Hipoplasticidad y viscohipoplasticidad aplicadas a la respuesta dinámica del subsuelo

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(1)TESIS PARA ALCANZAR EL TÍTULO DE MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL. HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. POR: ING. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. ASESOR: DR. ING. ARCESIO LIZCANO PELAEZ. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL ÁREA DE ESTRUCTURAS Y SÍSMICA. BOGOTÁ, FEBRERO DE 2004.

(2) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 1. INTRODUCCIÓN. Desde los años 70 se han desarrollado estudios de respuesta dinámica del subsuelo en busca de obtener parámetros como aceleración a nivel de superficie y espectros de respuesta, necesarios en el diseño y la evaluación del comportamiento de las estructuras ante las cargas que los sismos imponen.. Estos estudios se han. realizado empleando la técnica de los elementos finitos con leyes para materiales elásticos – lineales y en la mayoría de los casos han dado mayor importancia a la herramienta. computacional. que. al. modelo. constitutivo. que. describe. el. comportamiento del material. Adicionalmente algunos de estos se limitan a modelos unidimensionales que no son adecuados en casos donde las condiciones topográficas generan amplificaciones locales de las aceleraciones y deben ser evaluados mediante modelos bidimensionales. Experimentalmente se ha demostrado la complejidad del comportamiento del suelo, reportando entre otras observaciones; que el suelo sólo es elástico en pequeñas deformaciones de corte, que no es lineal, que las arcillas tienen un comportamiento viscoso mayormente marcado que el de las arenas, que existen fenómenos como el creep y la relajación, que deformaciones recuperables y permanentes bajo cargas monotónicas y cíclicas pueden ocurrir simultáneamente, que de manera paralela también pueden presentarse los fenómenos de creep y de consolidación y que el comportamiento del suelo puede representarse más adecuadamente por variables de estado que por las denominadas constantes las cuales varían con los cambios de estado del suelo. Como una alternativa a los análisis tradicionales, se propone desarrollar un modelo bidimensional de elementos finitos en el programa ABAQUS, al cual será adaptada DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 1-1.

(3) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. una subrutina de cálculo elaborada en Fortran,. que permite considerar. comportamiento hipoplástico (para suelos granulares) y viscohipoplástico (para suelos finos). Estos modelos de comportamiento del material son incrementalmente no lineales, emplean una única ecuación tensorial para los procesos de carga y descarga, definen variables de estado en lugar de constantes, describen fenómenos como creep, relajación y velocidad e incluyen el concepto de deformación intergranular para evitar el racheting en cargas cíclicas. El modelo consiste en una columna de suelo correspondiente a la Autopista Norte por Calle 170 en la ciudad de Bogotá, con información de campo y laboratorio recopilada que permite la derivación de las variables de estado requeridas por los modelos constitutivos.. Adicionalmente el mismo problema será realizado con. procedimientos rutinarios, modelando en el programa SHAKE91 versión EERA, el cual considera un comportamiento lineal equivalente del suelo. De la comparación entre los resultados de este análisis y los resultados de los modelos hipoplástico y viscohipoplástico se inducirán implicaciones que tiene el empleo de modelos constitutivos más realistas en los estudios de respuesta dinámica del subsuelo.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 1-2.

(4) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 2. OBJETIVOS. 2.1. OBJETIVOS GENERALES. Aplicación de la hipoplasticidad y viscohipoplasticidad de los materiales, a la solución de problemas de respuesta sísmica del subsuelo, empleando un modelo bidimensional de elementos finitos.. 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Elaborar un modelo del subsuelo de la Autopista Norte por Calle 170 en la ciudad de Bogotá, en el programa ABAQUS, aplicando una subrutina que provea el comportamiento hipoplástico para suelos granulares y viscohipoplástico para suelos finos y realizar un análisis de respuesta dinámica dirigido a obtener niveles de aceleración en superficie. Elaborar un modelo del subsuelo de la Autopista Norte por Calle 170 en la ciudad de Bogotá, en el programa SHAKE91-EERA, que considera comportamiento lineal – equivalente elástico y realizar un análisis de respuesta dinámica en cuanto a niveles de aceleración en superficie. Comparar los resultados obtenidos y determinar a partir de los estos análisis, la influencia del modelo de comportamiento del suelo empleado, en las aceleraciones obtenidas a nivel de superficie.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 2-1.

(5) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 3. RELACIONES ESFUERZO – DEFORMACIÓN DEL SUELO. Durante los procesos de carga y/o descarga del suelo se presentan modificaciones continuas y/o irreversibles de varios de los factores ambientales, lo cual hace que los cambios de deformaciones del suelo no sean iguales durante la etapa de carga o descarga. A bajos niveles de esfuerzo, las deformaciones son controladas por las características de los enlaces entre partículas (comportamiento friccional), presentándose. deformaciones. aproximadamente lineales.. elásticas. y. relaciones. esfuerzo-deformación. Al incrementar los niveles de esfuerzo se supera la. resistencia en los contactos produciendo deslizamiento y reordenamiento de las partículas, cambios en la densidad, redistribución de esfuerzos y deformación y rotura de granos. Esto genera deformaciones permanentes y relaciones esfuerzodeformación no lineal, ya que cada cambio de esfuerzo genera una nueva fábrica y estructura que se comporta de manera diferente ante las cargas impuestas. La heterogeneidad de las características de resistencia de los contactos y disposición aleatoria de las partículas contribuyen a la no linealidad de la relación esfuerzo-deformación, ya que para un mismo cambio de esfuerzos pueden existir zonas que presenten diferentes deformaciones (en magnitud y ordenamiento de las partículas), que hacen que la respuesta del suelo sea diferente para cada incremento de esfuerzo. La presencia de fluidos en los poros modifica las características de deformabilidad, ya que estos afectan resistencia de los contactos entre partículas, alteran la distribución de esfuerzos e interfieren en el reordenamiento. Las pruebas de laboratorio como el triaxial y la compresión confinada realizadas por diferentes investigadores sobre un amplio rango de tipos de material que incluyen DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 3-1.

(6) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. desde arcillas muy blandas hasta suelos cementados y sobreconsolidados, confirman la no linealidad y inelasticidad de los suelos y resaltan la importancia de aspectos tales como la velocidad de aplicación y tiempo de duración de las cargas, las condiciones de drenaje y la trayectoria de esfuerzos en el comportamiento esfuerzo-deformación. El surgimiento de herramientas de análisis como los elementos finitos y el rápido incremento de la capacidad de cálculo de los equipos electrónicos facilita el empleo de teorías de comportamientos de materiales cada vez más sofisticadas que permiten reflejar de forma más exacta el comportamiento esfuerzo-deformacióntiempo de los materiales naturales.. 3.1. FUNDAMENTOS DE LAS RELACIONES ESFUERZO – DEFORMACIÓN. En la Figura 3-1 se presentan comportamientos ideales de esfuerzo – deformación, para materiales sometidos a procesos de carga y descarga.. σ. σ. σ. A. ε. O. a) Nolineal - Elástico. O. b) Lineal - Elástico. ε. ε. O B. c) Elastoplástico. Figura 3-1 Tipos idealizados de comportamiento esfuerzo – deformación En la Figura 3-1-a. se observa un material nolineal – elástico, donde se tienen respuestas iguales para los procesos de carga y descarga, deformación recuperable en la descarga (elasticidad) y trayectoria esfuerzo – deformación curva (nolinealidad). En la Figura 3-1-b se observa un material lineal – elástico, en el cual la trayectoria esfuerzo – deformación es recta. Finalmente, en la Figura 3-1-c se observa que una parte de la deformación no se recupera durante la descarga (elastoplasticidad). Los comportamientos nolineales – elásticos y elastoplásticos DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 3-2.

(7) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. son diferentes durante el proceso de descarga pero pueden ser iguales para el caso de la carga. Estos comportamientos observados son independientes de la velocidad de la aplicación de la carga (o viscosidad). Como se muestra en la Figura 3-2, cuando se aplica un esfuerzo constante, la deformación incrementa, presentando cambio de volumen o de forma (manteniendo el volumen constante). Este fenómeno se conoce como creep. Cuando se aplica una deformación constante, el esfuerzo decrece, manteniendo el volumen constante. Este fenómeno presentado en la Figura 3-3, se conoce como relajación. La dependencia de la velocidad señalada en estas figuras, hace referencia al aumento de la resistencia del material, al incrementar la velocidad de aplicación de la carga. σ. σ. ε. Medida. ε Dependencia de la velocidad. Aplicada. ε0. Dependencia de la velocidad. t. t. Figura 3-2 Efecto del creep ε. σ. ε. σ0. σ. Medida Dependencia de la velocidad. Dependencia de la velocidad Aplicada. t. t. Figura 3-3 Efecto de la relajación.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 3-3.

