Estructura de la función de onda multifermiónica en sistemas simples y su relación con las restricciones de Pauli generalizadas

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Documento de proyecto de grado

Estructura de la funci´

on de onda

multifermi´

onica en sistemas simples y su

relaci´

on con las restricciones de Pauli

generalizadas

Autor:

Diego Ferney Rojas Gamboa

Supervisor:

Alonso _{Botero Mej´ıa} Ph.D

Tesis presentada como requisito para optar al t´ıtulo de Magister en Ciencias - F´ısica

en

Bogot´a, Colombia

(2)

(3)

Resumen

Facultad de Ciencias

Departmento de F´ısica

Maestr´ıa en Ciencias - F´ısica

Estructura de la función de onda multifermiónica en sistemas simples y su relación con las restricciones de Pauli generalizadas

por Diego FerneyRojas Gamboa

Una forma apropiada de describir sistemas cu´anticos de muchas part´ıculas es a trav´es de

los operadores densidad reducidos de un uno y dos cuerpos, puesto que en general, las

interacciones que se consideran est´an descritas por operadores de una y dos part´ıculas.

Sin embargo, encontrar el conjunto de condiciones que deben cumplir los operadores

densidad reducidos para que estos sean obtenidos v´ıa traza parcial de un estado de N

part´ıculas es un problema que a´un no tiene una soluci´on general y al cual se denomina

problema deN-representabilidad. Un avance significativo fue presentado por Klyachko al resolver el problema de N-representabilidad de operadores densidad reducidos de un cuerpo. El resultado de Klyachko es una extensi´on al principio de exclusi´on, el cual

es-tablece que los números de ocupación natural (NON) están restringidos por 0≤λi ≤1.

Las restricciones adicionales que componen esta soluci´on son un conjunto de

desigual-dades lineales entre los n´umeros de ocupaci´on natural y se denominan restricciones de

Pauli generalizadas (RPG). Las condiciones RPG dependen del númeroN de part´ıculas y la dimensión del espacio de Hilbert de una part´ıcula r. Cuando estas desigualdades son saturadas exacta o aproximadamente se dice que los estados cuánticos del sistema se

encuentran atrapados en los v´ertices de una estructura geom´etrica generada a partir de

los NON y las desigualdades RPG denominada politopo. En los casos en los que existe

una saturaci´on exacta o aproximada se dice que existe un efecto de pinning o

quasi-pinning, respectivamente. El interés por investigar estos fenómenos está en la relación

que existe entre la saturaci´on de las desigualdades RPG y la estructura de la funci´on de

onda fermi´onica.

Para evidenciar el efecto que tienen los fen´omenos de pinning y quasipinning en la

estruc-tura de la funci´on de onda multifermi´onica se considera el armonio de 3, 4 y 5 fermiones.

(4)

al ser escritos en la base de orbitales naturales (ON), se escriben de manera simple

como una expansi´on de algunos de los _N_!(_rr₋!_N_)! determinantes de Slater permitidos. El conjunto de determinantes de Slater que expanden la funci´on de onda se aproxima al

conjunto construido a partir de una regla de selecci´on propuesta. Esta regla de selecci´on

se evidencia en un sistema realista como el armonio y se sostiene incluso cuando se

con-sideran estado fermi´onicos aleatorios.

El hecho de que en los resultados obtenidos sobre el armonio y los estados fermi´onicos

aleatorios la funci´on de onda sea expandida en algunos determinantes de Slater muestra

que con la regla de selecci´on se pueden producir ansatz que son una mejor aproximaci´on

(5)

A mis padres Alonso Rojas y Luzma Gamboa y a mis hermanos Michel Alonso y M´onica

Paola, por su amor, apoyo y compa˜n´ıa.

A la comunidad Tai Y¨u Chin y al maestro Kun Ziem, por brindarme un espacio de

crecimiento como ser humano.

Al profesor Alonso Botero, por su asesor´ıa y disposici´on, al Departamento de F´ısica de

la Universidad de los Andes, por brindarme los espacios y los medios para realizar esta

investigaci´on, y a mis profesores y compa˜neros, con los cuales compartimos el proceso

de construcci´on de conocimiento y experiencias de vida.

(6)

´INDICE GENERAL

Resumen II

Agradecimientos IV

Contenido V

Lista de Figuras VII

Lista de Tablas IX

Abreviaciones X

S´ımbolos XI

1. Introducci´on 1

2. Funci´on de onda fermi´onica, matrices densidad reducidas y

N-repre-sentabilidad 5

2.1. Sistemas de muchas part´ıculas. . . 6

2.2. Simetr´ıa de la funci´on de onda . . . 7

2.3. Determiante de Slater . . . 9

2.4. Matriz densidad reducida . . . 10

2.5. El problema deN-representabilidad . . . 13

3. Klyachko, restricciones de Pauli generalizadas y Pinning 15 3.1. Condiciones de Borland y Dennis . . . 16

3.2. Restricciones de Klyachko y la extensi´on del principio de exclusi´on . . . . 22

3.3. Estados fermi´onicos y la Regla de Selecci´on . . . 23

3.4. Pinning y Quasipinning . . . 26

4. N-armonio y restricciones de Pauli generalizadas 29

(7)

4.1. Soluci´on general delN-armonio . . . 30

4.2. Armonio de tres fermiones . . . 32

4.2.1. Solución de la ecuación de Schrödinger para un sistema de tres

part´ıculas . . . 32

4.2.2. Funci´on de onda de tres fermiones . . . 33

4.2.3. Matriz densidad reducida de un cuerpo para el armonio de tres

fermiones . . . 34

4.2.3.1. Ejemplos de matrices densidad reducida de un cuerpo

del armonio de tres fermiones. . . 34

4.2.4. Desigualdades para sistemas ∧3_H

6 y∧3H7 . . . 37

4.3. Armonio de cuatro fermiones . . . 41

4.3.1. Funci´on de onda para el armonio de 4 fermiones . . . 41

4.3.2. Matriz densidad reducida de un cuerpo para el armonio de cuatro

fermiones . . . 42

4.3.2.1. Ejemplos Matrices densidad reducida de un cuerpo del

armonio de cuatro fermiones . . . 42

4.3.3. Desigualdades para∧4_H

8 . . . 46

4.4. Armonio de cinco fermiones . . . 48

4.4.1. Funci´on de onda de cinco fermiones . . . 50

4.4.2. Matriz Densidad Reducida de una part´ıcula para el armonio de

cinco fermiones . . . 51

4.4.2.1. Ejemplos de matrices densidad reducida de un cuerpo

del armonio de cinco fermiones . . . 52

4.4.3. Desigualdades para sistemas ∧5_H

10. . . 56

5. Funci´on de onda fermi´onica en la base de orbitales naturales 58

5.1. Funci´on de onda del arm´onio en la base de orbitales naturales . . . 59

5.2. Funci´on de onda de un estado aleatorio fermi´onico en la base de orbitales

naturales . . . 62

5.2.1. Distribución de los números de ocupación natural. . . 62

5.2.2. Correlaciones entre n´umeros de ocupaci´on natural . . . 64

5.2.3. Pinning y quasipinning en sistemas∧3_H

r . . . 65

5.2.4. Representaci´on en orbitales naturales . . . 67

6. Conclusiones 71

A. Abstract and conclusions 74

(8)

´INDICE DE FIGURAS

3.1. Número de términos en la expansión en determinantes de Slater vs la

dimensi´on del espacio de Hilbert. . . 22

3.2. Número de términos en la expansión en determinantes de Slater vs la

dimensi´on del espacio de Hilbert. . . 23

3.3. Descripci´on gr´afica del politopoP₍_N,d₎ de estados permitidos . . . 26

3.4. Politopo definido porλ1+λ2≤1+λ3sujeto a la condici´on 1≥λ1 ≥λ2 ≥λ3. 28

5.1. Distribuci´on de valores tomados por los NON para un sistema ∧3_H

6. . . . 63

7. . . . 63

8. . . . 63

9. . . . 64

10. . . 64

5.6. Correlaciones entre NONλ1 yλ6 de estados fermi´onicos aleatorios ∧3Hr. 65

5.9. Distribuci´on de valores tomados por las desigualdadesD(3,6) para un

sis-tema ∧3_H

6. . . 66

5.10. Distribuci´on de valores tomados por las desigualdadesD(3,7) _{para un}

sis-tema ∧3_H

6. . . 66

sis-tema ∧3_H

7. . . 66

sis-tema ∧3_H

7. . . 66

sis-tema ∧3_H

8. . . 67

sis-tema ∧3_H

8. . . 67

sis-tema ∧3_H

9. . . 67

sis-tema ∧3_H

9. . . 67

5.17. Distribuci´on de valores tomados por las desigualdadesD(3,6) _{para un}

sis-tema ∧3_H

10. . . 67

(9)

sis-tema ∧3_H

10. . . 67

5.19. Valor promedio de los coeficietescijk para el sistema∧3H6. . . 68

(10)

