TEMA 9: DERIVADAS
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
La siguiente gráfica representa la temperatura en el interior de la Tierra en función de la profundidad.
Vemos que la gráfica es siempre creciente, es decir, a medida que aumenta la profundidad también aumenta la temperatura. Sin embargo, ese aumento no es siempre igual ya que hay intervalos donde el incremento es mucho mayor.
Si queremos saber el incremento de temperatura entre: [1000,2000]→ ΔT=T(2000)-T(1000)=3300-2800=500 [2000, 2500]→ΔT=T(2500)-T(2000)=3500-3300=200 [2500,3000]→ΔT=T(3000)-T(2500)=5700-3500=2200 [3000,4000]→ΔT=T(4000)-T(3000)=6600-5700=900
Si queremos comparar estos incrementos debemos averiguar la variación de la temperatura por kilómetro:
(2000) (1000) 3300 2800 500 0 '5º 2000 1000 1000 1000 (2500) (2000) 3500 3300 200 0 ' 4º 2500 2000 500 500 (3000) (2500) 5700 3500 2200 4 ' 4º 3000 2500 500 500 (4000) (3000) 6600 57 4000 3000 T T K por km T T K por km T T K por km T T − = − = = − − = − = = − − = − = = − − = − − 00 900 0 '9º 1000 =1000= K por km
Vemos que la temperatura siempre aumenta (valores positivos) con la profundidad y que es entre 2500 y 3000 km cuando lo hace con mayor rapidez.
Si y=f(x) es una función cualquiera y a<b son dos posibles valores de x, se llama incremento de la
variable a la diferencia: ∆x=b−a.
Para este incremento de la variable se define el incremento de la función: ∆f = f(b)− f(a). Se define la tasa de variación media de la función y=f(x) entre a y b:
[ ]
a b a f b f x f b a TVM − − = ∆ ∆ = ( ) ( ) ,La TVM es el cociente entre el incremento que experimenta la función en ese intervalo y la amplitud del intervalo, y nos da una medida de “cómo varía la función en ese intervalo”.
Si observamos la siguiente figura y recordamos la definición de pendiente de una recta, notaremos que la tasa de variación media
en el intervalo [a,b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos de
abscisa x=a y x=b:
Así, aunque la amplitud de los intervalos es diferente podemos comparar los cuatro resultados, ya que todas estas variaciones son un promedio por km dentro de cada intervalo.
Ejercicios:
1º) Observa la gráfica de la función y calcula de forma aproximada las tasas de variación media en los intervalos [1,3], [3,5], [5,7], [7,8], [8,10] y [10,11]. (0;0,75;0,5;-1,5;-0,5;0)
2º) Halla la tasa de variación media de f(x)=x2 −2x+3 en [0,3], e interpreta gráficamente el resultado.
3º) Un material radiactivo se desintegra en función del tiempo, medido en días, según la función: M(t)=M0.e−0'1t, donde M(t) es la masa, en miligramos, existente en el instante t y M0 es la masa al inicio del proceso. Si la masa inicial es de 50 mg, calcula:
a. La masa existente al cabo de 10 días y al cabo de 20 días.
b. ¿Cuándo se ha desintegrado más rápidamente en los diez primeros días o en los cinco siguiente?
4º) La siguiente gráfica muestra la evolución de un
capital invertido en dos fondos de inversión diferentes y en distintos momentos.
a. ¿Cuál es la TVM de cada uno de los capitales desde el inicio?
b. ¿Y en los últimos cuatro meses? c. ¿Y en el último mes?
d. ¿Puedes decidir qué fondo es más rentable?
5º) Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:
a. f(x)=4+3x2 en
[ ]
2,5 , (21) b.[ ]
1,2 5 1 3 ) ( − + + = en x x x f , (1/2) c. ( ) 1 en[ ]
1,3 x x f = d. f (x) = 2x 2 − 1 en[
− 2,0]
y en[ ]
0,3 , (-4;6) e. f(x)=x2 −9x+20en[
4,4'01]
, (-0,99)2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La tasa de variación media de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo. Cuanto mayor sea la amplitud de dicho intervalo la información de la TVM es menos significativa.
Si queremos información más precisa sobre la variación de la función en un punto concreto x=a, tomamos intervalos de la forma [a, a+h], y calculamos la TVM:
[
]
h a f h a f a h a a f h a f h a a TVM , ( ) ( ) = ( + )− ( ) − + − + = +próximos a cero, podemos definir la tasa de variación instantánea o derivada de la función en x=a como: h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( 0
La derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a cero. Si el límite existe y es finito decimos que f(x) es derivable en x=a.