(8) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 3.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS. El comportamiento esfuerzo – deformación – tiempo de los materiales se representa mediante ecuaciones constitutivas, en las cuales el esfuerzo y la deformación son cantidades tensoriales y las constantes del material se ajustan a las condiciones de cada material en particular. Las ecuaciones constitutivas se requieren para predecir las deformaciones o la estabilidad, de un cuerpo cargado y comprender así el comportamiento del material. Su importancia radica en el hecho de ser cruciales para la modelación numérica del comportamiento del material. Sin embargo, no existe un concepto universal para su formulación.. 3.3. VARIABLES DE ESTADO. Los modelos constitutivos son formulados mediante “propiedades del material” y “variables de estado”. Las propiedades del material corresponden a cantidades que no cambian durante los procesos de carga o descarga y sí pueden ser modificados por la acción de procesos biológicos, químicos o térmicos. Las variables de estado son características del material que se refieren a un instante de tiempo en particular. Estas pueden evolucionar en el proceso mecánico y la descripción de tales evoluciones puede corresponder a una parte del modelo constitutivo.. Tales. relaciones de evolución acompañan las relaciones convencionales esfuerzodeformación. En el caso de los materiales granulares, donde las constantes no-materiales dependen del sistema de coordenadas adoptado, todas las constantes del material y las ecuaciones constitutivas se asumen isotrópicas. Sin embargo las variables de estado pueden contribuir a una respuesta anisotrópica. Es decir que el material se considera isotrópico, permitiendo estados anisotrópicos.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 3-4.

(9) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 4. MODELOS LINEALES ELÁSTICOS. 4.1. LEY CONSTITUTIVA ELÁSTICA. La elasticidad está dada cuando el esfuerzo depende exclusivamente de la deformación y viceversa, dando lugar a que los materiales no presenten deformaciones de tipo irreversibles. Para una gran cantidad de materiales se presenta la curva esfuerzo –deformación mostrada en la Figura 4-1, en la cual se observa que el rango OP se cumple que: σ ≈ ε ó σ = Eε, siendo E el módulo de elasticidad. σ. Falla. σF σP. E (Límite de elasticidad) P (Límite de proporcionalidad) Descarga. σF : Esfuerzo de fluencia σP : Esfuerzo de proporcional O. εpermanente. ε. Figura 4-1 Curva de esfuerzo – deformación para varios materiales El caso particular de la elasticidad lineal y la isotropía se describe matemáticamente por la Ley de Hooke (Ley material) de la siguiente forma:. υ ⎡ ⎤ σ = 2G ⎢ε + e1⎥ ⎣ 1 − 2υ ⎦. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Ecuación (4-1). Pag. 4-1.

(10) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. En donde e corresponde a la traza del tensor de deformaciones, ν el número de contracción transversal y G el Módulo de Young, el cual puede expresarse en función del módulo de elasticidad así:. E = 2G (1 + υ ). Ecuación 4-2. La relación general entre las componentes del tensor de esfuerzos y las componentes del tensor de deformaciones, da lugar a un tensor de rigidez de cuarto orden con 81 componentes. Cuando el material es homogéneo, las propiedades elásticas son independientes del lugar y el tensor se disminuye a 36 componentes. En el caso de un material isotrópico, las componentes se reducen a 2.. 4.2. PROCEDIMIENTO. PARA. ESTUDIOS. DE. RESPUESTA. DINÁMICA. TRADICIONALES Los estudios de respuesta dinámica del subsuelo consisten en la evaluación de parámetros sísmicos como la aceleración y los espectros de respuesta para diseño de las estructuras o la evaluación del comportamiento sísmico de las mismas, en proyectos, donde las características de la estructura y/o del sitio requieren un estudio local. Generalmente, la metodología empleada para este tipo de estudios contempla los siguientes pasos: - Geología y tectónica: Evaluación de la incidencia de las diferentes fallas locales y regionales en la posible generación de eventos sísmicos futuros. - Sismología y Amenaza sísmica: Revisión de los criterios y resultados existentes en estudios de amenaza sísmica para el sitio de estudio. Definición del grado de amenaza representado como fuentes sísmicas generadoras de eventos críticos y expresados como niveles de aceleración máxima horizontal a nivel de roca. - Acelerogramas de diseño: Determinación de los registros históricos que pueden representar el evento sísmico con el nivel de amenaza correspondiente, para cada una de las fuentes sísmicas críticas.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Definición de familias de. Pag. 4-2.

(11) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. acelerogramas por fuente. - Caracterización geotécnica estática y dinámica: Definición de un modelo geotécnico del subsuelo a partir de información referente a exploración del subsuelo, ensayos geofísicos de campo y/o ensayos de estáticos y/o dinámicos de laboratorio. - Modelación espacial del subsuelo: Discretización del medio continuo del subsuelo, considerando modelos estratificados unidimensionales (1D) de propagación de ondas de corte o programas bidimensionales (2D) de elementos finitos, de análisis dinámico. - Respuesta Dinámica del Subsuelo: Realización de los respectivos análisis de respuesta dinámica del subsuelo, medida con parámetros como aceleraciones máximas, esfuerzos máximos, deformaciones máximas, periodos de vibración del subsuelo, y/o espectros de respuesta.. 4.3. ECUACIÓN GENERAL DE MOVIMIENTO PARA ANÁLISIS DINÁMICO. En un sistema discretizado por elementos finitos, la ecuación básica de equilibrio de un sistema sometido a la acción de una carga dinámica externa puede representarse de la forma:. FI + FS + FD = P(t ). Ecuación 4-3. Donde: FI = Fuerza de inercia FS = Fuerza de amortiguamiento FD = Fuerza elástica P(t) = Carga dinámica aplicada al sistema. FI = [M ]{u&&}. Ecuación 4-4. FS = [C ]{u&&}. Ecuación 4-5. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-3.

(12) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. FD = [K ]{u}. Ecuación 4-6. En las expresiones anteriores {u} representa el vector desplazamiento con sus correspondientes derivadas de velocidad y aceleración. Las matrices de masa [M], amortiguamiento [C], y rigidez [K], se construyen ensamblando las matrices de cada uno de los elementos de acuerdo con los grados de libertad que participan en los mismos.. Debido a la dificultad para evaluar el amortiguamiento interno de los. materiales, la matriz de amortiguamiento se puede expresar en función de las matrices de masa y de rigidez. Dado que las fuerzas disipadoras son desarrolladas en forma proporcional a la velocidad de la masa, la evaluación de la matriz de amortiguamiento se puede evaluar en forma semejante a la matriz de masa de cada elemento, de la siguiente forma:. Cq = α ⋅ M q. Ecuación 4-7. Así mismo, los esfuerzos disipadores son proporcionales a la velocidad de deformación, dando lugar a que la evaluación de la matriz de amortiguamiento se haga en forma semejante a la matriz de rigidez de cada elemento, de la siguiente forma:. Cq = β ⋅ M q. Ecuación 4-8. Donde α y β son constantes y el subíndice q indica la componente de cada elemento. Rayleigh (1945) propuso evaluar el amortiguamiento de la forma expresada por la Ecuación 4-7 y la Ecuación 4-8, dando lugar a:. C = A[M ] + B[K ]. Ecuación 4-9. La matriz de masa es una matriz diagonal y tanto la matriz de rigidez como la matriz de amortiguamiento son simétricas y muy dispersas.. Esto permite reducir los. cálculos y la capacidad de memoria necesaria en los programas de computador DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-4.

