Conocimiento de la enseñanza de la derivada usando recursos didácticos tecnológicos. El caso de un profesor.

“FRANCISCO GARCÍA SALINAS”

UNIDAD ACADÉMICA DE

MATEMÁTICAS

Conocimiento de la enseñanza de la derivada usando

recursos didácticos tecnológicos. El caso de un

profesor.

Tesis que para obtener el grado de

Maestro en Matemática Educativa con Orientación en el Nivel

Superior

Presenta:

Edgar Ponciano Bustos

Directora de Tesis:

Dra. Leticia Sosa Guerrero

Co-Directoras:

M. en M. Elvira Borjón Robles

Dra. Judith Alejandra Hernández Sánchez

En la ciudad de Zacatecas, Zacatecas, el día 12 del mes de Noviembre del año 2016, el (la) que suscribe Edgar Ponciano Bustos alumno(a) del Programa de Maestría en Matemática Educativa con Orientación en el Nivel Superior con número de matrícula 34155443; manifiesta que es el autor (a) intelectual del trabajo de grado intitulado “Conocimiento de la enseñanza de la derivada usando recursos didácticos tecnológicos. El caso de un profesor” bajo la dirección de la Dra. Leticia Sosa Guerrero, M. M. Elvira Borjón Robles y Dra. Judith Alejandra Hernández Sánchez.

Por tal motivo asume la responsabilidad sobre su contenido y el debido uso de referencias, acreditando la originalidad del mismo. Así mismo cede los derechos del trabajo anteriormente mencionado a la Universidad Autónoma de Zacatecas para su difusión con fines académicos y de investigación.

EDGAR PONCIANO BUSTOS Nombre y Firma del estudiante

Agradezco al Consejo Nacional

de Ciencia y Tecnología por el

apoyo

brindado

para

la

realización de mis estudios de

maestría.

A mi padres Aida y pedro. Por todo el apoyo que siempre me han brindado en mi vida y en mis estudios a pesar de la distancia, sin duda alguna este logro no sólo es mío también es de ellos.

A mis hermanos Jorge, Arisai y Zury. Por estar siempre conmigo cuando los he necesitado, a pesar de las distancia. Espero que este nuevo logro los motive a no rendirse en sus sueños y que se den cuenta de que si yo puede ellos también pueden, solo necesita un poco de esfuerzo y sacrificio

A mi asesora la Dra. Leticia Sosa. Por sus consejos, paciencia, tolerancia, profesionalismo y guía en todo momento para la realización de este trabajo, además por toda la enseñanza brindada en los curos de desarrollo profesional, que sin duda alguna, a pesar de la exigencia que de dichos cursos, fue un elemento más para transformar mi visión como profesor. Cada consejo que me ha brindado me ha permitido crecer como profesional y persona, y espero que vea reflejado en mí ese cambio que gracias a usted he logrado. Espero que esta investigación sea sólo el principio del trabajo que podemos hacer. Gracias por todo Dra.

A mis coasesoras la Dra. Judith Hernández y M. M. Elvira Borjón. Por sus consejos, asesorías, sugerencias, guía, profesionalismo y ayuda para la creación de esta investigación, que fueron de gran apoyo hasta la etapa final de este trabajo.

A mis sinodales la Dra. Judith Hernández, Dr. José Carrillo, Dr. Iván López y Dra. Gloria. Por el tiempo dedicado a la revisión de este trabajo, por sus sugerencias, comentarios y aportaciones que siempre fueron muy atinados para perfeccionar esta investigación.

Al profesor Pepe. Por permitirnos compartir su quehacer docente, por tener la accesibilidad de ser grabado y proporcionarnos su planeación, estamos totalmente agradecidos con el profesor por todo lo aportado a este trabajo, gracias por ser parte fundamental para esta investigación.

A mis maestros. Por todas sus sugerencias, su tiempo, sus comentarios, su dureza, sus saberes compartidos, que me han ayudado mucho a mejorar como persona y como profesional, cada aporte que me dieron siempre los tendré presente.

A mis compañeros de la maestría. Por compartir su amistad, consejos, alegrías y tristezas, que permitieron seguir hacia adelante con cada barrera en este espectacular sendero de conocimiento. Por haberme abierto la puertas de su hogar.

A mi amiga Luz. Mención especial merece mi amiga Luz, por ser para mí una gran compañera, colega, persona, consejera, pero sobre todo ser una excelente y maravillosa amiga, estoy muy agradecido por todos los momentos vividos en esta fantástica etapa de conocimiento. Por compartir estrés, alegrías y éxitos que pasamos en la maestría. Estoy

trabajo. Además de estar siempre presente cuando te necesito, ayudándome en todo momento, no solo me abriste tu corazón y amistad, sino también me permitiste entrar a tu hogar y conocer a tu maravillosa familia. Gracias por todo.

