Simulación gráfica de deformación de cuerpos con base en modelos físicos

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(1)SIMULACIÓN GRÁFICA DE DEFORMACIÓN DE CUERPOS CON BASE EN MODELOS FÍSICOS. CARLOS ROBERTO SÁNCHEZ GOODING. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN BOGOTA D.C. 2002.

(2) ISC-2002-2-44. ii. SIMULACIÓN GRÁFICA DE DEFORMACIÓN DE CUERPOS CON BASE EN MODELOS FÍSICOS. CARLOS ROBERTO SÁNCHEZ GOODING. Tesis para optar al título de Ingeniero de Sistemas y Computación. Director PROFESOR FERNANDO DE LA ROSA PH. D. Informática. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN BOGOTA D.C. 2002.

(3) ISC-2002-2-44. iii CONTENIDO. Introducción ____________________________________________________________1 1. Objetivos ____________________________________________________________3 1.1. Representación matemática – computacional___________________________3 1.2. Modelo de control__________________________________________________3 2. Problemática de estudio ________________________________________________5 2.1. Fenómeno físico de estudio _________________________________________5 2.2. Representación del fenómeno físico __________________________________5 2.3. Framework del sistema de simulación _________________________________6 3. Análisis teórico del fenómeno físico representado __________________________8 3.1. Concepto básico de elasticidad de materiales __________________________8 3.2. Cargas estáticas y cargas de impacto ________________________________12 3.3. Fatiga ___________________________________________________________12 4. Modelos de representación aplicables a la simulación de cuerpos deformables 13 4.1. Extrapolación de fenómenos físicos _________________________________13 4.1.1. Sistemas de partículas: __________________________________________14 4.1.1.1. Gravitacionales _____________________________________________14 4.1.1.2. Cuánticas _________________________________________________14 4.1.1.3. Resortes __________________________________________________15 4.2. Aproximación al modelo teórico por sistemas numéricos________________15.

(4) ISC-2002-2-44. iv. 4.2.1. Método de elementos finitos (FEM) _________________________________16 4.2.2. Método de elementos de borde (BEM) ______________________________16 5. Selección del modelo de simulación _____________________________________17 5.1. Sistemas de Resortes _____________________________________________17 5.2. Sistema realista por aplicación de métodos numéricos (BEM) ____________19 6. Análisis del modelo teórico de solución a implementar _____________________21 7. Implementación del sistema____________________________________________29 7.1. Consideraciones del modelo en cuanto a la implementación dada ________29 7.2. Definición del sistema _____________________________________________30 7.3. Sistema de Control de Simulación ___________________________________30 7.4. Entradas del sistema ______________________________________________30 7.5. Salidas del sistema________________________________________________32 7.6. Sistema de Control de Visualización _________________________________32 7.7. Desarrollo final del sistema _________________________________________34 Motor de simulación__________________________________________________35 7.8. Integración con el sistema gráfico ___________________________________36 7.9. Pruebas realizadas ________________________________________________39 7.9.1. Prueba de viga con esfuerzo cortante _______________________________42 7.9.2. Prueba de viga con esfuerzo de compresión__________________________45 8. Conclusiones ________________________________________________________48 9. Trabajos Futuros _____________________________________________________50.

(5) ISC-2002-2-44. v. Bibliografía ____________________________________________________________51 ANEXO A _____________________________________________________________53.

(6) ISC-2002-2-44. TABLA DE FIGURAS. Figura 1. Curva de esfuerzo – deformación ______________________________ 8 Figura 2. Relación esfuerzo – deformación en procesos plásticos __________ 10 Figura 3. Efecto de una fuerza cortante _________________________________ 11 Figura 4. Estructuras de construcción por sistemas de resortes____________ 15 Figura 5. Representación interna de un modelo de resortes ________________ 18 Figura 6. Análisis infinitesimal de stress tensor __________________________ 21 Figura 7. Solución de Kelvin en problemas tridimensionales _______________ 26 Figura 8. Construcción de nodos para una solución por BEM _______________31 Figura 9. Arquitectura de solución propuesta ____________________________ 34 Figura 10. Diagrama de clases del sistema ______________________________ 35 Figura 11. Ejemplo de salida. Deformación de una viga 2D _________________ 38 Figura 12. Modelamiento de una viga ___________________________________ 39 Figura 13. Deformación de una viga por esfuerzo cortante _________________ 43 Figura 14. Deformación excesiva de una viga por esfuerzo cortante _________ 44 Figura 15. Deformación de una viga con módulo de elasticidad amplificado ___45 Figura 16. Deformación de una viga por esfuerzo de compresión ____________46 Figura 17. Deformación de una viga por esfuerzo de compresión elevado _____47 Figura 18. Deformación de una viga por esfuerzo de compresión, módulo de Elasticidad amplificado ______________________________________48. vi.

(7) ISC-2002-2-44. vii. A mis pacientes padres.

(8) INTRODUCCIÓN. La computación gráfica es uno de los campos de mayor desarrollo dentro de las ciencias de la computación, gracias a la explotación de éstas tecnologías en actividades de gran impacto para la sociedad y la economía;. es el caso de las producciones. cinematográficas, los sistemas de telepresencia aplicados a la exploración espacial, medicina, etc. En particular uno de los mayores avances de la computación gráfica se ha dado por la producción de películas animadas realizadas en su mayor parte o completamente con modelos digitales; así la búsqueda de realismo y fluidez para estas animaciones se ha convertido en un gran foco de desarrollo para nuevas técnicas que persiguen acercarse cada vez más a los modelos teóricos de fenómenos tan complicados de replicar como es el caso del comportamiento de fluidos y fuego.. No obstante la deformación de objetos ha sido un problema estudiado con anterioridad, la búsqueda de nuevas aproximaciones que permitan mayor flexibilidad así como realismo no cesa y la introducción de modelos de mayor fidelidad se posibilita a medida que la capacidad de cómputo crece.. De la misma manera en que los modelos ofrecen mayor complejidad en cuanto a su cercanía con los fenómenos que pretenden representar, la introducción de nuevas tecnologías como las redes de alta velocidad ha posibilitado su aplicación en sistemas de telepresencia entre otros, para los cuales el realismo representa una gran riqueza necesaria para su éxito..

(9) ISC-2002-2-44. 2. Así pues, el refinamiento de algoritmos de simulación de fenómenos reales no solo se seguirá desarrollando en los años por venir sino que multiplicará su poder para asombrarnos con poderosas aplicaciones que cada vez más pondrán en duda la frontera entre la realidad digital y la material.. De acuerdo con las ideas expuestas, el espíritu de este trabajo se encuentra en realizar una aproximación a estos conceptos a través del estudio de un fenómeno físico particular del cual existe un compendio de conocimiento precedente con el que es posible referenciar iniciativas diferentes y su aplicación dentro de esquemas de simulación abiertos y reutilizables.. El presente documento aborda la problemática de estudio comenzando por el análisis del fenómeno físico desde el punto de vista teórico en el capítulo segundo y tercero, para luego continuar con el estudio de las posibles aproximaciones que pueden adoptarse para simular el mismo en ambientes computacionales en el capítulo tercero. Una vez presentada la problemática de una manera formal junto con los esquemas de simulación disponibles los capítulos quinto y sexto, se procede a describir el proceso de implementación seguido y las pruebas realizadas sobre el software obtenido, esto en los últimos capítulos..