´INDICE DE TABLAS

3.1. Resultado obtenidos en [BD70] para los coeficientesAk no nulos de (3.7)

para diferentes valores deN yr=N + 2. . . 18

4.1. N´umeros de ocupaci´on natural para el armonio de tres fermiones con

diferentes valores de los n´umeros cu´anticosnr ym. . . 37

4.2. Evaluaci´on de las desigualdes RPG de sistemas conN = 3 yr= 6,∧3_H

6,

para el 3-armonio. . . 39

4.3. Evaluaci´on de las desigualdes RPG de sistemas conN = 3 yr= 7,∧3_H

7,

para el 3-armonio. . . 40

4.4. N´umeros de ocupaci´on natural para el armonio de cuatro fermiones. . . . 45

4.5. Resultados obtenidos al evaluar las desigualdades RPG (4.30) de sistemas

∧4_H

8 para el 4-armonio. . . 47

4.6. Resultados obtenidos al evaluar las desigualdades RPG (4.30) de sistemas

∧4_H

8 en el 4-armonio. . . 48

4.7. N´umeros de ocupaci´on natural para el armonio de cinco fermiones. . . 55

4.8. Valores obtenidos al evaluar algunas desigualdades de (4.41) para sistemas

conN = 5 yr= 10, ∧5_H

10, en el 5-armonio. . . 57

5.1. Estados del armonio de tres fermiones que presentan el fen´omeno de

(quasi)pinning junto con la dimensi´on del subespacio asociado al

esta-do |n0 = 0, nr, mi, los coeficientescijkl no nulos de la ecuaci´on (5.1) y su

suma. . . 60

5.2. Valores de los coeficientes cijk de (5.1) para estados del armonio de tres

fermiones que presentan pinning o quasipinning. . . 61

5.3. Estados que presentan (quasi)pinning en el 4-armonio. . . 62

5.4. Estados que presentan (quasi)pinning en el 5-armonio. . . 62

(11)

ABREVIACIONES

MDR MatrizDensidad Reducida

RPG Restricciones dePauli Generalizadas

ON OrbitalesNaturales

NON N´umeros deOcupaci´on Natural

(12)

S´IMBOLOS

N N´umero de part´ıculas.

r,d Dimensi´on del espacio de Hilbert de una part´ıcula.

H_r Espacio de Hilbert de una part´ıcula de dimensi´on r.

H⊗N _{Espacio de Hilbert de}_N _{part´ıculas.} ∧N_H

r Espacio de Hilbert antisim´etrico deN part´ıculas.

ˆ

H Hamiltoniano.

n0 N´umero cu´antico asociado a la coordenada de centro de masa.

nr Número cuántico asociado a la coordenada radial. m,l,j Número cuántico asociado a la coordenada angular.

|Ψi Estado cu´antico.

Ψ Funci´on de onda deN part´ıculas.

ˆ

A Operador de antisimetrizaci´on.

S({ψ}Ik) Determinante de Slater de kpart´ıculas.

Tri1,i2,... Traza parcial respecto a las part´ıculasi1, i2, . . ..

ρN Matriz densidad deN part´ıculas.

ρ(p) _{Matriz densidad reducida de}_p _cuerpos.

ρ1,ρ Matriz densidad reducida de un cuerpo.

λi N´umeros de ocupaci´on natural.

φi,|φii Orbitales naturales.

D(_iN,r) i-ésima restricción de Pauli para un sistema deN part´ıculas de dimensiónr.

(13)

compa˜

neros y a todos aquellos que han contribuido a mi

crecimiento como ser humano.

(14)

CAP´

ITULO 1

INTRODUCCI ´

ON

En sistemas cuánticos multipartitos, encontrar una solución para la ecuación de Schr¨

odin-ger es una tarea que se hace cada vez más dif´ıcil cuando el número de part´ıculasN y la dimensión del espacio de Hilbert de una part´ıculadaumentan, puesto que la dimensión del espacio de Hilbert del sistema compuesto crece exponencialmente con el número de

part´ıculas, dim H⊗N

=dN. En general, los sistemas cu´anticos multipartitos conside-ran ensambles de part´ıculas id´enticas e indistinguibles, con lo cual, surge la necesidad

de identificar la degeneraci´on de los estados accesibles del sistema. En el caso de un

sistema fermiónico, existe una condición que restringe a uno la ocupación de los estados

permitidos conocida como el principio de exclusi´on de Pauli [Pau25]. La restricci´on que

impone el principio de exclusión sobre los números cuánticos de fermiones idénticos tiene

una incidencia sobre la estructura y la estabilidad de la materia. Poco tiempo despu´es

de haber sido formulado el principio de exclusi´on, este principio fue sustituido por una

idea m´as profunda: la antisimetria de la funci´on de onda [Dir26], [Hei26].

La simetr´ıa de la funci´on de onda es una propiedad importante para proponer soluciones

a sistemas multipartitos. A partir de la funci´on de onda de N cuerpos es posible definir una nueva cantidad: la matriz densidad. Las matrices densidad fueron propuestas por

Dirac, al identificar densidades electr´onicas en el contexto del esquema de Hartree-Fock

para el ´atomo de Thomas-Fermi, donde la funci´on de onda se supone es escrita como un

determinante de Slater [Dir30]. Sin embargo, para un sistema deN part´ıculas, la función de onda o la matriz densidad deN part´ıculas contiene más información de la necesaria,

(15)

puesto que en general, en los sistemas cu´anticos de inter´es se consideran operadores de

una y dos part´ıculas, como por ejemplo, el operador Hamiltoniano. Por lo tanto,

to-da la informaci´on que se requiere para calcular la energ´ıa y muchas propiedades f´ısicas

debe estar contenida en matrices densidad de una y dos part´ıculas. Por esta raz´on, es

de inter´es trabajar con matrices densidad reducidas como una forma m´as apropiada de

representar estados cuánticos de sistemas compuestos [Löw55a], [Löw55b] y [Löw55c].

Sin embargo, la pregunta que surge es ¿cu´ales son las condiciones que deben cumplir

las matrices densidad reducida para estas sean obtenidas v´ıa traza parcial de un estado

de N part´ıculas? Este problema es conocido como el problema de N-representabilidad

[Smi66], [Col63], [PB71] [OMS72].

El problema deN-representabilidad es un problema que ha tenido un progreso limitado y para el cual, a´un no se tiene una soluci´on general. En 1995, National Research Council

catalogó el problema de N-representabilidad como uno de los problemas teóricos más importantes aún no resueltos en qu´ımica cuántica [SAA+95]. A pesar de este

recono-cimiento, el progreso que ha tenido el problema de N-representabilidad ha sido muy lento. Por otro lado, un avance significativo fue obtenido recientemente por Klyachko

quien present´o la resoluci´on completa al problema deN-representabilidad para matrices densidad reducida de un cuerpo usando los teoremas elementales de flag varieties de

topolog´ıa algebraica para calcular anillos de cohomolog´ıas [Kly06], [AK08]. El resultado

de Klyachko ha dado un progreso real sobre la representabilidad de matrices densidad

reducidas.

Las restricciones de N-representabilidad son una extensi´on al principio de exclusi´on de Pauli y son escritas como un conjunto de desigualdades lineales de los valores propios

de las matrices densidad reducida de un cuerpo. Estas restricciones son conocidas como

restricciones de Pauli generalizadas (RPG). Las restricciones RPG determinan

polito-pos de estados puros N-representables de matrices densidad reducida de un cuerpo. Un resultado interesante se evidencia en los estados que tienden a estar en los l´ımites del

politopo, lo cual se evidencia en la saturaci´on de las desigualdades RPG. Es de inter´es

investigar las consecuencias que tiene la saturaci´on exacta y aproximada de estas

de-sigualdades RPG sobre la estructura de la funci´on de onda, fen´omenos conocidos como

pinning[Kly09] yquasipinning[SGC13], [BRGBS13], respectivamente.

Para evidenciar la relación entre la estructura de la función de onda multifermiónica

y los fen´omenos de pinning y quasipinning, en el presente trabajo se estudia el

(16)

Cap´ıtulo 1. Introducci´on 3

función de onda multifermiónica en la base del oscilador armónico, para la cual se

evi-dencia la forma esperada en t´erminos de determinantes de Vandermonde. A partir de las

funciones de onda obtenidas, se calculan las matrices densidad reducida de un cuerpo

y se calculan sus valores propios, los cuales corresponden a los n´umeros de ocupaci´on

natural. Para cada uno de los casos considerados se eval´uan las desigualdades RPG y

se identifican los estados para los cuales el conjunto de n´umeros de ocupaci´on natural

ordenados en forma decreciente evidencian los fen´omenos de pinning y quasipinning, es

decir, se buscan los casos en los cuales el conjunto de n´umeros de ocupaci´on natural

saturan de manera exacta o aproximada las desigualdades RPG. Los estados que

pre-sentan pinning o cuasipinning se reescriben en la base de orbitales naturales, esto es, en

la base de vectores propios de la matriz densidad reducida de un cuerpo. En la base de

orbitales naturales, la función de onda es escrita como una expansión en términos de

determinantes de Slater y se observa que en dicha expansi´on s´olo algunos determinantes

tienen coeficientes no nulos, adem´as, se observa que el peso sobre cada determinante es

decreciente, de modo que el primer determinante es el t´ermino dominante y los dem´as

t´erminos pueden ser considerados como correcciones perturbativas a la funci´on de onda

propuesta por el m´etodo de Hartree-Fock. Cuando los estados corresponden a niveles de

energ´ıa m´as altos el peso sobre el primer determinante se hace menos dominante, por lo

que la contribución de los demás términos de la expansión se hace más significativa.