A mis amigos Diego, Shuy, Eli y Alex. Por haberme abierto su hogar sin nunca antes haberme conocido, gracias por haber hecho mi estancia en zacatecas más amena, por compartir alegrías tristezas y ser mi familia por estos dos años. Gracias por todo.

A mi amiga Adilene. Por motivarme a nunca rendirme y por siempre decirme que luchará por mis sueños, gracias a sus palabras hoy termino la maestría. Gracias por estar siempre conmigo y por tus sabios consejos.

A mi amiga Maritza. Por estar siempre conmigo desde hace 6 años, sus regaños y consejos, me han permitido crecer como persona y a nunca rendirme. Gracias por ser darme tu amistad sincera.

RESUMEN ... 1

PRESENTACIÓN ... 3

CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ... 5

I.1. Problemática ... 5

I.2. Hipótesis ... 8

I.3. Justificación ... 9

CAPÍTULO II. ANTECEDENTES ... 12

II.1. Investigaciones sobre el conocimiento del profesor al enseñar la derivada ... 13

II.2. Investigaciones sobre la enseñanza de la derivada ... 16

II.3. Investigaciones sobre la enseñanza de la derivada utilizando algún recurso didáctico tecnológico ... 19

CAPÍTULO III. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Y MARCO TEÓRICO ... 23

III.1. Fundamentos Matemáticos ... 23

III.1.1. La pendiente de la recta tangente ... 23

III.1.2. Velocidad instantánea ... 24

III.1.3. Razón de cambio instantánea ... 26

III.1.4. La derivada como una función ... 27

III.2. Marco Teórico ... 28

III.2.1. Conocimiento profesional del profesor de matemáticas ... 28

III.2.2. Conocimiento especializado del profesor de matemáticas, MTSK ... 36

III.2.2.1. Conocimiento Matemático (MK) ... 37

III.2.2.1.1. Conocimiento de los temas matemáticos (KoT) ... 37

III.2.2.1.2. Conocimiento de la estructura matemática (KSM) ... 38

III.2.2.1.3. Conocimiento de la práctica matemática (KPM) ... 39

III.2.2.2. Conocimiento didáctico del contenido (PCK) ... 39

III.2.2.2.1. Conocimiento de las características del aprendizaje (KFLM) ... 40

III.2.2.2.2. Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las Matemáticas (KMLS) ... 40

III.2.2.2.3. Conocimiento de la enseñanza de la matemática (KMT) ... 41

IV.2. Estudio de caso ... 46

IV.3. Instrumentos para la recolección de información ... 49

IV.4. Instrumentos para el análisis de la información ... 53

IV.4.1. Modelo para caracterizar el conocimiento del profesor ... 54

IV.4.2. Modelo para organizar y analizar la información ... 54

CAPÍTULO V. ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ... 59

V.1 Análisis de la planeación y de las clases grabadas en video ... 59

V.1.1. Primer acercamiento hipotético al análisis de la información ... 59

V.1.2. Segundo acercamiento al análisis de la información del profesor Pepe ... 64

IV.1.2.1. Modelación del proceso de enseñanza de la planeación ... 65

IV.1.2.2. Modelación del proceso de enseñanza de las clases video-grabadas ... 77

CAPÍTULO VI. RESULTADOS ... 107

VI.1. Presentación de los subindicadores de la categoría recursos y materiales del subdominio KMT evidenciados en el profesor Pepe ... 107

VI.1.1. Presentación cronológica de los subindicadores identificados en la planeación ... 107

VI.1.2. Presentación cronológica de los subindicadores identificados en los videos . 109 VI.2. Presentación de la asociación de los subindicadores en indicadores de la categoría recursos y materiales del subdominio KMT evidenciados en el profesor Pepe ... 115

VI.2.1. Características de los subindicadores de la planeación y de los videos del profesor Pepe ... 116

VI.2.2. Agrupamiento de los subindicadores en indicadores de la planeación y de los videos ... 117

VI.3. Explicación del caso de Pepe ... 126

VI.4. Relación de los indicadores hipotéticos con los indicadores evidenciados por el profesor Pepe ... 132

CAPÍTULO VII. CONCLUSIONES ... 134

VII.1. Referentes a algunos aspectos generales ... 136

VII.2. Respecto al MTSK ... 139

VII.3. Respecto a la Metodología ... 140

VII.6. Reflexión final ... 143

REFERENCIAS ... 146

ANEXOS ... 153

Anexos I. Guion de la entrevista semiestructurada que se le realizó al profesor Pepe ... 153

