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Estudio teórico de fuerzas en pinzas ópticas

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Academic year: 2020

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Estudio Te´

orico de

Fuerzas en Pinzas

´

Opticas

Tesis ©INAOE 2020 Derechos Reservados

El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes mencionando la fuente.

(3)

Estudiante:

Manuel Alberto Mart´ınez Ruiz

JURADO

Dr. Julio Cesar Ram´ırez San Juan

Sinodal.

Dr. Ulises Ruiz Corona

Sinodal.

Dr. Victor Manuel Arriz´

on Pe˜

na

Sinodal.

Dr. Rub´

en Ramos Garc´ıa

(4)

Para: Elida, Estela y Paula mis tres

mam´

as; mis hermanas, mi familia, mis

(5)

Agradecimientos

Agradecer a una sola o a unas pocas personas siempre resulta muy dif´ıcil, ya que todos los que nos rodean merecen ser participes de nuestra gratitud por moldear, corregir y dar sentido a nuestra vida. Si olvido a alguien o no lo menciono es por falta de l´ıneas m´as no por falta de gratitud, empero existen personas que destacan de las dem´as por haber sido mas constantes en el periodo de gestaci´on de este proyecto llamado maestr´ıa.

En primer lugar, me gustar´ıa dar un agradecimiento especial a mi asesor el Dr. Rub´en Ramos Garc´ıa por su infinita paciencia, atenci´on y por toda la ayuda que me brind´o desde incluso antes del inicio de esta tesis y por cada uno de los momentos compartidos y de camarader´ıa dentro y fuera del entorno educativo, as´ı como por haberme dado la oportunidad de trabajar en un entorno internacional con los mejores en el ´area de atrapamiento ´optico y ampliar mi visi´on de la vida en todos los ´ambitos, nunca olvidar´e esta experiencia que me dio madurez personal y profesional. El m´as profundo agradecimiento y dedicatoria de esta tesis a mi madre por todo su apoyo y confianza en todas las decisiones que he tomado en mi vida ya que sin sus consejos no podr´ıa haber llegado a este punto de mi existir.

A mis abuelos por ser el apoyo m´as sincero que tengo, a mis hermanas por todos los momentos juntos y a toda mi familia por ser los pilares que me han mantenido estoico en la vida.

A Ana por cada uno de los momentos que hemos compartido, por todos los que est´an por venir y por ser mi apoyo en los momentos m´as dif´ıciles.

A Alhan, Irving y Jeshua por cada uno de los momentos de regocijo que hemos compartido a lo largo de casi una d´ecada, ustedes tambi´en son parte de mi familia.

A mis amigos del INAOE por la fraternidad desarrollada en especial a los tres mosqueteros porque fuimos inseparables y ello nos ayudo a no a claudicar a pesar de todo.

Al INAOE y a cada uno de los profesores por la formaci´on profesional brindada a lo largo de estos a˜nos.

A la Profesora Halina Rubinsztein-Dunlop por darme la oportunidad de colaborar con su grupo que es uno de los mejores a nivel mundial, fue una experiencia ´unica.

Y finalmente a cada una de las personas que me brindaron su amistad y confianza e hicieron de estos dos a˜nos una experiencia inolvidable.

(6)

´

Indice general

P´agina

1. Prefacio 1

1.1. Antecedentes . . . 1

1.2. Pinzas ´Opticas . . . 2

1.3. Motivaci´on . . . 5

1.4. Estructura de la Tesis . . . 6

2. Campos Electromagn´eticos 7 2.1. Cambios de Norma y Momentos Transversales . . . 7

2.2. Vectores Base Tansversales El´ectricos y Transversales Magn´eticos . . . 12

2.2.1. Modos Transversales El´ectricos . . . 14

2.2.2. Modos Transversales Magn´eticos . . . 16

3. Ondas Esf´ericas Vectoriales 21 3.1. Arm´onicos Esf´ericos Vectoriales . . . 21

3.2. Expansi´on de Ondas Planas en T´erminos de Ondas Esf´ericas . . . 26

3.3. Funciones de Ondas Esf´ericas Vectoriales . . . 31

3.3.1. Propiedades . . . 32

3.3.2. Funciones de ondas esf´ericas vectoriales regulares sin singularidad . . 38

(7)

4.0.4. Esfera Diel´ectrica . . . 45

4.1. El M´etodo de Matriz T . . . 47

4.2. Fuerza y torque . . . 49

5. Simulaci´on y Resultados 51 5.1. Atrapamiento con Machine Learning . . . 51

5.1.1. Part´ıcula con radior= 0,1µm . . . 52

5.1.2. Part´ıcula con radior= 0,3µm . . . 53

5.1.3. Part´ıcula con radior= 1µm . . . 54

5.2. Atrapamiento usando el “Optical Tweezers Toolbox” . . . 56

5.2.1. Haces Gaussianos . . . 57

5.2.2. Haces Laguerre Gaussianos . . . 57

5.2.3. Haces Hermite Gaussianos . . . 58

5.2.4. An´alisis . . . 59

5.2.5. Contribuci´on . . . 59

6. Conclusiones 63 A. Polinomios de Bessel 65 A.1. Funciones Hankel . . . 68

A.2. Funciones Bessel Esf´ericas . . . 69

A.3. Funciones Hankel Esf´ericas . . . 72

A.4. Representaciones . . . 72

A.4.1. Funciones Bessel . . . 72

A.4.2. Representaci´on Integral . . . 73

(8)

C.1. Introducci´on . . . 81

C.2. Arm´onicos Esf´ericos Vectoriales . . . 82

C.3. Valores Espec´ıficos de Argumentos y Orden . . . 84

C.4. Operaciones Vectoriales conAτ lm(br) . . . 85

C.5. Ortogonalidad y Completez . . . 87

D. Teorema de Adici´on de los Polinomios de Legendre 89 D.1. F´ormulas de Transformaci´on . . . 90

(9)
(10)

´

Indice de figuras

1.1. Aceleraci´on de part´ıculas . . . 3

1.2. Fuerzas sobre la part´ıcula . . . 3

1.3. Atrapamiento de part´ıculas en potencial estable . . . 4

1.4. a) Fuerzas sobre la part´ıcula, b) Atrapamiento de part´ıculas en potencial estable por un s´olo haz . . . 4

3.1. Descomposici´on de ondas planas en ondas esf´ericas por esparcimiento . . . 27

4.1. Esparcimiento por una Part´ıcula esf´erica . . . 42

4.2. Comportamiento lineal de la trampa cerca de la posici´on de equilibrio . . . 50

5.1. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 52

5.2. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 52

5.3. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 53

5.4. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 53

5.5. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 54

5.6. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 54

5.7. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 54

5.8. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 55

5.9. a) n=1.34, b) n=1.67 c) n=2 . . . 55

5.10. Perfil de Intensidad de Haces Gaussianos, Laguerre-Gaussianos y Hermite-Gaussianos Respectivamente . . . 56

(11)

5.12. Gr´aficas de eficiencia axial y radial de atrapamiento . . . 57

5.13. Gr´aficas de eficiencia axial y radial de atrapamiento . . . 58

5.14. Gr´aficas de eficiencia axial y radial de atrapamiento . . . 58

5.15. Gr´aficas de eficiencia axial y radial de atrapamiento . . . 59

5.16. Gr´aficas de eficiencia axial y radial de atrapamiento . . . 59

5.17. a)Haces Mathieu de orden cero con elipticidad q=1, q=5, q=10, q=80; b) Haces Mathieu pares de con elipticidad q= 50 and m=0, m=2, m=8, m=20; c) haces Mathieu impares con elipticidad q=50 and m=1, m=4, m=8, m=20; d) haces Mathieu helicales con elipticidad q= 50 and m=1, m=4, m=8, m=20 . . . 60

5.18. Haces Mathieu generados por el toolbox . . . 61

5.19. Regiones de atrapamiento generadas por los haces Mathieu . . . 62

A.1. Gr´afica de Funciones Bessel . . . 68

A.2. Gr´afica de Funciones Hankel de Primer Orden . . . 69

A.3. Gr´afica de Funciones Hankel de Segundo Orden . . . 70

A.4. Gr´afica de Funciones Bessel Esf´ericas de Primer Orden . . . 71

A.5. Gr´afica de Funciones Bessel Esf´ericas de Segundo Orden . . . 72

A.6. Gr´afica de Funciones Hankel Esf´ericas de Primer Orden . . . 73

A.7. Gr´afica de Funciones Hankel Esf´ericas de Segundo Orden . . . 73

A.8. Contornos para Valores complejos . . . 74

A.9. Contornos para Valores reales . . . 74

B.1. Gr´afica de los Polinomios de Legendre . . . 80

B.2. Gr´afica de los Arm´onicos Esf´ericos . . . 80

C.1. Espacio de la esfera unitaria . . . 82

(12)

Resumen

En esta tesis se presenta un estudio unificado de la teor´ıa involucrada en el atrapa-miento ´optico, que pretende ser una gu´ıa comprensiva para estudiantes y/o profesores que en un futuro quieran o necesiten entrar al ´area de pinzas ´opticas.

Comenzando con una introducci´on hist´orica se procedi´o al estudio de los campos electro-magn´eticos y una b´usqueda de soluciones a las ecuaciones de Maxwell lo cual nos llev´o de manera natural a la definici´on de modos transversales el´ectricos y magn´eticos en funci´on de los arm´onicos esf´ericos vectoriales que son fundamentales para el estudio del esparci-miento de part´ıculas y permiten estudiar de manera m´as precisa este fen´omeno con el uso de la matriz T, la cual es socorrida por gran cantidad de cient´ıficos de la comunidad de atrapamiento y manipulaci´on ´optica.