(10) ISC-2002-2-44. 3. 1. OBJETIVOS. El desarrollo de este proyecto abarca objetivos en dos áreas relacionadas con la simulación física aplicada a la computación gráfica. La primera, los modelos de representación matemática - computacional de fenómenos físicos; la segunda, sistemas de control y comportamientos asociados a dichos modelos.. 1.1. Representación matemática – computacional. •. Estudiar la aplicación de métodos matemáticos que constituyen la solución realista desde el punto de vista de la puesta en práctica de la teoría física, evaluando su facilidad y realismo en cuanto a la representación de objetos desde la perspectiva de la computación gráfica.. •. Implementar modelos matemáticos que permitan representar los objetos a simular con base en sus características naturales, sin incurrir en representaciones que impliquen particularizar los objetos en función de características adicionales a las requeridas por su modelo computacional.. •. Validar la aplicación de los modelos de estudio a un caso concreto, siendo éste la deformación sobre una viga.. 1.2. Modelo de control. •. Desarrollar una librería de programación que permita la utilización de estos modelos de deformación en la computación gráfica en un marco extensible a las.

(11) ISC-2002-2-44. 4. consideraciones del problema y separado de los métodos matemáticos de solución, orientada a la definición de los objetos de acuerdo a sus propiedades reales y con la mayor separación posible de las consideraciones de la plataforma de implementación..

(12) ISC-2002-2-44. 5. 2. PROBLEMÁTICA DE ESTUDIO. Este trabajo plantea dos áreas de trabajo tal como se enuncia en los objetivos, y para cada una de estas problemáticas deben hacerse consideraciones especiales a fin de comprender los factores que determinan la factibilidad y éxito de las diferentes alternativas que se pueden emprender para solucionar problemas de carácter físico.. 2.1. Fenómeno físico de estudio. Aún cuando las bases para el estudio de la mecánica de materiales se dieron desde hace más de un siglo, debido a su complejidad, modelos que permiten su aplicación en la solución de problemas de estudio de situaciones reales no fueron factibles sino hasta la introducción de los sistemas de cómputo. Por su parte, este estudio de deformación de materiales encuentra creciente interés dada la complejidad de las estructuras mecánicas que se construyen actualmente y el realismo esperado de los sistemas gráficos. Este campo admite mejoras tendientes a la convergencia de los estudios teóricos y las aplicaciones gráficas.. 2.2. Representación del fenómeno físico. A pesar que la deformación de cuerpos ha sido objeto de estudio en el área de computación gráfica, los modelos existentes todavía no satisfacen las expectativas de los interesados en su utilización para diversos campos, y éstos son divergentes con la.

(13) ISC-2002-2-44. 6. simulación “realista” de los fenómenos; por lo tanto, el trabajo en este campo se encuentra lejos de ser un problema resuelto.. Los. modelos. utilizados. con. frecuencia. tienen. su mayor. beneficio en lograr. representaciones gráficas con niveles de realismo suficientes; sin embargo poseen deficiencias en la caracterización de materiales, no logrando diferenciar adecuadamente el comportamiento de éstos de acuerdo a sus propiedades. Por ejemplo los sistemas de resorte[5], aquellos de mayor utilización en los campos de computación gráfica, se comportan con demasiada rigidez cuando ya se encuentran en cierto grado de deformación.. Los modelos de simulación más recientes[4] utilizados con éxito en la simulación de procesos de deformación, si bien tienen en cuenta de una forma mucho más realista la simulación, no pueden ser aplicados de manera generalizada a todo tipo de objetos y la deformación producida por ellos puede ser de tipo gelatinoso[8].. 2.3. Framework del sistema de simulación. Los sistemas de simulación han sido utilizados ampliamente para el desarrollo de aplicaciones en computación gráfica, no obstante cuando la nueva generación de aplicaciones para Internet vea la luz (dentro de las cuales es previsible que los servicios gráficos, ambientes virtuales, aplicaciones interactivas de gráficos realistas, etc. se conviertan en un hecho ampliamente difundido) nos encontraremos ante la carencia de esquemas capaces de ofrecer la integración de estos sistemas de simulación de la manera más natural y desapegada de la implementación final..

(14) ISC-2002-2-44. 7. El desarrollo de un framework para la simulación de eventos físicos debe tener en cuenta diversos conceptos como son: (a) encontrar una separación de los algoritmos de los sistemas de simulación y los motores gráficos, (b) adecuación de los mismos a los estándares que dirigen el crecimiento de las aplicaciones con distribución en medios como internet y, (c) naturalidad en la definición e interacción de los objetos que ellos serán simulados. Un sistema que lleve a la práctica tales conceptos estará delineando las características de los sistemas futuros..

(15) ISC-2002-2-44. 8. 3. ANÁLISIS TEÓRICO DEL FENÓMENO FÍSICO REPRESENTADO. 3.1. Concepto básico de elasticidad de materiales. El conocimiento de las propiedades de los materiales en cuanto a su resistencia y comportamiento elástico frente a las cargas ejercidas en los sistemas mecánicos es por su misma naturaleza un tema importante de estudio para la ingeniería, razón por la cual se han desarrollado modelos teórico-prácticos para caracterizar los diferentes materiales.. A partir del estudio de laboratorio sobre la elongación de pistones expuestos a tensiones, se ha desarrollado un modelo de comportamiento aplicable a gran cantidad de materiales que entran bajo procesos de deformación[1] [10]; tal modelo puede ser descrito de una forma básica por una gráfica deformación-esfuerzo (Figura 1).. Carga: fuerza/área. Límite de proporcionalidad. Punto de ruptura. Zona de proporcionalidad rectilínea. Deformación % Figura 1 Curva de esfuerzo – deformación.

(16) ISC-2002-2-44. 9. La sección rectilínea de la gráfica representa la deformación que es capaz de resistir el material sin incurrir en una deformación permanente. En dicha zona, que ofrece un comportamiento lineal, todo cambio en la forma del objeto es anulado una vez se elimina la carga que lo produce. Según las propiedades mencionadas para la zona de proporcionalidad rectilínea, este comportamiento puede ser comparado al de un resorte que se rige por la ley de Hooke, de esta manera la pendiente de la zona de deformación rectilínea llamada módulo de elasticidad se equipararía a la constante k de un resorte[1]. Esta constante conocida como módulo de elasticidad (módulo de Young en el contexto de esfuerzos longitudinales) se encuentra definida como:. F   A E=  ∂l Donde E corresponde al módulo de elasticidad, la razón de fuerza F sobre área A el esfuerzo y la variación en la longitud es la deformación ∂l.. Los cuerpos pueden sufrir deformaciones con propiedades plásticas y elásticas. Para el caso elástico la deformación se encontrará dentro del límite de proporcionalidad rectilínea (límite elástico) en el cual el cuerpo recupera su forma. Por el contrario, la deformación plástica se lleva a cabo al sobrepasar este límite de proporcionalidad y el cuerpo no recuperará su forma y volumen original después de suprimir la carga. Aún cuando un cuerpo haya entrado en deformación plástica se presenta un fenómeno de gran interés, consistente en la conservación de las propiedades de deformación elástica; es decir, una vez que el cuerpo es liberado de la carga éste mantendrá su propiedad elástica o pendiente que define la sección rectilínea aún cuando esta se desplaza sobre el eje dada la nueva geometría del objeto de manera como lo indican las observaciones experimentales expresadas en la curva esfuerzo-deformación. (Figura 2).

(17) ISC-2002-2-44. 10. esfuerzo deformación Figura 2. Relación esfuerzo-deformación después de incurrir en deformación plástica, la pendiente de la zona elástica se mantiene, pero es trasladada, requiriendo mayor esfuerzo para entrar en un proceso de deformación [1].. Para el estudio de las propiedades de los materiales no basta con el conocimiento del módulo de Young que tipifica la pendiente de elasticidad lineal. Otros valores característicos de un cuerpo con respecto a su deformación como son el módulo de corte G y la relación de Poisson v, son también de gran importancia[1][11].. El módulo de corte G caracteriza el comportamiento del material respecto a las fuerzas de corte en el análisis de cubos infinitesimales; esto es las fuerzas tangenciales a los planos que pueden provocar un cambio en las dimensiones del objeto mas no en su volumen ya que el efecto provocado en el cuerpo es que las capas paralelas (“capas de átomos”) se deslicen unas sobre otras (Figura 3)..