(13) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. para realizar estos trabajos. Finalmente la Ecuación 4-3 puede representarse como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, con coeficientes constantes, lineales, no homogéneos de la forma:. [M ]{u&&} + [C ]{u&} + [K ]{u} = P(t ). Ecuación 4-10. Dando lugar a la ecuación general de movimiento para la acción de una carga dinámica, cuya solución empleando el método de los elementos finitos, puede realizarse por superposición modal (evaluación en el dominio de la frecuencia) o por integración numérica (evaluación en el dominio del tiempo). Para la solución de esta ecuación se han desarrollado gran cantidad de programas de elementos finitos (FEM), que por lo general trabajan en ambos dominios.. 4.4. HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES. 4.4.1 SHAKE 91 “A Computer Program for Conducting Equivalent Linear Seismic Response Analyses of Horizontally Layered Soil Deposits”. Programa para respuesta sísmica lineal. equivalente, de depósitos semi-infinitos horizontales de suelo. “SHAKE fue escrito en 1970 – 1971 por Dr. Per Schanabel y el Profesor Jhon Lysmer y fue publicado en Diciembre de 1972 por los mismos en compañía de H. Bolton Seed en el reporte No. UCB/EERC 72/12 del Earthquake Enginering Research Center de la Universidad de Berkeley en California. El programa calcula la respuesta de estratos de suelo horizontales semi-infinitos sobre un medio continuo uniforme sujetado a propagación vertical de ondas de corte. El análisis se realiza en el dominio de la frecuencia, por lo tanto para cada grupo de propiedades el análisis es lineal.” “El suelo es idealizado como un sistema homogéneo, visco-elástico, de estratos horizontales de extensión infinita. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. La respuesta del sistema es calculada Pag. 4-5.

(14) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. considerando propagación vertical de las ondas de corte. El algoritmo del programa original SHAKE (Schanabel et al, 1972) está basado en la solución continua de la ecuación de onda (Kanai, 1951; Matthiesen et al, 1964, Rosesset & Whitman, 1969; Lysmer et al, 1971) adaptada para movimientos sísmicos, usando las técnicas de Coley & Tukey (1965) de la Transformada Rápida de Fourier.” “El procedimiento de equivalencia lineal (Idriss & Seed, 1968) es usado para considerar la no linealidad del suelo, empleando un procedimiento iterativo que obtiene valores para módulo y amortiguamiento compatible con las deformación uniforme equivalente en cada depósito.”1 En 1990, el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Sourthern California, desarrolló en FORTRAN 90 los conceptos básicos del SHAKE y dio lugar al programa EERA. Esta herramienta corresponde a una moderna implementación de los conceptos de análisis lineal equivalente de respuesta dinámica del suelo, la cual permite procesar los datos de entrada y salida, en hojas de cálculo del programa Excel. Esta implementación de EERA permite visualizar directamente los resultados del procedimiento iterativo que corresponden a - Historia de aceleraciones, velocidades y desplazamientos relativos, para cualquier estrato. - Historia de esfuerzos, deformaciones y disipación de energía, para cualquier estrato. - Factor de amplificación entre dos estratos. - Espectro de Fourier, para cualquier estrato. - Espectro de respuesta, para cualquier estrato. 4.4.1.1 TEORÍA DE CÁLCULO El procedimiento de análisis consiste en asignar a cada estrato de suelo las. 1. I. M. Idriss, Joseph I Sun, User’s Manual for Shake 91, 1992.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-6.

(15) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. propiedades; peso unitario total, espesor del estrato y curvas de variación de módulo de corte y amortiguamiento contra deformación por corte. El módulo de corte y el amortiguamiento son modificados mediante un procedimiento iterativo que inicia con el máximo valor de módulo y el mínimo de amortiguamiento para pequeñas deformaciones. Aplicando las relaciones entre estas dos propiedades y la deformación por corte, se itera hasta que la deformación sea compatible con el módulo y el amortiguamiento en cada uno de los estratos. La compatibilidad se consigue al cabo de 5 a 8 iteraciones.. La teoría para el cálculo se explica a. continuación, de acuerdo con lo señalado por J.P. Barder, K. Ichi y C.H. Lin en el manual de EERA (2000). 4.4.1.1.1. ANALISIS DE RESPUESTA UNIDIMENSIONAL. El modelo lineal equivalente representa la respuesta esfuerzo-deformación del suelo en base al modelo de Kelvin Voig, mostrado en la Figura 4-2, en la cual G representa el módulo de corte y η la viscosidad. Para este sistema el módulo de corte depende de la deformación por corte γ y su tasa γ& de la siguiente forma:. τ = Gγ + ηγ&. Ecuación 4-11. γ =. ∂u ( z , t ) ∂z. Ecuación 4-12. γ& =. ∂ 2 u ( z, t ) ∂γ ( z, t ) = ∂z∂t ∂t. Ecuación 4-13. Donde:. z: t: u(z,t):. Profundidad Tiempo Desplazamiento horizontal. γγ. τ G. η DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Gγ. ηγ Pag. 4-7.

(16) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Figura 4-2 Representación esquemática de la relación esfuerzo-deformación según Kelvin-Voigt En la Figura 4-3 se representan las suposiciones básicas del análisis de respuesta sísmica, unidimensional y lineal equivalente. Allí se muestra la propagación de una onda de corte armónica y vertical a través de estratos horizontales, para la cual la ecuación de movimiento unidimensional corresponde a:. ρ. ∂ 2 u ∂τ = ∂t 2 ∂z. Ecuación 4-14. Donde ρ corresponde a la densidad del estrato. Estrato. Coordenadas u1. 1. u2. Propiedades. Espesor. G1 ξ1 ρ1. h1. Gm ξm ρm. hm. Gm+1ξm+1 ρm+1. h m+1. GN ξN ρN. hN. 2. um m m+1. um+1 um+2. m+2. uN N. Figura 4-3 Sistema de estratos unidimensionales (luego de Schanabel et al, 1972) Si se asume que el suelo en cada estrato se comporta según Kelvin-Voight, la Ecuación 4-14 puede escribirse como:. ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ρ 2 = G 2 +η 2 ∂t ∂z ∂z ∂t. Ecuación 4-15. En el caso de movimiento armónico, el desplazamiento puede expresarse,. u ( z, t ) = U ( z )e iwt. Ecuación 4-16. Siendo ω la velocidad angular.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-8.

(17) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Reemplazando en la Ecuación 4-14 se tiene:. (G + iωη ). d 2U = ρω 2U 2 d z. Ecuación 4-17. Con solución general para U(x) *. U ( x ) = Ee ik z + Fe −ik. *. Ecuación 4-18. z. Donde:. k *2 =. ρω 2 ρω 2 = * G + iωη G. Ecuación 4-19. Introduciendo el concepto de amortiguamiento crítico ξ., G* puede expresarse como:. ξ=. ωη. Ecuación 4-20. 2G. G * = G + iωη = G (1 + 2iξ ). Ecuación 4-21. La solución de la Ecuación 4-17: *. *. u ( z , t ) = ( Ee ik z + Fe − ik z )e iωt. Ecuación 4-22. El esfuerzo correspondiente es: *. *. τ ( z , t ) = ik *G * ( Ee ik z − Fe −ik z )e iωt. Ecuación 4-23. Para las condiciones de borde z = 0 y z = hm de cada estrato e espesor m, se tiene que el desplazamiento y el esfuerzo de corte corresponden a:. u (0, t ) = ( Em + Fm )eiωt *. *. u (hm , t ) = ( Em eik m hm + Fm e − ik m hm )eiωt. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Ecuación 4-24. Pag. 4-9.

(18) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. τ (0, t ) = ik m* G m* ( E m − Fm )e iωt τ (hm , t ) = ik m* G m* ( E m e ik. * m hm. *. *. − Fm e −im hm )e iωt. Ecuación 4-25. En la interfase entre los estratos m y m+1, los desplazamientos y los esfuerzos de corte son continuos, lo que indica que:. u m (hm , t ) = u m +1 (0, t ). Ecuación 4-26. τ m (hm , t ) = τ m +1 (0, t ) Los coeficientes Em y Fm se relacionan a través de: *. *. E m +1 + Fm +1 = E m e ik m hm + E m e − ik m hm E m +1 − Fm +1 =. * * k m* G m* ( E m e ik m hm − Fm e − ikm hm ) * * k m +1G m +1. * * 1 1 E m (1 + α m* )e ik m hm + Fm (1 + α m* )e −ik m hm 2 2 * * 1 1 = E m (1 + α m* )e ik m hm + Fm (1 + α m* )e −ik m hm 2 2. Ecuación 4-27. E m +1 = Fm +1. Ecuación 4-28. Donde αm es el radio de impedancia complejo, y se calcula como:. α = * m. k m* G m* k m* +1G m* +1. Ecuación 4-29. En h0 = 0 no hay esfuerzo cortante y allí es donde comienza el algoritmo de cálculo.. τ (0, t ) = ik1*G1* ( E1 − F1 )e iωt = 0 E1 = F1. Ecuación 4-30. Entonces se aplica sucesivamente para los estratos 2 hasta m, la Ecuación 4-27. Definiendo la función de transferencia Amax como la relación entre los desplazamientos en la parte superior de los estratos m y n, tenemos:. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-10.

