Distribuciones Multivariantes. Distribuciones Multivariantes. Distribuciones Multivariantes. Objetivos del tema:

(1)

1

Distribuciones Multivariantes

Distribución conjunta de un vector aleatorio

Distribuciones marginales y condicionadas

Independencia entre variables aleatorias

Características de un vector aleatorio Esperanza

Varianza, Covarianza, Correlación Transformaciones de vectores aleatorios

Distribución Normal multivariante

Estadística. Profesora: María Durbán

2

Objetivos del tema:

Al final del tema el alumno será capaz de:

Utilizar la función de probabilidad o densidad conjunta para el cálculo de probabilidades

Calcular distribuciones marginales y condicionadas a partir de las conjuntas

Interpretar y calcular covarianzas y correlaciones entre variables aleatorias Calcular medias y varianzas de transformaciones lineales de vectores

aleatorios

Comprender las propiedades de la distribución Normal bivariante

Distribuciones Multivariantes

3

Distribuciones Multivariantes

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

2. Distribuciones marginales y condicionadas

3. Independencia entre variables aleatorias

4. Características de un vector aleatorio Esperanza

Varianza, Covarianza, Correlación 5. Transformaciones de vectores aleatorios

6. Distribución Normal multivariante

4

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para una variable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar más de una variable en un experimento aleatorio.

Por ejemplo, en la clasificación de señales emitidas y recibidas, cada señal se clasifica como de baja, media o alta calidad.

Podemos definir:

X=“número de señales de baja calidad recibidas”, e Y=“número de señales de alta calidad”.

En general, si X e Y son dos variables aleatorias, la distribución de probabilidad que define simultáneamente su comportamiento se

(2)

5

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Variables discretas

Dadas dos v.a. discretas, , definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de probabilidad conjunta:

( , )

Pr(

,

)

p x y

=

X

=

x Y

=

y

,

X Y

Como en el caso unidimensional está función debe verificar:

( , )

0 ( , ) 1

x y

p x y

≥

=

∑∑

La función de distribución conjunta:

0 0 0 0 0 0

( ,

)

Pr(

,

)

Pr(

,

)

x x y y

F x y

X

x Y

y

X

x Y

y

≤ ≤

=

≤

=

∑ ∑

=

6

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo

En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.

Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:

X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos

7

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo

0 1 2 3 4 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 _1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6_3.46x10-4 _1.56x10-2 _0.2333 0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

( , )

0 ( , ) 1

x y

p x y

≥

=

∑∑

X Y

8

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo

0 1 2 3 4 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 _1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6_3.46x10-4 _1.56x10-2 _0.2333 0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

Pr(

X

≤

1,

Y

≤

2)

X Y

(3)

9

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Distribución Multinomial

Un experimento se repite n veces de forma independiente:

1. El experimento tiene k posibles resultados

2. La probabilidad de cada resultado, se mantiene constante

La variable = el número de veces que ocurre el resultado i-ésimo

1, 2, k p p Kp 1, 2, k X X KX i

X

siguen una distribución multinomialcon función de probabilidad

conjunta: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ! Pr( , , , ) ! ! ! 1 k x x x k k k k k k n X x X x X x p p p x x x x x x n p p p = = = = + + + = + + + = K K K K K

10

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo

Las probabilidades de que cierta lámpara de un modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente.

Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lámparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.

Hay 3 resultados posibles: ₁ ₁

2 2 3 3 40 0.3 40 80 0.5 80 0.2 X dura p X dura p X dura p = < → = = − → = = > → = 2 5 1 2 3 8! Pr( 2, 5, 1) 0.3 0.5 0.2 0.095 2!5!1! X = X = X = = =

11

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Variables continuas

Dadas dos v.a. continuas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de densidad conjunta:

( , )

f x y

,

X Y

Como en el caso unidimensional está función debe verificar:

( , )

0 ( , )

1 f x y

f x y dxdy

+∞ +∞ −∞ −∞

≥

=

∫ ∫

La función de distribución conjunta:

0 0 0 0 0 0

( ,

)

Pr(

,

)

y x

( , )

F x y

X

x Y

y

f x y dxdy

−∞ −∞

=

≤

=

_{∫ ∫}

2 ( , )

( , )

d F x y

f x y

dxdy

=

12

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Variables continuas

La probabilidad ahora se calcula como un volumen:

Pr(

,

)

b d

( , )

a c

a

≤ ≤

X

b c

≤ ≤

Y

d

=

∫ ∫

f x y dxdy

(4)

13

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Variables continuas

La probabilidad ahora se calcula como un volumen:

Pr(

,

)

b d

( , )

a c

a

≤ ≤

X

b c

≤ ≤

Y

d

=

∫ ∫

f x y dxdy

Pr( 1

− ≤ ≤ −

X

1, 1.5

≤ ≤

Y

1.5)

14

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo

Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario.

