LINEAS DE ESPERA
(Cont).
El proceso de servicio
- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atención fijo.
- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía de acuerdo a la cantidad de clientes.
- Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una variable aleatoria.
Distribución exponencial del tiempo de atención
f(X) =
e
-Xdonde = es el número de clientes promedio
que pueden ser atendidos por período de tiempo.
Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”
Ilustración esquemática de la distribución exponencial
Probabilidad de que la atención sea completada
dentro de “ t “ unidades de tiempo
Agner Krarup Erlang
, un ingeniero
danés
que trabajó
para la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el
primer artículo sobre la teoría de colas en
1909
. Se
encargó del estudio del problema de
dimensionamiento de líneas y centrales de
conmutación telefónica para el servicio de llamadas.
David G. Kendall introdujo una notación de colas
A/B/
C
en 1953. La notación de Kendall para describir las
colas y sus características puede encontrarse en
Tijms, H.C,
Algorithmic Analysis of Queues
, Capítulo 9
en A First Course in Stochastic Models, Wiley,
Chichester, 2003. Ha sido desde entonces extendida
a
1/2/3/(4/5/6)
donde los números se reemplazan con
letras
Notación de Kendall
La notación de Kendall nos permite escribir
resumidamente todas las características que
hemos estudiado, Un sistema de colas se
notará como:
A | B | X | Y | Z | V
, donde:
A es el modelo de llegadas, Valores posibles:
M=tiempos entre llegadas exponenciales D=tiempos entre llegadas deterministas
G=tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución)
Notación de Kendall
X es el número de dependientes (servidores)
Y es la capacidad del sistema (número máximo
de clientes en el sistema), Se puede omitir si es
infinita
Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO
V es el número de estados de servicio, Se
puede omitir si es 1
Medidas de rendimiento
Una vez descrito el sistema, nuestro
objetivo es evaluar su rendimiento, Para ello
tenemos varias medidas de rendimiento:
Número medio de clientes en el sistema, notado
L
Tiempo medio de espera de los clientes, W
Número medio de clientes en la cola, L
qFormulas
- Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq.
- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:
* Sistemas de colas simples
* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada
* El sistema opera bajo las condiciones de períodos estacionarios.
L =
W L
q=
W
qL = L
q+
/
Medida del performance de los
sistemas de colas
El performance puede ser medido concentrandose
en:
- Los clientes en la cola - Los clientes en el sistema
Un período transitorio ocurre al inicio de la operación
.
- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución.
Un período estacionario sigue al período transitorio.
- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.
- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención efectiva.
…
k
Para un servidor
Para k servidores
Para k servidores con tasa se serv. Medida del performance en períodos estacionarios
.
P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist. Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. L = número de clientes promedio en el sistema.
Lq = número de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido.
Clasificación de las colas.
- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por: + Proceso de llegada de clientes
+ Proceso de atención + Número de servidores
+ Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas) + Tamaño de la población
- Notación
+ M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de atención exponencial.
+D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención +G (General) = Probabilidad general de llegada o de atención
Ejempo:
M / M / 6 / 10 / 20
Ejempo:
Sistema de colas M/M/1
Características
- Proceso de llegada Poisson.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente - Existe un solo servidor
Medidas del Performance para la cola
M / M /1
P
0= 1- (
/
)
P
n= [1 - (
/
)] (
/
)
nL =
/
(
-
)
L
q=
2/
[
(
-
)]
W = 1
/
(
-
)
W
q=
/
[
(
-
)]
P
w=
/
=
/
Zapatería Mary’s
Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.
El tiempo de atención se distribuye
exponencialmente con un promedio de 8 minutos
por cliente.
La gerencia esta interesada en determinar las
SOLUCION
Datos de entrada
= 1
/
12 clientes por minuto = 60
/
12 = 5 por
hora.
= 1
/
8 clientes por minuto = 60
/
8 = 7.5 por
hora.
Calculo del performance
P
0= 1- (
/
) = 1 - (5
/
7.5) = 0.3333
P
n= [1 - (
/
)] (
/
) = (0.3333)(0.6667)
nL =
/
(
-
) = 2
L
q=
2/
[
(
-
)] = 1.3333
W = 1
/
(
-
) = 0.4 horas = 24 minutos
W
q=
/
[
(
-
)] = 0.26667 horas = 16 minutos
P
0= 1- (
/
) = 1 - (5
/
7.5) = 0.3333
P
n= [1 - (
/
)] (
/
) = (0.3333)(0.6667)
nL =
/
(
-
) = 2
L
q=
2/
[
(
-
)] = 1.3333
W = 1
/
(
-
) = 0.4 horas = 24 minutos
W
q=
/
[
(
-
)] = 0.26667 horas = 16 minutos
Datos de entrada para WINQSB
Datos de entrada para WINQSB
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Sistema de cola M/M/k
Características
- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una esperanza
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente. - Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de
clientes.