(19) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Amn (ω ) =. u m E m + Fm = un E n + Fn. Ecuación 4-31. Considerando que la velocidad y la aceleración pueden darse en función del desplazamiento de la siguiente forma:. ∂u = iω u ( z , t ) ∂t ∂ 2u u&&( z , t ) = 2 = −ω 2 u ( z , t ) ∂t u& ( z , t ) =. Ecuación 4-32. Entonces se puede expresar la función de transferencia en función de las velocidades y desplazamientos en la parte superior de los estratos m y n.. Amn (ω ) =. u m u& m u&&m E m + Fm = = = u n u& n u&&n E n + Fn. Ecuación 4-33. La deformación y el esfuerzo por corte a una profundidad z y un tiempo t, puede derivarse de la Ecuación 4-18. * * ∂u = ik * ( Ee ik z − Fe −ik z )e iωt ∂z τ ( z, t ) = G *γ ( z, t ). γ ( z, t ) =. 4.4.1.1.2. APROXIMACIÓN. ITERATIVA. Ecuación 4-34. A. LA. RESPUESTA. LINEAL. EQUIVALENTE El modelo lineal equivalente asume que la relación de módulo cortante (G/Gmax) y el amortiguamiento (β) son funciones de la deformación por corte (γ). Estos valores de relación de módulo y amortiguamiento son determinados en SHAKE-EERA por iteraciones hasta que estos alcancen consistencia con el nivel de deformación inducido en cada estrato. Como se muestra en la Figura 4-4, los valores de relación de módulo y amortiguamiento inciales G0 y βo, se inicializan en sus pequeñas deformaciones y la deformación máxima por corte y la deformación efectiva por. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-11.

(20) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. corte, son calculadas.. Entonces los valores compatibles de G1 y β1. correspondientes a una deformación por corte efectiva (γefec) son encontradas por la siguiente iteración.. Módulo de corte. G0. G1. Amortiguamiento. G3. β2. β1. β0. Deformación angular. γ 1ef ec. γ. 2. ef ec. Figura 4-4 Iteraciones de relación de módulo y amortiguamiento con deformación por corte, en el análisis lineal equivalente. El procedimiento de iteración para la aproximación lineal equivalente en cada estrato, es el siguiente: 1.. Establecer valores iniciales de módulo de corte y amortiguamiento para pequeñas deformaciones.. 2.. Calcular la respuesta del suelo y definir las amplitudes de la deformación por corte máxima a partir de las historias de tiempo de la deformación en cada estrato.. 3.. Determinar la deformación por corte efectiva γefec, a partir de la deformación. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-12.

(21) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. por corte máxima γmax, de la siguiente forma:. γ ´efec = Rγ γ ´max. Ecuación 4-35. Donde Rγ es la relación entre la deformación por corte efectiva y la deformación por corte máxima, el cual depende de la magnitud del sismo. Rγ es especificado en los datos de entrada y es el mismo para todos los estratos. 4.. Calcular los nuevos valores lineales equivalentes Gi+1 y βi+1 correspondientes a la deformación por corte efectiva γefec.. 5.. Repetir los pasos 2 a 4 hasta que las diferencias entre los valores computados de modulo de corte y amortiguamiento en dos iteraciones sucesivas, sigan bajo algunos valores predeterminados en todos los estratos. Generalmente se requiere de 8 iteraciones para lograr esta convergencia.. 4.4.1.2 PARÁMETROS A. Datos del sismo: El sismo se ingresa como un archivo de datos de aceleración externo (acelerograma) y de este se solicitan los siguientes datos: - Nombre. - Intervalo de tiempo entre los puntos de la historia, ∆t (seg). - Aceleración máxima para escalar la señal, Amax (g): Definida del estudio de amenaza y corresponde a la aceleración máxima a nivel de roca en el sitio de estudio. - Máxima frecuencia, fmax (Hz): Usada para filtrar las frecuencias altas del acelerograma de entrada. - Número de datos del acelerograma. B. Perfil de suelo SHAKE 91 considera el suelo como un conjunto de capas horizontales semiinfinitos, por lo cual se requiere definir la estratigrafía a partir del nivel de la. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-13.

(22) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. superficie, determinar la posición de la señal de entrada y establecer la posición del nivel freático para el cálculo de esfuerzos. Cada estrado debe estar definido por: - Espesor, H (m). - Localización del movimiento sísmico. - Peso unitario total, γt (KN/m3): Este parámetro puede determinarse a partir de ensayos como compresión inconfinada o consolidación. - Velocidad de onda de corte o módulo de cortante máximo: El módulo de corte a puede determinarse a partir de la velocidad de onda de corte o viceversa, con la siguiente expresión:. G max = ρ ⋅ V s2. Ecuación 4-36. Donde: Gmax:. Módulo de corte máximo. ρ:. Densidad del material.. Vs :. Velocidad de onda de corte.. Para determinar el módulo de corte máximo a partir de la velocidad de onda de corte, se requiere llevar a cabo ensayos como Down Hole, Cross Hole, Cono Sísmico o Bender Element, que permitan determinar la velocidad de viaje de las ondas de corte en cada estrato. - Curvas dinámicas de degradación de Módulo (G/Gmax) y Amortiguamiento (β) vs. Deformación angular (γ): Definidas a partir de los ensayos de Columna Resonante para deformaciones entre 10-4 a 10-2% y Triaxial Cíclico para deformaciones entre 10-2 y 5%. En casos generales pueden emplearse curvas como las definidas por Dobry (1981) según el índice de plasticidad (Figura 4-5) o aquellas de los estudios de microzonificación de ciudades. En el caso de la Microzonificación Sísmica de Bogotá (1997), se definieron las curvas dinámicas mostradas en la Figura 4-6.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-14.

(23) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 25. 1 0,9. IP = 0 20. 0,8. G/Gmax. 15. 0,6 0,5 0,4. IP = 100. 10. IP = 15 IP = 30. 0,2. IP = 50. 5. IP = 100 IP = 200 0. 0 0,0001. IP = 50 IP = 200. IP = 0. 0,3. 0,1. IP = 15 IP = 30. 0,7. 0,001. 0,01. γ(%). 0,1. 1. 10. 0,0001. 0,001. 0,01. γ(%). 0,1. 1. 10. 0,1. 1. 10. Figura 4-5 Curvas dinámicas de Dobry 25. 1. IP = 20%. 0,9 20. 0,8 0,7. G/Gmax. 0,6 0,5. 15. IP = 30%. 0,3. IP = 80%. 10. IP = 120% IP = 140%. IP = 100%. 5. IP = 120% IP = 140%. 0 0,0001. IP = 80% IP = 100%. IP = 40% IP = 60%. 0,1. IP = 40% IP = 60%. IP = 20%. 0,4. 0,2. IP = 30%. 0 0,001. 0,01. γ (%). 0,1. 1. 10. 0,0001. 0,001. 0,01. γ (%). Figura 4-6 Curvas dinámicas de la Microzonificación Sísmica de Bogotá 4.4.1.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS El uso del programa SHAKE 91 en los estudios de respuesta dinámica, puede tener la útil cuando se requiere una buena y rápida aproximación de los parámetros sísmicos en cualquier estrato. Adicionalmente, es apropiado cuando se tiene una topografía aproximadamente plana y cuando se conoce que los estratos son regulares y continuos en un medio semi-infinito. Sin embargo, cada estrato es completamente definido por el peso unitario total, la velocidad de onda de corte o el módulo de cortante máximo y las curvas de variación del Módulo de corte y Amortiguamiento vs. Deformación por corte, parámetros que son independientes de la frecuencia. Las curvas dinámicas de degradación de módulo de corte y de amortiguamiento vs. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-15.