El hecho de que la funci´on de onda sea expandida en s´olo algunos determinantes de

Slater nos lleva a investigar sobre la raz´on por la cual la funci´on de onda multifermi´

oni-ca en la base de orbitales naturales presenta dicha estructura. Para esto, se establecen

relaciones entre los coeficientes de la expansi´on en determinantes de Slater y los n´

ume-ros de ocupaci´on natural, asimismo, se construyen estados aleatorios fermi´onicos y se

verifica la saturaci´on de las desigualdades RPG. Al muestrear estos estados aleatorios,

se evidencia una concentraci´on en algunos de los posibles determinantes de la expansi´on,

lo cual est´a de acuerdo con los sistemas estudiados.

El presente trabajo est´a estructurado de forma que en el cap´ıtulo 2 se hace una

pre-sentación de las caracter´ısticas de funciones de onda fermiónicas y su representación en

t´erminos de determinantes de Slater. Tambi´en se introduce la matriz densidad como un

nuevo objeto matemático que describe un ensamble deN part´ıculas y las matrices densi-dad reducidas como cantidensi-dades más apropiadas para hacer cálculos. Se finaliza haciendo

una breve descripci´on del problema de N-representabilidad. En el cap´ıtulo3, se estudia la condiciones de N-representabilidad presentadas por Borland y Dennis y a partir del resultado obtenido por Klyachko sobre el problema de N-representabilidad de matrices densidad reducidas de un cuerpo se propone la regla de selecci´on sobre los determinantes

(17)

de Slater que expanden la funci´on de onda. Es de inter´es estudiar los casos en los cuales

las restricciones son saturadas exacta o aproximadamente, fen´omenos estudiados al final

del cap´ıtulo3. En el cap´ıtulo4se investigan los fen´omenos de pinning y quasipinning en

el armonio de 3, 4 y 5 part´ıculas. En el cap´ıtulo 5se observan las implicaciones que

tie-nen los fen´omenos de pinning y quasipinning en la estructura de la funci´on de onda y se

(18)

CAP´

ITULO 2

FUNCI ´

ON DE ONDA

FERMI ´

ONICA, MATRICES

DENSIDAD REDUCIDAS Y

N-REPRESENTABILIDAD

La mecánica cuántica es la teor´ıa que ha permitido la comprensión de sistemas f´ısicos

tales como part´ıculas subatómicas, átomos, moléculas, cristales e incluso ha permitido

comprender fen´omenos macrosc´opicos como la estabilidad de la materia. Aun cuando

dichos sistemas pueden ser descritos de manera matem´aticamente precisa, su descripci´on

es tan complicada que una soluci´on exacta no es obtenida [L¨ow55a]. En particular, en

sistemas de múltiples part´ıculas resolver la ecuación de Schrödinger de N part´ıculas se convierte un problema poco práctico. Dada esta dificultad, se han desarrollado métodos

aproximados y se ha aprovechado propiedades como simetr´ıa de la funci´on de onda para

encontrar soluciones a sistemas de muchas part´ıculas y a partir de esta, definir nuevas

cantidades como la matriz densidad [Col63]. Incluso si se cuenta con una soluci´on

apro-ximada sea obtenida, la función de onda o la matriz densidad deN part´ıculas contienen más información de la necesaria, pues en general, los sistemas cuánticos de interés

contie-nen interacciones de una y dos part´ıculas, por lo cual, se requiere conocer ´unicamente las

matrices densidad reducida de uno y dos cuerpos. Responder la pregunta de cu´ando una

matriz densidad reducida puede representar un estado deN part´ıculas es conocido como

(19)

el problema deN-representabilidad [Cou60]. El problema de N-representabilidad impo-ne restriccioimpo-nes sobre las matrices densidad reducidas y por lo tanto, tendr´an influencia

en la estructura de la funci´on de onda [Rus72], [Col78].

2.1. Sistemas de muchas part´ıculas

Un sistema cu´antico es descrito completamente por el Hamiltoniano, el cual es un

opera-dor autoadjunto sobre un espacio de Hilbert apropiado. Para un sistema deN part´ıculas el espacio de Hilbert asociado es un espacio producto de N espacios de Hilbert de una part´ıculaH_i, donde el sub´ındice denota lai-´esima part´ıcula, H⊗N _{≡ H}

1⊗ · · · ⊗ HN. La

evoluci´on de un sistema cu´antico de muchas part´ıculas es dictada por el correspondiente

operador Hamiltoniano que para el caso multipartito es

ˆ

H =X

i

ˆ

p2_i

2mi

+ ˆVi(xi)

+X

i,j i>j

ˆ

Vij(|xi−xj|). (2.1)

El primer t´ermino del operador Hamiltoniano (2.1) corresponde a la energ´ıa cin´etica de

las part´ıculas, la cual es escrita en t´erminos del operador de momento lineal ˆpi asociado

a lai-ésima part´ıcula. El segundo término representa la interacción de las part´ıculas con un potencial externo ˆVi(xi), mientras el operador ˆVij(|xi−xj|) representa la interacción

entre las part´ıculas.

El operador Hamiltoniano (2.1) operador act´ua sobre una funci´on de onda de las N

part´ıculas Ψ(x1, x2, . . . , xN, t), donde Ψ ∈ H⊗N, como el generador de evoluci´on

tem-poral, de modo que la ecuaci´on de Schr¨odinger de un sistema de N part´ıculas es escrita como:

ˆ

HΨ(x1, x2, . . . , xN, t) =i~∂

∂tΨ(x1, x2, . . . , xN, t). (2.2)

Si los potenciales en cuestión son independientes del tiempo, la ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo es:

ˆ

HΨ(x1, x2, . . . , xN) =EΨ(x1, x2, . . . , xN). (2.3)

Una simplificaci´on significativa del problema se logra cuando las interacciones entre las

part´ıculas pueden ser despreciadas, es decir,Vij →0, y ya que el Hamiltoniano es de la

forma

ˆ

H =X

i

ˆ

p2_i

2mi

+ ˆVi(xi)

=X

i

ˆ

(20)

Cap´ıtulo 2. Funci´on de onda fermi´onica y MDR 7

no habr´an correlaciones entre part´ıculas y la funci´on de onda puede ser factorizada,

Ψ(x1, x2, . . . , xN) =ψ(x1)ψ(x2)· · ·ψ(xN). (2.5)

Usando el m´etodo de separaci´on de variables se encuentra que

ˆ

Hiψi(xi) =Eiψi(xi), (2.6)

donde PN

i=1Ei =E y la soluci´on del problema se obtiene resolviendoN ecuaciones de

una part´ıcula.

2.2. Simetr´ıa de la funci´

on de onda

Como se indic´o anteriormente, todo sistema cu´antico tiene asociado un espacio de

Hil-bert que tambi´en ser´a determinado por la estad´ıstica de las part´ıculas consideradas. Esta

estad´ıstica permite entender el comportamiento de un gran n´umero de part´ıculas en

prin-cipio indistinguibles, con lo cual, surge también la pregunta respecto a cuántas de éstas

part´ıculas pueden tener el mismo estado, es decir, cu´al es la degeneraci´on para el sistema.