Interpretación geométrica:
Hemos visto que la TVM coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica que pasa por los puntos de abscisa x=a y x=a+h. Pues bien la derivada de una función en el punto de abscisa x=a será la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y= f(x) en el punto A(a,f(a)).
Ejercicios:
6º) Considera la función f x( )=x2−1. Calcula : a. TVM [1 ; 1,5]
b. TVM [1 ; 1,1] c. TVM [1 ; 1,01] d. TVM [1 ; 1,001]
e. ¿A qué valor se acercarán esas TVM? [a f′(1)=2]
7º) Se estima que dentro de t años la tirada de un periódico será N(t)=50t2 +100t+2000 ejemplares. a. Calcula la tasa de variación media en los próximos tres años.
b. Calcula la tasa de variación instantánea en el tercer año. 8º) A partir de la gráfica de f(x) obtén el
valor de:
a. f′( 1)− y f′(3) b. f′( 1),− f′(0) y f′(2) c. f′( 1),− f′(0) y f′(2)
9º) Observa la siguiente gráfica.
Teniendo en cuenta que las rectas trazadas son tangentes a la función f(x), halla los valores de las siguientes derivadas: f′( 2)− y f′(4).
10º) Observa la gráfica de la función y di qué valor tienen aproximadamente: a) f(0), b x si f x) ( )=0, c f) ′(0), d f) ′( 2)−
11º) Halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a. f x( )=6x−3en x=2
3. FUNCIÓN DERIVADA
En el último ejercicio hemos visto que el cálculo de la derivada de una función en varios puntos requiere hallar el correspondiente límite en cada caso.
Si en la definición de derivada en un punto:
h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( 0 − + = ′
→ , ponemos la variable x en lugar
del valor concreto “a” , tenemos una nueva función, f′(x) que a cada valor x le asigna el valor de la derivada (la pendiente) de f(x) en ese punto:
h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0
Esta función recibe el nombre de función derivada de f(x) o simplemente, derivada de f.
Ejercicios:
12º) Halla la función derivada de f x( )=x2
13º) Halla la función derivada de f x( )=4x−x2, y el valor de f′( 2),− f′(1), f′(2).
En lugar de calcular las derivadas de todas las funciones usando la definición, se acaba por memorizar la derivada de las funciones más usuales (todas ellas se justifican calculando el límite antes definido).
Función Derivada
Función constante: f x( )=k k, ∈R → f x′( )=0
Función potencial: ( ) n
f x =x → f x′( )=n x. n−1 Función raíz cuadrada: f x( )= x→ 1
( ) 2 f x x ′ = Función exponencial: ( ) x f x =e → f x′( )=ex Función logarítmica: ( ) ln f x = x→ f x( ) 1 x ′ = Funciones trigonométricas: f x( )=senx→
( ) cos f x = x→ ( ) cos f x′ = x ( ) f x′ = −senx Ejercicio:
14º) Utiliza la derivada de la función potencial para calcular la derivada de las siguientes funciones: 1) f x( )=x3 2) 7 ( ) f x =x 3) f x( ) 13 x = 4) f x( ) 1 x = 5) 4 ( ) f x = x 6) f x( )= 3 x2 7) 3 1 ( ) f x x =
4. REGLAS DE DERIVACIÓN. OPERACIONES
Aplicando la definición de derivada y las propiedades de los límites, se obtienen las reglas que permiten derivar funciones obtenidas al operar con otras funciones.
1. Derivada de la suma de dos funciones: (f +g) ( )′ x = f x′( )+g x′( ) . La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
Ejemplo: f x( )=x2+ + →x 3 f x′( )=2x+1
2. Derivada del producto de dos funciones: (f g⋅ ) ( )′ x = f x g x′( )⋅ ( )+ f x g x( )⋅ ′( ).
La derivada de un producto es igual a la derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo.
Ejemplo: f x( )= ⋅x3 senx→ f x′( )=3x senx2 +x3cosx
3. Derivada del producto de una constante por una función: (k f⋅ ) ( )′ x = ⋅k f x′( ).
La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
La justificación es bastante sencilla si utilizamos la regla anterior y la derivada de la función constante: (k f⋅ ) ( )′ x =( )k ′⋅ f x( )+ ⋅k f x′( )= ⋅0 f x( )+ ⋅k f x′( )= ⋅k f x′( )
Ejemplo: f x( )=4x3→ f x′( )= ⋅4 3x2 =12x2
4. Derivada del cociente de dos funciones: ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )
( ) f f x g x f x g x x g g x ′ ′ ′ = ⋅ − ⋅ .