(24) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Deformación por corte, por lo general, no se conocen con certeza para todos los estratos ni materiales, dado que estos ensayos demandan el uso de equipos costosos que no se encuentran en los laboratorios de la práctica geotécnica diaria. Esto da lugar al empleo de curvas que pueden resultar inapropiadas por admitir mayor o menor degradación del módulo de corte y/o mayor o menor amortiguamiento de la señal que viaja hasta la superficie. Por otro lado, su empleo no se considera conveniente cuando la topografía es ampliamente variable, debido a que el programa sólo considera el efecto de la propagación vertical de ondas en estratos horizontales semi-infinitos, dejando de un lado los efectos generados sobre una sección de topografía irregular y estratos no horizontales. 4.4.2 OTRAS HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES 4.4.2.1 QUAD 4M: (A Computer Program to Evaluate the Seismic Response of Soil Structures Using Finite Element Procedures and Incorporating a Compliant Base). Programa para la evaluación de la respuesta sísmica de estructuras de suelo usando procedimientos de elementos finitos incorporando una base trasmisora. QUAD4 fue escrito por Idriss, Lysmer Hwang and Seed en 1973, como un programa bidimensional para solución de la respuesta dinámica del subsuelo en el domino del tiempo. Permite discretizar el medio continuo (subsuelo) con elementos finitos cuadriláteros y triangulares interconectados por nodos comunes, en los cuales el subsuelo (roca y/o suelo) se modela con estado plano de deformaciones y comportamiento dinámico lineal equivalente. Utiliza elementos isoparamétricos para la formación de matrices de rigidez de cada elemento y el posterior ensamble de la matriz total del sistema. Una vez definidas las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, se procede a la solución de la ecuación de movimiento (Ecuación 4-10) empleando el método de la integración DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-16.

(25) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. numérica paso a paso. A partir de los desplazamientos obtenidos de la solución de la ecuación de movimiento, se calculan las deformaciones y los esfuerzos en cada una de los elementos para cada intervalo de tiempo y los valores máximos para un instante de tiempo durante la excitación sísmica. Evalúa la variación del módulo de corte y la relación de amortiguamiento mediante un procedimiento iterativo que finaliza cuando se logra una deformación compatible para valores de módulo de corte y amortiguamiento del suelo, obteniendo así los incrementos de esfuerzos, deformaciones y aceleraciones generadas por la carga dinámica o sísmica. La nueva versión de 1994, QUAD4M, incluye una base absorbente para reducir los errores que se generaban por amplificaciones inexistentes debidas al reflejo de ondas en las fronteras semi-infinitas inferior y lateral.. Adicionalmente incluye. coeficientes sísmicos, los cuales son usados en el análisis de la deformación. Tiene como ventaja el hecho de trabajar con el método de los elementos finitos y permitir análisis de tipo bidimensional.. Sin embargo, mantiene un modelo. constitutivo que no representa el comportamiento del suelo. Al igual que el SHAKE, cada estrato es completamente definido por el peso unitario total, la velocidad de onda de corte o el módulo de cortante máximo y las curvas de variación del Módulo de corte y Amortiguamiento vs. Deformación por corte. Las curvas dinámicas no se conocen con certeza y esto implica el uso de curvas impropias de los materiales, que pueden conducir a errores.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 4-17.

(26) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 5. HIPOPLASTICIDAD. 5.1. GENERALIDADES. La hipoplasticidad es un modelo constitutivo inelástico e incrementalmente no-lineal, el cual no requiere de una superficie de fluencia ni de la descomposición de la tasa de deformación en una porción elástica y otra plástica.. Tiene la habilidad de. describir comportamientos disipadores, flujos plásticos y efectos no-lineales dentro de la superficie de fluencia, con una simple ecuación tensorial. El concepto de hipoplasticidad fue introducido por D. Kolymbas (1977) aunque modelos similares habían sido tratados de forma independiente por diferentes investigadores. Kolymbas sugirió el nombre “hipoplásticos” para los modelos con rigidez tangencial que fueran función continua de la tasa de deformación, siendo el prefijo “hipo” justificable para aquellos modelos menos restrictivos que la elastoplasticidad. “La hipoplasticidad reconoce que las deformaciones inelásticas pueden presentarse desde el inicio del proceso de carga, sin distinguir a priori entre las deformaciones plásticas y las elásticas. La característica sobresaliente de la hipoplasticidad es que emplea una única ecuación que se mantiene para carga y descarga. Esta distinción entre carga y descarga es automáticamente consumada por la ecuación misma.”…“La familia de investigadores, encuentra que la hipoplasticidad es fácil de implementar en algoritmos numéricos y también fácil para ser comprendida.” “La ecuación constitutiva hipoplástica expresa el incremento del esfuerzo como una función dada por el incremento de la deformación y del esfuerzo y la relación actual de vacíos. En lugar de incrementos de esfuerzo y deformación, se habla de tasas de esfuerzo y deformación.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Se puede concebir la tasa de esfuerzo como un. Pag. 5-1.

(27) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. incremento obtenido en una unidad de tiempo.. Dado que el esfuerzo y la. deformación son cantidades tensoriales, la ecuación hipoplástica es una ecuación tensorial.”1 Como cualquier ecuación constitutiva, hay varias versiones de ecuaciones hipoplásticas, unas recientes y unas más avanzadas.. La ecuación original. hipoplástica fue publicada por D. Kolymbas en 1977 y luego versiones mejoradas fueron introducidas por algunos autores. En los años noventa, fueron desarrolladas numerosos trabajos en este campo por grupos de investigadores como el de la Techinical University of Karlsruhe, entre los cuales se encuentran los profesores A. Niemunis, G. Gudehus y D. Kolymbas. Los resultados por ellos alcanzados, han llevado a continuar con las investigaciones hacia diversas aplicaciones. La hipoplasticidad es un modelo que no ha sido derivado de leyes fundamentales o físicas, sino que se basa en datos experimentales, por lo que se considera de tipo fenomenológico. Adicionalmente, describe el comportamiento del suelo en términos de macro variables, como el esfuerzo o la relación de vacíos, considerándolo como un medio continuo para un acercamiento macro-mecánico que no describe el movimiento individual de las partículas.. 5.2. CONCEPTOS. 5.2.1 ECUACIONES TASA Tanto la teoría de la plasticidad como la de la hipoplasticidad, representan el esfuerzo como una función no integrable del incremento de la deformación.. dσ = f (dε ). Ecuación 5-1. Dividiendo estos incrementos entre dt, se obtienen tasas de tiempo.. 1. D. Kolymbas, Introduction to Hipoplasticity, 2000.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-2.

(28) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. .. .. σ = dσ dt , ε = dε dt. Ecuación 5-2. Las ecuaciones tasa representan la tasa del esfuerzo como una función de la tasa de la deformación, sin necesidad de una relación directa esfuerzo – deformación. Los modelos hipoplásticos emplean las ecuaciones tasa para representar su forma general. 5.2.2 NO-LINEALIDAD INCREMENTAL En la Figura 5-1 se presentan los procesos de carga y descarga y se observa la rigidez incremental del material representada como la relación δσ/δε. σ −δε. δσ δε. ε. Figura 5-1 Rigidez para los procesos de carga y descarga La no-linealidad incremental constituye un fenómeno que se presenta en los materiales inelásticos, en los cuales ⏐δσ⏐es mucho más largo durante descarga, dando lugar a que la función δσ = f(δε) sea no lineal y permanente en ε ó δε. No se relaciona con la forma de la curva esfuerzo deformación para el proceso de carga, aunque esta pueda ser lineal en pequeñas deformaciones. Las relaciones elastoplásticas e hipoplásticas de comportamiento de materiales, son incrementalmente no-lineales.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-3.

(29) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 5.3. LEY CONSTITUTIVA. La forma general de la ecuación constitutiva hipoplástica corresponde a o. Ecuación 5-3. T = h(T, D) Donde:. Tensor de esfuerzos objetivos ZAREMBA-JAUMAN, del tensor de. o. T:. esfuerzos de CAUCHY. Tensor de velocidad de deformación que describe las deformaciones.. D:. Cada función h(T,D) puede ser expresada acorde con la representación del teorema general.. h(T, D) = ψ 1 1 + ψ 2 T + ψ 3 D + ψ 4 T 2 + ψ 5 D 2 + ψ 6 (TD + DT) + ψ 7 (TD 2 + D 2 T) + ψ 8 (T 2 D + (DT 2 ) + ψ 9 (T 2 D 2 + D 2 T2 ). Ecuación 5-4. Donde:. ψi:. Funciones escalares de invariantes o puntos invariantes de T y D.. Esta función debe ser no-lineal en D para evitar los defectos de la hipoelasticidad, homogénea en D para describir materiales de tasa independiente y homogénea en. T para describir las trayectorias de esfuerzo proporcional en caso de trayectorias de deformación proporcional. La mayoría de las ecuaciones hipoplásticas consisten en cuatro términos tensoriales,. denominados. tensores. generadores,. combinados. con. cuatro. parámetros del material, denominados con las letras C1, C2, C3 y C4. Un ejemplo de estas es la ecuación propuesta por Wu y Kolymbas (1990).. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-4.