Si se considera que el Hamiltoniano para un sistema compuesto de N part´ıculas indis-tinguibles de la forma presentada en la ecuaci´on (2.1) o (2.4), este es sim´etrico ante el

intercambio de pares de part´ıculas, por lo cual, conmutar´a con un operador de

inter-cambio de part´ıculas, el operador de permutaci´on ˆP, [ ˆH,Pˆ] = 0. ˆP es un elemento del grupo de permutaciones, el grupo sim´etricoSN _{y tiene la propiedad de ser autoadjunto,}

ˆ

P = ˆP†, entonces ˆPPˆ†=Iy los valores propios de ˆP son±1. Esta caracter´ıstica del

ope-rador de permutaci´on viene del hecho que el grupo sim´etrico tiene dos representaciones

irreducibes unidimensionales: la transformación identidad, ˆPΨ≡Ψ y la representación signo, ˆPΨ≡sgn (P) Ψ, lo que conduce a una representación completamente simétrica y una completamente antisimétrica. En el caso del intercambio de dos part´ıculas,iyj, el operador de permutación ˆPij actuando sobre las funciones de onda de N part´ıculas Ψs

y Ψa,

ˆ

PΨs(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xN) = Ψs(xP(1), . . . , xP(i), . . . , xP(j), . . . , xP(N))

= Ψs(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xN), (2.7)

ˆ

PΨa(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xN) = Ψa(xP(1), . . . , xP(i), . . . , xP(j), . . . , xP(N))

(21)

establece la existencia de dos tipos de part´ıculas: los bosones, cuya representaci´on es la

completamente sim´etrica y el espacio de estados es denotado por SN_H_{, y los fermiones,}

cuya representaci´on es la completamente antisim´etrica y su espacio de estados se denota

por ∧N_H_{, siendo}_H_{el espacio de Hilbert de una part´ıcula [}_SHL05_].

Para algunos sistemas multifermi´onicos, la funci´on de onda antisimetrizada puede ser

escrita en t´erminos de determinantes de Vandermonde, los cuales son polinomios

anti-sim´etricos. Uno de estos sistemas es elN-armonio, un sistema deN part´ıculas (fermiones) con coordenadas escalares qi de masa m que se encuentran en un potencial arm´onico

externo 1₂mω2q2_i y que interact´uan arm´onicamente entre s´ı [Sch13]. El Hamiltoniano del

N armonio es:

H =

N X

i=1

p2_i

2m+

1 2mω

2_q2 i

+ 1 2D

X

1≤i<j≤N

(qi−qj)2. (2.9)

Al igual que el Hamiltoniano 2.1, el primer t´ermino corresponde a la energ´ıa cin´etica

de las part´ıculas; el segundo t´ermino, representa la interacci´on con el potencial externo

1 2mω

2_q2

i, y el t´ermino 12D P

(qi−qj)2, con 1≤i < j≤N, representa la interacci´on entre

las part´ıculas y es modulado por la constante de acople D. Para este sistema f´ısico, la funci´on de onda multifermi´onica del estado base es de la forma:

Ψ0 =N × Y

1≤i<j≤N

(qi−qj)×

e

−A

PN

k=1qk2+BN(PNk=1qk)

2

, (2.10)

donde el polinomio antisim´etrico frente a la exponencial es el determinante de

Vander-monde,

Y

1≤i<j≤N

(qi−qj) =

1 · · · 1

q1 · · · qN

..

. . .. ...

qN₁ −1 · · · qN_N−1 .

Por otro lado, el efecto Hall cu´antico fraccional [Lau83b], [Lau83a] es un ejemplo

2-dimensional que exhibe una funci´on de onda que es escrita en t´erminos de determinantes

de Vandermonde. Para esta situaci´on f´ısica, se considera un gas de electrones en el plano

xy en presencia de un campo magn´etico externo B0 que apunta en la direcci´on z. El

Hamiltoniano que describe el sistema es

H = N X j=1 1 2m

−i_~∇~_j−e cA~j

2

+ X

1≤j<k≤N e2 rij

(22)

dondeA~ = 1₂B0(xyˆ−yxˆ). La funci´on de onda en el estado base es,

Ψm(z) = Y

1≤j<k≤N

(zj−zk)m×

e

− 1 4

PN

l=1|zl|2_. _(2.12)

dondez=x+iyyQ

1≤j<k≤N(zj−zk)m es el determinante de Vandermonde.

2.3. Determiante de Slater

Dada una función de onda completamente antisimétrica en N variables existe un con-junto de funciones de una variable, denominadas orbitales, tales que la función de onda

es escrita como un determinante de Slater de estas funciones [Fol62]. Para una funci´on

onda factorizable como en la ecuaci´on (2.5) en donde el n´umero de part´ıculas y la

di-mensi´on del espacio de Hilbert de una part´ıcula es igual aN, el determinante de Slater es escrito como:

S(ψ1ψ2· · ·ψN) =

ψ1(x1) ψ1(x2) · · · ψ1(xN) ψ2(x1) ψ2(x2) · · · ψ2(xN)

..

. ... . .. ...

ψN(x1) ψN(x2) · · · ψN(xN) ≡ 1 2 .. . N . (2.13)

La ´ultima definici´on de (2.13) se usa en el mismo sentido de los diagramas de Young,

en donde los sitios representan a las part´ıculas y los n´umeros representan los estados

cu´anticos. Un determinante de Slater tiene la propiedad de anularse en el caso en el

cual las funcionesψi no sean linealmente independientes o si la dimensi´on del espacio de

Hilbert es inferior al n´umero de part´ıculas. La propiedad de antisimetr´ıa de la funci´on de

onda es evidente en la representaci´on en determinantes de Slater, ya que si se permutan

dos columnas o dos filas del determinante el resultado de esta operaci´on dar´a lugar a

un factor correspondiente al signo de la permutaci´on aplicada. Adem´as, si las funciones

ψi pueden escribirse como combinaciones lineales de otro conjunto de funciones de una

part´ıculaφj a trav´es de la transformaci´on

ψj(x) = X

j

cijφj(x),

los determinantes S(ψ1ψ2· · ·ψN) y S0(φ1φ2· · ·φN) ser´an equivalentes, pues un

deter-minante ser´a un m´ultiplo no nulo del otro,

(23)

siendo|c|el determinante de la matriz de transformaci´oncij. Entonces, una funci´on de

onda antisim´etrica puede ser escrita como un determinante de Slater cuando exista un

conjunto de funciones de una part´ıcula {ψi}i=1,...,N pero este no es ´unico, puesto que

diferentes soluciones pueden ser relacionadas a trav´es de una transformaci´on lineal.

Un determinante de Slater describe un estado de un sistema de N part´ıculas en el cual existe una part´ıcula en cada uno de los orbitales. En el caso en el que la dimensi´on del

espacio de Hilbert de una part´ıcula r es mayor al n´umero de part´ıculas N, r > N, y existe un conjunto completo de estados de una part´ıcula, la funci´on de onda de dicho

sistema puede ser descrita por una combinaci´on lineal de determinantes de Slater,

Ψ =X

k

akSk({ψ}Ik), (2.15)

dondeI_kdenota un conjunto deN < r´ındices correspondientes a un conjunto posible de estados de una part´ıcula. El n´umero de determinantes de Slater que expanden la funci´on

de onda esr!_/_N_!(_r₋_N_)!_{. Asimismo, la funci´}_{on de onda completa puede ser expandida en}

t´erminos de productos de N funciones de una part´ıcula

Ψ(x1, x2, . . . , xN) = X

i,j,...,p

ai,j,...,pψi(x1)ψj(x2)· · ·ψp(xN) (2.16)

donde los coeficientes ai,j,...,p son completamente antisim´etricos en los N ´ındices. En

el caso m´as general, es conveniente ordenar las funciones ψi de tal forma que la

mag-nitud de los coeficientes ai,j,...,p est´en ordenados de manera no creciente y los ´ındices

correspondientes a cada coeficiente ai,j,...,p est´an ordenados lexicogr´aficamente.

2.4. Matriz densidad reducida

Para alg´un Ψ(x1, x2· · ·xN)∈ ∧NHse puede construir una nueva cantidadρ(N) definida

en t´erminos del kernel:

ρ(N)(x1, x2· · ·xN|x01, x02· · ·x0N) = Ψ(x1, x2,· · ·xN)Ψ∗(x10, x02,· · ·x0N), (2.17)

al cual se denomina operador o matriz densidad de orden N. En esta definición el operador densidad se dice está en la representación de coordenadas. Escrito en términos

del vector de estado |Ψi ∈ ∧N_H _{el operador densidad de orden}_N _{para un estado puro}

es definido como

(24)

A partir de esta definici´on se identifican las propiedades de esta nueva cantidad:

1. Es semidefinido positivo, Spec ρ(N)≥0.

2. Es un operador Herm´ıtico, (ρ(N))†=ρ(N). 3. Es normalizado a la unidad, Tr ρ(N)

= 1.

4. Es un operador idenpotente, ρ(N)2 =ρ(N).

El valor esperado de un operador de N part´ıculas ˆA puede ser calculado a partir del operador densidad

hAiˆ = Trρ(N)Aˆ, (2.19)

o en la representaci´on de coordenadas

hAiˆ =

Z N Y

i=1

dxiΨ(x1, x2,· · ·xN) ˆAΨ∗(x01, x

0

2,· · ·x

0

N),

=

Z N Y

i=1

dxiAρˆ (N)(x1, x2· · ·xN|x01, x02· · ·x0N). (2.20)

Una cantidad f´ısica A asociada a un sistema de N part´ıculas puede ser expresada en términos de un operador herm´ıtico Â que se puede expandir en términos de operadores de cero, una, dos op≤N part´ıculas,

ˆ

A= ˆA(0)+X

i

ˆ

Ai+

1 2!