(18) ISC-2002-2-44. 11. Figura 3.Acción del efecto de corte [10]. La deformación resultante puede ser vista como el desplazamiento de placas infinitesimales. F   A G= . φ. Por su parte la relación de Poisson o módulo de elasticidad volumétrica representa la asociación entre las razones de deformación axial y de deformación transversal, es decir proporciona un indicador del comportamiento del volumen de un cuerpo que es sometido a una carga en términos de la redistribución de éste a lo largo del eje perpendicular a la dirección de acción.. Este modelo es válido para los materiales isotrópicos, es decir aquellos materiales que conservan las mismas propiedades de deformación de manera independiente a la dirección normal del plano sobre el cual actúa la fuerza..

(19) ISC-2002-2-44. 12. 3.2. Cargas estáticas y cargas de impacto. El análisis de la mecánica clásica en cuanto a la deformación de cuerpos corresponde a la aplicación de cargas estáticas, es decir que no varían en el tiempo. A su vez, el análisis de cargas de impacto corresponde precisamente a un estudio de cargas aplicadas de forma variable en intervalos de tiempo muy cortos, problema que es abordado por la mecánica avanzada y que generalmente es abordado de manera experimental. En ingeniería clásica, se simplifican las cargas de impacto asumiéndolas como estáticas, siempre y cuando el tiempo de acción de la carga sea mayor al de la frecuencia natural del material. Las cargas de impacto también pueden generar otros fenómenos como una rápida fluctuación de un material entre la fragilidad y la ductibilidad, características que se presentan como función de tiempo y temperatura.. 3.3. Fatiga. En el estudio de los materiales la fatiga es conocida como una falla en la estructura de un cuerpo debido a la aplicación repetida de cargas que acentúan los posibles defectos del material..

(20) ISC-2002-2-44. 13. 4. MODELOS DE REPRESENTACIÓN APLICABLES A LA SIMULACIÓN DE CUERPOS DEFORMABLES. A fin de poder aproximar algunas de las características que se presentan en los cuerpos cuando son sometidos a procesos de deformación, es posible abordar la tarea desde diferentes perspectivas; sin embargo éstas pueden clasificarse dentro de dos tipos de iniciativas así: 1. Simulación a través de modelos físicos con base teórica de otras problemáticas, extrapoladas a la mecánica de materiales para aproximar su comportamiento basándose en sistemas que respetan en algún grado las propiedades básicas de los procesos de deformación de cuerpos.. 2. Simulación por solución aproximada de los modelos físicos que representan los procesos de deformación de cuerpos.. A continuación se presentan los modelos destacados en cada uno de los tipos mencionados:. 4.1. Extrapolación de fenómenos físicos Dentro de los modelos más importantes en cuanto la extrapolación de teorías encontramos aquellas relacionadas con los sistemas de partículas ..

(21) ISC-2002-2-44. 14. 4.1.1. Sistemas de partículas: Los sistemas de partículas se caracterizan por la representación discreta de un objeto en un sistema de masas puntuales (partículas) que interactúan entre sí[6]. En este sistema las propiedades geométricas de los objetos están dadas por planos definidos por sus partículas más externas, así al cambiar la posición de las mismas por efectos de la simulación del proceso de deformación dicha geometría cambiará inmediatamente como consecuencia de esta definición. No obstante el tener un modelo de partículas que define la geometría de un objeto implica definir las propiedades de interacción entre las mismas, razón por la cual surge la necesidad de encontrar propiedades de la física teórica que sean posible comparar con este modelo. De esta forma se plantean diferentes sistemas físicos que son posibles de asimilar a un sistema de partículas[2] algunos de ellos son:. 4.1.1.1. Gravitacionales En este tipo de sistemas la interacción entre los diferentes componentes de un objeto se compara a las propiedades existentes en el ámbito molecular en la materia, tales como la cohesión y adhesión. La ecuación fundamental de este modelo corresponde a la fuerza ejercida por la gravitación entre masas.. F =−. GmM r2. (1). 4.1.1.2. Cuánticas Se aplican propiedades como fuerza débil, fuerza fuerte, etc. derivadas de la teoría cuántica. Requieren solución de ecuaciones muy complejas..

(22) ISC-2002-2-44. 15. 4.1.1.3. Resortes Aprovechando las propiedades elásticas de deformación de los objetos se relacionan las partículas del sistema mediante resortes[2] [5], así se consigue que la característica elástica de los materiales sea representada. Estos modelos se definen a partir de planos de resortes construidos con diferentes estructuras dentro de las que se destacan los resortes estructurales, flexión y tensión (Figura 4). Figura 4. Estructuras de resortes empleadas en la construcción de objetos para simulación por este método.[5]. 4.2. Aproximación al modelo teórico por sistemas numéricos. Abordar la simulación utilizando métodos numéricos para solucionar los modelos teóricos que describen su proceso físico, requiere precisamente de la elección de un modelo teórico que pueda solucionarse por éstos, y el factor diferenciador entre los diferentes métodos disponibles se encuentra en la capacidad del método numérico para representar plenamente el problema con un menor número de cálculos o de entrada de datos no naturales a la problemática. Así se puede discriminar estos métodos de solución en:.

(23) ISC-2002-2-44. 16. 4.2.1. Método de elementos finitos (FEM). Se encuentra basado en las proposiciones del trabajo de Ritz en 1909[7] acerca de la solución numérica aproximada de problemas matemáticos a partir de un conjunto de funciones que satisfagan las condiciones de borde del sistema planteado. Para la utilización de este método numérico es necesario contar con una discretización interna de los objetos para poder llevar a cabo su solución. Existe un buen número de implementaciones principalmente en el campo del software especializado de ingeniería.. 4.2.2. Método de elementos de borde (BEM). En este enfoque se aprovechan los principios teóricos planteados por Trefftz en 1926 en cuanto a la solución numérica de problemas utilizando ecuaciones que correspondieran a las ecuaciones diferenciales que gobiernan un sistema y no solamente a las condiciones de borde como es planteado en el FEM. A partir de esta diferencia con el FEM, el BEM utilizando para el dominio interior las ecuaciones que cumplan exactamente el sistema diferencial gobernante no requiere que este espacio sea discretizado por lo cual la complejidad de cálculo se ve altamente reducida y así un modelo que adopte esta representación debe construirse con base en polígonos que generen su geometría más no requiere de discretización adicional para puntos internos, situación favorable desde el punto de vista de aplicaciones que tengan en cuenta de forma prioritaria la simplificación de la descripción geométrica, caso este, de la computación gráfica[3][4]..

(24) ISC-2002-2-44. 17. 5. SELECCIÓN DEL MODELO DE SIMULACIÓN. Para seleccionar el modelo de simulación se tuvo en cuenta los factores relacionados con los objetivos planteados sintetizados en los siguientes principios: fidelidad del modelo con la teoría física, y concordancia del modelo con los datos relevantes para los dos aspectos fundamentales del problema: representación geométrica y características físicas.. De acuerdo a estos principios y teniendo en cuenta la importancia de los modelos en lo que respecta a su aceptación en la comunidad científica, se decide comparar dos modelos representantes de las vertientes denotadas anteriormente, siendo estos los sistemas de resortes y la solución numérica del planteamiento físicamente correcto por métodos de elementos de borde BEM.. 5.1. Sistemas de Resortes. El sistema se construye a partir de un conjunto de n partículas que definen la geometría del objeto, cada una de estas partículas se encuentran conectadas a otras por un único plano cuyas aristas se conforman con resortes que a su vez asumen las características de elasticidad del material representado. Al interior de esta capa externa de partículas se define una de similares características como forma de representar propiedades uniformes de un objeto (Figura 5). [2] [5].