(30) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. tr ( TD) T2 T *2 2 T = C1 (trT ) D + C 2 − C3 trD + C 4 tr D 2 trT trT trT 1 T * = T − (tr T)1 3 o. Ecuación 5-5. Donde T* corresponde al esfuerzo desviador Estos cuatro parámetros del material son capaces de describir: - El ensayo triaxial, el cual caracteriza el decremento de la rigidez bajo cero hasta el estado límite y la curva de deformación volumétrica. - El comportamiento incrementalmente no-lineal - Las propiedades asintóticas reales, referidas a trayectorias proporcionales. Una forma alternativa de representar las ecuaciones constitutivas hipoplásticas consiste en resumir los términos lineales por LD, donde L equivale a un operador lineal aplicado al tensor de velocidad de deformación D, y los términos lineales por. N D que representa la parte no-lineal para carga y descarga, con D = trD 2 . La ecuación hipoplástica adopta la siguiente forma: o. T = L :D + N D. Ecuación 5-6. Donde:. D :. Norma del tensor D.. L, N:. Tensores constitutivos. Funciones del tensor de esfuerzos CAUCHY y de la relación de vacíos e. L es tensor de 4º orden y N de 2º orden.. La rigidez tangencial depende del tensor de velocidad deformación, representando así la no-linealidad incremental. o. T = T& + TW − WT. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Ecuación 5-7. Pag. 5-5.

(31) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. & : T. Tensor de esfuerzos de CAUCHY.. W:. Tensor de velocidad de giro, Tensor Spin.. (. 1 ∇v s − ∇ Ts 2. W=. ∇v s :. ). Ecuación 5-8. Gradiente de velocidad.. ∇v s =. D=. ∂v(x, t ) ∂x. (. 1 ∇v s − ∇ Ts 2. Ecuación 5-9. ). D = Dij Dij. Ecuación 5-10 Ecuación 5-11. Sin rotación de los ejes principales de deformación, D corresponde a la tasa de deformación logarítmica. Las funciones L(T,e) y N(T,e) son de gran importancia para la calidad de las predicciones del modelo hipoplástico.. L = fb fe. 1 ˆT ˆ F 2 I + a 2T ˆT : Tˆ. N = fd fb fe. Fa 2 ˆ ˆ * (T + T ) ˆ :T ˆ T. Ecuación 5-12. Ecuación 5-13. Τ trT. Ecuación 5-14. 1 ˆ* =T− 1 T 3. Ecuación 5-15. (Tˆ Tˆ ). Ecuación 5-16. ˆ= T. ijkl. = Tˆij Tˆkl. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-6.

(32) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. a=. 3 (3 − senϕ c ). Ecuación 5-17. 2 2 senϕ c. 2 − tan 2 ψ 1 1 2 F= tan ψ + − tanψ 8 2 + 2 tanψ cos 3θ 2 2 F:. Ecuación 5-18. Factor escalar dependiente de los esfuerzos. Derivado del criterio de falla de MATSOUKA-NAKAI.. ˆ* tan ψ = 3 T cos 3θ = − 6. Ecuación 5-19. ˆ* ⋅T ˆ* ⋅T ˆ *) tr (T. (Tˆ. *. ˆ*) :T. 3. Ecuación 5-20. 2. θ:. Ángulo de LODE. F=1. Para T * = 0 y compresión cilíndrica.. fd, fe. Funciones de la relación de vacíos e. Tiene en cuenta la influencia de la densidad falla en el comportamiento del material (Picnotropía).. ⎛e ⎞ fe = ⎜ c ⎟ ⎝e⎠. β. Ecuación 5-21. ⎛ e − ed ⎞ ⎟⎟ f d = ⎜⎜ ⎝ ec − e ⎠ fb:. α. Ecuación 5-22. Factor de barotropía. Considera la influencia de la presión media en el comportamiento del material.. ⎛e f b = ⎜⎜ i 0 ⎝ ec0. β. ⎞ hs 1 + ei ⎟⎟ ⎠ n ei. ⎛ trT ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ hs ⎠. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. 1− n. ⎡ ⎛ eio − e d 0 2 ⎢3 + a − a 3 ⎜⎜ ⎝ ec 0 − e d 0 ⎣⎢. ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦⎥. −1. Ecuación 5-23. Pag. 5-7.

(33) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. ec:. Relación de vacíos del estado crítico.. ed:. Relación de vacíos correspondiente a la máxima densificación mediante ciclos de corte. Relación de vacíos máxima obtenida de la compresión isotrópica de una. ef:. suspensión. Límite superior de la relación de vacíos posible en un esqueleto granular. el:. simple. Según BAULER (1996) las relaciones de vacíos ec, ed y ei, decrecen con el aumento del esfuerzo promedio ps de acuerdo con:. ⎡ ⎛ 3p ei e e = c = d = exp ⎢− ⎜⎜ s ei 0 e c 0 e d 0 ⎢⎣ ⎝ hs. hs:. Dureza granular.. ⎞ ⎟⎟ ⎠. n. ⎤ ⎥ ⎥⎦. Ecuación 5-24. Valor de escala de esfuerzos; única variable. dimensional de la hipoplasticidad. Presión de referencia independiente de la presión. n, α, β:. Constantes del material, determinadas a partir de ensayos.. ec0, ed0 y ei0: corresponden a ec, ed y ei para un esfuerzo promedio ps = 0. Constantes de material que dependen de la granulometría.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-8.

(34) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. e. ei0. ei. ec0. ec. ed0. ed. ps/hs 10 -7. 10 -3. 10. Figura 5-2. Funciones relaciones de vacíos. 5.4. VALORES REPRESENTATIVOS DEL MATERIAL Y DETERMINACIÓN. La ecuación para la ley constitutiva hipoplástica requiere de ocho (8) constantes del material correspondientes a ϕc, n, hS, ec0, ed0, ei0, α y β, para los cuales a continuación se presentan las relaciones de cálculo y se describe la forma de determinación a partir de ensayos de laboratorio (Tabla 5-1). Tabla 5-1 Determinación de parámetros hipoplásticos a partir de ensayos de laboratorio VALOR REPRESENTATIVO. UNIDAD. ENSAYO. ed0 ec0. (º) (MPa) -. ei0. -. α. -. β. -. Cono de arena Compresión edométrica Compresión edométrica Densidad Densidad Experimental (Relacionado con ec0) Triaxial CD Corte Directo Compresión edométrica. ϕc hs n. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. RANGO DE VALORES 25 – 40 10 - 50000 0.1 – 0.4 0.2 – 1.0 0.4 – 1.5 0.2 – 1.0 1.0 – 4.0 1.0 – 4.0. Pag. 5-9.

(35) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 5.4.1 ANGULO DE FRICCIÓN INTERNO El ángulo de fricción crítico ϕc, se determina a partir de un ensayo de cono de arena (Figura 5-3) y representa el ángulo en estado de reposo del material cuando las fuerzas de cohesión son despreciables y depende en su mayoría del tamaño del grano.. ϕc. Figura 5-3 Determinación del ángulo de fricción interna ϕc. 5.4.2 CONSTANTE PROPORCIONAL A LA COMPRESIÓN EJERCIDAD POR EL MATERIAL Esta constante proporcional a la compresión que ejerce el material se obtiene mediante un ensayo edométrico de velocidad constante y su cálculo está dado por la Ecuación 5-25 y Ecuación 5-26. p s1. e. ep1. e p2. ln pr 1. p s2. C c1 1 Cc2. Figura 5-4 Curva de compresión (Herle, 2000). DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-10.

(36) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. ⎛ e p C c2 ln⎜ 1 ⎜e C ⎝ p 2 c1 n= ⎛ ps2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p s1 ⎠. C=. ∆e ⎛ p ∆ ln⎜⎜ s ⎝ p s0. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ecuación 5-25. ⎞ ⎟⎟ ⎠. Ecuación 5-26. 5.4.3 DUREZA DEL GRANULADO La dureza del granulado se obtiene de un ensayo edométrico, a partir de la Ecuación 5-27, para cualquier valor del índice de compresión λ, dentro del rango. p s1 ≤ p s ≤ p s 2 . ⎛ ne p hs = 3 p s ⎜⎜ ⎝ Cc. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. 1 n. Ecuación 5-27. 1.E+06. n=0.5 n=0.4 n=0.3 n=0.2 n=0.1. hs /ps. 1.E+05. 1.E+04. 1.E+03 0.001. 0.01. Cc. 0.1. Figura 5-5 Determinación de la relación hs/ps. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-11.