La función de densidad conjunta viene dada por:

6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

¿ Pr(

X

<

1000,

Y

<

2000) ?

15

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

¿ Pr(

X

<

1000,

Y

<

2000) ?

X Y

Recinto donde la función de densidad no es 0

1000 2000 3000

16

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

¿ Pr(

X

<

1000,

Y

<

2000) ?

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000

Recinto de integración para el cálculo de esa probabilidad

(5)

17

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

1000 0 0

Pr(

X

<

1000,

Y

<

2000)

=

∫ ∫

y

f x y dxdy

( , )

+

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 x=y

18

1. Distribución conjunta de un vector aleatorio

Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

1000 2000 1000 0 0 1000 0

Pr(

1000,

2000)

( , )

0.915

y

X

<

Y

<

=

f x y dxdy

+

f x y dxdy

=

∫ ∫

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 x=y

19

Distribuciones Multivariantes

6. Distribución Normal multivariante

20

2. Distribuciones marginales

Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importante distinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribución de probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de

cada variable se le denomina distribución marginal.

Variables Discretas

Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:

, X Y

( , )

p x y

( ) Pr( ) Pr( , ) ( ) Pr( ) Pr( , ) X y Y x p x X x X x Y y p y Y y X x Y y ∀ ∀ = = = = = = = = = =

∑

Son funciones de probabilidad

Se puede calcular su esperanza, varianza, etc.

(6)

21 Ejemplo

0 1 2 3 4 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 1.84x10-3 2 1.54x10-5 _1.38x10-3 _3.11x10-2 1 2.56x10-6_3.46x10-4 _1.56x10-2 _0.2333 0 1.6x10-7 _2.88x10-5 _1.94x10-3 _7.83x10-2 _0.6561 X Y

Las funciones de probabilidad marginal se obtendrían sumando en ambas direcciones.

2. Distribuciones marginales

22 Ejemplo

0 1 2 3 4

0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561

X Y

Las funciones de probabilidad marginal se obtendrían sumando en ambas direcciones.

2. Distribuciones marginales

23 Ejemplo

0 1 2 3 4 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 _1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6_3.46x10-4 _1.56x10-2 _0.2333 0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561 X Y

Las funciones de probabilidad marginal se obtendrían sumando en ambas direcciones

2. Distribuciones marginales

24 Ejemplo

Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: 4 0.00004 3 0.00188 2 0.03250 1 0.24925 0 0.71637 X Y

Las funciones de probabilidad marginal se obtendrían sumando en ambas direcciones

(7)

25

2. Distribuciones marginales

Variables Continuas

Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta las funciones de densidad marginal de ambas variables son:

, X Y

f x y

( , )

( )

( , )

( )

( , )

X Y

f

x

f x y dy

f

y

f x y dx

+∞ −∞ +∞ −∞

=

∫

Son funciones de densidad

Se puede calcular su esperanza, varianza, etc. -4 -2 0 2 4 x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 f( x )

26 Ejemplo

La función de densidad conjunta viene dada por

6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

¿ Pr(

Y

>

2000) ?

2. Distribuciones marginales

27 Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

¿ Pr(

Y

>

2000) ?

Podemos resolverlo de dos formas: Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado

Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad

2. Distribuciones marginales

28 Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000

¿ Pr(

Y

>

2000) ?

Podemos resolverlo de dos formas: Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado

2000 0

Pr(

Y

>

2000)

=

∫ ∫

+∞ y

f x y dxdy

( , )

=

0.05

Y

(8)

Estadística. Profesora: María Durbán 29 Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000

¿ Pr(

Y

>

2000) ?

Podemos resolverlo de dos formas:

3 0.002 0.001

0

( )

y

( , )

6 10

y

(1

y

)

0

Y

f

y

=

∫

f x y dx

= ×

−

e

−

e

−

y

>

Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad Y

0

2. Distribuciones marginales

30 Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

Y 1000 2000 3000

¿ Pr(

Y

>

2000) ?