Medidas de performance
P
n
k
k
k
n k n k 0 0 11
1
1
!
!
P
n
P
k k
P
n n n n k
!
!
0 0for n k.
P
nfor n > k.
Para n<= k
W
k
k
P
k
1
1
2 0!
Las medidas del performance L, L
q, W
q,, pueden ser obtenidas
por las formulas.
OFICINA POSTAL TOWN
La oficina postal Town atiende público los Sábados
entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
Datos
- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal durante este período. La oficina tiene tres dependientes.
- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en
orden a:
– La evaluación del nivel de servicio prestado.
– El efecto de reducir el personal en un dependiente
.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en
orden a:
– La evaluación del nivel de servicio prestado.
SOLUCION
Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entrada
100 clientes por hora.
40 clientes por hora (60
/
1.5).
Existe un período estacionario (
< k
Sistemas de colas M/G/1
Supuestos
- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con esperanza
El tiempo de atención tiene una distribución general con esperanza Existe un solo servidor.
Formula para L de Pollaczek - Khintchine.
- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación estándar
son necesarias.
L
TALLER DE REPARACIONES TED
Ted repara televisores y videograbadores.
Datos
- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas.
- La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45 minutos.
- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución Poisson.
- Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes. - El compra todos los repuestos necesarios.
+ En promedio, el tiempo de reparación esperado debería ser de 2 horas.
Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar
un cliente hasta que su artefacto sea reparado.
Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
SOLUCION
Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención
no es exponencial pues
1
/
).
Datos
Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)
= 1/ 2.5 = 0.4 clientes por hora.
= 1/ 2.25 = 0.4444 clientes por hora.
= 45/ 60 = 0.75 horas.
Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)
= 1/2 = 0.5 clientes por hora.
Sistemas de colas M/M/k/F
Se deben asignar muchas colas, cada una de un
cierto tamaño límite.
Cuando una cola es demasiado larga, un modelo
de cola infinito entrega un resultado exacto,
aunquede todas formas la cola debe ser limitada.
Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe
Características del sistema M/M/k/F
- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson con una esperanza
- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se distribuye exponencialmente, con esperanza
El número máximo de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es “F”.
Tasa de llegada efectiva.
- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.
- La probabilidad de que el sistema se complete es
P
F.
- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema
(
e).
COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN
Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman
ordenan su servicio.
Datos
- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.
- Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio
Cuando una línea telefónica esta disponible, pero
la secretaria esta ocupada atendiendo otra
llamada,el cliente debe esperar en línea hasta
que la secretaria este disponible.
Cuando todas las líneas están ocupadas los
clientes optan por llamar a la competencia.
El proceso de llegada de clientes tiene una
La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:
- La menor cantidad de líneas necesarias.
- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.
La gerencia esta interesada en la siguiente información:
El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.
EL número promedio de clientes que están es espera.
El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser
atendidos.
SOLUCION
Se trata de un sistema M / M / 1 / 3
Datos de entrada
= 10 por hora.
= 20 por hora (1
/
3 por minuto).
WINQSB entrega:
P
0= 0.533, P
1= 0.133, P
3=
0.06
6.7% de los clientes encuentran las líneas
ocupadas.
Esto es alrededor de la meta del 2%.
sistema M / M / 1 / 4
P
0= 0.516, P
1= 0.258, P
2= 0.129, P
3= 0.065, P
4= 0.032
3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas
Aún se puede alcanzar la meta del 2%
sistema M / M / 1 / 5
P
0= 0.508, P
1= 0.254, P
2= 0.127, P
3= 0.063, P
4= 0.032
P
5= 0.016
Datos de entrada para WINQSB
Datos de entrada para WINQSB
Otros resultados de WINQSB
Sistemas de colas M/M/1//m
En este sistema el número de clientes potenciales es
finito y relativamente pequeño.
Como resultado, el número de clientes que se
encuentran en el sistema corresponde a la tasa de
llegada de clientes.
Características
- Un solo servidorCASAS PACESETTER
Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro
proyectos.
Datos
- Una obstrucción en las obras ocurre en promedio cada 20 días de trabajo en cada sitio.