Con ayuda del software M AT LABT M se simul´o el atrapamiento de part´ıculas, se cal-cul´o la matriz T y diversos par´ametros de inter´es con diferentes tipos de l´aser, aperturas num´ericas, entre otros, dando as´ı un estudio amplio y unificado de las fuerzas y dem´as variables involucradas en pinzas ´opticas.

Finalmente se presenta la inclusi´on de los haces Mathieu al “Optical Tweezers Tool-box”desarrollado por el grupo de micromanipulaci´on ´optica de la Universidad de Queens-land lo cual permitir´a estudiar a fondo las fuerzas en las trampas ´opticas generadas por este tipo de haces, algo no reportado hasta ahora.

Palabras ClaveOptica, Pinzas ´´ Opticas, Presi´on de Radiaci´on, Micromanipulaci´on ´ opti-ca, Haces Mathieu.

(13)
(14)

Abstract

This thesis presents a unified study of the theory involved in optical trapping, which aims to be a comprehensive guide for students and / or teachers who in the future want or need to enter the area of optical tweezers.

Starting with a historical introduction, we proceeded to the study of electromagnetic fields and a search for solutions to Maxwell’s equations, which naturally led us to the definition of electric and magnetic transverse modes based on the vector spherical harmonics that are fundamental for the study of particle scattering and allow this phenomenon to be studied more precisely with the use of the T matrix, which is used by a large number of scientists from the optical entrapment and manipulation community.

With the help of the M AT LAB software, particle trapping was simulated, the T matrix and various parameters of interest were calculated with different types of lasers, numerical apertures, among others, thus giving a comprehensive and unified study of the forces and other variables involved in optical tweezers.

Finally, the inclusion of the Mathieu beams to the “ Optical Tweezers Toolbox ” develo-ped by the optical micromanipulation group of the University of Queensland is presented, which will allow to study in depth the forces in the optical traps generated by this type of beams, something not reported so far.

KeywordsOptics, Optical tweezers, Radiation Pressure, Optical micromanipulation, Mat-hieu beams.

(15)
(16)

Cap´ıtulo 1

Prefacio

1.1.

Antecedentes

La ´optica tiene or´ıgenes en el antiguo Egipto, ya en el libro del ´exodo se hace menci´on de espejos fabricados con metales pulidos, desde entonces se ha intentado dar diferentes aplicaciones a luz. Personajes importantes de la historia como Pit´agoras, Euclides, Alha-zen, Lippershey y Newton dedicaron gran parte de sus vidas al estudio de la misma, sin embargo, s´olo lograron el tratamiento de la luz considerando su propagaci´on en forma de rayos.

Muchos efectos como el observado por Francesco Mar´ıa Grimaldi, en el cual dejaba que pe-netrara la luz del Sol a un cuarto obscuro a trav´es de un peque˜no agujero en una cartulina para despu´es pasar esta luz a trav´es de otra cartulina perforada, llevaron al descubri-miento de que la luz proyectaba una mancha mayor que la esperada si la propagaci´on de la luz fuera rectil´ınea como lo considera la ´optica de rayos. ´El fue el primero en acu˜nar a este fen´omeno f´ısico con el nombre de difracci´on, este y otros fen´omenos descubiertos posteriormente no pod´ıan ser explicados considerando la luz propagandose de esa manera, dichos experimentos fueron estudiados tambi´en por Robert Hooke y Thomas Young entre otros notables cient´ıficos, los cuales, a pesar del rechazo de la comunidad cient´ıfica de la ´

epoca, terminaron por formular una teor´ıa para explicarlos, en ella se consideraba a la luz como una onda propagandose en el ´eter.[1]

La naturaleza ondulatoria de la luz qued´o reafirmada cuando Maxwell present´o su trabajo resumido en 4 ecuaciones que unificaban los campos el´ectricos y magn´eticos, demostran-do as´ı que la luz es una onda electromagn´etica propagandose en un medio invisible que era el ´eter, empero, en 1887 Michelson y Morley realizaron un experimento que lleva su nombre con el cual demostraron que dicho medio no exist´ıa. Pero a´un hab´ıa fen´ ome-nos que no pod´ıan explicarse, hasta que Einstein y su descripci´on del efecto fotoel´ectrico

(17)

as´ı como Planck y la catastrofe ultravioleta motivaron el desarrollo de la teor´ıa cu´antica. La cual explicaba fen´omenos que s´olo pudieron ser comprobados con cuando el l´aser fue inventado.[2].

Con la invenci´on del m´aser en 1953 y el l´aser en 1960[3] la ´optica ha evolucionado de manera din´amica, ya que este invento es la piedra angular de la ´optica moderna desde telecomunicaciones hasta la ´optica cu´antica.

El uso del l´aser es tan diverso que ha motivado la escritura de diversos art´ıculos, libros y tratados encontrando siempre nuevas e interesantes aplicaciones en el campo de la ´optica, uno de los avances m´as vanguardistas es implementaci´on del l´aser para modelar estados cu´anticos y semi cl´asicos[4].

De todos los fen´omenos observados con el l´aser existe uno que fue observado tan s´olo unos a˜nos desp´ues de su invenci´on y hasta nuestros d´ıas sigue siendo objeto de estudio para la ciencia, este fen´omeno es tan importante que le vali´o el nobel a Arthur Ashkin en 2018 [5]. Gracias a la gran capacidad para manipular part´ıculas con alta precisi´on al ya mencionado fen´omeno se le ha dado el nombre de pinzas ´opticas.

1.2.

Pinzas ´

Opticas

El primero en sugerir que la luz ejerc´ıa presi´on sobre ciertos objetos fue Johannes Ke-pler quien dec´ıa que la cola de los cometas pod´ıa deberse a la presi´on de los rayos solares ya que siempre apuntaban al sol sin importar la direcci´on de movimiento de ´estos, sin embargo tiempo despu´es se demostr´o que esto se debe al viento solar. M´as tarde cuando Maxwell desarrollo su teor´ıa electromagn´etica se demostr´o que efectivamente la luz ejerce presi´on sobre los objetos.

En 1970 Ashkin report´o por primera vez en la historia[6] que al enfocar un l´aser de arg´on

T EM00 sobre una celda de vidrio llena de agua con part´ıculas de l´atex en su interior con

di´ametro del orden de micras, dichas particulas eventualmente eran atra´ıdas hacia el haz y simult´aneamente aceleradas en la direcci´on de propagaci´on del mismo (ve´ase figura 1.1). Ashkin describi´o este efecto usando la presi´on de radiaci´on, que si bien los efectos de la misma suelen verse obscurecidos por efectos t´ermicos (gradientes de temperatura en las vecindades del objeto), ´el logr´o hacerlo despreciable usando part´ıculas semi transparentes a la longitud de onda aplicada, por lo tanto la aceleraci´on de la part´ıcula pod´ıa explicarse usando la ´optica geom´etrica para describir la interacci´on de las part´ıculas con la luz inci-dente (figura 1.2)1.

Considerando una part´ıcula de ´ındice de refracci´onnH en aguanL= 1,33 de tal manera que nH > nL, sea B el eje de la esf´era, considerando al rayo que est´a m´as cerca del eje del haz c´omo el rayo fuerte (a) y al rayo m´as alejado del eje como rayo d´ebil (b) al entrar

(18)

Figura 1.1: Aceleraci´on de part´ıculas

Figura 1.2: Fuerzas sobre la part´ıcula

y salir de la esfera se tienen fen´omenos de reflexi´on y refracci´on dando como resultado fuerzas de reflexi´on de entrada (FI

R) y salida (FRO) y fuerzas de deflexi´on de entrada (FDI) y salida (FO

D) cuyas componentes axiales tanto para el rayo fuerte y d´ebil son canceladas, de manera que la fuerza resultante apunta en la direcci´on de +zgenerando el movimiento de la part´ıcula. Si se integra la componente perpendicular y paralela del haz sobre la esf´era se tendr´a unaq= 0,062 muy parecida a la encontrada por Debye[7] en su an´alisis de on-das en el l´ımite asint´otico, por lo tanto Ashkin pudo describir la velocidad de la part´ıcula usando la ley de stokes en medios viscosos tal que:

v= 2qP r 3πw2

(1.1)

El descubrimiento de la aceleraci´on de las part´ıculas motiv´o la interrogante sobre qu´e pa-sar´ıa si se aplican dos haces id´enticos pero con direcciones de propagaci´on opuestas. Ashkin desaroll´o tambi´en un experimento para resolver dicha interrogante que di´o como resultado el atrapamiento de la part´ıcula en un pozo de potencial de luz estable (figura 1.3) en el cual las part´ıculas pod´ıan ser transportadas y manipuladas sin necesidad de tocarlas y permaneciendo siempre en un equilibrio inestable, roto ´unicamente por la obstrucci´on de alguno de los haces.

(19)

Figura 1.3: Atrapamiento de part´ıculas en potencial estable

Figura 1.4: a) Fuerzas sobre la part´ıcula, b) Atrapamiento de part´ıculas en potencial estable por un s´olo haz

A˜nos despu´es, Ashkin[8] not´o que si la part´ıcula ten´ıa un alto ´ındice de refracci´on y el haz de luz era altamente enfocado, la fuerza gradiente, que es proporcional a la intensidad del haz, es tan grande que se logra un equilibrio con la fuerza de esparcimiento (figura 1.4 a)),es decir, un atrapamiento con un solo haz (figura 1.4b))2. Tambi´en descubri´o que

si se logra un equilibrio entre la fuerza de esparcimiento y la de gravedad se obtiene una trampa de levitaci´on ´optica.