(25) ISC-2002-2-44. 18. Figura 5. Construcción interna de un modelo de resortes [2]. A la vez debe cumplirse para el sistema que la sumatoria de todas las masas puntuales sea igual a la masa total del objeto representado; sin embargo esto no implica que las masas cuenten con la misma magnitud.. Debido a esto, es posible realizar. representaciones de objetos de densidad variable a través de la diferenciación de la masa representada en cada partícula. Esta característica es común a todos los modelos que hacen uso de sistemas de partículas.. La interacción entre cada par de partículas conectado en el sistema se expresará en forma de una ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacerse en el contexto de un sistema de ecuaciones que abarca todas las relaciones establecidas entre partículas. La sumatoria de las condiciones finales para cada par de partículas vinculadas mediante resortes define explícitamente la variación sufrida por la representación del cuerpo[2]..

(26) ISC-2002-2-44. 19. Aún cuando este sistema puede vincular en su planteamiento el módulo de Young asimilándolo a la constante de elasticidad k de los resortes, la caracterización plena de un material se da cuando se tienen expresadas al menos dos de las constantes elásticas del material (módulo de corte, módulo de Young, relación de Poisson), por lo tanto el material representado no se encontrará reflejado completamente en su comportamiento físico como es de esperarse de este tipo de aproximación.. 5.2. Sistema realista por aplicación de métodos numéricos (BEM). Teniendo en cuenta que al hacer referencia a la solución del sistema por métodos de elementos de borde, en realidad se hace referencia a que éste será el método numérico para solucionar un planteamiento teórico, se conoce como consecuencia que los resultados obtenidos mediante este procedimiento serán altamente ajustados a la teoría que describe el fenómeno viéndose afectados solamente por el error propio de la aproximación numérica y su implementación. Así, siendo el enfoque de solución por métodos numéricos un enfoque ajustado al planteamiento teórico su utilización se ve limitada a la capacidad para sobrellevar dos factores críticos siendo estos la complejidad requerida para implementar el método y el tiempo de ejecución requerido por este para calcular un problema.. Aún cuando el BEM es un método numérico de complejidad significativa, la promesa de ahorro en el tiempo de cálculo al suprimir la evaluación de puntos al interior del dominio del problema suponen una amplia factibilidad para su implementación[8]..

(27) ISC-2002-2-44. 20. 5.3. Elección del sistema. Puesto que el interés de este estudio se concentra en el análisis de modelos para representación del fenómeno físico de la deformación de cuerpos es evidente que la posibilidad de implementar un método de simulación que se encuentre estrechamente ligado a la definición física del fenómeno constituye un gran incentivo y por lo tanto la aplicación de uno método numérico se encuentra privilegiada en el análisis; sin embargo, puesto que el interés en dichas simulaciones no se circunscribe a la solución del problema como tal, sino que también se encuentra orientada hacia su factibilidad en la construcción de sistemas de informática gráfica, se favorece a los métodos capaces de entregar resultados en tiempos de computación cortos ante lo cual resurgen representaciones como las llevadas a cabo con sistemas de partículas y se refina la selección de aproximaciones numéricas al BEM.. Ante la evaluación de un método como el BEM, contra los sistemas de partículas la doble ventaja representada en el BEM para proporcionar datos ajustados al sistema físico teórico en tiempos computacionales reducidos, se suma a su flexibilidad para elegir el modelo teórico de base. Siendo la solución por BEM la aproximación a la problemática privilegiada en los factores primarios del estudio, requerimientos secundarios como la aparente abundancia de casos de estudios que aplican sistemas de partículas contrastando con los pocos estudios realizados en el tema a través de un enfoque como el que posibilita el BEM, inclinan la balanza para elegir este tipo de solución como la apropiada para éste trabajo..

(28) ISC-2002-2-44. 21. 6. ANÁLISIS DEL MODELO TEÓRICO DE SOLUCIÓN A IMPLEMENTAR. Como primera medida para establecer el sistema debe determinarse el estado teórico de estrés (stress) al que están sometidos los materiales[1] [3] [9]. Para ello se utiliza un diagrama de cubo infinitesimal también llamado stress tensor (Figura 6), sobre el cual se efectúa un análisis de tensiones a las que se encuentra sometido un objeto en la proporción de las partículas que lo conforman. El estrés expresado como la aplicación de fuerzas sobre las áreas o planos de corte también puede ser llamada tracción (traction) (similar al concepto de presión) y está dado para el análisis tridimensional como:. t x = nxσ x + n yτ xy + nzτ xz t y = n yσ y + n xτ xy + n zτ yz. (2). t z = n zσ z + n xτ zx + n yτ zy. σz +. ∂σ z dz ∂z. τ yz +. ∂τ τ xz + xz dz ∂z ∂σ x dx ∂x. τ xy +. ∂z. σy +. dz. σx +. ∂τ yz. ∂τ xy ∂y. dz. ∂σ y ∂y. dy. dx dy Figura 6. Stress Tensor. Cubo infinitesimal base para el análisis de esfuerzos en un material [1]. dy.

(29) ISC-2002-2-44. 22. En la cual se involucran las normales a los planos (n), el stress en la dirección de normal al plano de corte (σx,σy,σz) y el stress tangencial a los planos de corte (τ).. Por otro lado las tensiones (strain) son expresadas en términos de los desplazamientos u en las direcciones X, Y y Z:. εx = εy =. ∂u x ∂x ∂u y. ∂y ∂u εz = z ∂z ∂u ∂u γ xy = x + y ∂y ∂x ∂u ∂u γ yz = y + z ∂z ∂y ∂u ∂u γ zx = z + x ∂x ∂z. (3). El stress σ se puede expresar como:. σ x  σ   y σ z  σ =  τ xy  τ   yz  τ xz . Y el strain ε como:. (4).

(30) ISC-2002-2-44. 23. ε x  ε   y  ε z  ε =  γ xy  γ   yz  γ zx . (5). Estos términos expresados en notación matricial, nos dan una mejor idea del sistema que debe solucionarse, teniendo en cuanta el desplazamiento.. ε = βu. (6). Donde u corresponde al vector de desplazamientos y β al operador diferencial.. u  u = u  u. x y z.     .        β =         . ∂ ∂x. 0. 0. ∂ ∂y. 0. 0. ∂ ∂y 0. ∂ ∂z. ∂ ∂x ∂ ∂z 0.  0   0   ∂  ∂ z  0  ∂  ∂y  ∂   ∂z . (7). Dado que el sistema debe cumplir con los principios de elasticidad enunciados en el estudio de los fundamentos de resistencia de materiales, se debe incluir en el sistema las.

(31) ISC-2002-2-44. 24. ε. x. =. ε. y. =. ε. z. =. γ. xy. =. γ. yz. =. γ. zx. =. 1 E 1 E 1 E 1 G 1 G 1 G. [σ. x. − ν (σ. y. + σ. z. )]. [σ. y. − ν (σ. x. + σ. z. )]. [σ. z. − ν (σ. y. )]. x. + σ. (8). τ. xy. τ. yz. τ. zx. ecuaciones que vinculan el sistema con la ley de Hooke. Así se ha logra establecer la relación entre el stress (σ), el strain (ε) y su expresión en términos de las constantes conocidas para los materiales, lo cual puede expresarse en relación de dos constantes de acuerdo a la relación entre ellas.. G=. E 2(1 + ν ). (9). Por lo tanto se tiene. ε = Cσ. Cuya relación inversa se expresa como. (10).

