6

−2 2≥x≥ −3

Organizamos el intervalo de izquierda a derecha y obtenemos −3≤x≤2.

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo

[

−3, 2

]

. En la recta numérica real:

–3 2

EJERCICIOS: Resuelve las siguientes desigualdades de tres miembros y representa el conjunto solución en la recta numérica real y en notación de intervalo.

1. −2<x+3<5 2. 15≥2x−7>9 3. −6≤ −3(x−4)≤24

EJERCICIOS ADICIONALES

1. Simplifica las siguientes expresiones a. 7x+4x−7

b. −

(

4z+6

)

+3

(

z−4

)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones a. 12z−11=61

b. 2p+3=3

(

p−5

)

c. 1 6m=4

d. 3z+2

(

z−4

)

=5z−8

e. 3

y−2=3

3. Despeja para la variable indicada

a. G= 5kl

r , para r.

b. 2l= lm+h

2 , para h.

4. Resuelve las siguientes desigualdades a. −3p>15

b. 3x+4≥3 c. −6≤3−3k

d. 3

(

a+2

)

−5a≤4 2a

(

−3

)

POS-PRUEBA

Nombre: Escuela: Instrucciones: Resuelve los ejercicios según se indica.

1. Simplifica combinando términos semejantes 15+5y−12−2y. 2. Simplifica aplicando la ley distributiva 7+4

(

x+2y

)

.

3. Clasifica en: expresión algebraica, ecuación o desigualdad. a. 4z−8≥2

b. −3y+8

c. 2x+2=0

4. Determine cuál de estas ecuaciones es lineal a. 2x+8=3x

b. 2= x x

(

+2

)

c. 2y−5=4y2

5. Resuelve las siguientes ecuaciones a. 3y−2=17

b. 2

(

z−4

)

=−8 c. 5y−4 3

(

−y

)

=8

d. 1

60+

1

90 =

1

t

e. y 2 =−18

f. 2

x+6=2

6. Resuelve para G, en la fórmula F=GMm r2 .

7. Dibuja el intervalo

[

−2, 5

]

en la recta numérica real. 8. Resuelve las siguientes desigualdades

a. 3+x≥ −9 b. −8z<2 c. 2+7x≥5x d. 5≤3x−2≤8

RESPUESTAS

RESPUESTAS DE LA PRE–PRUEBA 1. 2x−3

2. 12x−15−2y

3. a. Ecuación b. Desigualdad c. Expresión algebraica 4. a. No lineal b. No lineal c. Lineal

5. a. p=3 b. x=−2

3 c. x=6

d. t = 60

7 e. y=50

6. t = I pr

7.

5 8

8. a. x≤ −1

3 b. y<− 5

3 c. x≤ 13

3

d. −1

2 <x<1

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS EN EL MÓDULO

Conceptos preliminares (pág. 10) 1. 1

Resolución de ecuaciones (pág. 13) 1. y=−4

2. 2y=−1

3. y=−1 2

4. z=8

Ecuaciones lineales (pág. 14) 1. Lineal

2. No lineal 3. Lineal

Resolución de ecuaciones lineales (pág. 19) 1. x=−2

2. m=4

3. x=5 4. x=12

5. Todos los números reales

6. s= 6

7

Ecuaciones literales (pág. 21)

1. l= P−2a 2

2. n= PV RT

3. t = 2 L

Ecuaciones de forma fraccionaria (pág. 26)

1. x= 3 2

2. x=−5

8

3. No tiene solución 4. x=2

Intervalos de longitud finita (pág. 30) 1.

4 7

2.

-7 9

3.

3 6

4.

-4 -1

Intervalos de longitud infinita (pág. 32) 1.

3

2.

Resolución de desigualdades (pág. 35) 1. y>1

2. x>−5

3. y>−12

Desigualdades lineales (pág. 38)

1. x<−5

2

2. z≤5

3. y≤ −100

4. k< 27 10

Desigualdades con tres miembros (pág. 41) 1. −5<x<2

-5 2

2. 8<x≤11

8 11

3. −4≤x≤6

-4 6

4. −4<m≤3

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES

1. a. 11x−7 b. −z−18

2. a. z=6 b. p=18 c. m=24

d. Todos los números reales e. y= 3

5

3. a. r= 5kl

G b. h=4l−lm

4. a.

(

−∞,−5

)

b. −1

3,∞

⎡ ⎣⎢

⎞

⎠⎟ c.

(

−∞, 3

]

d.

(

−15,∞

)

e. −3

2, 1 2

⎡ ⎣⎢

⎞ ⎠⎟

RESPUESTAS DE LA POS–PRUEBA

1. 3−3y

2. 7+4x+8y

3. a. Desigualdad b. Expresión c. Ecuación 4. a. Lineal b. No lineal c. No lineal

5. a. y=19

3 b. z=0 c. y=

20 9

d. t =36 e. y=−36 f. x=−1 2

6. G= r

2

F Mm

7.

-2 5

8. a. x≥ −12 b. z>−1

4 c. x≥ −1

d. 7 3≤x≤

10 3