El atrapamiento de part´ıculas o fen´omeno de pinzas ´opticas es el resultado de la acci´on de diversas fuerzas ´opticas (fuerza gradiente y fuerzas de esparcimiento, como absorci´on y reflexi´on) sobre una part´ıcula. Dichas fuerzas resultan de la transferencia de momento lineal y angular del haz de atrapamiento a dicha part´ıcula[9].

Dado que el estudio del atrapamiento ´optico se presenta en la brecha entre la ´optica geom´etrica y los reg´ımenes de esparcimiento de Rayleigh, una manera de estudiar ´este fen´omeno requiere el uso de la toer´ıa electromagn´etica de esparcimiento de Mie, la cual nos permite calcular las fuerzas involucradas de manera precisa evitando las aproximacio-nes al regimen de Rayleigh que se efect´uan regularmente.

(20)

1.3.

Motivaci´

on

El atrapamiento ´optico se ha convertido en un ´area crucial en ´optica y las ciencias biol´ogicas ya que permite la manipulaci´on singular o m´ultiple de diversos tipos de part´ıcu-las, lo cual ha resultado en grandes avances tanto en el entendimiento del esparcimiento que es la piedra angular de dicho fen´omeno, as´ı como en distintos campos de las ciencias naturales. Sin embargo, para cualquier estudiante que se quiere adentrar en este intere-sante campo de la ´optica resulta muy dif´ıcil e incluso casi imposible ya que los diversos art´ıculos existentes, as´ı como la inmensa cantidad de libros publicados en temas de espar-cimiento conllevan a un callej´on sin salida impidiendo un tratamiento adecuado de esta ´

area.

Mas a´un, las ecuaciones matem´aticas que describen el esparcimiento incluso para part´ıcu-las con geometr´ıa regular y que pueden ser consideradas como ideales, son tan complejas que deben hacerse demasiadas consideraciones f´ısicas y aproximaciones matem´aticas pa-ra tener expresiones explicitas que sean soluciones a problemas f´ısicos. Si se considepa-ran part´ıculas no ideales, es decir, con formas m´as complejas y con geometr´ıa irregular dichas ecuaciones se vuelven pr´acticamente irresolubles, la mayor´ıa de ellas tienen ´unicamente soluciones anal´ıticas.

Muchos cient´ıficos se propusieron dar soluci´on a esto, uno de los primeros precedentes fue el c´odigo desarrollado por Mishchenko[10], el cual pod´ıa de manera eficaz encontrar soluciones anal´ıticas a las ecuaciones de esparcimiento tanto para part´ıculas ideales como no ideales.

Si bien este c´odigo es eficiente para describir el esparcimiento de part´ıculas resulta ser incompleto para describir el atrapamiento ´optico, pero fue usado como referencia para desarrollar diferentes “Toolbox”por diversos grupos de micromanipulaci´on ´optica en el mundo como el presentado por Callegari[11] que describe el atrapamiento en el r´egimen geom´etrico. Aun as´ı, al considerar la implementaci´on de diferentes tipos de haces para atrapar part´ıculas se vuelve a complicar el estudio de las pinzas ´opticas.

La alternativa mas completa es el “Toolbox”desarrollado por el grupo de micromanipu-laci´on ´optica de la universidad de Queensland, si bien dicho c´odigo resuelve de manera anal´ıtica el atrapamiento ´optico, actualmente no existe ningun trabajo en el que se desarro-llen todas las expresiones matem´aticas y lo unifiquen con el uso de los codigos existentes. Es por ello que se motiva la creaci´on de una tesis de revisi´on te´orica de pinzas ´opticas, en la presente se estudia el atrapamiento ´optico desarrollando toda la matem´atica de la teor´ıa de esparcimiento y del m´etodo de matriz T lo cual reduce el an´alisis a una simulaci´on computacional usando el “toolbox”desarrollado por Nieminen et al[12].

En este trabajo tambi´en se aprendi´o a usar el toolbox ya mencionado y se hizo la anexi´on de diferentes c´odigos de matlab para su perfeccionamiento, dando como resultado un es-tudio unificado no presentado hasta ahora, dicho trabajo cont´o con la colaboraci´on del grupo de micromanipulaci´on ´optica de la Universidad de Queensland y la Profesora

(21)

Hali-na Rubinsztein-Dunlop.

En dicha colaboraci´on aparte del mejoramiento del toolbox, tambi´en se llev´o a cabo la inclusi´on de los haces Mathieu ya que al tener naturaleza adifraccional son interesantes para aplicarlos en micromanipulaci´on ´optica, por lo que ahora es posible modelarlos con los coeficientes de forma de haz para campo cercano y lejano, as´ı como las fuerzas involu-cradas las trampas ´opticas generadas por ellos.

Desde hace m´as de 15 a˜nos en el Instituto Nacional de Astrof´ısica ´Optica y Electr´onica se ha consolidado el grupo de pinzas ´opticas. Sin embargo siempre ha tenido cierta predilec-ci´on hacia el desarrollo experimental por lo que que el estudio de algunos fen´omenos se ha visto limitado por la falta de una teor´ıa bien desarrollada. Sirva la presente para subsanar la carencia de un buen modelo te´orico.

Si bien el contenido de la tesis resulta ser demasiado extenso, es apenas lo m´ınimo para poder adentrarse en este fascinante campo.

1.4.

Estructura de la Tesis

En el segundo cap´ıtulo se hace un estudio de los campos electromagn´eticos y de la ecuaci´on de Helmholtz, se hacen los cambios de norma que permiten llegar a la definici´on de modos transversales el´ectricos y magn´eticos en funci´on de los arm´onicos esf´ericos vec-toriales que son fundamentales para el desarrollo te´orico del esparcimiento.

En el tercer cap´ıtulo, usando los modos transversales el´ectricos y magn´eticos se hace una expansi´on de las ondas electromagn´eticas en t´erminos de funciones esf´ericas ya que al con-siderar part´ıculas en el r´egimen de Mie es mucho mas sencillo expresar al campo incidente (onda plana) y al campo esparcido como una expansi´on en serie de funciones de onda esf´ericas vectoriales.

Una vez encontradas las expresiones matem´aticas adecuadas, en el cuarto capitulo se hace un estudio del esparcimiento por diferentes tipos de part´ıculas. Con las expresiones de esparcimiento encontradas se hace el estudio del m´etodo de matriz T que es el mejor para estudiar esparcimiento en el r´egimen de Mie, ya que al ser intr´ınseca de la part´ıcula de estudio solo debe calcularse una vez.

Finalmente en el cap´ıtulo 5 se logra la relaci´on de las expresiones matem´aticas encontradas con la eficiencia de atrapamiento la cual es directamente proporcional a la fuerza trans-ferida del haz a la part´ıcula. Para su estudio se usa el toolbox de MATLAB desarrollado espec´ıficamente para pinzas ´opticas y se grafica la eficiencia como funci´on de la posici´on alrededor de la regi´on de equlibrio, se demuestra tambi´en que estas var´ıan dependiendo del haz usado y algunos otros par´ametros.

Al final de la tesis se presentan 4 extensos ap´endices con la intenci´on de que el lector no tenga necesidad de recurrir a mas textos para entender la presente, as´ı como tambi´en sirven como base a los resultados matem´aticos obtenidos.

(22)

Cap´ıtulo 2

Campos Electromagn´

eticos

El atrapamiento de part´ıculas mediante el uso de l´aseres altamente enfocados deton´o el estudio del fen´omeno de pinzas ´opticas. Un gran avance que se tuvo fue la implementaci´on de la teor´ıa de Mie, ya que como resultado de dichos avances pudo concluirse que es posible estudiar el atrapamiento ´optico de manera m´as sencilla como un problema de esparcimien-to, y si bien existen diferentes regimenes de estudio para el atrapamienesparcimien-to, el de Rayleigh es el m´as simple, el ´optico no es completo dadas las consideraciones y aproximaciones que hace, por lo que el de Mie es el m´as completo ello porque dicha teor´ıa permite el estudio del esparcimiento en part´ıculas esf´ericas cuyos di´ametros son comparables a la longitud de onda aplicada.

La Teor´ıa de Mie debe su nombre a un gran cient´ıfico de apellido hom´onimo del siglo XX Gustav Mie, ´esta permite el estudio del esparcimiento, el estudio de intensidades para po-der calcular el tama˜no de las part´ıculas y hace uso de los ´ındices de refracci´on y absorci´on del material, lo cual hace de ella una soluci´on completa a las ecuaciones de Maxwell para el esparcimiento en part´ıculas con di´ametro m´ınimo de 10nmde di´ametro que es el r´egimen en el cual dicho fen´omeno deja de depender de la direcci´on de incidencia de la luz. En este cap´ıtulo se encuentran las soluciones a las ecuaciones de maxwell que llevan de manera natural a la definici´on de los modos transversales el´ectricos y modos trasversales magn´eticos que sirven como base vectorial para representar a las ondas esf´ericas vectoria-les estudiadas en el siguiente cap´ıtulo.

2.1.

Cambios de Norma y Momentos Transversales

El efecto de un campo electromagn´etico sobre una part´ıcula o medio est´a regido por las ecuaciones de Maxwell, las cuales son

(23)

∇ ×E=−∂B

∂t (2.1)

∇ ×H=J+∂D

∂t (2.2)

∇ ·D=ρ (2.3)

∇ ·B= 0 (2.4)

Siendo (2.1) la ley de inducci´on de Faraday, (2.2) la ley de Ampere-Maxwell, (2.3) la ley de Gauss el´ectrica y (2.4) la ley de Gauss magn´etica.