X

ij

ˆ

Aij+. . . .

Un ejemplo de un operador con estas caracter´ısticas es el Hamiltoniano

ˆ

H= ˆH(0)+X

i

ˆ

Hi+

1 2!

X

ij

ˆ

Hij+. . . . (2.21)

donde cada orden en la expansi´on implica el tipo de interacci´on. Esta forma de

expre-sar un observable permite evaluar valores esperados de esta cantidad en t´erminos de

operadores densidad reducidos [L¨ow55a],

hAiˆ =A(0)+ TrAˆ(1)ρ(1)+ TrAˆ(2)ρ(2)+. . . .

o

hAiˆ =A(0)+

Z

A(1)ρ(1)(x0₁|x₁)dx1+ Z

(25)

donde ρ(1) y ρ(2) son matrices densidad reducidas de una y dos part´ıculas, respectiva-mente1, definidas v´ıa traza parcial sobre N−1 y N−2 part´ıculas y en general, para el operador densidad reducido de orden pse tiene

ρ(p)=

N

p

TrN−p

ρ(N) (2.22)

el cual, en representaci´on de coordenadas es escrito

ρ(p)(x1, x2· · ·xp|x01, x

0

2· · ·x

0

p) =

N p

Z

Ψ(x1, x2, x3,· · ·xp,· · ·xN)Ψ∗(x01, x02, x03,· · ·x0p,· · ·, xN)dxp+1· · ·dxN (2.23)

Adicionalmente, la matriz densidad reducida de ordenp está relacionada con la matriz reducida de orden p−1 a través de la expresión:

ρ(p−1)(x0₁, x0₂· · ·x0_p−1|x1, x2· · ·xp−1) = p N+ 1−p

Z

ρ(p)(x0₁, x0₂· · ·x0_p|x₁, x2· · ·xp)dxp.

(2.24)

El concepto de matriz densidad reducida fue introducido por Landau [Lan27] y

Neu-mann [vN32] como una manera apropiada de describir el estado de un sistema que se

considera como una parte de un sistema m´as grande. L¨owdin fue el primero en analizar

las propiedades de las matrices densidad reducida que surgen de una funci´on de onda de

m´ultiples electrones. Sin embargo, es de inter´es estudiar matrices densidad reducidas de

uno y dos cuerpos, ya que las situaciones f´ısicas que se consideran usualmente contienen

interacciones de uno y dos cuerpos. Teniendo en cuenta el tipo de interacciones

conside-radas, en el Hamiltoniano (2.21) se toman los t´erminos que contienen interacciones de

una y dos part´ıculas,

ˆ

H =X

i

ˆ

Hi+ X

ij

ˆ

Hij. (2.25)

Los operadores densidad reducidos de una y dos part´ıculas son los que permiten

deter-minar la energ´ıa del sistema por medio del m´etodo variacional [Cou60]. En general, para

calcular valores esperados de la energ´ıa se requiere de la matriz densidad de dos cuerpos,

pero es posible calcular la energ´ıa fermi´onica total conociendo la matriz densidad de un

cuerpo, pues el teorema virial establece que E = −T, siendoE y T valores esperados de la energ´ıa total y la energ´ıa cin´etica, y donde el operador de energ´ıa cin´etica es un

1_{En representaci´}_{on de coordenadas estos operadores son escritos,}

ρ(1)(x1|x01) =N

Z

Ψ(x1, x2, x3, . . . , xN)Ψ∗(x10, x2, x3, . . . , xN)dx2· · ·dxN.

ρ(2)(x1, x2|x01, x

0

2) =

N(N−1)

2

Z

Ψ(x1, x2, x3, . . . , xN)Ψ∗(x01, x

0

(26)

operador de un cuerpo. En t´erminos de las funciones propias normalizadas de ρ(1),φk,

y sus valores propios λk, los cuales son conocidos como orbitales naturales y n´umeros

de ocupaci´on natural, respectivamente, se puede escribir la matriz densidad reducida de

un cuerpo como una expansi´on natural [LS56],

ρ(1) =X

k

λk|φki hφk|. (2.26)

Identificar los valores propios λk como n´umeros de ocupaci´on natural que tienen las

propiedades de 0 ≤ λk ≤ 1 y Pkλk = N son de relevancia f´ısica por la relaci´on

que tienen con el principio de exclusi´on de Pauli, de modo que los λk tambi´en pueden

ser referidos a la estad´ıstica cu´antica. La matriz densidad reducida de un cuerpo tiene

las condiciones de ser Herm´ıtica, normalizada al n´umero de part´ıculasN, semidefinida positiva y λk ≤ 1, estas condiciones son necesarias para la N-representabilidad de ρ.

Encontrar restricciones adicionales sobre la matriz densidad de un cuerpo es lo que se

conoce como el problema de N-representabilidad [Col63].

2.5. El problema de

N

-representabilidad

La N-representabilidad puede ser entendida en t´erminos de la formulaci´on variacional del estado base. El valor esperado del Hamiltoniano de N fermiones con respecto al estado Ψ∈ ∧N_H _{puede ser escrito equivalentemente en t´}_{erminos de matrices densidad}

reducida de dos cuerposρ(2),

hΨ|H|Ψi= Trρ(2)H,

dado que las interacciones que se consideran usualmente en f´ısica son interacciones de

dos part´ıculas (2.25). De esta forma, la energ´ıa de un sistema cu´antico en el m´etodo

variacional debe cumplir

E[Ψ] =E[ρ(2)]. (2.27)

A partir del principio variacional, el estado base puede ser calculado como

E0 = m´ın

Ψ∈∧N_HE[Ψ] =_Ψm´ın_∈∧N_HE[ρ

(2)_]_, _(2.28)

donde la matriz densidad reducida de dos cuerpos es obtenida de la funci´on de onda de

N cuerpos. Es evidente queρ(2)pertenece a un conjunto de operadores de dos part´ıculas

O(2)_{. Se puede definir un nuevo principio variacional para el estado base en t´}_{erminos de}

(27)

positivo, antisim´etrico y normalizado aN(N−1) ˜ρ(2) ∈O˜(2)_,

˜

E0 = m´ın

˜ ρ∈O(2)E

h

˜

ρ(2) i

. (2.29)

Se requieren restricciones adicionales sobre ˜ρ(2) _{para que} _E

0[ρ(2)] = ˜E0[ ˜ρ(2)]. Cuando

se cumpla la condici´on que el estado base no cambie cuando se cambia el conjunto de

optimizaci´on, se dice que ˜ρ(2)es un operador densidad reducido de dos cuerpos que surge v´ıa traza parcial de un estado puro, ˜ρ(2)= TrN−2|Ψi hΨ|, ˜O(2)∈ O(2). As´ı, el problema

de N-representabilidad se trata de derivar todas las condiciones necesarias y suficientes que definan un´ıvocamente el conjunto ˜O(2)_.

En el caso del problema de N-representabilidad para matrices densidad de un cuerpo las condiciones de normalización al número de part´ıculas y el principio de exclusión,

0≤λi ≤1 son condiciones necesarias pero no suficientes deN-representabilidad. En el

cap´ıtulo siguiente se describir´an como son obtenidas las restricciones deN -representabili-dad para algunos sistemas y la resoluci´on completa al problema deN-representabilidad de la matriz densidad reducida de un cuerpo.

(28)

CAP´

ITULO 3

KLYACHKO, RESTRICCIONES

DE PAULI GENERALIZADAS

Y PINNING

En general, los sistemas cu´anticos multifermi´onicos son descritos por Hamiltonianos que

contienen interacciones de una y dos part´ıculas, por lo cual, para realizar c´alculos de

valores esperados de la energ´ıa, se requiere conocer los operadores densidad reducidos

de una y dos part´ıculas [L¨ow55a]. Estos operadores densidad deben ser Herm´ıticos,

semidefinidos positivos, normalizados y sus valores propios, los n´umeros de ocupaci´on

natural, est´an sujetos al principio de exclusi´on de Pauli. Sin embargo, estas condiciones

son necesarias m´as no suficientes para garantizar que un operador densidad reducido

sea obtenido de una estado puro de N part´ıculas [Tre57], [LS56], [Col63]. El proble-ma de buscar estas condiciones es conocido como el probleproble-ma de N-representabilidad

[Cou60], [Rus72], [Rus07]. Desde su formulaci´on, el problema deN-representabilidad ha

tenido un avance lento y una soluci´on general al problema a´un no se ha obtenido. Sin

embargo, un resultado significativo fue obtenido por Klyachko al encontrar una soluci´on

completa al problema de N-representabilidad de los operadores densidad reducidos de un cuerpo usando topolog´ıa algebr´aica [AK08]. Las condiciones de N-representabilidad de los operadores densidad reducidos de un cuerpo son restricciones escritas en forma

de desigualdades lineales que extienden el principio de exclusi´on y son conocidas como

(29)

restricciones de Pauli generalizadas (RPG). La relevancia f´ısica que tienen las

desigual-dades RPG estar´a en la estructura simplificada que presenta la funci´on de onda cuando

las desigualdades sean saturadas exacta o aproximadamente.