(37) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 5.4.4 RELACIONES DE VACÍOS LÍMITE La relación de vacíos máxima ec0 está relacionada con el estado crítico y definida bajo presión nula, lo que impide su directa medición. Experimentalmente se ha encontrado que ec 0 ≈ e max , donde emax permite una buena correlación con la granulometría del material, en cuanto al tamaño de los granos y angularidad. La relación de vacíos mínima ed0, se determina a partir de ensayos de corte cíclico, a presión constante y para pequeñas amplitudes. Se considera que e d 0 ≈ e min . La máxima relación de vacíos para presión nula ei0 se obtiene mediante un ensayo de consolidación isotrópica de una suspensión granular en un espacio sin gravedad. Se considera que ei 0 ≈ e c 0 . 5.4.5 EXPONENTE α Se obtiene mediante un ensayo triaxial estándar. En la Figura 5-6 se muestra la relación entre α, ϕp, y ϕc para diferentes valores de presión dependiente de la densidad relativa, r. En esta, ϕp corresponde a la fricción pico. En forma general se observa que la diferencia entre ϕp y ϕc aumenta con el incremento de r que a su vez es controlado por el exponente α. r e=0.1. r e=0.2 0.25. 0.20. ϕ=28°. ϕ=30° ϕ=32°. 0.15. ϕ=34°. ϕ=34°. α. α. ϕ=32° 0.10. ϕ=28°. 0.20. ϕ=30°. 0.15. 0.10. ϕ=36° 0.05. ϕ=36°. 0.05. 0.00. 0.00 25. 35. ϕ p(°). 45. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. 55. 25. 35. ϕ p(°). 45. 55. Pag. 5-12.

(38) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. r e=0.3. r e=0.4 0.50. 0.40. ϕ=28°. ϕ=28°. 0.40. ϕ=30°. 0.30. ϕ=34°. 0.20. ϕ=30° ϕ=32°. 0.30. ϕ=34°. α. α. ϕ=32°. 0.20. ϕ=36° 0.10. ϕ=36°. 0.10. 0.00. 0.00 25. 35. ϕ p(°). 45. 55. 25. 35. ϕ p(°). 45. 55. Figura 5-6 Relación entre α, ϕp, y ϕc para diferentes valores de r (Herle, 2000) 5.4.6 EXPONENTE β El exponente β se obtiene a partir de un ensayo de compresión isotrópica, a partir del módulo de rigidez E, bajo presión media y relación de vacíos a material suelto y denso (e1 y e2). Calculado por medio de la Ecuación 5-28 y la Ecuación 5-29 o mediante un ensayo de compresión edométrica para arenas, en el cual β ≅ 1 .. 5.5. ⎛ E ⎞ ln⎜⎜ β o 2 ⎟⎟ E1 ⎠ β= ⎝ ⎛e ⎞ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ e2 ⎠. Ecuación 5-28. 3 + a2 − a 3 fd1 βo = 3 + a2 − a 3 fd 2. Ecuación 5-29. DEFORMACIÓN INTERGRANULAR. La deformación intergranular (h) es una variable de estado que representa la deformación de una interfase entre las partículas de suelo. Propuesta por Niemunis y Herle (1999) con el fin de mejorar el desempeño de las ecuaciones hipoplásticas en el rango de los ciclos de carga pequeños.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-13.

(39) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Cuando los suelos son cargados con pequeños ciclos de deformación, reaccionan de manera aproximadamente elástica.. En la ley constitutiva hipoplástica las. deformaciones se acumulan de una manera muy fuerte cuando se aplican pequeños ciclos de carga y en el caso de ciclos no drenados, se obtiene un incremento muy alto en la presión de poros. En estos casos la influencia de la precarga no re reproduce apropiadamente. Es así como el concepto de deformación intergranular pretende extender la hipoplasticidad y perfeccionar el comportamiento de las pequeñas deformaciones, luego de los cambios de dirección en la curva esfuerzo deformación. En la Figura 5-7 se representa el caso particular de deslizamiento a través de superficies de contacto, en las cuales, a nivel micromecánico, se presentan deformaciones de gran consideración en la zona de interfase. El área sombreada corresponde a la zona de interfase. En el comienzo se tiene h = 0 en la Figura 5-7-a la zona de interfase no se deforma y se inicia con una tasa de deformación D =-1. Mientras la deformación continua, la deformación intergranular es envuelta a h =-R (Figura 5-7-b) y simultáneamente ocurre el deslizamiento de los granos.. Al. continuar, esta deformación de la zona de interfase alcanza su valor máximo h = -R y h& = 0 .. Una deformación adicional del volumen representativo es debida al. deslizamiento y reordenamiento de los granos.. Luego del estiramiento D = 1. (Figura 5-7-c), un micro-rebote se observa. Al comienzo la deformación sólo se concentra en la interfase. Acorde con el modelo, en la interfase cada rebote dura. h ⋅ D ≤ 0 (Figura 5-7-d). Finalmente h se aproxima al límite h = R sobre el lado opuesto (Figura 5-7-e). a) D=0. b) D=-1. c) D=+1. R h=0 h=0. d) D=+1. e) D=+1 <R. R h=R h=0. h=R h=D. h=0 h=D. 0<h<R 0<h<D. Figura 5-7 Interpretación de la deformación intergranular como la deformación por corte entre dos granos Ahora, la relación esfuerzo-deformación se formula en forma general, de la siguiente DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-14.

(40) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. manera: o. Ecuación 5-30. T =M :D Donde:. M:. Tensor de rigidez tangencial, de cuarto orden.. D:. Tensor de deformación de segundo orden.. El tensor M es calculado de los tensores hipoplásticos L(T,e) y N(T,e), que son adecuadamente incrementados, dependiendo de ρ y ĥ : D . La idea básica de la extensión matemática a la deformación intergranular, es modificar los términos L y N que son independientes de la dirección de la deformación, de tal manera que la rigidez entre hiperelástico e hipoelástico sea escalada.. Esto se logra mediante los multiplicadores escalares mT y mR en. dependencia del ángulo entre la deformación intergranular h y la tasa de deformación D. La rigidez, con la extensión de la deformación intergranular, es dada de la siguiente manera:. ⎧⎪ ρ χ (1 − mT )L : hˆ hˆ + ρ χ Nhˆ ; hˆ : D > 0 M = ρ mT + (1 − ρ )m R L + ⎨ χ ⎪⎩ ρ (m R − mT )L : hˆ hˆ ; hˆ : D ≤ 0. [. χ. χ. ]. Ecuación 5-31. ρ puede calcularse como:. ρ= hR. Ecuación 5-32. o. Y el tensor h :. ⎧⎪(1 − hˆ hˆ ρ β r ) : D h=⎨ ⎪⎩D o. &ˆ& : D > 0 para h &ˆ& : D ≤ 0 para h. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Ecuación 5-33. Pag. 5-15.

(41) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. El parámetro χ controla constitutiva. el desarrollo de ĥ para un hˆ : D > 0 .. viscohipoplástica,. la. deformación. intergranular. En la ecuación es. considerada. únicamente en la parte correspondiente al desarrollo de D y no en la parte viscosa. Dvis. Para de la extensión de la hipoplasticidad a la deformación intergranular se requieren cinco (5) parámetros; tres (3) de estos, correspondientes al tamaño del rango elástico (R) y las tasas de rigidez característica (mR, mT), tienen un claro significado físico y pueden obtenerse de medidas directas. Los dos (2) parámetros restantes (βr, χ) describen las transición entre la curva de deformación inversa y el estado SOM y pueden correlacionarse con la tasa de acumulación de deformación. 5.5.1 DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DEL MATERIAL Niemunis (2002) hace una descripción para la determinación de las constantes del material y a continuación se describen algunas de las consideraciones más importantes hechas por el autor en mención. El parámetro R puede ser obtenido de manera sencilla a partir de las curvas esfuerzo-deformación obtenidas para ensayos estáticos o dinámicos con curvas inversas. Para determinar las constantes mT y mR se debe considerar un proceso de deformación con D constante sobre una gráfica de deformación suficientemente corta, siendo la rigidez hipoplástica restante aproximadamente constante.. E hip = L + f d ND. Ecuación 5-34. En la Figura 5-8 se presentan tres (3) ensayos para ser comparados, con igual tasa de deformación D y para un mismo estado inicial en T y e, en la cual la rigidez de referencia se denomina E0 y el punto de inicio se denota con un asterisco (*). La deformación intergranular h debe ser diferente para las tres (3) muestras, debido a que tienen el mismo punto de inicio, pero diferente historia de deformación. En la parte más alta de la Figura 5-8 se muestra como la rigidez monotónica E0, cambia lentamente.. La rigidez análoga ET, luego de ser invertida 90º en la gráfica de. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-16.