Usando las siguientes relaciones vectoriales:

∇ · ∇ ×A= 0 (2.5) ∇ × ∇ϕ= 0 (2.6)

denominando aAcomo el potencial vectorial y aϕel potencial escalar. De la ecuaci´on (2.4) se obtiene

B=∇ ×A (2.7)

usando (2.7) en (2.1) tenemos

∇ ×E=−∂B

∂t =− ∂

∂t∇ ×A=⇒ ∇ ×E+ ∂

∂t∇ ×A= 0 (2.8)

factorizando tenemos

∇ ×

E+∂A

∂t

= 0 (2.9)

usando (2.6) proponemos

− ∇ϕ=E+∂A

∂t (2.10)

por lo tanto

E=−∇ϕ−∂A

∂t (2.11)

sustituyendo (2.7) y (2.8) en las ecuaciones (2.1) y (2.4), recordando adem´as queD=0E

yB=µ0H, aplicando el rotacional a la ecuaci´on (2.1), ´esta se convierte en:

∇∇ ·A− ∇2A+ 1

c2

∂ ∂t∇ϕ+

1

c2

∂2

∂t2A=µ0J (2.12)

que es la ecuaci´on de onda en t´erminos de los potenciales vectorial y escalar en su forma m´as general. Por otra parte, para la ecuaci´on (2.3) tenemos:

∇2ϕ+

∂t∇ ·A=− ρ 0

(24)

si a la ecuaci´on (2.12) imponemos la condici´on de Lorentz:

∇ ·A+ 1

c2

∂ ∂tϕ

= 0 (2.14)

tenemos entonces que la ecuaci´on se convierte en:

∇2A− 1

c2

∂2

∂t2A=−µ0J (2.15)

cuya soluci´on encontramos en la literatura y est´a dada por [13]

A(r, t) = µ0 4π

Z J(r’, t0)

|r−r’|d

3r’ (2.16)

siendo

t0=t−|r−r’|

c

el tiempo de retardo.

Considerado ahora que el campo electromagn´etico se encuentra en la norma de Coulomb, es decir

∇ ·A= 0 (2.17)

la ecuaci´on (2.13) toma la forma

∇2ϕ=ρ

0

(2.18)

que se conoce como la ecuaci´on de Poisson, cuya soluci´on tambi´en se haya en la literatura y es[13]

ϕ= 1

4π0

Z ρ(r’)

|r−r’|d

3r (2.19)

se sabe que el campo electromagnetico se representa como una onda, es decir, tenemos una direcci´on transversal y una longitudinal de propagaci´on[13], lo que se quiere hacer ahora es determinar si los potenciales representan alguna de estas componentes, para ello consideramos que la densidad de corriente Jse puede expresar como la suma de una par-te longitudinal y una parpar-te transversal (ecuaci´on 2.20). Para ello se usa el teorema de Helmholtz[14][15][16][17]

J=JT+JL (2.20)

Teorema de Helmholtz

Si tenemos una funci´on vectorial de posici´onF(r), F puede ser escrita en t´erminos del gradiente de una funci´on mas el rotacional de otra i.e.

(25)

imponiendo las condiciones ∇ ·JT = 0 ∇ ×JL = 0 y usando la ecuaci´on de continuidad

∇ ·J+ ∂

∂tρ= 0 (2.21)

encontramos que la ecuaci´on (2.15) tiene unicamente componente transversal, asi que toma la forma siguiente

∇2A 1

c2

∂t2A=−µ0JT (2.22)

por lo tanto la ecuaci´on (2.16) toma la forma

A(r, t) = µ0 4π

Z JT(r’, t0)

|r−r’| d

3r’ (2.23)

hasta ahora, las expresiones para los potenciales es en el caso est´atico, sin embargo, para el caso din´amico y con ayuda del teorema de Green tenemos que

A(r, t) = µ0 4πe

−iωt

Z eik|r−r’|JT(r’)

|r−r’| d

3r’ (2.24)

suponiendo ahora que de la misma manera que con la densidad de corriente el campo el´ectricoE se puede expresar como la suma de una parte longitudinal y una parte trans-versal, tenemos

E=ET +EL (2.25)

imponiendo las condiciones ∇ ·ET = 0 ∇ ×EL= 0 encontramos que

ET =−

∂tA (2.26) EL=−∇ϕ (2.27)

y

∇ ·EL= ρ

0

(2.28) JL=−0

∂tEL (2.29)

esto nos lleva a concluir que la parte longitudinal est´a asociada al potencial escalar y describe los campos generados por las cargas y la parte transversal est´a asociada al potencial vectorial y describe a las ondas electromagn´eticas.

Suponiendo una onda electromagn´etica en el espacio libre, es decirJT = 0, que a su vez se encuentra encerrada en una regi´on imaginaria c´ubica del espacio de ladoL, la ecuaci´on de onda se convierte entonces en

∇2A 1

c2

(26)

Las soluciones a esta ecuaci´on deben ser ondas viajeras sujetas a condiciones de frontera peri´odicas, por lo tanto dichas soluciones se pueden expandir en serie de Fourier, de tal forma que

A=X j

Aj(t) exp(ik·r) +A*j(t) exp(−ik·r)

(2.31)

tal que kx= 2πnLx ky=

2πny

L kz=

2πnz

L ; nx, ny, nz= 0±1,±2,±3, . . . Para ondas de este tipo, la norma de coulomb ∇ ·A= 0 se convierte enk·Aj(t) = 0 y k·A∗j(t) = 0, lo cual nos indica que se tienen 2 direcciones independientes paraA, por lo que tenemos:

k2Aj(t)− 1

c2

∂tAj(t) = 0 (2.32)

y

k2A*j(t)− 1

c2

∂tA*j(t) = 0 (2.33)

cuyas soluciones son:

Aj(t) =Ajexp(−iωjt) (2.34)

A*j(t) =A∗jexp(iωjt) (2.35) por lo que el potencial vectorial es

A=X j

Ajexp(−iωjt+ik·r) +A∗jexp(iωjt−ik·r)

(2.36)

entonces con ayuda de la ecuaci´on (2.36), (2.8) y (2.7) se transforman en

Ej =iωj

Ajexp(−iωjt+ik·r)−A∗jexp(iωjt−ik·r)

(2.37)

y

Hj =

i µ0

Ajexp(−iωjt+ik·r) +A∗jexp(iωjt−ik·r)

(2.38)

Por lo tanto, se buscan soluciones a las ecuaciones de Maxwell que tengan la forma de las ecuaciones (2.36),(2.37) y (2.38). Las ecuaciones anteriores son muy relevantes, ya que nos indican que las soluciones a las ecuaciones de maxwell est´an compuestas por una parte asociada al campo el´ectrico y otra al campo magn´etico. En la siguiente secci´on se ver´a que a partir de esto podemos descomponer al campo electromagn´etico en dos vectores componentes b´asicos, en transversal el´ectrico y transversal magn´etico, los cuales representan a su vez modos que son normales entre s´ı y forman una base vectorial, ello conlleva a un estudio m´as f´acil de campos radiativos.

(27)

2.2.

Vectores Base Tansversales El´

ectricos y

Transver-sales Magn´

eticos

Si bien los potenciales escalar y vectorial resultan de gran ayuda para determinar que tipo de funciones satisfacen las ecuaciones de maxwell. Experimentalmente se miden las intensidades del campo y no dichos potenciales, ya que como se pudo ver en la secci´on anterior, el campo el´ectrico es invariante ante transformaciones de norma mientras que los potenciales no. Es deseable desarrollar una expansi´on del campo el´ectrico en t´erminos de arm´onicos esf´ericos a manera de determinar una base vectorial adecuada que nos permita estudiar al campo el´ectrico de manera relativamente sencilla.

Como se pudo notar en la secci´on anterior, podemos representar al campo magn´etico como

B=∇ ×A

una propiedad deAes que∇ ·A=0, por lo que podemos escribir aAcomo

A=∇ ×F (2.39)

siendo F un campo vectorial, considerando la norma de coulomb tenemos que ∇ ·A = −1

c2

∂ϕ

∂t lo cual nos permite expresar aAcomo

A=∇f+∇ ×F (2.40)

con f un campo escalar. Debe notarse que la parte correspondiente af no contribuye al campo magn´etico, ya que B=∇ ×Ay es sabido que∇ × ∇f = 0, mas a´un, la funci´on vectorialFpuede expresarse como la suma de su parte radial y su parte longitudinal como

F=rφ+r× ∇ψ (2.41)

donde ψ yφ son funciones escalares y r es el vector de posici´on. De la definici´on de A podemos ver que as´ı como el potencial vectorial satisface la ecuaci´on de Helmholtz tambi´en lo hacen las funcionesφyψ, por lo tanto, dichas funciones pueden expandirse tambi´en en t´erminos de arm´onicos esf´ericos. Usando la la conmutaci´on entre el operador∇2 yr× ∇

el campo magn´etico se redefine de la siguiente manera

B=∇ ×A=∇ ×(r× ∇φ)−r× ∇∇2ψ=∇ ×(r× ∇φ) +k2r× ∇ψ (2.42)

donde se ha usado la relaci´on∇ ·(r× ∇ψ) = 0. de la ecuaci´on (2.42) se puede ver que el termino de la derecha es transversal arlo cual quiere decir que el campo escalarψes una funci´on generadora para los modos transversales magn´eticos mientrras queφes la funci´on generadora de modos transversales el´ectricos. Ya que en regiones libres de corriente el

(28)

campo el´ectrico est´a dado por

−iω

c2E=∇ ×B=−r× ∇∇ 2φ

− ∇ ×(r× ∇∇2ψ) =k2[r× ∇φ+∇ ×(r× ∇ψ)] (2.43)

por lo que definimos a los modos transversales el´ectricos y magn´eticos como r× ∇φ y ∇ ×(r× ∇ψ) respectivamente. Resulta claro que son ortogonales entre s´ı, ello sugiere que pueden ser vectores base, las funciones escalares pueden expresarse como

φ(r) =

X

l=0

l

X

m=−l

Almjl(r)Ylm(θ, φ) (2.44) ψ(r) =

X

l=0

l

X

m=−l

Blmjl(r)Ylm(θ, φ) (2.45)

respectivamente.