(32) ISC-2002-2-44. 25. 1 − ν  − ν 1 C=  0 E  0    0. −ν. −ν. 0. 0. 1. −ν. 0. 0. −ν. 1. 0. 0. 0. 0 E G. 0. 0. 0. E G. 0. 0. 0. 0. 0 0  0  0  0  E G . 0. (11). donde. σ = Dε. (12). en el que se tiene. D = C −1. 1 C  2 C 2  0 = C1   0  0 . C1 = E. C2. C2. 0. 0. 1. C2. 0. 0. C2. 1. 0. 0. 0. 0 G C1. 0. 0. 0. G C1. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0  0  0   0  G C1 . 1 −ν ν , C2 = (1 + ν )(1 − 2ν ) (1 −ν ). (13). (14). Estas relaciones son válidas para los materiales isotrópicos[3] [9]..

(33) ISC-2002-2-44. 26. La solución del sistema esta dada en función del desplazamiento producido en un punto por una carga puntual (Figura 7) en la forma expresada como. Figura 7. Notación para la solución de Kelvin en problemas tridimensionales [9]. 2 C   rx   U xx (P, Q ) = C1 +   r   r   2  ry   C  U yy ( P, Q) = C1 +   r  r    2 C   rz   U zz ( P, Q) = C1 +   r   r   1  r  ry  U xy ( P, Q) = C  x   r  r  r . (15).

(34) ISC-2002-2-44. 27. U yx ( P , Q ) = U xy ( P, Q ) U zz ( P, Q ) = U xz ( P, Q ) 1  r  r  U xz ( P, Q ) = C  x  z  r  r  r  1  r  r  U yz ( P, Q ) = C  y  z  r  r  r  U zy ( P, Q ) = U yz ( P, Q ) 1 (16πG (1 − v )) C1 = 3 − 4v bC =. En donde el primer índice proporciona la dirección en la que es aplicada la carga y el segundo la dirección del desplazamiento.. En cuanto a las tracciones su solución fundamental es:.   rz  C2   rx  rz   rx    θ − − C n n 3 cos           3 x z  r 2   r  r   r    r   r   r y   C   ry  r  Tzy ( P, Q) = − 22 3  z  cosθ − C3 ny  z  − nz    r   r  r   r    r  Tzx ( P, Q) = −. C2 =. r  1 r  r  C3 = 1− 2v, cosθ =  x nx +  y ny +  z nz (8π (1− v)) r  r  r .

(35) ISC-2002-2-44. 28. 2    C 3 + 3 rx   cos θ   r     r C   r  ry  Txy ( P, Q) = − 22 3 x   cos θ − C 3 n y  x r   r  r    r. C Txx ( P, Q) = − 22 r. Txz ( P, Q) = −. C2 r2.  ry   − n x   r.      .   rx  rz    rx   rz 3   cos θ − C 3 n z   − n x  r  r   r  r .      . 2    C + 3 ry   cos θ 3 r          ry C   r  ry  T yx ( P, Q) = − 22 3 x   cos θ − C 3 n x  r   r  r    r. C T yy ( P, Q) = − 22 r.   ry C 2   ry  rz    − 3 cos θ C    n z  3 r 2   r  r    r 2 C  r   Tzz ( P, Q) = − 22  C 3 + 3 z   cos θ r   r   T yz ( P, Q) = −.  r  − n y  x r .      .  r  − n y  z r .      . (16). Este desarrollo es conocido como solución de Kelvin debido a que fue Lord Kelvin quién la desarrollo[7]. Sin embargo es posible trabajar otras ecuaciones con base en este mismo principio, como puede darse con la utilización de la ecuación de Navier(17) que representa una generalización de la ley de Hooke[4]. Se trabajo con la ley de Hooke debido a la complejidad extra que se presenta al realizar este tipo de análisis con ecuaciones como la de Navier.. a. G∑ ( k =1. ∂ 2ui 1 ∂ 2u k + ) + bi = 0 ∂xk2 1 − 2v ∂xk ∂xi. (17).

(36) ISC-2002-2-44. 29. 7. IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA. 7.1. Consideraciones del modelo en cuanto a la implementación dada. A fin de lograr una representación cuyo comportamiento sea posible de calcular se supone el modelo como estático y la aplicación de las fuerzas puntuales, sobre cada uno de los intervalos discretizados; por lo tanto, para establecer la geometría del objeto es necesario discretizar su superficie en representaciones más pequeñas llamadas nodos, así los puntos de aplicación de las cargas serán los mismos nodos del método numérico y se cumple con la expectativa de eliminar el trabajo de conversión de geometría entre su representación gráfica y la simulación física. De esto es posible deducir que la suavidad de la deformación simulada se dará con respecto a la cantidad de nodos (polígonos) involucrados aún cuando en una relación directa al tiempo de cálculo necesario.. Dentro de los factores que deben asumirse a fin de poder trabajar con un modelo discreto se encuentra el hecho de no considerar los efectos propios de la aplicación de una carga de impacto en un material dada la complejidad de estas consideraciones aún para un planteamiento teórico. Por este motivo para cada intervalo de cálculo las cargas aplicadas se tomarán como estáticas (figura 12).. La aplicación de fuerzas de campo con capacidad de influir todo el objeto se ha limitado para no alterar las condiciones del planteamiento de las ecuaciones y sus soluciones fundamentales, por lo tanto, toda acción de campo debe ser incorporada a las condiciones que afectan cada nodo de manera individual..

(37) ISC-2002-2-44. 30. 7.2. Definición del sistema. El planteamiento inicial del sistema computacional contempla la construcción de dos módulos principales que se encargan de cada una de las áreas de estudio propuestas en este trabajo, estos módulos reciben los nombres de Sistema de Control de Simulación y Sistema de Control de Visualización.. 7.3. Sistema de Control de Simulación. Este módulo es aquel encargado de interpretar la representación de los objetos involucrados en el mundo, aplicar a ellos las condiciones de frontera a través del algoritmo implementado sobre el BEM y retornar los cambios sufridos para el objeto simulado tanto en desplazamiento como en tracciones.. 7.4. Entradas del sistema. El sistema de simulación requiere para su funcionamiento el conocimiento de los elementos geométricos, las condiciones de frontera que actúan sobre el mismo tanto hacia el interior como al exterior de cada nodo (condiciones de Neumman y Dirilecht) y las propiedades físicas del objeto (relación de Poisson y módulo de elasticidad). Como formato de entrada de estos datos y teniendo en cuenta la compatibilidad con otros sistemas se planteó una archivo XML. Ver anexo A..

(38) ISC-2002-2-44. 31. Así mismo una descripción por puntos de acuerdo al sistema general de coordenadas solo requiere como información que no se encuentra directamente relacionada con dicha estructura geométrica, la agrupación de estos puntos en nodos de simulación. Un nodo de simulación como fue descrito en el marco teórico del sistema, corresponde a una región finita de dos o tres dimensiones que constituye una unidad para la simulación. En un sistema bidimensional un nodo corresponde a puntos colineales extremos mientras que cuando el sistema sea tridimensional los puntos que conforman el nodo deben ser coplanares y vértices del área que delimitan.. A fin de incrementar la precisión del algoritmo de integración existe la posibilidad de definir puntos al interior de los segmentos de recta que delimitan los planos en el caso tridimensional. Un nodo que implementa puntos internos en sus fronteras es del tipo cuadrático (figura 8).. Figura 8. Nodos bidimensionales y tridimensionales simples. (B) Nodos cuadráticos.