3.1. Condiciones de Borland y Dennis

Dada la dificultad de trabajar con sistemas de muchas part´ıculas se han desarrollado

descripciones efectivas que han permitido estudiar estos sistemas. El principal ejemplo

de esto es el m´etodo de Hartree-Fock, el cual describe el comportamiento f´ısico de una

part´ıcula en el marco del campo autoconsistente. En algunos sistemas estudiados en

materia condensada, la interacci´on entre los electrones es despreciada y la ecuaci´on de

Schrödinger de N-part´ıculas se convierte enN ecuaciones de una part´ıcula; en este es-quema, la interacción es introducida perturbativamente. Dado el éxito que ha tenido

la imagen de una part´ıcula es necesario introducir restricciones cinem´aticas sobre los

números de ocupación, esta es la razón por la cual el principio de exclusión tiene un

fuerte impacto sobre el comportamiento de las propiedades electr´onicas de estos

siste-mas [Dav76].

El primer resultado expl´ıcito sobre la estructura de la funci´on de onda y las restricciones

sobre los n´umeros de ocupaci´on natural fue presentado por Borland y Dennis. En sus

primeros art´ıculos, los autores investigan la estructura de la funci´on de onda y la matriz

densidad a partir de c´alculos anal´ıticos y num´ericos realizados para atacar el

proble-ma de N-representatividad para fermiones [BD70], [BBD70]. Los resultados obtenidos muestran ser mejores a los obtenidos por el m´etodo de Hartree-Fock. Para esto, primero

es necesario estudiar las propiedades de la funci´on de onda y la matriz densidad y su

relaci´on con los orbitales naturales.

Una vez se resuelve el problema de valores propios, ecuaci´on de Schr¨odinger, se obtiene

como soluci´on Ψ(x1, x2, . . . , xN), siendo xi la coordenada de espacio y esp´ın de la i

-´

esima part´ıcula. Para el caso de sistemas multifermiónicos, ésta función de onda debe

ser antisimetrizada, Ψ(a)(x1, x2, . . . , xN) = ˆAΨ(x1, x2, . . . , xN), donde el operador ˆA es

un operador de antisimetrización. Con esto, la función de onda multifermiónicas es:

Ψ(a)(x1, x2, . . . , xN) = X

i X

j

· · ·X p

aij...pψi(x1)ψj(x2)· · ·ψp(xN), (3.1)

donde los coeficientesaij...p son antisim´etricos bajo la permutaci´on de un par de

subin-dices y cumplen la condici´on de normalizaci´on P i

P j· · ·

P

(30)

Cap´ıtulo 3. Restricciones de Pauli generalizadas y Pinning 17

se realiza hasta la dimensi´on del espacio de Hilbert de una part´ıcula, dim(H) = r, con

r≥N. La función de onda multifermiónica puede también ser escrita como combinación de determinantes de SlaterSk(ψ), tal que,

Ψ(a)=X

k

akSk({ψ}k); (3.2)

donde el indice k corresponde a un conjunto de N subindices (ij . . . p) ordenados. En ´

este caso, la condici´on de normalizaci´on es dada por N!P

|ak|2 = 1. Ahora, si se desea

calcular la matriz densidad reducida de un cuerpo para ´este sistema se debe calcular:

ρ(x1, x0₁) =N Z

Ψ(A)∗(x1, x2, . . . , xN)Ψ(a)(x1, x2, . . . , xN)(dx)1. (3.3)

con (dx)1=dx2dx3· · ·dxN. Usando la funci´on de onda de la acuaci´on 3.1,

ρ(x1, x01) =N Z

X

i0_j0_...p0

X

ij...p

arj...pψr∗(x

0

1)· · ·ψ

∗

p0(x_N)a_sj...pψ_s(x₁)· · ·ψ_p(x_N)(dx)₁,

=NX

r X

s

ψ∗_r(x0₁)ψs(x1)× Z

X

i0_j0_...p0

X

ij...p

ai0_j0_...p0a_ij...pψ∗_j0(x2)· · ·ψ∗_p0(x_N)ψ_j(x2)· · ·ψ_p(x_N)(dx)1,

=N!X

k

a∗_r_{_k_}a_s{k}ψr∗(x01)ψs(x1),

=ψ_r∗(x0₁)Brsψs(x1). (3.4)

Se ha utilizado la condici´on de ortonormalidad en estos c´alculos. La matrizBes la matriz de los coeficientes y es definida Brs = N!Pka∗r{k}as{k}, donde as{k} resultan de hacer

la suma sobre N −1 ´ındices. Tambi´en, dado que B es Herm´ıtica, es posible encontrar una matriz Qque diagonalice a B, tal que,

(Q−1BQ)ij =λiδij.

Asimismo, es posible escribir la funci´on de onda multifermi´onica y la matriz densidad

reducida en t´erminos de los orbitales naturales φi(x1) usando Q, dado que, ψr(x1) = P

i(Q

−1₎

riφi(x1),ψ∗r(x1) = P

iQirφ

∗

i(x1) y Brs=P_i,j(Q−1)riBijQjs. Entonces, ρ(x1, x0₁) =ψ∗_r(x0₁)Brsψs(x1),

=X

i,j

δijλiφ∗i(x

0

1)φj(x1),

=X

i

λiφ∗i(x

0

(31)

y,

Ψ(a)(x1, x2, . . . , xN) = X

i,j,...,p aij...p

X

i0

(Q−1)i0_iφ_i0(x1)

X

j0

(Q−1)j0_jφ_j0(x1)· · ·,

=X

i0

X

j0

· · ·X p0

Ai0_j0_...p0φ_i0(x₁)φ_j0(x₂)· · ·φ_p0(x_N). (3.6)

Nuevamente la función de onda multifermiónica es escrita como expansión en

determi-nantes de Slater,

Ψ =X

k

AkSk({φ}k), (3.7)

lo que conduce a la relaci´on λi = P_k⊃i|Ak|2. El hecho de que la funci´on de onda

sea escrita como una combinaci´on lineal de determinantes de Slater que depende de

la dimensi´on del espacio de Hilbert indica que a medida que la dimensi´on aumenta el

número de términos en la expansión también lo hará. Como se indicó anteriormente,

con el m´etodo de Hartree-Fock se pueden obtener soluciones aproximadas de sistemas

de N fermiones. Éste método considera el caso en el cual la dimensión del espacio de Hilbert es igual al número de part´ıculas, N = r. La solución dada por este método establece que la función de onda será aproximada a un determinante de Slater y los

números de ocupación son todos igual a la unidad, λi = 1 (i = 1,2, . . . , N). El caso r=N+ 1 no mejora los resultados de Hartree-Fock pues lo que se obtiene esN números de ocupación iguales a la unidad y uno nulo. Los resultados que son interesantes en

el trabajo de Borland y Dennis se obtienen en el caso r = N + 2, pues en este caso el número de determinantes aumenta y con esto la presición en la determinación de la

funci´on de onda. Los resultados que se obtienen se muestran en la tabla3.1.

N r Ak

2 4 A12,A34

3 5 A123,A145

4 6 A1234,A1256,A3456

5 7 A12345,A12367,A14567

6 8 A123456,A123478,A125678,A345678

Tabla 3.1: Resultado obtenidos en [BD70] para los coeficientes Ak no nulos de (3.7)

para diferentes valores deN yr=N+ 2.

El patrón que se evidencia parar =N+ 2 es que la función de onda será expandida en

₁ 2N

+ 1 determinantes de Slater, donde [x] corresponde a la parte entera dex. El hecho de que en la expansión de la función de onda aparezcan más términos permite estudiar

(32)

forma simple de la funci´on de onda es de gran valor para descripciones te´oricas

aproxi-madas de sistemas nultifermi´onicos.

En un art´ıculo posterior [BD72], Borland y Dennis exploran las condiciones necesarias y

suficientes para la matriz densidad reducida de un cuerpo de rango seis para un sistema

de tres fermiones,N = 3 yr = 6. La funci´on de onda (3.7), en este caso, es la combinaci´on lineal de cuatro determinantes de Slater cuyos coeficientes son:A123,A145,A246yA356,

por simplicidad, se escribirá cada coeficiente como α, β, γ y δ, respectivamente. Esta forma simplificada de escribir la función de onda en términos de los orbitales naturales

también sugiere que la expansión en determinantes de Slater sigue una construcción

lexicogr´afica.