Una vez expandidas las funciones, aplicamos las propiedades de (2.43) para obtener

∇ ×[jl(r)r× ∇Ylm(θ, φ)] =∇jl(r)×[r× ∇Ylm(θ, φ)] +jl(r)∇ ×(r× ∇Ylm(θ, φ))

=∇jl(r)×[r× ∇Ylm(θ, φ)]−jl(r)

l(l+ 1)

r Y

m

l (θ, φ)er−jl(r)∇Ylm(θ, φ)

=−jl(r)l(l+ 1)

r Y

m

l (θ, φ)er−

d

dr[rjl(r)]∇Y

m

l (θ, φ) (2.46)

de la expresi´on anterior puede verse que los vectores r× ∇Ylm(θ, φ) y ∇ ×[jl(r)r× ∇Ym

l (θ, φ)] son ortogonales entre s´ı ya que (r× ∇Ylm(θ, φ))·r= 0 y (r× ∇Ylm(θ, φ))· ∇Ym

l (θ, φ) = 0 Una manera de simplificar la notaci´on anterior, es aplicando el operador de momento angular definido en mec´anica cu´antica L=−ir× ∇, por lo que

r× ∇Ylm(θ, φ) =iLYlm(θ, φ) (2.47)

o escribi´endolo de manera explicita tenemos

r×Ylm(θ, φ) =−eθ 1 senθ

∂Ym l (θ, φ)

∂φ +eφ

∂Ym l (θ, φ)

∂θ (2.48)

dado que

∂eφ

∂φ =−sinθer−cosθeθ (2.49)

las ecuaciones anteriores pueden explotarse para obtener propiedades interesantes como las siguientes

(r× ∇)·(r× ∇Ylm(θ, φ)) = (r× ∇)2Ym

l (θ, φ) = 1 sinθ

∂ ∂θ

sinθ∂Y

m l (θ, φ)

∂θ

+

1 sin2θ

∂Ym l (θ, φ)

∂φ =−l(l+ 1)Y

m

(29)

es decir

L2Ylm(θ, φ) =l(l+ 1)Ylm(θ, φ) (2.51) otras relaciones de utlidad son las siguientes

∇=er

∂ ∂r−

i

r2r×L (2.52)

Z

(r× ∇Ylm(θ, φ))·(r× ∇Yl∗0m0(θ, φ))dΩ =l(l+ 1)δll0δmm0 (2.53) ∇ ·(r× ∇Ylm(θ, φ)) = 0 (2.54)

L2LYlm(θ, φ) =LL2Ylm(θ, φ),∇2LYm

l (θ, φ) =L∇

2Ym

l (θ, φ),L×LY m

l (θ, φ) =iLY m l (θ, φ)

(2.55)

Lx=−i

y ∂

∂z −z ∂ ∂y

, Ly =−i

z ∂

∂x−x ∂ ∂z

, Lz=−i

x∂

∂y −y ∂ ∂x

(2.56)

L±=Lx±LY =e±iφ

± ∂

∂θ +icotθ ∂ ∂φ

(2.57)

L+Ylm(θ, φ) =

p

l(l+ 1)−m(m+ 1)Ylm+1(θ, φ) (2.58)

L−Ylm(θ, φ) =

p

l(l+ 1)−m(m−1)Ylm−1(θ, φ) (2.59) y

LzYlm(θ, φ) =mY m

l (θ, φ) (2.60)

Ahora, a manera de desarrollar la bases transversales el´ectrica y magn´etica, usando el teorema de adici´on de los polinomios de Legendre (v´ease D) expandemos el potencial vectorial como

A(r) = µ0 4π

Z J(r0)eik|r−r’|

|r−r’| dV

0 =µ 0ik ∞ X l=0 l X

m=−l

h(1)l (kr)Ylm(θ, φ)

Z

jl(kr0)Ylm∗(θ0, φ0)J(r’)dV (2.61)

2.2.1.

Modos Transversales El´

ectricos

Para modos transversales el´ectricos el potencial vectorial debe tener la forma

AT E =r× ∇φ (2.62)

es necesario identificar el componente TE de la corriente producida por fuenteJ(r’) que puede ser efectuada por

(30)

con lo cual podemos asumir que el potencial vectorial de la ecuaci´on (2.62) tiene la forma

AT E(r) =µ0ik ∞

X

l=1

l

X

m=−l

almh

(1)

l (kr)r× ∇Y m l (θ, φ)

Z

jl(kr0)[r’× ∇Ylm∗(θ0, φ0)]·J(r’)dV0 (2.64) donde los coeficientes de expansi´on sonalm, debe notarse que se ha hecho un corrimiento de ´ındice en la sumatoria con respecto a l, ya que paral = 0 el t´ermino monopolar se desvancece, ya que ∇Y0

0(θ, φ) = 0, por lo tanto, para determinar alm se hace uso de la siguiente relaci´on

alm

Z

(r× ∇Ylm(θ, φ))·(r× ∇Ylm(θ, φ))dΩ = 1 (2.65)

dando como resultado

alm= 1

l(l+ 1) (2.66)

con ello podemos definir a la base vectorial transversal el´ectrica como

UT Elm = p l

l(l+ 1)r× ∇Y m

l (θ, φ) (2.67)

la cual est´a tambi´en normalizada como

I

[UT Elm]·[UT Elm]∗dΩ = 1 (2.68) Una vez obtenida esta base, podemos expander al potencial vectorial en t´erminos de la misma como

AT E(r) =µ0ik

l=1

X

l

X

m=−l 1

l(l+ 1)h

(1)

l (kr)r× ∇Y m l (θ, φ)

Z

jl(kr0)[r’× ∇0Ylm∗(θ0, φ0)]·J(r’)dV0

=−µ0ik

l=1

X

l

X

m=−l 1

l(l+ 1)h

(1)

l (kr)r× ∇Y m l (θ, φ)

Z

jl(kr0)(r’×J(r’))· ∇0Ylm∗(θ0, φ0)dv0 (2.69)

Asumiendo que la densidad de corriente puede expresarse como la suma de corriente de conduccionJc y corriente de magnetizaci´onJm=∇ ×M(r) se tiene

J(r) =Jc+∇ ×M(r) (2.70)

(31)

2.2.2.

Modos Transversales Magn´

eticos

Este tipo de base debe tener las mismas dimensiones que la base vectorial de los transversales el´ectricos, por lo tanto reescribimos el potencial vectorial de la forma

AT M =r× ∇φ+ 1

k∇ ×(r× ∇ψ) (2.71)

siguiendo los mismos pasos que para los modos transversales el´ectricos, podemos expresar al potencial vectorial como

AT M(r) =iµ0

1

k

X

l=1

l

X

m=−l 1

l(l+ 1)∇×[h

(1

l (kr)r×∇Y m l (θ, φ)]

Z

∇0×[jl(kr0)r’×∇0Ylm∗(θ0, φ0)]·J(r’)dV0 (2.72)

donde se encuentra que el vectores base correspondiente en la zona de radiaci´on son

uT Mlm (r) =p 1

l(l+ 1)er×[r× ∇Y m

l (θ, φ)] (2.73)

el cual tambi´en est´a normalizado como

I

uT Mlm (r)·[uT Mlm (r)]∗= 1 (2.74) es importante notar que en la ecuaci´on 2.72 el t´ermino

∇0×[jl(kr0)r’× ∇0Ylm∗(θ0, φ0)]·J(r’) es la componente transversal magn´etica de la densidad de corriente.

Para fuentes peque˜naskr0 1 las funciones de Bessel esf´ericasjl(kr0) se pueden aproximar a (v´ease A.2)

jl(kr0)' (kr

0)l

(2l+ 1)!! (2.75)

entonces, el momento para el modo transversal el´ectrico se convierte en

Z

[jl(kr)r× ∇Ylm(θ, φ)]·Jc(r)dv=− k l (2l+ 1)!!

Z

rl(r×Jc)· ∇Ylm∗(θ0, φ0)dV

=− k

l (2l+ 1)!!