(39) ISC-2002-2-44. 32. 7.5. Salidas del sistema. Las salidas del sistema se encuentran constituidas por las tracciones y los desplazamientos para cada uno de los puntos sin importar si estos son puntos internos de una representación del tipo cuadrático o corresponden a los vértices del nodo, de esta forma la matriz de desplazamiento puede ser aplicada a una la geometría fuente del objeto a simular y es posible obtener un sistema deformado. Las matriz de desplazamiento es calculada para cada punto de la manera en que es indicado por la ecuación (15) y la correspondiente a la tracción resultante es calculada a partir de la ecuación (16). 7.6. Sistema de Control de Visualización. Puesto que uno de los objetivos de este trabajo se centra en la obtención de una API que integre las consideraciones propias de una simulación física con un entorno de representación gráfica que permita esta interacción, se diseñó un sistema de control de visualización encargado de arbitrar las relaciones entre los diferentes objetos definidos en una escena y proporcionar la alimentación para el motor de simulación cuya respuesta sería a su vez interpretada de forma gráfica.. A fin de lograr esta doble funcionalidad del sistema, se optó por implementar un motor de transformación geométrica, cuyo objetivo es realizar las transformaciones dadas en la definición de un objeto en los motores gráficos tradicionales, siendo estas rotaciones,.

(40) ISC-2002-2-44. 33. escalamientos y traslaciones; de esta manera el cliente del sistema definirá los objetos sobre el control de visualización en lugar de hacerlo en el motor gráfico directamente y así la simulación estará en capacidad de acceder a todos los puntos del objeto y su respuesta no necesita ser recompuesta en términos de estas transformaciones sino que puede ser interpretada directamente como un cambio generado por una función f(x) aplicada a cada coordenada; es decir, la necesidad que impone el motor de simulación para que los objetos que se definen para su conocimiento sean descritos en términos de relación absoluta con el eje de coordenadas, justifica la funcionalidad de este motor de transformaciones como elemento encargado de convertir una definición típica de una escena gráfica en datos consistentes para el simulador.. Gracias a la existencia de un control de visualización sobre el cual se registraría la escena física surge la necesidad de vincular éste a los sistemas de simulación y visualización nativa o motor gráfico, a la luz de lo cual el control de visualización actuaría como puente entre estos sistemas definiendo en ambos lados nubes de puntos a simular o gráficar.. Dentro de las características con las que debe contar el control de visualización de manera tal que el sistema de simulación tenga disponible información relevante a las condiciones de borde (elementos que dirigen la simulación tal como las cargas aplicadas al objeto), se encuentra un seguimiento de las propiedades de los objetos para intervalos de. tiempo. precedentes. con. lo. cual. se. obtiene. la. capacidad. de. calcular. correlacionadamente entre escenas dichas condiciones de la interacción entre los objetos, es decir, el control del mundo facilitará el seguimiento del mundo a partir de su definición y por lo tanto la programación efectuada sobre él debe definirse en torno a comandos que representen variaciones en las condiciones sobre la línea de tiempo..

(41) ISC-2002-2-44. 34. Este control del mundo deberá conocer cada uno de los objetos y verificar la interacción entre los mismos teniendo en cuenta las propiedades con las cuales fueron definidos como sus constantes elásticas y demás características del material, adicional a las propiedades derivadas de su comportamiento y las cuales conoce el mismo por el cambio registrado en él a través de la línea de tiempo, caso tal es el de la velocidad.. Figura 9. Arquitectura simplificada del sistema de simulación propuesto. 7.7. Desarrollo final del sistema. Con la limitante de tiempo y con el propósito de concentrar su desarrollo en el objetivo mas importante de esta investigación, es decir el motor de simulación, se realizó una implementación menos compleja del sistema de control de visualización la cual no incluye el proceso de detección de colisiones y por ende, también deja de lado el control sobre las propiedades dinámicas de los objetos como lo es la velocidad..

(42) ISC-2002-2-44. 35. Dicha implementación es extensible al modelo original ya que constituye una simplificación del mismo pero conservando características esenciales de la arquitectura propuesta.. Motor de simulación. El motor de simulación este estructurado en un solver que se sustenta en clases de apoyo que proporcionan funciones matemáticas necesarias para el proceso como lo son las funciones de Laplace o las transformaciones de coordenadas gaussianas según fue descrito en la teoría del modelo de simulación.. Figura 10. Diagrama de clases simplificado para el sistema de simulación propuesto.

(43) ISC-2002-2-44. 36. La construcción del motor de simulación se encuentra basada en las propuestas hechas por Brebbia[3] y Beer[9] para la construcción de programas de análisis numérico que implementaran el BEM y los cuales se encuentran escritos en Fortran. A fin de contar con una implementación de un solver basado en BEM que fuera fácilmente integrado con sistemas gráficos y que pudiese manejar tecnologías como XML, se seleccionó JAVA como el lenguaje para realizar tal tarea. A pesar de las penalidades de rendimiento implícitas de un lenguaje como JAVA, las últimas versiones de la máquina virtual de Java (JVM) han reducido ostensiblemente esta brecha con respecto a aplicaciones desarrolladas en otros lenguajes de objetos como C++. Un último componente de la decisión sobre el lenguaje de desarrollo estuvo dado por el conocimiento previo del mismo, puesto que dada la complejidad del proyecto debía evitarse desviar la atención hacia. problemas. propios. del. conocimiento. de. la. tecnología..

(44) ISC-2002-2-44. 37. 7.8. Integración con el sistema gráfico. A pesar de haber planteado la arquitectura necesaria para la implementación de una API acorde a las expectativas propuestas, el objetivo de este trabajo gravitó mayoritariamente en torno a la implementación del método de elementos de borde para la resolución de problemas de elasticidad y la demostración de su aplicabilidad y ventajas en el campo de la computación gráfica. Por lo tanto la implementación lograda en cuanto a las capacidades gráficas del sistema fueron limitadas a las necesarias para lograr la comprobación del resultado de las simulaciones y plantear los principios básicos del sistema de control de visualización, siendo éstos el trabajo con nubes de puntos mediante la descripción explícita de los objetos.. A nivel general el control de visualización fue desarrollado en lo que respecta al motor de transformaciones y definición de objetos, pero el control de las escenas que debería asociarse con las propiedades de los objetos respecto a su variación en el tiempo y el espacio (como es el caso de la velocidad y las colisiones), no fue considerado y por lo tanto la alimentación de las escenas recayó exclusivamente en los objetos deformables según el formato XML de entrada para el motor de simulación. A fin de establecer patrones cambiantes en las condiciones de un objeto deformable se creó la capacidad de definir un conjunto de tales condiciones en la entrada XML que especifica el objeto deformable. Con los datos obtenidos se realizaron todas las simulaciones y éstas se almacenaron en un arreglo de matrices, en la cual cada una de las posiciones del arreglo contenía las matrices de desplazamiento y tracción propias de un conjunto de entradas dado. Al tener las simulaciones calculadas hacia falta calcular la representación gráfica.

(45) ISC-2002-2-44. 38. para cada una de ellas la que una vez encontrada era almacenada en un buffer de animación con una frecuencia de intercambio constante.. Como resultado de esta técnica de visualización fue posible obtener una imagen animada de la deformación de la viga donde se observa la incidencia de los parámetros de entrada como lo son el factor de Poisson y su módulo de elasticidad. La figura 11 ilustra el proceso de deformación para la viga del caso de estudio según la caracterización del material aún cuando la fuerza aplicada correspondía a una magnitud y por lo mismo, la deformación resultante del material.. Figura 11, Deformación de una viga 2D.