Podemos resolverlo de dos formas:

2000

Pr(

Y

2000)

f

Y

( )

y dy

0.05

+∞

>

=

_∫

=

Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad Y

0

2. Distribuciones marginales

31

2. Distribuciones condicionadas

Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento de una de las variables puede afectar a las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable

Recordemos del Tema de Probabilidad el Teorema de Bayes:

( )

(

_{( )}

)

A

B

A

B

Pr

=

I

Mide el tamaño de uno con respecto al otro

32

2. Distribuciones condicionadas

Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento de una de las variables puede afectar a las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable

Variables Discretas

Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta

la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x₀:

,

X Y

( , )

p x y

Para un valor genérico de x

A∩B

Podemos calcular su esperanza, varianza, etc.

0 ( ) 0 X p x > A

(

) (

_{( )}

)

(

₍

₎

)

0 0 0 0 0 Pr , Pr , | x X y Y x X x p y x p x y p X = = = = =

( ) ( )

_{( )}

(

₍

₎

)

x X y Y x X x p y x p x y p X = = = = = Pr , Pr , | p

( ) ( ) ( )

x,y =p y|x pX x

(9)

33 Ejemplo

Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos

Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0 si X=3, Y=0 ó 1

M

Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y

2. Distribuciones condicionadas

34 Ejemplo

Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos

Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1

Número esperado de bits sospechosos cuando el número de aceptables es 3

2. Distribuciones condicionadas

35

2. Distribuciones condicionadas

Variables Continuas

Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta la función de densidad de Y condicionada a X

, X Y

f x y

( , )

( | )

( )

X

f x y

f y x

f

x

=

Es función de densidad

Se puede calcular su esperanza, varianza, etc.

( , )

( | )

_X

( )

f x y

=

f y x f

x

36 Ejemplo

6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado el servidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos?

¿ Pr(

Y

>

2000 |

X

=

1500) ?

(10)

Estadística. Profesora: María Durbán 37 Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000

( , )

( | )

( )

X

f x y

f y x

f

x

=

Y 0

¿ Pr(

Y

>

2000 |

X

=

1500) ?

0.003

( )

( , )

0.003

x

0

X x

f

x

=

∫

+∞

f x y dy

=

e

−

>

0.002 0.002

( | )

0.002

x y

0 f y x

=

e

−

< <

x

y

2. Distribuciones condicionadas

38 Ejemplo 6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

X Y 1000 2000 3000 1000 2000 3000 Y 0

¿ Pr(

Y

>

2000 |

X

=

1500) ?

0.002 0.002

( | )

0.002

x y

0 f y x

=

e

−

< <

x

y

2000 3 0.002 2000

Pr(

2000 |

1500)

( |

1500)

0.002

0.368

y

Y

X

f y X

dy

e

dy

+∞ +∞ ₋

>

=

∫

2. Distribuciones condicionadas

39

Distribuciones Multivariantes

6. Distribución Normal multivariante 3. Independencia entre variables aleatorias

40

3. Independencia entre variables aleatorias

En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable

Recordemos del Tema de Probabilidad:

(

)

( ) ( )

(

)

( )

(

B

A

)

( )

B

A

B

A

B

A

B

A

Pr

|

Pr

|

Pr

=

∩

(11)

41

3. Independencia entre variables aleatorias

Variables Discretas

,

X Y

Diremos que dos variables son independientes si:

( | )

_Y

( ) ( | )

_X

( )

p y x

=

p

y

p x y

=

p

x

( , )

( | )

_Y

( )

_X

( )

_Y

( )

,

p x y

=

p x y p

y

=

p

x p

y

∀

x y

42

3. Independencia entre variables aleatorias

Variables Continua

,

X Y

Diremos que dos variables son independientes si:

( | )

_Y

( ) f ( | )

_X

( )

f y x

=

f

y

x y

=

f

x

( , )

( | )

_Y

( )

_X

( )

_Y

( )

,

f x y

=

f x y f

y

=

f

x f

y

∀

x y

43 Ejemplo

6

( , )

6 10 exp( 0.001

0.002 ) 0

f x y

= ×

−

x

−

y

< <

x

y

3. Independencia entre variables aleatorias

0.002 0.002

( | )

0.002

x y

0 f y x

=

e

−

< <

x

y

3 0.002 0.001

( )

6 10

y

(1

y

)

0

Y

f

y

= ×

−

e

−

e

−

y

>

≠

Para todos los valores de x

44

Distribuciones Multivariantes

6. Distribución Normal multivariante 4. Características de un vector aleatorio

(12)

45

4. Características de un vector aleatorio

Esperanza

Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional X X1, 2,K,Xn

1 2 n X X X       =_ _       X M

La función de probabilidad/densidad del vector es la función de probabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector.

Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son las medias o esperanzas de cada componente.

[ ]

1 2 n E X E X E E X       = =_ _       µ X M

46

4. Características de un vector aleatorio

Covarianza

Primero comenzamos por definir la covarianzaentre dos variables:

Es una medida de la relación lineal entre dos variables

[ ]

(

)

(

[ ]

)

[ ] [ ] [ ]

( , )

Cov X Y =E_ X−E X Y−E Y _=E XY −E X E Y

Propiedades

Si son independientes ya que Si sean independientes Si hacemos un cambio de origen y escala:

, X Y ⇒Cov X Y( , )=0 E XY

[ ] [ ] [ ]

=E X E Y ( , ) 0 , Cov X Y = ⇒X Y d cY W b aX Z + = + = _⇒_Cov

₍

_Z_,_W

₎

₌_acCov

₍

_X_,_Y

₎

47

4. Características de un vector aleatorio

Covarianza

[ ]

(

)

(

[ ]

)

[ ] [ ] [ ]

( , ) Cov X Y =E_ X−E X Y−E Y _=E XY −E X E Y ¿Cómo lo calculamos?

Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variables aleatorias:

[

( , )

]

E h X Y =

( , ) ( , )

x y

h x y p x y

h x y f x y dxdy

+∞ +∞ −∞ −∞

∑∑

∫ ∫

48

4. Características de un vector aleatorio

´Covarianza positiva Covarianza cero

Covarianza negativa Covarianza cero

Hay relación pero no lineal

(13)

49 Ejemplo

Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos ¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa?

Sabemos que cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0 Por lo tanto la covarianza es negativa.

4 X

+ ≤

Y

⇒

4. Características de un vector aleatorio

50

4. Características de un vector aleatorio

Correlación

La correlaciónentre dos variables también es una medida de la relación lineal entre dos variables

[ ] [ ]

( , )

( , )X Y Cov X Y Var X Var Y

ρ =

Si son independientes ya que

Si , X Y ⇒ρ( , )X Y =0 Cov X Y

(

,

)

=0 | ( , ) | 1ρ X Y ≤ | ( , ) | 1 Y=aX+b⇒ρ X Y =

51

4. Características de un vector aleatorio

Matriz de Varianzas y Covarianzas

Dadas n v.a. llamamos matriz de varianzas y covarianzas del vector a la matriz cuadrada de orden n:

1, 2, , n X X K X X

(

)(

)

[ ]

[

]

[

]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

1 1 2 1 1 2 2 1 , , , , n X n n

Var X Cov X X Cov X X Cov X X Var X E Cov X X Var X      _′   = __ _{ }_= _       M X - µ X - µ L M M M M O M L L Propiedades

Simétrica (ella y su matriz traspuesta coinciden)

Semidefinida positiva (todos sus autovalores son ) ≥0

52

Distribuciones Multivariantes

6. Distribución Normal multivariante 5. Transformaciones de vectores aleatorios

(14)

53

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesario calcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a.

Dado un vector aleatorio con función de densidad conjunta , lo transformamos en otro vector aleatorio de la misma dimensión mediante una función

X f( )X Y g 1 1 1 2 2 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n y g x x y g x x y g x x = = = K K M K Existen las transformaciones inversas 1 ( ) ( ( )) d f f g d − = X Y Y Y 1 1 1 1 n n n n dx dx dy dy d d dx dx dy dy = X Y L M M L

54

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Si tiene menor dimensión que , completamos con elementos de hasta completar la misma dimensión.