La funci´on de onda se escribe como

Ψ(x1, x2, x3) =α 1 2 3 +β 1 4 5 +γ 2 4 6 +δ 3 5 6 . (3.8)

Los coeficientes α,β,δ yγ cumplen la condic´on de normalizaci´on, entonces,

|α|2+|β|2+|γ|2+|δ|2 = 1. (3.9)

Dado que una de las propiedades de la matriz densidad reducida de un cuerpo es que

´

esta es normalizada al número de part´ıculasN, los números de ocupación natural deben ser tales que:

6 X

i=1

λi = 3. (3.10)

Por otro lado, dada la condici´on de ortonormalidad de los determinantes de Slater se

puede verificar que

λ1=|α|2+|β|2 (3.11a)

λ2=|α|2+|γ|2 (3.11b)

λ3=|α|2+|δ|2 (3.11c)

λ4=|β|2+|γ|2 (3.11d)

λ5=|β|2+|δ|2 (3.11e)

(33)

De las ecuaciones (3.9) y (3.11) se pueden encontrar las siguientes condiciones sobre los

n´umeros de ocupaci´on natural,

λi ≥0, (3.12a)

λ1+λ6 = 1, (3.12b)

λ2+λ5 = 1, (3.12c)

λ3+λ4 = 1, (3.12d)

λ5+λ6−λ4≥0. (3.12e)

Estas condiciones complementan la restricci´on 0 ≤ λ1 ≤ 1 pues imponen restricci´on

sobre la ocupación de orbitales simétricos. Asimismo, dado que los números de

ocu-paci´on natural se organizan de manera no creciente λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λ6, se puede

inferir un ordenamiento para los coeficientes de la expansi´on en determinantes de Slater,

α≥β ≥γ ≥δ.

En el sistema N = 3 y r = 7, usando el ordenamiento lexicogr´afico, la funci´on de onda en orbitales naturales se expande en siete determinantes de Slater corresondientes a los

coeficientes A123,A145, A167,A246,A257, A347,A356 y los cuales ser´an denotados como

α1,α2,α3,α4,α5,α6,α7, respectivamente,

Ψ(x1, x2, x3) =α1 1 2 3

+α2 1 4 5

+α3 1 6 7

+α4 2 4 6

+α5 2 5 7

+α6 3 4 7

+α7 3 5 6 . (3.13)

Los n´umeros de ocupaci´on natural ordenados de manera no creciente,λi+1 ≥λi, y los

coeficientes de los determinantes de Slater se relacionan de la siguiente manera,

λ1 =|α1|2+|α2|2+|α3|2, (3.14a)

λ2 =|α1|2+|α4|2+|α5|2, (3.14b)

λ3 =|α1|2+|α6|2+|α7|2, (3.14c)

λ4 =|α2|2+|α4|2+|α6|2, (3.14d)

λ5 =|α2|2+|α5|2+|α7|2, (3.14e)

λ6 =|α3|2+|α4|2+|α7|2, (3.14f)

(34)

Las restricciones adicionales se obtienen usando la normalizaci´on de la funci´on de onda

(3.13),

7 X

j=1

|αj|2 = 1,

y la relación entre los números de ocupación natural λi y los coeficientes αj dada por

la ecuaci´on (3.14). Estas restricciones se escriben en t´erminos de desigualdades lineales

que relacionan orbitales sim´etricos,

λ2+λ3+λ4+λ5 ≤2 (3.15a)

λ1+λ3+λ4+λ6 ≤2 (3.15b)

λ1+λ2+λ5+λ6 ≤2 (3.15c)

λ1+λ2+λ4+λ7 ≤2 (3.15d)

(3.15e)

Para este sistema las relaciones entre coeficientes est´an dadas de la siguiente manera

|α1|2+|α2|2 ≥ |α4|2+|α7|2 ≥ |α5|2+|α6|2, |α₁|2₊_|α

3|2 ≥ |α4|2+|α6|2 ≥ |α5|2+|α7|2, |α₁|2₊_|α

4|2 ≥ |α2|2+|α7|2 ≥ |α3|2+|α6|2, |α₁|2+|α₅|2 ≥ |α₂|2+|α₆|2 ≥ |α₃|2+|α₇|2,

|α₁|2+|α₆|2 ≥ |α₂|2+|α₅|2 ≥ |α₃|2+|α₄|2,

|α₁|2+|α₇|2 ≥ |α₂|2+|α₄|2 ≥ |α₃|2+|α₅|2,

|α2|2+|α3|2 ≥ |α4|2+|α5|2 ≥ |α6|2+|α7|2,

en donde el ordenamiento de los coeficientes αj no se obtiene directamente pero si

se puede deducir. Con estos dos ejemplos de sistemas fermi´onicos se puede ver como

obtener restricciones adiciones sobre los números de ocupación se vuelve una tarea más

complicada cuando la dimensi´on del espacio de Hilbert aumenta, asimismo, identificar

el ordenamiento de los coeficientes de la funci´on de onda escrita en determinantes de

Slater se vuelve menos claro. Por otro lado, la relación entre los números de ocupación

natural y los coeficientes de la expansi´on en determinantes de Slater permiten encontrar

restricciones adicionales sobre los n´umeros de ocupaci´on natural estableciendo un l´ımite

(35)

3.2. Restricciones de Klyachko y la extensi´

on del principio

de exclusi´

on

Hasta aqu´ı las restricciones de Pauli generalizadas han sido obtenidas teniendo en

cuen-ta que la matriz densidad reducida de un cuerpo puede ser escricuen-ta en t´erminos de los

n´umeros de ocupaci´on natural y los orbitales naturales, ρ(1) = P

iλi|χii hχi|, con lo

cual, la matriz densidad es diagonal. Adicionalmente, se asume que la funci´on de onda

expandida en determinantes de Slater permite s´olo aquellos t´erminos en los cuales se

siga un ordenamiento lexicográfico, pues los demás términos contribuir´ıan con

elemen-tos fuera de la diagonal de la matriz densidad. En principio las restricciones de Pauli

generalizadas pueden ser obtenidas a trav´es de este algoritmo pero es evidente que la

dificultad aumenta significativamente con el n´umero de part´ıculas y la dimensi´on del

espacio de Hilbert. Esta relación entre número de términos en la expansión en

determi-nantes de Slater de la función de onda y la dimensión del espacio de Hilbert en cuestión

es presentada en las figuras 3.1y3.2.

4 6 8 10 12 14 dim 5

10 15 20 25 30 35

No. de Slater

Figura 3.1: Número de términos en la expansión en determinantes de Slater vs la

dimensi´on del espacio de Hilbert.

Las restricciones de Pauli generalizadas son restricciones cinem´aticas sobre los n´umeros

de ocupaci´on y definen la estructura de los estados de sistemas multifermi´onicos, por lo

cual, es de inter´es entender c´omo surgen las restricciones adicionales. Estas restricciones

están relacionadas con el problema de N-representabilidad, para el que se cuenta con una solución para el caso de matrices densidad de un cuerpo. La resolución

comple-ta al problema de N-representabilidad fue presentada por Klyachko [Kly06] y [AK08]. Como resultado se obtienen un conjunto de desigualdades que imponen restricciones a

los n´umeros de ocupaci´on natural adicionales a la impuesta por el principio de

(36)

20 40 60 80 dim 200

400 600 800 1000

No. de Slater

Figura 3.2: Número de términos en la expansión en determinantes de Slater vs la

dimensi´on del espacio de Hilbert.

generalizadas (RPG). En general, las desigualdades RPG son escritas como:

D_jN,r(~λ) =k₀(j)+k₁(j)λ1+. . .+k_r(j)λr≥0, (3.16)

donde ~λ = (λ1, λ2, . . . , λr), siendo λi los n´umeros de ocupaci´on natural, y los ki’s son

n´umeros enteros, ki ∈Z. Estas desigualdades RPG desaf´ıan la intuici´on f´ısica al limitar

la ocupación fermiónica en orbitales naturales simétricos, lo cual va más allá de la

restricción 0 ≤ λ1 ≤ 1. El conjunto de restricciones depende fuertemente del número de part´ıculas y la dimensión del sistema, por ejemplo, el número de desigualdades para

sistemas fermi´onicos∧3_H

10,∧4H10 y∧5H10 es 93, 125 y 161, respectivamente [AK08].

3.3. Estados fermi´

onicos y la Regla de Selecci´

on

A pesar de contar con un algoritmo para producir las desigualdades RPG de la forma

(3.16), s´olo se han producido el conjunto de estas desigualdades para sistemas de 3, 4 y

5 part´ıculas cuyo espacio de Hilbert de una part´ıcula es de dimensión r≤10. El proce-so de obtener desigualdades para número de part´ıculas y dimensiones más altas es un

campo en el cual se est´a investigando actualmente [Sch15], [BRS15], [TEVS16]. Dentro

de las dificultades que se tienen al intentar encontrar estas desigualdades no s´olo est´a el

crecimiento exponencial que tienen estos sistemas al variar el n´umero de part´ıculas y la

dimensi´on del espacio de Hilbert, sino la alta complejidad del algoritmo en s´ı mismo,

pues para su comprensi´on se necesita un manejo apropiado de topolog´ıa algebraica, flag

varieties, c´alculo de Schubert y teor´ıa de homolog´ıa y cohomolog´ıa. Es por esto, a partir

de los resultados obtenidos por Borland y Dennis, los resultados obtenidos en un

(37)

los estados fermi´onicos, los cuales se expanden en determinantes de Slater, exhiben una

estructura en la que s´olo algunos de los posibles determinantes ser´an necesarios para

describir dichos estados cu´anticos fermi´onicos.