(42) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. deformación, es inicialmente mucho más alta. La rigidez ER para un estado dado de. T y e, corresponde a una inversión de la deformación en 180º. Es así como las constantes mT y mR pueden determinarse directamente.. mT =. ET. mR =. ER. Ecuación 5-35. E0. Ecuación 5-36. E0. El parámetro βr, en la evolución de la deformación intergranular y puede correlacionarse con la deformación εSOM, la cual corresponde a la longitud de la curva de deformación. La rigidez puede expresarse entonces como:. ⎧m R E0 (= E R ) E=⎨ χ ⎩E0 + E 0 (m R − 1)(1 − ρ ). para ε < R. Ecuación 5-37. para ε > R. q ER. E = p. q. dT dε. E R= m E 0 R. 0.1( ER E 0 ). ET. E0. p. ε SOM E T= m E T 0. q E0. E0 p. 0. ε SOM. ln ε. Figura 5-8 Valores característicos de rigidez para la calibración del modelo La dependencia de ρ y h puede ser encontrada para ε > R de la Ecuación 5-32 y la DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-17.

(43) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Ecuación 5-33 con trayectoria monotónica unidimensional. ecuación para las condiciones de borde ρ. (. χ. ε =R. =0 y ρχ. ε = ε SOM. Diferenciando la. = 0 , se tiene:. ). ∂ρ 1 − ρ β r = R ∂ε. Ecuación 5-38. En la Figura 5-9 se presenta la solución de la Ecuación 5-38 para diferentes valores de χ. 1. r. 0.1. 0.01. χ = 10. χ=8. χ=6. χ=4. χ=2. χ=1. 0.001 1. 10. εSOM/R. 100. Figura 5-9 Correlación de βr vs. εSOM/R para diferentes valores de χ El parámetro χ(χ−1) describe la degradación de la rigidez desde ER a E0 durante la deformación monotónica. La Ecuación 5-31 provee una suave transición desde. ER(= mR) a la rigidez fundamental ER = L ± N como ρ envuelve desde 0 a 1. De un modelo unidimensional como el mostrado en la Figura 5-10, correspondiente a un ensayo cíclico con una pequeña amplitud de deformación, denominada εA, se calibrar el parámetro χ.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-18.

(44) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. h, ε. ε. 2 εA. hi ni h,. 2hA t. Figura 5-10 Evolución de h para ciclos de deformación con amplitud εA. El esfuerzo acumulado después de un ciclo de amplitud εA, con T y e constantes, para una rigidez de referencia aproximadamente constante, depende de χ y βr y puede expresarse como:. ∆T acum = 2NR∫. ρA. 0. ρχ dρ 1− ρb r. Ecuación 5-39. La deformación intergranular máxima durante cada ciclo de deformación corresponde a hA = RρA.. De la Ecuación 5-32 y la Ecuación 5-33 se puede. encontrar la relación entre ρA y εA.. 2. εA R. − ρA − ∫. ρA. 0. dρ =0 1 − ρ βr. Ecuación 5-40. En la Figura 5-11 se presenta la solución gráfica de la Ecuación 5-39 y la Ecuación 5-40 en función de βr.. Para encontrar χ puede mantenerse un ensayo de. deformación cíclica, medir el esfuerzo acumulado (∆Tacum) y para este, el valor de χ correspondiente en la Figura 5-11.. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-19.

(45) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 10. 0.1 0.01. =1 =2 =4 =6 =8 = 10. ∆Τ acum. χ χ χ χ χ χ. 1. 2 Ν R. 1 χ χ χ χ χ χ. 0.1. 0.01. =1 =2 =4 =6 =8 = 10. β r = 0.5. β r = 0.05. 0.001. 0.001 0. 10. 20. 20. 40. 50. 0. 2 εA R. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 εA R. Figura 5-11 Relación entre la amplitud de deformación doble normalizada y el esfuerzo acumulado en la mitad de un ciclo de deformación, para diferentes χ.. 5.6. ALGORITMO DE CÁLCULO. A continuación se presenta el algoritmo de cálculo como de diagrama de flujo, para la descripción del comportamiento de material con. hipoplasticidad, el cual fue. presentado por Niemunis (2000).. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-20.

(46) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. Inicio - Parámetros del suelo: ϕ c , h s , n , e d0 , e co , α, β - Parámetros de deformación intergranular: m R , m T, R , βr, χ - Tensor de deformación intergranular: h - Tensor de esfuerzos y relación de vacíos: T, e - Tensor de velocidad de deformaciones: D. 3 (3 − senϕ c ). a=. 2 2 senϕ c. kStep = i D = D : D,. F=. cos3θ = − 6. ˆ * ⋅T ˆ * ⋅T ˆ *) tr(T. [tr(Tˆ ⋅ Tˆ )] *. *. 3 2. α. ⎛ e − ed f d = ⎜⎜ ⎝ ec − ed. L = fb f e. ˆ* = T −1 T trT 3. 1 2 2 − tan2 ψ 1 − tan ψ + tanψ 8 2 + 2 tanψ cos3θ 2 2. ˆ*, tanψ = 3 T. h fs = s n. ˆ = T , T trT. ⎞ ⎟⎟ , ⎠. β. ⎛ ei ⎞ 1 + ei ⎜ ⎟ ⎝ e ⎠ ei. ⎛ 3 ps ⎜⎜ ⎝ hs. ⎞ ⎟⎟ ⎠. (. 1− n. ). 1 ˆT ˆ, F 2 I + a2 T ˆ T : Tˆ m. R. ⎡ ⎛ e − ed 0 ⎢3 + a 2 − a 3 ⎜⎜ i 0 ⎢⎣ ⎝ ec 0 − ed 0. N = f d fb fe. ⎞ ⎟⎟ ⎠. α. ⎤ ⎥ ⎥⎦. −1. (. Fa ˆ ˆ * T+T ˆ T : Tˆ. ). no. < 2. si o. T = LD + N D,. 1. e& = (1+ e)trD no. i = nStep si o. Ti +1 = T + T e i + 1 = e + e& Fin DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-21.

(47) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 1. h =. ρ=. h : h,. h: D. h⋅h. h R. N⋅h. h=. ,. h h. L: (h⋅h). f 1 = ρ χ m T + (1 − p χ ) m R f 2 = p χ (1 − m T ) f 3 = p χ ( m R − mT ) si. no. h:D > 0. M = f1 ⋅ L + f 2 ⋅ L : (h ⋅ h) + pχ N ⋅ h h& = ( I − hhρβ ) : D R. M = f1 ⋅ L + f3 ⋅ L : (h ⋅ h) h=D. Τ& = M : D h i+1 = h + h Fin 1. Figura 5-12 Diagrama de flujo para el cálculo de hipoplasticidad. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 5-22.

(48) MIC 2004-I-62 HIPOPLASTICIDAD Y VISCOHIPOPLASTICIDAD APLICADAS A LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SUBSUELO. 6. VISCOHIPOPLASTICIDAD. 6.1. LEY CONSTITUTIVA. Para describir el comportamiento de suelos finos arcillosos con partículas blandas, se. requiere. de. una. ley. constitutiva. con. propiedades. viscosas.. La. viscohipoplasticidad es capaz de describir los fenómenos de creep, relajación y dependencia de la velocidad. Esta ley constitutiva fue desarrollada por Niemunis mediante la modificación de la ley constitutiva hipoplástica. La diferencia fundamental con la anterior, se obtiene mediante el intercambio del término no lineal de la ecuación hipoplástica por un término de relajación.. De los factores escalares de la ecuación original, se. reemplazaron el factor de picnotropía (fe) y el factor de densidad (fd) por otro factor que depende del grado de sobreconsolidación OCR. Adicionalmente, el factor de barotropía (fb) fue cambiado y en lugar de la deformación lineal, se empleó una deformación logarítmica. La primera versión de esta ley constitutiva se publicó para el caso unidimensional por Niemunis y Krieg (1996).. Sin embargo, Niemunis amplió ley constitutiva. viscohipoplástica para el caso de las 3 dimensiones y realizó la implementación de la con deformación intergranular en un programa FORTRAN (1996).. En su. publicación del año 2002, Niemunis hace una descripción detallada de esta ley constitutiva. Debido a que la tendencia al creep del material depende, de manera extremadamente sensible, del grado de sobreconsolidación, Niemunis desarrolló un algoritmo numérico especial (1996).. DIANA KATHERINE REYES SUÁREZ. Pag. 6-1.