- Esto toma 2 días en promedio para resolver el problema. - Cada problema es resuelto por le V.P. para construcción
¿
Cuanto tiempo en promedio un sitio no se
encuentra operativo?
-Con 2 días para resolver el problema (situación actual)
SOLUCION
Se trata de un sistema M/M/1//4
Los cuatro sitios son los cuatro clientes
El V.P. para construcción puede ser considerado
como el servidor.
Datos de entrada
= 0.05 (1
/
20)
= 0.5 (1
/
2 usiando el actual V.P).
Medidas del
V.P V.PPerformance
Actual NuevoTasa efectiva del factor de utilización del sistema 0,353 0,334 Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435
Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100
Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437
Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562
Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666
Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334
Medidas del
V.P V.PPerformance
Actual NuevoTasa efectiva del factor de utilización del sistema 0,353 0,334
Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435
Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100
Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437
Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562
Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666
Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334
Resultados obtenidos por WINQSB
Análisis económico de los sistemas
de colas
Las medidas de performance anteriores son usadas
para determinar los costos mínimos del sistema de
colas.
El procedimiento requiere estimar los costos tales
como:
- Costo de horas de trabajo por servidor
- Costo del grado de satisfacción del cliente que espera en la cola.
SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS
Wilson Foods tiene un línea 800 para responder las
consultas de sus clientes
Datos
- En promedio se reciben 225 llamadas por hora. - Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos. - Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos.
-A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 por hora. -Wilson paga a la compañía telefónica $0.18 por minuto cuando el cliente espera en línea o esta siendo atendido.
- El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en línea es de $20 por minuto.
-El costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido es de $0.05.
Que cantidad de representantes
para la atención de los clientes
deben ser usados para minimizar
el costo de las horas de operación?
Que cantidad de representantes
SOLUCION
Costo total del modelo
Costo total por horas de
trabajo de “k”
representantes para la
atención de clientes
CT(K) = C
wk + C
tL + g
wL
q+ g
s(L - L
q)
Total horas para sueldo
Costo total de las
llamadas telefónicas
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que permanecen en línea
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que son atendidos
Datos de entrada
C
w= $16
C
t= $10.80 por hora [0.18(60)]
g
w= $12 por hora [0.20(60)]
g
s= $0.05 por hora
[0.05(60)]
Costo total del promedio de horas
Asumiendo una distribución de llegada de los
clientes Poisson y una distribución exponencial
del tiempo de atención, se tiene un sistema M/M/
K
= 225 llamadas por hora.
= 40 por hora (60/ 1.5).
El valor mínimo posible para k es 6 de forma de
asegurar que exista un período estacionario
(
<K
WINQSB puede ser usado para generar los
En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.
K
L
Lq
Wq
CT(K)
6
18,1249
12,5
0,05556
458,62
7
7,6437
2,0187
0,00897
235,62
8
6,2777
0,6527
0,0029
220,50
9
5,8661
0,2411
0,00107
227,12
10
5,7166
0,916
0,00041
239,70
K
L
Lq
Wq
CT(K)
6
18,1249
12,5
0,05556
458,62
7
7,6437
2,0187
0,00897
235,62
8
6,2777
0,6527
0,0029
220,50
9
5,8661
0,2411
0,00107
227,12
10
5,7166
0,916
0,00041
239,70
Conclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientes
Sistemas de colas Tandem
En un sistema de colas Tandem un cliente debe
visitar diversos servidores antes de completar el
servicio requerido
Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega
de acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de
atención se distribuye exponencialmente en cada
estación.
Tiempo promedio total en el sistema =
suma de todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales
Tiempo promedio total en el sistema =
COMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYS
Big Boys vende productos de audio.
El proceso de venta es el siguiente:
- Un cliente realiza su orden con el vendedor.
- El cliente se dirige a la caja para v¡cancelar su pedido.
Datos de la venta de un Sábado normal
- Personal+ 8 vendedores contando el jefe + 3 cajeras
+ 2 trabajadores de empaque. - Tiempo promedio de atención
+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es de 10 minutos.
+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de 3 minutos.
+ El tiempo promedio en el área de empaque es de 2 minutos.
-Distribución
+ El tiempo de atención en cada estación se distribuye exponencialmente.
+ La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40 clientes por hora.
Solomante 75% de
los clientes que llegan
hacen una compra
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprar
que un cliente que viene a comprar
demora en el local?
demora en el local?
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprar
que un cliente que viene a comprar
demora en el local?
SOLUCION