(46) ISC-2002-2-44. 39. 7.9. Pruebas realizadas. Con el fin de llevar a cabo una comprobación de los resultados obtenidos, el primer problema analizado correspondió a un modelo ampliamente estudiado desde el punto de vista teórico al igual que a través de herramientas matemáticas que utilizan metodologías comparables a la expuesta en este trabajo como FEM; dicho modelo es el problema de deformación en una viga.. La construcción del sistema para análisis de la viga fue hecha en torno de un modelo bidimensional consistente en 24 puntos agrupados en 12 nodos cuadráticos (cada uno compuesto por 3 puntos) realizando una figura rectangular. A fin simular las condiciones de una viga en las cuales ésta se encontraría fija de al menos un extremo, se aplican condiciones de Dirilecht en el nodo 12 o extremo izquierdo y para simular una carga de 10KN/m se expresan condiciones de Neumman sobre el lado derecho o nodo 6 en la dirección –y. Ver Figura 12.. 12. 6. Figura 12. Construcción de la viga. El lado izquierdo se encuentra sujeto en las condiciones de Dirilecht mientras el lado derecho se encuentra sujeto a fuerzas descendentes bajo las condiciones de Neumman.

(47) ISC-2002-2-44. 40. El sistema bajo condiciones que implican un módulo de elasticidad con magnitud de 10000 y una relación de Poisson correspondiente a cero, resulta bastante aproximado a la solución teórica en cuanto a la máxima deformación o deflexión alcanzada.. Modulo de elasticidad E. Relación de Poisson v. Implementación sobre JAVA. Teoría BEAM [9]. del BEM para problemas de elasticidad. 10000 Pa. 0.0. 0.5026. 0.5000mm. Bajo este mismo esquema de pruebas se implementaron configuraciones que simulaban esfuerzos cortantes o paralelos al nodo en el que fueron aplicados y esfuerzos de compresión manipulando las variables de elasticidad y fuerzas aplicadas para observar el comportamiento de la simulación y contrastarlo con lo que seria esperado en cada uno de los casos. La geometría correspondiente a esta configuración se ve plasmada en los siguientes puntos: <points number="24"> <point id="1" x="0.0" y="0.0"/> <point id="2" x="1.0" y="0.0"/> <point id="3" x="0.5" y="0.0"/> <point id="4" x="2.0" y="0.0"/> <point id="5" x="1.5" y="0.0"/> <point id="6" x="3.0" y="0.0"/> <point id="7" x="2.5" y="0.0"/> <point id="8" x="4.0" y="0.0"/> <point id="9" x="3.5" y="0.0"/> <point id="10" x="5.0" y="0.0"/> <point id="11" x="4.5" y="0.0"/> <point id="12" x="5.0" y="1.0"/> <point id="13" x="5.0" y="0.5"/> <point id="14" x="4.0" y="1.0"/> <point id="15" x="4.5" y="1.0"/>.

(48) ISC-2002-2-44. <point <point <point <point <point <point <point <point <point </points>. 41. id="16" id="17" id="18" id="19" id="20" id="21" id="22" id="23" id="24". x="3.0" x="3.5" x="2.0" x="2.5" x="1.0" x="1.5" x="0.0" x="0.5" x="0.0". y="1.0"/> y="1.0"/> y="1.0"/> y="1.0"/> y="1.0"/> y="1.0"/> y="1.0"/> y="1.0"/> y="0.5"/>. Organizados en nodos, así: <nodes number="12" points_per_node="3"> <node id="1" ip="1" ep="2"> <inner_point id="3"/> </node> <node id="2" ip="2" ep="4"> <inner_point id="5"/> </node> <node id="3" ip="4" ep="6"> <inner_point id="7"/> </node> <node id="4" ip="6" ep="8"> <inner_point id="9"/> </node> <node id="5" ip="8" ep="10"> <inner_point id="11"/> </node> <node id="6" ip="10" ep="12"> <inner_point id="13"/> </node> <node id="7" ip="12" ep="14"> <inner_point id="15"/> </node> <node id="8" ip="14" ep="16"> <inner_point id="17"/> </node> <node id="9" ip="16" ep="18"> <inner_point id="19"/> </node> <node id="10" ip="18" ep="20"> <inner_point id="21"/> </node> <node id="11" ip="20" ep="22"> <inner_point id="23"/> </node> <node id="12" ip="22" ep="1"> <inner_point id="24"/> </node> </nodes>.

(49) ISC-2002-2-44. 42. Todas las pruebas fueron realizadas en una máquina con sistema operativo Windows Xp, utilizando el motor de Java 3D en su versión de uso de Direct3D, procesador del sistema AMD Athlon 1.3 Ghz con 512 MB en memoria principal y 32MB en memoria de video en una aceleradora Nvidia Gforce2.. 7.9.1. Prueba de viga con esfuerzo cortante. Para la prueba de esfuerzo cortante fue aplicada una secuencia de cargas en aumento con lo cual se esperaba ver una animación de un proceso de deformación completo. Las magnitud de las cargas correspondió a una interpolación lineal entre cargas mínima y máxima. Como resultado de esta prueba fue posible observar un proceso de deformación continuo aunque su resultado gráfico resalta un problema esencial de las limitaciones impuestas a la implementación del sistema, esto es la falta de retroalimentación del modelo que se ve expresada en la definición de la interpolación lineal para la magnitud de las cargas aplicadas en el instante n y n+1. La ausencia de retroalimentación genera la sensación gráfica de trabajar con un material con capacidad de deformación infinita. Aun cuando es posible evitar que este efecto de visualización sea producido, específicamente mejorando el método de interpolación, una solución mucho mas amplia surgiría al implementar plenamente el planteamiento inicial del sistema incluyendo el control sobre las propiedades dinámicas de los objetos a través de las ecuaciones de energía entre otras. El proceso observado es simular al ilustrado en la figura 11.. La configuración fue la siguiente.

(50) ISC-2002-2-44. 43. <general_config> <dimension>2</dimension> <degree_of_freedom>2</degree_of_freedom> <type_of_analysis>1</type_of_analysis> <region_type>1</region_type> <simetry>0</simetry> <element_type>2</element_type> <E>100</E> <v>0.5</v> </general_config>. En la secuencia de figuras 13 – 15 se encuentra ilustrada diferentes aspectos de la prueba de esfuerzo cortante. En la figura 14 es posible observar un esfuerzo demasiado alto con respecto a las pruebas anteriores en las cuales se consiguió un gráfico acorde con lo esperado, las cuales se ilustran en la figura 13.. Figura 13. Deformación por esfuerzo cortante. El esfuerzo representado corresponde a la configuración descrita. Tiempo de cálculo 0,156s <NBC> <nbc_node id="6"> <nbc_point y="0.0" x="-30.0"/> <nbc_point y="0.0" x="-30.0"/> <nbc_point y="0.0" x="-30.0"/> </nbc_node> </NBC>.

(51) ISC-2002-2-44. 44. Figura 14. Esfuerzo cortante que provoca una deformación excesiva, por encima de los limites soportados por el modelo de simulación. En condiciones reales un material sometido a tal esfuerzo hubiese sufrido una deformación plástica o ruptura. Tiempo de cálculo 0,162s <NBC> <nbc_node id="6"> <nbc_point y="0.0" x="-1300.0"/> <nbc_point y="0.0" x="-1300.0"/> <nbc_point y="0.0" x="-1300.0"/> </nbc_node> </NBC>. De la misma manera, se experimento con la variación del módulo de elasticidad multiplicándolo por un factor de diez y realizando el mismo esfuerzo de deformación. Para éstos se obtuvo una deformación mucho mas leve que la evidenciada en la primera prueba, tal como seria esperado..

(52) ISC-2002-2-44. 45. Figura 15. Esfuerzo de deformación cortante. Módulo de elasticidad amplificado. Tiempo de cálculo 0,156s. 7.9.2. Prueba de viga con esfuerzo de compresión. Utilizando la misma geometría y nodos de aplicación de esfuerzo, se cambió la dirección de aplicación de los mismos para producir un esfuerzo de compresión. Al realizar la simulación se observó una deformación similar a la producida por el esfuerzo cortante pero con particularidades excepcionales como el borde dentado que se formó sobre el nodo que soportaba el punto de aplicación de las fuerzas y el ensanchamiento de la viga el cual es un efecto esperado gracias a la razón de Poisson. Según la configuración dada,.