X Y Y X Ejemplo 1 1 2 1 2 1 2 2 4 0 , 1 ( , ) 0 en el resto X X x x x x f x x = < <

Calcular la función de densidad de

1. Definimos

2. Buscamos la distribución conjunta de

3. Calculamos la marginal de 1 1 2 Y =X +X 2 2 Y =X 1 2 ( ,Y Y) = Y 1 Y

55

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo 1 1 2 1 2 1 2 2 4 0 , 1 ( , ) 0 en el resto X X x x x x f x x = < < 1 ( ) ( ( )) d f f g d − = X Y Y Y

Buscamos la distribución conjunta de

1 2 ( ,Y Y) = Y { 2 1 1 1 2 2 1 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) Y Y g X = ₁X₄₂₄+X₃ X →g− Y = Y −Y Y 1 1 1 0 1 d d − = = X Y 1 1 2 2 ( ( )) 4( ) f g− Y = y −y y

1

2

2 ( )

4(

)

f

Y

=

y

−

y y

¿En qué recinto está definida?

56

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo 1 2 0<x x, <1 1 1 2 2 2 Y X X Y X = + = (0,1) (0,0) (1,1) (1,0) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (x =0,x =0) (y 0 0, 0) (x =0,x =1) (y 1 0, 1) (x =1,x =0) (y 1 0, 0) (x =1,x =1) (y 1 1, 1) y y y y → = + = → = + = → = + = → = + =

(15)

57

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo 1 2 0<x x, <1 1 1 2 2 2 Y X X Y X = + = (0,1) (0,0) (1,1) (1,0) (0,0) (1,1) (1,0) (2,1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (x =0,x =0) (y 0 0, 0) (x =0,x =1) (y 1 0, 1) (x =1,x =0) (y 1 0, 0) (x =1,x =1) (y 1 1, 1) y y y y → = + = → = + = → = + = → = + =

58

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo 2 1 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 2 -1 1 y y y y y y < < < < < < < < 1 2 0 y −y = y₁−y₂=1 1 1 2 2 2 Y X X Y X = + = 1 2

0<x x, <1 Calculamos las 4 rectas que delimitan el recinto: 2 2 1 2 1 2 0 1 0 1 y y y y y y = = − = − = 1 2 2 1 2 1 2 1 2

( )

4(

)

0 1 0

1 2 -1

1 f

y

y y

y

=

−

< <

<

Y

59

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo Calculamos la marginal de Y₁ 1 1 1 3 1 2 2 2 1 1 0 1 1 3 1 2 2 2 1 1 1 1

3 4(

)

0

1

2 ( )

8

3 4(

)

4

1

2

3

2

y Y y

y

y y y

y

f

y

y y y

y

−

∂ =

< <

=

−

∂ = − +

−

< <

∫

60

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Convolución de X₁y X₂

Si X₁y X₂son variables aleatorias independientes con funciones de

densidad y , la función de densidad de es fX1( )x1 fX2( )x2 1 2

Y=X +X 1 2

( )

(

)

( )

Y X X

f

y

+∞

f

y

x f

x x

−∞

=

_∫

−

∂

(16)

61

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y varianzas de transformaciones lineales:

1 1 m× = m n× n× m≤n Y A X

[ ]

E E Var M = ′ = X Y A X Y A A Ejemplo

( )

1 1 2 2 1 1   = + ⇒ ₌ _ _   X Y X X Y X

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( )

[ ]

_{[ ]}

[ ]

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( , ) 1 1 1 2 ( , ) ( , ) 1 E E E Var Cov

Var Var Var Cov

Cov Var = +    =   = + +     Y X X X X X Y X X X X X X X

62

5. Transformaciones de vectores aleatorios

1 1 m× = m n× n× m≤n Y A X

[ ]

E E Var M = ′ = X Y A X Y A A Ejemplo

(

)

1 1 2 2 1 1   = − ⇒ ₌ ₋ _ _   X Y X X Y X

[ ] [ ] [ ]

[ ]

(

)

[ ]

_{[ ]}

[ ]

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( , ) 1 1 1 2 ( , ) ( , ) 1 E E E Var Cov

Var Var Var Cov

Cov Var = −     = −  ₋ = + −     Y X X X X X Y X X X X X X X

63

5. Transformaciones de vectores aleatorios

1 1 m× = m n× n× m≤n Y A X

[ ]

E E Var M = ′ = X Y A X Y A A

Caso particular: Distribución Normal

(

)

1 1 2 2 ~ , 1, , independientes i i i n n X N i n Y a X a X a X

µ σ

= = + + + K K

[ ]

2 2 1 1 n n i i i i i i E Y a

µ

Var Y a

σ

= = =

∑

=

∑

Normal

64

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo

Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitud de A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica 0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media 2mm y desviación típica 0.05mm.

Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes:

1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.