La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido por el cuadrado del denominador.
Ejemplo: ( ) 5 ( ) 1.(3 1) (52 ).3 16 2 3 1 (3 1) (3 1) x x x f x f x x x x − ′ − + − − − = → = = + + + Ejercicios:
15º) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f(x)=x3+x2 b) f(x)=5x−3 c) f(x)=2x3 −6x2 +x−3 d) f(x)=x3 +10 e) 4 ) (x x f = f) 4 1 2 ) (x = x− f g) x x f( )= 1 h) 1 2 1 ) ( + = x x f i) x x x f 2 1 3 ) ( − = j) f(x)= x3 k) f(x)=(5x+3)2 l) ( ) 3 12 x x f = − ,
[ ]
2 x3 m) f(x)=3x⋅senx,[
3ex(x+1)]
n) f(x)= x2⋅lnx o) f(x)=(x2 +3x−1)(2x3 −1) p) f(x)=ex⋅cosx q) f(x)=3xex r) f(x)=4lnx−x+3senx s) x e x x f 3 ) ( = , − x e x x2 3 3t) 3 2 5 4 ) ( 2 2 − − − = x x x x f u) f(x)=lnx⋅senx v) f(x)=x− x w) 5 1 cos ) (x = x− f x) 2 1 2 ) ( 2 − + = x x x f y) x x f ln 1 ) ( = , − 2 ) (ln 1 x x z) ( ) 3 4 62 x x x f = + − aa) f(x)=3 x5 −2 x3 bb) x x x f 7 7 ln ) ( = − cc) ( ) 2 x senx x f = dd) f(x)=(3x2 −1)⋅ex ee) f x( )=(4x6−3x2)(4x7+5 )x3 ff) ( ) 3 2 2 4 5 x f x x x − = − , − − + − 2 2 2 ) 5 4 ( 12 30 10 x x x x gg) f(x)=(x+1) x
5. APLICACIONES DE LA DERIVADA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Como la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, podemos saber si una función es creciente o decreciente en dicho punto analizando el signo de su derivada:
▪ Sif ’ (a) > 0→f(x) es creciente en x=a.
▪ Sif ’ (b) < 0→f(x) es decreciente en x=b. Pendiente positiva. Creciente en x=a, Pendiente negativa Decreciente en x=b. Extremos relativos en x=c y en x=d, pendiente igual a 0. Ejercicios:
17º) Fíjate en la representación gráfica de la función f x( )= −x3 3x2+2
a) ¿En qué valores de x es nula la derivada?
b) Escribe los intervalos en los que la derivada es positiva y en los que la derivada es negativa.
18º) Indica si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en los puntos de abscisa: -1, 3, y 5:
2 3 ) ( ) 3 4 ) ( ) 3 5 ) ( ) 1 a f x x b g x x x c h x x = − = − + − = −
19º) ¿Cuál de estas funciones crece más rápidamente en x=2: f(x)=−6x3 +4x2 +10x−5 o 3 4 12 ) (x =− x4 + x− g ?
20º) Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva f x( )=2x3−5x2+ −x 3 en el punto x= −3. Razona si f(x) es creciente o decreciente en ese punto.
21º) Calcula la ecuación de la recta tangente a:
a. 2 ( ) 5 3 f x = − −x x en x= −1. b. 2 3 5 ) ( 2 − + − = x x x x f en x=2
22º) El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función
1 2 15 ) ( 2 2 + + + = t t t t
P , donde t es el número de años transcurridos desde t=0. Se pide:
a. La población inicial.
b. La TVM durante los 5 primeros años. ¿Puedes asegurar con ese dato que la población ha disminuido durante esos años?
c. La tasa de variación instantánea (derivada) el quinto año. ¿Puedes asegurar con ese dato que la población está disminuyendo en ese momento?
d. El tamaño esperado de la población a muy largo plazo.
23º) Se ha estimado que el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 17 horas, sigue esta función
3 2
( ) 0, 01 0, 36 4, 05 10
G t = t − t + t− , t∈]8,17[
a. ¿Cuál es el consumo a las 10 horas? ¿Y a las 16h? b. ¿El consumo está aumentando o disminuyendo a las 16? c. Determina las horas del día en las que aumenta el consumo.
24º) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f(x)=−2x3 −5x2 +4x+6,
2 2 4 ) ( x x x g − = , 3 8 2 5 ) ( − + = x x x h