Para ilustrar la última afirmación del párrafo anterior, dada la suposición que los estados

fermi´onicos son descritos por combinaciones lineales de determinantes de Slater, para un

sistema de N part´ıculas y dimensi´on del espacio de Hilbert de una part´ıcular, existen

r!

N!(r−N)! posibles determinantes de Slater escritos en t´erminos de los orbitales naturales

que pueden expandir la funci´on de onda. Por ejemplo, para un sistema deN = 2 yr= 4 se tiene un conjunto de 6 determinantes de Slater,

( 1 2 , 1 3 , 1 4 , 2 3 , 2 4 , 3 4 ) .

Al expandir la funci´on de onda en t´erminos de este conjunto de 6 determinantes de

Slater,

Ψ₍₂_,₄₎ =c12 1 2

+c13 1 3

+c14 1 4

+c23 2 3

+c24 2 4

+c34 3 4 , (3.17)

y compararla con los resultados presentados en tabla (3.1), es evidente que deben existir

condiciones sobre los coeficientescij, puesto que en los resultados que se presentan s´olo

existen dos coeficientes no nulos, c12 yc34. Las condiciones que se desean son extra´ıdas de la matriz densidad reducida de un cuerpo, la cual es obtenida realizando la traza

parcial sobre la segunda part´ıcula,

ρ₍₂_,₄₎ = Tr2 |Ψ(2,4)i hΨ(2,4)|

,

y tiene la propiedad de ser una matriz diagonal en la base de orbitales naturales,

ρ₍₂_,₄₎ =

4 X

i=1

λi|φii hφi|, (3.18)

donde los estados|φiison los orbitales naturales (ON) yλison los n´umeros de ocupaci´on

(38)

que los t´erminos fuera de la diagonal deben anularse y por lo tanto,

c∗₁₃c23+c∗₁₄c24 = 0, c∗₁₄c34−c∗12c23 = 0,

c∗₁₂c13+c∗24c34 = 0, (3.19)

c∗₁₂c24+c∗13c34 = 0, c∗₁₂c14−c∗23c34 = 0, c∗₁₃c14+c∗23c24 = 0.

El conjunto de condiciones (3.19) de los cij dan como una posible solución que c13 = c14=c23=c24= 0, de modo que los números de ocupación natural están dados por

λ1 = |c12|2

λ2 = |c12|2

λ3 = |c34|2

λ4 = |c34|2,

y la funci´on de onda es escrita como,

Ψ₍₂_,₄₎=c12

1

2

+c34

3

4

. (3.20)

Realizando un an´alisis de los coeficientes no nulos presentados en la tabla (3.1) e

investi-gando relaciones de la forma (3.19) en varios sistemas, proponemos la regla de selecci´on

que deben cumplir el conjunto de determinantes de Slater que expanden la funci´on de

onda fermi´onica. Esta regla de selecci´on es una base para comprender los resultados

obtenidos en el presente trabajo y es enunciada a continuaci´on.

Regla de selección: En un sistema fermiónico de N part´ıculas y cuya dimensión del espacio de Hilbert de una part´ıcula r, del conjunto de _N_!(_dd₋!_N_)! determinantes de Slater posibles que expanden la función de onda, sólo los determinantes que comparten a lo

sumo N −2 orbitales naturales pueden constituir una base para la funci´on de onda.

Con la regla de selecci´on no s´olo se tiene una forma para proponer ansatz de funciones

de onda de sistemas fermiónicos sino que también, con la relación entre los coeficientes

de los determinantes de Slater (3.7) y los valores propios de la matriz densidad reducida

(39)

ρ, se pueden obtener algunas de las restricciones de Klyachko (desigualdades RPG) de la forma (3.16).

3.4. Pinning y Quasipinning

Las restricciones de Pauli generalizadas son restricciones cinem´aticas sobre los estados

permitidos en sistemas multifermi´onicos, de modo que cuando la din´amica del sistema

est´a en conflicto con las restricciones de Pauli generalizadas estas ´ultimas prevalecen y

el sistema queda atrapado en los v´ertices del espacio de estados permitidos del sistema

(figura 3.3). La cuesti´on es si los estados fermi´onicos, como el estado base, son

atra-pados (pinned) en los v´ertices de una estructura geom´etrica construida a partir de los

n´umeros de ocupaci´on natural y a la cual se denominapolitopo. Dado que la respuesta es

afirmativa, esta es la raz´on por la cual las restricciones de Klyachko (las desigualdades

RPG) tienen un fuerte impacto en el comportamiento y las propiedades electr´onicas de

sistemas multifermi´onicos y es por esto, el inter´es por estudiar las consecuencias que

tiene la saturaci´on de las desigualdades de la forma (3.16). Cuando las desigualdades

son saturadas se evidencia el fen´omeno de pinning [Kly09], el cual, en la imagen de una

part´ıcula, permite la reconstrucción del estado de N-fermiones en una forma espec´ıfica y simplificada acorde a la regla de selección presentada en la sección anterior.

Figura 3.3:Descripci´on gr´afica del politopoP(N,d)de estados permitidos

La descripción geométrica de las desigualdades consideran una región del espacio

genera-do por los números de ocupación naturalλi. El principio de exclusión de Pauli restringe

el espacio de posibles~λ= (λ1, λ2, . . . , λN)∈Rdal hipercubo

(40)

el cual se reduce por la condici´on λi ≥λi+1. Ahora, los 2d v´ertices deC son denotados

por~vl dondel⊂ {1,2, . . . , d}. Entonces,

~_λ₌ X i∈IN

|c_k|2~vi. (3.22)

Se pueden identificar los v´ertices~vi con los determinantes de Slater de N part´ıculas o

combinaciones lineales de los mismos. El rol que toman las desigualdades RPG en la

es-tructura del espacio de estados es que al tener condiciones adicionales sobre los n´umeros

de ocupación natural, el espacio de estados permitidos no sólo será restringido por el

hipercubo de Pauli sino que se encontrar´a en el politopo PN,d, el cual es determinado

por las restricciones de Pauli generalizadas (3.16) (figura 3.3). El subespacio de estados

permitidos para el sistema, el politopo, emerge de la cinem´atica del sistema, es decir,

de la antisimetr´ıa de Ψ y es independiente del Hamiltoniano, que es responsable de la

din´amica del sistema.

El estado cu´antico de un sistema deN fermiones es un elemento del espacio de Hilbert estados antisim´etricos de N part´ıculas,

Ψ∈ ∧NHd⊂ H⊗_dN,

donde se asume el espacio de Hilbert de una part´ıcula H_d es de dimensi´on d. Un estado descrito por la funci´on de onda es de la forma (2.15),

Ψ =X

k

ckS({φ}k),

es generado por un conjunto de n´umeros de ocupaci´on iguales a uno y cero y con los

cuales se saturan las desigualdades RPG. Para el sistema de Borland y Dennis,∧3_H 6, la

funci´on de onda se expande en la forma (3.8) y el politopo definido porλ1+λ2 ≤1 +λ3

sujeto a la condici´on 1≥λ1 ≥λ2≥λ3 se presenta en la figura (3.4). En el caso en el que las desigualdades no son saturadas exactamente pero existe una saturaci´on aproximada

DN,d_j (~λ) =k₀(j)+k₁(j)λ1+. . .+k_d(j)λd≈0, (3.23)

este resultado se mantiene y los estados fermi´onicos se escriben en la forma simplificada

de la ecuaci´on (3.8) o (3.13) [BRGBS13], [BRS15], [SGC13], [Sch13], de modo que el

estado ser´a aproximado Ψ≈P

kckS({φ}k). En este caso se dice aparece un fen´omeno

(41)

Figura 3.4: Politopo definido por λ1+λ2 ≤1 +λ3 sujeto a la condici´on 1 ≥λ1 ≥ λ2≥λ3.

Dado que los fen´omenos de pinning o quasipinning implican una descripci´on simplificada

de los estados multifermi´onicos de modo que se cumple la regla de selecci´on, se investigan

las situaciones en las cuales alguno de estos fen´omenos ocurre. Para realizar esta tarea, se

estudia el sistema denominado armonio (cap´ıtulo2) y se consideran estados fermi´onicos

aleatorios. Adicionalmente, se investiga la relaci´on entre la regla de selecci´on de los

determinantes de Slater que expanden la funci´on de onda y los fen´omenos de pinning y