(53) ISC-2002-2-44. 46. se debe producir un ensanchamiento de medio punto por cada punto de compresión. (Figura 16). Figura 16. Esfuerzo de compresión. Se evidencia el ensanchamiento del objeto como es descrito por la razón de Poisson. Tiempo de cálculo 0,162s. Siguiendo los parámetros dados en la prueba de esfuerzo cortante se prosiguió con la aplicación de esfuerzos extremadamente elevados con lo cual se observó de la misma manera un comportamiento errático del simulador. (Figura 17).

(54) ISC-2002-2-44. Figura 17. Esfuerzo de compresión elevado. El simulador se comporta erráticamente ante lo que podría representar un fractura o deformación plástica. Figura 18. Esfuerzo de deformación con módulo de elasticidad amplificado. 47.

(55) ISC-2002-2-44. 48. 8. CONCLUSIONES. Al observar el comportamiento de las simulaciones realizadas es posible notar que el comportamiento de las mismas se ve satisfactoriamente modificado de acuerdo a las diferentes caracterizaciones que se le otorguen al modelo cumpliendo con ello con las expectativas de comportamiento teóricas y empíricas en cuanto a nuestro conocimiento de la visión de estos procesos de deformación en el mundo real. Es así como la elasticidad de una viga y su desplazamiento máximo eran vistos de maneras diferentes al cambiar el módulo de elasticidad, produciendo la sensación visual de diferentes materiales. No obstante un factor importante para producir el efecto visual de la deformación de diferentes materiales fue evidente en la medida en que la animación del proceso de deformación se daba con base a cambios de aplicación de carga que no fueron calculados correlacionadamente, por lo tanto la desaceleración que sería común, al observar la velocidad con que se deforma un cuerpo, no logra ser bien representada.. En cuanto a otra caracterización de los materiales tenida en cuenta por el algoritmo de simulación, siendo ésta la razón de Poisson, es también satisfactorio ver la diferencia de sus valores actuando en el ensanchamiento de los cuerpos que entran en los procesos de deformación.. De la misma manera en que la capacidad del método para representar el fenómeno de una forma fundamentada queda comprobada gracias a. la visualización y a su. congruencia con los procedimientos teóricos asociados para el estudio de procesos de deformación, como es el caso de la teoría de vigas; el método prueba ser bastante flexible en cuanto a su utilización en el campo de la computación gráfica. La representación de.

(56) ISC-2002-2-44. 49. geométrica sin la exigencia de procesos complejos de construcción de geometría interna irrelevantes para la visualización, demuestran ser una característica importante para la generación de escenas con elementos deformables, mientras que sus tiempos de cálculo exitosos en modelos de pequeña escala, posibilita su utilización en escenarios prácticos.. El aprovechamiento de los cálculos de tracción generados por el método también lo potencian en el campo de la realidad virtual, puesto que junto con la representación realista del comportamiento visual, la interacción o retroalimentación que es posible generar a raíz de las tracciones, forman parte de la clave de un ambiente virtual convincente..

(57) ISC-2002-2-44. 50. 9. TRABAJOS FUTUROS. Debido al espectro de temas que abarca este trabajo y a las posibilidades que se encuentran abiertas de las conclusiones del mismo, es posible identificar futuros desarrollos en torno a las dos áreas planteadas, simulación y visualización.. Una de las principales posibilidades que potenciaría este estudio se encuentra en la implementación de los sistemas de control de escena y mundo de simulación planteados pero que igualmente no fueron llevados a su completitud al limitarse el enfoque del trabajo realizado. Un sistema de control de escena estaría encargado de realizar la simulación en un entorno que se alimente del mismo resultado de la simulación en un instante previo para así lograr darle la dinámica necesaria a escenas con movimiento. A fin de que dicho control de escena no solamente agrupara el control de un objeto bajo un proceso de deformación controlado por entradas del sistema, sino que el mismo estuviese en capacidad de generar las condiciones iniciales para el cálculo de la simulación en cada instante de tiempo a la interacción de múltiples objetos, sería necesario vincular a éste la detección de colisiones la cual junto con el registro de las propiedades básicas de la dinámica de la escena, proporcionarían información suficiente para tal fin.. Por último, la generación plena de un API de simulación que haga uso de las capacidades aquí expuestas permitiría estudiar a fondos las capacidades del método de simulación expuesto al apartar totalmente los problemas de visualización de la utilización extensiva del simulador..

(58) ISC-2002-2-44. 51. BIBLIOGRAFÍA. [1] Byars Edward, Zinder Robert Mecánica de cuerpos deformables., Edición Representaciones y Servicios de Ingeniería, México 1978. [2] Barrero Ulloa Daniel Arturo Modelaje de Objetos Basados en Física, Tesis de grado en Ingeniería de Sistemas y Computación, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 1994. [3] Brebbia Carlos Alberto Boundary Element Method for Engineers., Edición Pentech Press, Londres, Reino Unido 1984. [4] Doug L James, Dinesh K. Pai, University of British Columbia Accurate Real Time Deformable Objects, Proceedings of the 26th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, Julio 1999. [5] Fuentes Herrera Omar Alejandro Simulación del comportamiento dinámico de una tela, Tesis de grado en Ingeniería de Sistemas y Computación, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 1998. [6] R. M. Koch, M. H. Gross, F. R. Carls, D.F. von Büren, G. Fankausher, Y. I. H. Parish.

(59) ISC-2002-2-44. 52. Simulating Facial Surgery Using Finite Element Methods Swiss Federal Institute of Technology – Dept of Maxillofacial Surgery, University Hospital Zurich, Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH 96. [7] Thomson W. (Lord Kelvin) A Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of An Elastic Solid, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Cambridge University Press, 01848, 1909. [8] Feng Xie, Critique. for. CS448B. ARTDEFO:. Accurate. Real. Time. Deformable. Objects,. <http://graphics.stanford.edu/courses/cs448b-00-winter/critiques/feng2.pdf> [Consulta: 15 Marzo de 2002]. [9] Beer Gernot Programming the Boundary Element Method, An Introduction for Engineers,John Wiley & Sons Ltd. 2001. [10] Tippens Paul Física, Conceptos y Aplicaciones. Mc Graw Hill, México 1981. [11] Volino Pascal, Courchense Martin, Thalmann Nadia Versatile and Efficient Thecniques for Simulating Cloth and other Deformable Objects Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH 95.

(60) ISC-2002-2-44. 53. ANEXO A. Formato de entrada válidos para el motor de simulación y la adaptación del sistema de visualización implementadas.. <bem_defo> <general_config> <dimension>#</dimension> <degree_of_freedom>#</degree_of_freedom> <type_of_analysis>3</type_of_analysis> <region_type>#</region_type> <simetry>#</simetry> <element_type>#</element_type> <E>#</E> <v>#</v> </general_config> <points number="#"> <point id="1” x="#" y="#"/> <point id="2" x="#" y="#"/> <point id="3" x="#" y="#"/> </points> <nodes number="#" points_per_node="#"> <node id="#" ip="#" ep="#"> <inner_point id="3"/>.

(61) ISC-2002-2-44. 54 </node>. </nodes> <bc> <DBC> <dbc_node id="#"> <dbc_point x="#" y="#"/> <dbc_point x="#" y="#"/> <dbc_point x="#" y="#"/> </dbc_node> </DBC> <NBC> <nbc_node id="#"> <nbc_point x="#” y="#"/> <nbc_point x="#" y="#"/> <nbc_point x="#" y="#"/> </nbc_node> </NBC> </bc> </bem_defo>.

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