Z

∇(rlYlm∗)·(r×Jc)dV (2.76) este ´ultimo t´ermino contiene la corriente de circulaci´on, la cual es definida como (r×Jc), la cual produce momentos magn´eticos multipolares, los cuales se definen originalmente como

mlm= 1

l+ 1

Z

(32)

por lo tanto podemos expresar a la ecuaci´on (2.76) en t´erminos demlm

Z

[jl(kr)r× ∇Ylm(θ, φ)]·Jc(r)dV =−(l+ 1)k l

(2l+ 1)!!mlm (2.78)

de la misma manera puede calcularse la contribuci´on por la corriente de magnetizaci´on ∇ ×M

m0lm =−

Z

rlYlm∗(θ, φ)∇ ·MdV (2.79) entonces, la componente (l, m) del potencial vectorial transversal el´ectrico est´a dada por

AT Elm(r) =−µ0i

kl+1

l(2l+ 1)!!(mlm+m

0

lm)h

(1)

l (kr)r× ∇Y m

l (θ, φ) (2.80)

Ahora, la potencia de radiaci´on asociada con el potencial vectorial puede calcularse f´ acil-mente

PlmT E =r

2Z

Z|HT Elm|

2

dΩ (2.81)

donde el campo magn´etico en la regi´on de radiaci´onHT Elm(r)kr1 est´a dado aproxima-damente por

HT Elm ' 1

µ0

ik×AT Elm =k

l+1(−i)l(m

lm+m0lm

l(2l+ 1)!! 1

re

i(kr−ωt)n×[r× ∇Ym

l (θ, φ)] (2.82)

por lo que

|HT E lm|

2= k2(l+1)

[l(2l+ 1)!!]2|mlm+m 0

lm|

2|r× ∇Ym l (θ, φ)|

2 (2.83)

simplificando, tenemos que

Z

|r× ∇Ylm(θ, φ)|

2

dΩ =l(l+ 1) (2.84)

con ello se encuentra que la potencia de radiaci´on tiene la forma

PlmT E =

rµ

0

ε0

l+ 1

l

k2(l+1)

[(2l+ 1!!)]|mlm+m

0

lm|

2= 1

4πε0

4πl c

l+ 1

l

k2(l+1

[(2l+ 1)!!]2|mlm+m 0

lm|

2

= 1 4πε0

4πcl+ 1 l

k2(l+ 1) [(2l+ 1)!!]2|m

G lm+m

G0 lm|

2 (2.85)

esta ultima expresi´on es muy relevante ya que nos permite comparar con la formulaci´on en el sistema de unidades gaussiano, en el cual, el momento multipolar se define como

mGlm= 1

c

1

l+ 1

Z

∇(rlYl∗m)·(r×J)dV (2.86) podemos concluir que los multipolos el´etricos radian modos transversales el´ectricos, lo cual puede verse por la forma de la componente transversal magn´etica de la densidad de

(33)

corriente que es

Z

∇ ×[jl(kr)r× ∇Ylm∗(θ, φ)]·J(r)dV =

Z

jl(kr)[r× ∇Ylm∗(θ, φ)]· ∇ ×JdV =−

Z

∇ ×[jl(kr)rYlm∗(θ, φ)]· ∇ ×JdV =−

Z

jl(kr)Ylm∗(θ, φ)r·[∇ ×(∇ ×J)]dV =−

Z

jl(kr)Ylm∗(θ, φ)r·[∇(∇ ·J)− ∇2J]dV

=

Z

Ylm∗(θ, φ) d

dr[rjl(kr)]∇ ·JdV −k

2

Z

jl(kr)Ylm∗(θ, φ)r·JdV (2.87) donde las funcionesjl(kr)Ym∗

l (θ, φ) satisfacen la ecuaci´on de Helmhholtz (v´ease B). Nuevamente, si separamos la corriente en la de conducci´on y magnetizaci´onJ=Jc+∇×M entonces (2.87) puede reescribirse como

Ylm∗(θ, φ)d

dr[rjl(kr)]∇ ·JdV −k

2

Z

jl(kr)Ylm∗(θ, φ)r·JdV

=Ylm∗(θ, φ)d

dr[rjl(kr)]∇ ·JcdV −k

2Z jl(kr)Ym∗

l (θ, φ)r·JcdV

+k2 Z

jl(kr)Ylm∗(θ, φ)∇ ·(r×M)dV (2.88) De nuevo, usando la aproximaci´on de fuentes peque˜nas kr0 1, el primer t´ermino del lado derecho de la ecuaci´on que contiene el multipolo el´ectrico es dominante. recordando que ∂ρ∂t+∇ ·Jc = 0 yjl(kr)'(2(lkr+1)!!)l para kr1, podemos aproximar (2.88) a

Z

Ylm∗(θ, φ) d

dr[rjl(kr)]∇ ·JcdV −k

2Z j

l(kr)Ylm∗(θ, φ)r·JcdV +k2

Z

jl(kr)Ylm∗(θ, φ)∇ ·(r×M)dV 'ic(l+ 1)k

l+1

(2l+ 1)!! (qlm+q

0

lm) (2.89)

donde el segundo t´ermino es de ordenka1 y por lo tanto ignorable,qlm es el momento el´ectrico multipolar definido como

qlm=

Z

rlYlm∗(θ, φ)ρ(r)dV (2.90) y q0lm es el momento cuadrupolar el´ectrico efectivo creado por la densidad de momento dipolar magn´etico

qlm0 =− ik (l+ 1)c

Z

rlYlm∗(θ, φ)∇ ·(r×m)dV (2.91) finalmente, el potencial vectorial del modo transversal magn´etico est´a dado por

AT Mlm (r) =−µ0c

kl

l(2l+ 1)!!qlm∇ ×[h

(1)

l (kr)r× ∇Y m

(34)

y la potencia de radiaci´on correspondiente es

PlmT M =µ0c3

k2(l+1)

[(2l+ 1)!!]2

l+ 1

l |qlm+q

0

lm|

2= 1

4πε0

4πc k

2(l+1)

[(2l+ 1)!!]2

l+ 1

l |qlm+q

0

lm|

2 (2.93)

Los vectores base encontrados en esta secci´on nos permitir´an hacer la expansi´on de una onda plana en t´erminos de ondas esf´ericas en la siguiente secci´on, dicha expansi´on es vital ya que nos permite relacionar al campo incidente y al esparcido por una particula de manera sencilla.

(35)
(36)

Cap´ıtulo 3

Ondas Esf´

ericas Vectoriales

Los vectores Base TE y TM, se expresan en t´erminos de funciones m´as generales que son los arm´onicos esf´ericos vectoriales, los cuales pueden definirse de diferentes formas, sin embargo, todas son equivalentes entre s´ı. Estas funciones nos permiten expresar a los campos el´ectrico y magn´etico en una forma vectorial que satisface las ecuaciones de Max-well y a su vez estos campos satisfacen la ecuaci´on de Helmholtz.

En este capitulo se estudian las propiedades de los arm´onicos esf´ericos vectoriales los cua-les usando el teorema de adici´on de los polinomios de Legendre nos permiten expandir ondas planas como una superposici´on de ondas esf´ericas vectoriales para describir el es-parcimiento de part´ıculas definiendo las ondas esf´ericas vectoriales y sus diferentes tipos, sin embargo estas expresiones tienen una singularidad en la posici´on de la part´ıcula, para ello es necesario definir a las funciones de ondas esf´ericas vectoriales sin singularidad que nos permiten compactar la notaci´on de los campos incidente y esparcido que se estudian en el siguiente cap´ıtulo.

En la siguiente secci´on se estudian las propiedades de los arm´onicos esfericos vectoriales y como se relacionan las diferentes definiciones de los mismos.

3.1.

Arm´

onicos Esf´

ericos Vectoriales

A pesar de que la soluci´on a la ecuaci´on de Helmholtz nos lleva de manera natural a las funciones especiales, construir una soluci´on particular para las ecuaciones de Maxwell no es simple, ya que aparte de satisfacer la ecuaci´on de Helmholtz deben ser transversales y satisfacer las 4 ecuaciones, adem´as, las funciones soluci´on a las ecuaciones de Maxwell deben tener car´acter vectorial como lo demuestran (2.36) y (2.37). Ello nos lleva de manera natural a la definici´on de los arm´onicos esf´ericos vectoriales (v´ease C)

(37)

Considerando el espacio de frecuencias, las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre sin fuentes toman la forma:

∇ ×E=ikB (3.1)

∇ ×B=−ikE (3.2)

∇ ·D= 0 (3.3)

∇ ·B= 0 (3.4)

siendok=ωc.

Y recordando que al combinar las ecuaciones paraEyBse debe satisfacer la ecuaci´on de Helmholtz

(∇2+k2)U = 0 (3.5)

dondeUrepresenta alguna componente del campo el´ectrico o magn´etico. Es f´acil demostrar (B) que la soluci´on en coordenadas esf´ericas a esta ecuaci´on son

Ulm(r, θ, φ) =

Almh

(1)

l (kr) +Blmh

(2)

l (kr)

Ylm(θ, φ) (3.6)

Para encontrar la soluci´on a las ecuaciones de Maxwell es necesario construir un grupo de funciones vectoriales, las cuales sean ortogonales entre si, por lo tanto definimos a

L(r) =∇ψ(r) (3.7)

sin embargo, la naturaleza vectorial deL(r) implica que es longitudinal porque∇×L(r) = 0 ello debe implicar que el resto de las funciones del grupo que denominamosM(r) yN(r) deben ser de naturaleza transversal y cumplir ∇ ·M(r) = 0 y ∇ ·N(r) = 0 es por ello que para problemas de esparcimiento s´olo se consideran las funciones que se definen a continuaci´on

M(r) =∇ ×[cψ(r)] (3.8)

dondeψ(r) es una funci´on escalar yces un vector arbitrario, es f´acil notar queMes una soluci´on a las ecuaciones de Maxwell porque tiene naturaleza transversal, ya que∇·M= 0, ahora se debe ver bajo que condiciones Msatisface la ecuaci´on de Helmholtz, aplicando el operador laplaciano tenemos

∇2M=2[∇ ×(cψ(r))] =∇ ×[∇2(cψ(r))] =∇ ×[c∇2ψ(r) + 2(∇ψ(r)· ∇)c+ψ(r)∇2c]

(3.9) por lo que la ecuaci´on de Helmholtz tendr´a la forma

(∇2+k2)M=∇ ×c[∇2ψ(r) +k2ψ(r)] + 2∇ ×[(∇ψ(r)· ∇)c] +∇ ×(ψ(r)∇2c) (3.10)

(38)

c=cte

c= (x, y, z)

en caso de quec=ctelos dos ´ultimos t´erminos de la ecuaci´on anterior se eliminan, por lo tanto (3.10) toma la forma