2. En esa pieza ha de encajar otra de 5.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de

que una pieza de esta forma sea inservible?

A

B C

(17)

65

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo

1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.

A B C D

D

= − −

A B C

~

(10, 0.1)

~

(2, 0.05)

~

(2, 0.05)

A

N

B

N

C

N

[ ]

2 2 2 10 2 2 6 0.1 0.05 0.05 0.015 . 0.122 E D Var D D T D = − − = = + + = =

66

5. Transformaciones de vectores aleatorios

Ejemplo

2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de

que una pieza de esa forma sea inservible?

A B C D

~

(6, 0.015)

D

N

5.9 6 Pr( 5.9) Pr 0.122 Pr( 0.82) 1 Pr( 0.82) D Z Z Z −   < =  <    < − = − ≤ 1 0.7939− =0.2061 El 20% de las piezas fabricadas es inservible

67

Distribuciones Multivariantes

6. Distribución Normal multivariante 6. Distribución Normal multivariante

68

Si vector aleatorio sigue una distribución Normal bivariante

con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas

tiene función de densidad:













=

2 1

µ

( )













−

Σ

−

Σ

=

−

)

(

)'

(

2

1 exp

2

1

1 2 / 1

X

µ

X

µ

X

π

f

      = 2 1 X X X













=

Σ

₂ 2 2 1 2 1 2 1

σ

ρσ

σ

ρσ

σ

(18)

69

6. Distribución Normal multivariante

( )













−

Σ

−

Σ

=

₍

_)'

−

₍

₎

2

1 exp

2

1

1 2 / 1

X

µ

X

µ

X

π

f

2 2 2 1 2(1 )

σ σ

ρ

∑ ₌ ₋ 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 (1 ) ρ σ σ σ ρ ρ σ σ σ − −       ∑ ₌  ₋  −    

(

)

( )

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ₂ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , exp 2 2(1 ) 2 (1 ) x x x x f x x µ µ ρ µ µ ρ σ σ σ σ π σ σ ρ  _ ₋ _ _ ₋ _ _ ₋ _ ₋ _  _ _ = −   +  −     −   −               = Σ 2 2 2 1 2 1 2 1 σ σ ρσ σ ρσ σ x y f(x,y) x y x y ρ = −0.90 ρ = 0 ρ = 0.90

The Bivariate Normal Distribution

x y y y x x µ1 µ2 µ1 µ1 µ2 µ2 ρ = 0 ρ = 0.9 ρ = − 0.9

Contour Plots of the Bivariate Normal Distribution

x y y y x x µ1 µ2 µ1 µ1 µ2 µ2 ρ = 0 ρ = 0.9 _{ρ = − 0.9}

Scatter Plots of data from the Bivariate Normal Distribution

σ = σ1 2 σ = σ1 2 σ = σ₁ ₂ σ = σ1 2 _{σ = σ} 1 2 σ = σ₁ ₂ σ = σ1 2 σ = σ1 2 σ = σ1 2

Función de densidad

Diagrama de dispersión

71













=

2 1

µ













=

Σ

₂ 2 2 1 2 1 2 1

σ

ρσ

σ

ρσ

σ













=

2 1

X

6. Distribución Normal multivariante

Propiedades

(

1

)

2

(

)

1 1 1 2 1 1 1 2 2 1

0 ,

independientes

X ~

,

X ~

,

X | X X | X son normales

X

N

y

ρ

µ σ

=

⇒

72

6. Distribución Normal multivariante

Ejemplo

En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es determinante a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidad de la luz.

Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una

distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mm y 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0.

Las especificaciones de grosor son las siguientes:

0.099535 0.100465 0.22966 0.23039 X Y ≤ ≤ ≤ ≤

¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones?

(19)

73

6. Distribución Normal multivariante

Ejemplo 0.099535 0.100465 0.22966 0.23039 X Y ≤ ≤ ≤ ≤

¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones? ~ (0.1, 0.00031) ~ (0.23, 0.00017) X N Y N Pr(0.099535≤ ≤X 0.100465, 0.22966≤ ≤Y 0.23039) 0 independientes ρ= →

(

)(

)

Pr(0.099535 0.100465) Pr(0.22966 0.23039) Pr( 1.5 1.5) Pr( 2 2) 2 Pr( 1.5) 1 2 Pr( 2) 1 X Y Z Z Z Z ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ = ≤ − ≤ − 0.827 =