(∇2+k2)M=∇ ×c[∇2ψ(r) +k2ψ(r)] = 0 (3.11)

por lo tanto sic=cteyψ(r) es una funci´on escalar se satisface la ecuaci´on de Helmholtz. M´as a´un, M satisface dos de las tres condiciones para ser soluci´on a las ecuaciones de Maxwell, es transversal y satiface la ecuaci´on de Helmholtz, sin embargo, de la secci´on anterior puede concluirse que se necesitan al menos 2 funciones vectoriales que sean orto-gonales entre s´ı. Por lo tanto. Para satisfacer las tres condiciones es necesario introducir una nueva ecuaci´onNtal que MyNsatisfacen las primeras dos ecuaciones de Maxwell, definimos entonces

N= ∇ ×M

k (3.12)

dada la naturaleza vectorial deN, podemos ver que tambi´en se trata de un campo transver-sal ya que al aplicar la divergencia tambi´en se obtiene un cero, por lo tanto la ´ultima tarea es encontrar las soluciones apropiadas a la ecuaci´on de Helmholtz, por lo cual redefinimos las soluciones radiales a la ecuaci´on de Helmholtz como

zl(kr) =Alh

(1)

l (kr) +Blh

(2)

l (kr) (3.13)

dado que las soluciones a la ecuaci´on de Helmholtz son funciones escalares, podemos escoger

ψlm(r) =zl(kr)Ylm(θ, φ) (3.14)

por lo cual podemos reescribirMyNcomo

Mlm(r) =∇ ×[rzl(kr)Ylm(θ, φ)] (3.15)

Nlm(r) = 1

k∇ × {∇ ×[rzl(kr)Y

m

l (θ, φ)]} (3.16)

haciendo uso de la siguiente identidad

∇ ×[rψ(r)] =ψ(r)∇ ×r+∇ψ(r)×r=−r× ∇ψ(r) (3.17)

donde se ha considerado ∇ ×r= 0 y quer× ∇solo contiene derivadas con respecto deθ

yφ. Usando∇ ×(∇×) =∇(∇·)− ∇2paraN, tenemos

(39)

y

Nlm(r) =−2

k∇[zl(kr)Y

m

l (θ, φ)] (3.19)

A las ecuaciones (3.18) y (3.19) se les conoce como Arm´onicos Esf´ericos Vectoriales. Da-do que M y N satisfacen las ecuaciones de Maxwell para E y B, y viceversa se puden introducir 2 tipos de radiaci´on.

Un multipolo magn´etico de orden (l,m)

E(lmM)(r) =−1

iMlm(r) (3.20)

M(lmM)(r) =−iNlm(r) (3.21)

Un multipolo el´ectrico de orden (l,m)

E(lmE)(r) =−1

iMlm(r) (3.22)

B(lmE)(r) =iNlm(r) (3.23)

dado que los campos anteriores satisfacen las propiedades rotacionales de las ecuaciones de Maxwell, podemos dar una soluci´on general a las ecuaciones de Maxwell como

B=X lm

A(lmE)B(lmE)(r) +A(lmM)B(lmM)(r)

(3.24)

y

E=X lm

A(lmE)E(lmE)(r) +A(lmM)E(lmM)(r)

(3.25)

donde los coeficientes A(lmE) y A(lmM) son coeficientes determinados por las condiciones de frontera en una regi´on entre dos esf´eras de radiosr1 yr2, las dos ecuaciones anteriores se

justifican en la siguiente secci´on.

Una vez conocido el origen de los arm´onicos esf´ericos se deben estudiar m´as a fondo sus propiedades (ve´ase C), sin embargo, la notaci´on para los mismos es muy variada. Una forma de escribirlos de manera mas condensada est´a dada por la ecuaci´on [30]

Xlm = 1

ipl(l+ 1)r× ∇Y m

l (θ, φ) (3.26)

dondeXlm satisface la siguiente relaci´on de ortogonalidad

Z

X∗l0m0XlmdΩ =δll0δmm0 (3.27)

Z

(40)

la principal ventaja de usar esta definici´on de los arm´onicos esf´ericos vectoriales es que podemos expresar a los campos en t´erminos de una ´unica funci´on arm´onica fundamental que tiene solamente dependencia angular. Por lo tanto, podemos expresar a los multipolos el´ectrico y magn´etico como:

B(lmE)=fl(kr)Xlm(r) (3.29)

E(lmE)= i

k∇ ×B

E

lm(r) (3.30)

E(lmM)=gl(kr)Xlm(r) (3.31)

B(lmM)=−i

k∇ ×B

M

lm(r) (3.32)

donde las funcionesfl yglson funciones del tipo zl(kr) definidas anteriormente.

Para problemas de esparcimiento, usualmente se opta por part´ıculas de naturaleza esf´erica, lo cual introduce la necesidad de proponer una definici´on alternativa para los arm´onicos esf´ericos vectoriales. Tres ecuaciones an´alogas a las ecuaciones (3.15) y (3.16) que son ortogonales entre s´ı y hacen el estudio del esparcimiento mas f´acil son[18][19]

b

Bml (θ, φ) =r∇Ylm(θ, φ) (3.33)

b

Cml (θ, φ) =∇ ×(rYlm(θ, φ)) (3.34)

b

Pml (θ, φ) =brYlm(θ, φ) (3.35)

los cuales satisfacen las siguientes relaciones de ortogonalidad

Z

b

Bml ∗(θ, φ)Bb

m0

l0 (θ, φ) =δll0δmm0 (3.36)

Z

b

Cml ∗(θ, φ)Cb

m0

l0 (θ, φ) =l(l+ 1)δll0δmm0 (3.37)

Z

Pml ∗(θ, φ)Pb

m0

l0 (θ, φ) =l(l+ 1)δll0δmm0 (3.38)

por lo que, las constantes de normalizaci´on para las ecuaciones (3.33),(3.34) y (3.35) son

Nl1= 1

p

l(l+ 1) (3.39)

Nl2= p 1

l(l+ 1) (3.40)

Nl3= 1 (3.41)

(41)

Entonces la forma normalizada de los arm´onicos esf´ericos vectoriales es

Bml (θ, φ) = p 1

l(l+ 1)r∇Y m

l (θ, φ) (3.42)

Cml (θ, φ) =p 1

l(l+ 1)∇ ×(rY m

l (θ, φ)) (3.43)

Pml (θ, φ) =brYlm(θ, φ) (3.44)

Dadas las propiedades de ortonormalidad de los arm´onicos esf´ericos vectoriales podemos expresar un multipolo de campo el´ectrico como[20]

E(r, t) =Elrm(r, t)Pml (θ, φ) +El(1)m(r, t)Cml (θ, φ) +El(2)m(r, t)Bml (θ, φ) (3.45)

en la siguiente secci´on se estudia mas a fondo el origen de esta ´ultima expresi´on. Antes de ello, es importante aclarar que todas las definiciones para los arm´onicos esf´ericos vec-toriales son equivalentes, basta notar que que Nml (r) es una combinaci´on de P

m l (θ, φ) y Bml (θ, φ), mientras queClm(θ, φ) es comparable conMml (r) y tambi´en es proporcional a Xml .

Antes de finalizar esta secci´on es importante aclarar que no existe una definici´on est´andar de los arm´onicos esf´ericos vectoriales, la elecci´on de alguna depende espec´ıficamente de la aplicaci´on que se les dar´a.

Los usos de los arm´onicos esf´ericos son muy variados, uno de ellos es la expansi´on mul-tipolar del campo el´ectromagn´etico hasta para determinar la cantidad de radiaci´on elec-tromagn´etica dispersada por una part´ıcula esf´erica homog´enea, en este sentido es ´util la expansi´on de una onda plana electromagn´etica en una serie de arm´onicos esf´ericos vecto-riales, lo cual se analiza en la siguiente secci´on, problema que se conoce como dispersi´on Mie

3.2.

Expansi´

on de Ondas Planas en T´

erminos de

On-das Esf´

ericas

Una onda plana con polarizaci´on lineal puede ser caracterizada f´acilmente por sus amplitudes constantes de campos electromagn´eticos y la direcci´on de propagaci´on. Sean los campos:

E=E0eikzex (3.46) H=H0eikzey (3.47)

(42)

ey se definen comoex=|EE| yey= |HH|.

Para estudiar el esparcimiento de part´ıculas es de gran utilidad descomponer a las ondas planas incidentes en t´erminos de arm´onicos esf´ericos, ya que, al estar situadas las part´ıcu-las en la direcci´on de propagaci´on de dichas ondas, despu´es de ser esparcidas ya no son ondas planas sino que la onda resultante esta formada por una superposici´on de ondas esf´ericas arm´onicas (fig3.1).

Algo que debe resaltarse es que por el principio de Huygens existe una correspondencia uno a uno entre las componentes del plano incidente y el plano de esparcimiento, ma-tem´aticamente esto se debe a que el modo esparcido est´a caracterizado por los n´umeros de modo (l, m), lo cual implica que solo pueden ser producidas por modos de onda incidentes que tengan exactamente la misma dependencia angular.

Para lograr la expansi´on deseada es de gran utilidad usar el teorema de adici´on de los polinomios de Legendre (v´ease D) Para lograr la descomposici´on deseada se utilizaron las

Figura 3.1: Descomposici´on de ondas planas en ondas esf´ericas por esparcimiento

ecuaciones (D.10) y (D.11), las cuales nos permiten transformar ondas planas en t´erminos de ondas esf´ericas y cuya expresi´on es

Formulas de Transformaci´on

eik·z=

X

l=0

(i)l(2l+ 1)jl(kz)Pl(cosθ)

eik·z= 4π

X

l=0

l

X

m=−l

iljl(kz)Ylm∗(θ0, φ0)Y m l (θ, φ)

Considerando una onda electromagn´etica con direcci´on de propagaci´on a lo largo del eje

z, el campo el´ectrico dado por la ecuaci´on (3.46) sin el fasor que yace en la direcci´onx

puede ser descompuesto en componentes de coordenadas esf´ericas como

(43)

la naturaleza de esta ´ultima ecuaci´on nos permite expresar a la ecuaci´on (3.46) en t´erminos de modos transversales ortogonales entre si, es decir, debemos representar al campo como una suma de modos transversales el´ectricos y transversales magn´eticos, para ello se hace uso de los arm´onicos esf´ericos vectoriales con lo cual podemos expresar al campoEcomo

E=E0eikrcosθex=E0 ∞

X

l=1

il(2l+ 1)jl(kr)Pl(cosθ)(sinθcosφer+ cosθcosφeθ−sinφeφ)

= ∞ X l=1 l X

m=−l

almjl(kr)r× ∇Ylm(θ, φ) + 1 k ∞ X l=1 l X

m=−l

blm∇ ×[jl(kr)]r× ∇Ylm(θ, φ)] (3.49)

siendo alm y blm los coeficientes de expansi´on para los modos transversles el´ectricos y magn´eticos respectivamente.

A manera de determinaralmmultiplicamos ambos lados de la ecuaci´on porr×∇Ylm∗(θ, φ), integramos sobre el ´angulo s´olido y usamos las relaciones de ortogonalidad

Z

[r× ∇Ylm(θ, φ)]·[r× ∇Ym 0

l0 (θ, φ)]dΩ =l(l+ 1)δll0δmm0

[r× ∇Ylm∗(θ, φ)]· ∇ ×[jl(kr)r× ∇Ylm(θ, φ] = 0 llegamos a

alm=E0

il(2l+ 1)

l(l+ 1)

Z

Pl(cosθ)(cosθcosφeθ−sinθeφ)·(r× ∇Ylm∗(θ, φ))dΩ (3.50) la dependencia de cosφ y sinφ hace que ´unicamente no desaparezcan los componentes

m±1, por lo tanto param= 1 se encuentra que

al,1=E0

il(2l+ 1)

l(l+ 1)

Z

pl(cosθ)(cosθcosφeθ−sinφeφ)·(r× ∇Yl1∗(θ, φ))dΩ (3.51)

y dado que

Yl1∗(θ, φ) =−Yl−1(θ, φ) =−

s

2l+ 1 4πl(l+ 1)P

1

le

−iφ (3.52)

usando

Z

Pl(cosθ)(cosθcosφeθ−sinφeφ)·(r× ∇Yl1∗)dΩ

=−iπ s

2l+ 1 4πl(l+ 1)

Z π

0

Pl(cosθ)

cosθ

sinθP

1

l(cosθ) +

dP1

l(cosθ

(44)

y

Z π

0

dPl1(cosθ)

dθ Pl(cosθ) sinθdθ =− Z π

0

Pl1(cosθ)d

dθ[Pl(cosθ) sinθ]dθ

=−

Z π

0

Pl1(cosθ)Pl(cosθ) cosθdθ+

Z π

0

[Pl1(cosθ)]2sinθdθ (3.54)

por lo que la integral se reduce a

Z π

0

Pl(cosθ)

cosθ

cosφP

1

l(cosθ) +

dP1

l(cosθ)

dθ sinθdθ = Z π 0

[Pl1(cosθ)]2sinθdθ= 2

2l+ 1l(l+ 1) (3.55)

lo que conlleva finalmente a

al,1=−il+1

s

π(2l+ 1)

l(l+ 1) E0 (3.56)

de manera an´aloga se puede encontrar el valor del coeficienteaparam=−1, por lo que

al,−1=al,1=−il+1

s

π(2l+ 1)

l(l+ 1) E0 (3.57)

La aparici´on de los componentesm=±1 en la expansi´on arm´onica esf´erica de una onda plana es comprensible, ya que una onda plana se puede descomponer en dos ondas pola-rizadas circularmente de helicidades opuestas.

Para determinar ahora la contante blm de los modos transversales magn´eticos es mas conveniente trabajar con el campo magn´etico, de tal manera que

B= 1

iω∇ ×E=

1

X

l=1

al,±1∇ ×[jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ)] +

k iω

X

l=1

bl,±1jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ) (3.58) donde se ha hecho uso de la siguiente identidad

∇ × ∇ ×[jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ)] =∇∇ ·[jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ)]− ∇2[jl(kr)r× ∇Y±1

l (θ, φ)] = 0 +k2jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ) (3.59) por lo que el campo magn´etico asociado a la onda plana es

B=B0eikrcosθey=

E0

c X

l

il(2l+ 1)jl(kr)Pl(cosθ)(sinθsinφer+ cosθsinφeθ+ cosφeφ)

(45)

entonces

E0

c X

l

il(2l+ 1)jl(kr)Pl(cosθ)(sinθsinφer+ cosθsinφeθ+ cosφeφ)

= 1

X

l=1

al±1∇ ×[jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ)] +

k iω

X

l,±1

bl,±1jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ) (3.61)

multiplicando ambos lados porr×∇Yl±1∗(θ, φ) e integrando sobre el ´angulo s´olido tenemos

bl,±1=E0

il+1(2l+ 1)

l(l+ 1)

Z

Pl(cosθ)

−cosθ sinθ sinφ

∂Yl±1(θ, φ)

∂φ + cosφ

∂Yl±1(θ, φ)

∂θ

dω=

∓il+1 s

π(2l+ 1)

l(l+ 1) E0 ±al,±1 (3.62)

finalmente, la expansi´on en arm´onicos esf´ericos de una onda plana para el campo el´etrico es

E0eik·zex=E0

X

l,±1

il

2i s

4π(2l+ 1)

l(l+ 1)

jl(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ)±1

k∇ ×[jl(kr)r× ∇Y

±1

l (θ, φ)]

(3.63) y el campo magn´etico que acompa˜na a la onda es expandido como

B0eik·zey=−

E0 c X l,±1 il s

π(2l+ 1)

l(l+ 1)

1

k∇ ×[jl(kr)r× ∇Y

±1

l (θ, φ)]±

jl(kr)r× ∇ 1

k∇ ×[jl(kr)r× ∇Y

±1

l (θ, φ)]

(3.64)

las ecuaciones anteriores facilitan el estudio del esparcimiento de part´ıculas cuando la onda incidente es una onda plana. Debe notarse que las ondas esparcidas por un objeto consisten tambi´en de modos transversales el´ectricos y magn´eticos de la forma

Modo Transversal El´ectrico

h(1)(kr)r× ∇Yl±1(θ, φ) Modo Transversal Magn´etico

1

k∇ ×[h

(1)(kr)r× ∇Y±1

l (θ, φ)] (3.65)

dado que por las condiciones de frontera las onda incidente y la onda esparcida deben tener exactamente la misma dependencia angular, el estudio del esparcimiento se vuelve mucho m´as sencillo, sin embargo, antes de abordar su estudio es necesario definir un nuevo

(46)

tipo de ondas, las cuales hacen esta tarea a´un m´as sencilla.

3.3.

Funciones de Ondas Esf´

ericas Vectoriales

Si bien el teorema de adici´on nos permite expresar los fasores de las ondas en t´erminos de arm´onicos esf´ericos y esto a su vez nos permite hacer la expansi´on de los campos electro-magn´eticos en t´erminos de las componentes transversal el´ectrica y transversal magn´etica, para simplificar el estudio del esparcimiento es necesario definir unas nuevas funciones que dependan de los arm´onicos esf´ericos vectoriales y que nos permiten relacionar de manera precisa el campo el´ectrico incidente con el esparcido por un objeto. Dichas funciones se denominan funciones de ondas esf´ericas vectoriales, la definici´on y estudio de las mismas se lleva acabo en esta secci´on.

Las funciones Hankel esf´ericas de primer orden describen ondas esf´ericas salientes y las de segundo orden describen ondas esf´ericas entrantes a la particula, lo cual puede verse de la forma asint´otica de estas funciones.

h(1)l (x)−→(−i)l+1e ix

x , x1 (3.66)

h(2)2 (x)−→il+1e

−ix

x , x1 (3.67)

Para problemas de radiaci´on se utilizan funciones Hankel de primer orden, ya que la energ´ıa emitida por una part´ıcula es consecuencia de la p´erdida de momento angular de la misma. El prop´osito de definir las funciones de ondas esf´ericas vectoriales es que dichas funciones sirvan como base en la construcci´on de soluciones mas generales en problemas de esparci-miento. Dado que la soluci´on radial a la ecuaci´on de onda pueden ser las funciones Bessel esf´ericas, las funciones Hankel o una combinaci´on lineal de las mismas, pueden definirse soluciones alternativas a las ecuaciones vectoriales de la secci´on anterior, cuya forma re-cuerde a la separaci´on de variables obtenida de la ecuaci´on escalar de Helmholtz, para ello se hace uso de los arm´onicos esf´ericos vectoriales y definimos a las ondas esf´ericas vecto-riales como la multiplicaci´on de las funciones Bessel por un arm´onico esf´erico vectorial, sin embargo, como se busca la aplicaci´on a problemas de esparcimiento, se deben tratar diferentes tipos de onda, como lo son las de llegada, salida y las regulares. Por lo tanto existen tres tipos de ondas esf´ericas vectoriales y se definen a continuaci´on.

Ondas Esf´ericas Vectoriales Salientes o Radiantes

Um1l(kr) =

h(1)l (kr)

p

l(l+ 1)∇ ×(rY m

l (θ, φ)) =

h(1)l (kr)

p

l(l+ 1)∇Y m

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