Anexos II. Ejemplos de los subindicadores hipotéticos... 155

Anexos III. Transcripción de la planeación del profesor ... 164

Anexos IV. Transcripción de la clase video grabadas del profesor ... 179

Índice de Tablas y Figuras

Figura 3.2. Pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) cuando ℎ > 0……….. 24

Figura 3.3. Función de posicióndel objeto………. 25

Figura 3.4. Velocidad promedio……….. 25

Figura 3.5. Ejemplo de ecuación de la recta tangente a la parábola en un punto……… 26

Figura 3.6. Los valores de 𝑦 cambian con rapidez en 𝑃 y con lentitud en 𝑄………….. 27

Figura 3.7. Conocimiento didáctico del contenido tecnológico (TPCK) y los tres círculos, Contenido, Pedagogía y Tecnología………. 32

Figura 3.8. Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) (Hill, Ball y Schilling, 2008, p. 377)………... 34

Figura 3.9. Modelo MTSK con sus respectivos dominios y subdominios (Carrillo, Climent et al., 2013)……….... 44

Tabla 4.1. Clasificación del estudio de caso según Stake (2007)………... 47

Tabla 4.2. Tipo de entrevista de acuerdo a su diseño y estructura……….. 52

Tabla 4.3. Tipo de entrevista de acuerdo al momento de realización………. 52

Figura 4.4. Propuesta de Sosa (2011) el cual es una modelo adaptado al modelo de Ribeiro (2008, citado por Sosa, 2011)………. 55

Figura 4.5. Modelo que implementaremos en esta investigación, que es una adaptación al modelo propuesto por Sosa (2011)……….... 57

Figura 5.1. Diagrama que muestra los probables indicadores que se pudieran evidenciar………. 61 Tabla 5.2. En esta tabla se especifican los indicadores y subindicadores que posiblemente aparezcan en el análisis de la planeación y de las clases video-grabadas 61

Tabla 5.3. Selección de las clases para el análisis de la información……….. 64

Figura 6.1. Ilustración de los subindicadores de la planeación………... 109

Figura 6.2. Ilustración de los subindicadores de la primera clase………... 111

Figura 6.3. Ilustración de los subindicadores de la segunda clase……….. 112

Figura 6.4. Ilustración de los subindicadores de la tercera clase………. 113

Figura 6.5. Ilustración de los subindicadores de la quinta clase……….. 114

Figura 6.6. Ilustración de los subindicadores de la sexta clase………... 115

Tabla 6.7. Características de los subindicadores………. 116

Tabla 6.8. Agrupamiento de los subindicadores de acuerdo a sus características……... 118

Figura 6.9. Categorías surgidas de los subindicadores……… 120

Tabla 6.10. Más clasificaciones a la clasificación de Hernández, Borjon y Torres (2016)………... 121

Tabla 6.11. Rasgos asociados a las subcategorías………... 122

Tabla 6.12. Indicadores surgidos de los subindicadores………. 123

Figura 6.13. Relación de los subindicadores de la planeación y de los sudindicadores clases……… 130

Figura 6.14. Relación de los Indicadores Hipotéticos y los Indicadores Evidenciados……… 133

Tabla 7.1. Enseñanza de la derivada con recursos didácticos tecnológicos……… 134

Tabla 7.2. Enseñanza de la derivada con recursos tecnológicos de apoyo para la enseñanza………. 135

Con base en la revisión de investigaciones referentes a la enseñanza derivada y el conocimiento del profesor al enseñar la derivada, identificamos la escasez de estudios que investiguen el conocimiento del docente al enseñar el concepto de la derivada utilizando recursos didácticos tecnológicos. Ante esto nos planteamos la interrogante que dirige este estudio: ¿Qué conocimiento pone en juego el profesor al enseñar la derivada en cuanto al uso de recursos didácticos tecnológicos? En este estudio se pretende caracterizar el conocimiento que pone en juego un profesor al enseñar la derivada utilizando recursos didácticos tecnológicos. La caracterización se realiza en el marco del conocimiento del profesor; el cual se sitúa en el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK), desarrollado en la Universidad de Huelva, España. Este estudio es de corte cualitativo y descriptivo, en el cual se considera el caso de un profesor de la Licenciatura en Matemáticas que imparte la asignatura de Laboratorio de Cálculo y Geometría II. De esta manera, el centro de atención será el conocimiento del profesor en cuanto a la enseñanza de la derivada con el uso de recursos tecnológicos digitales. Finalmente, se aportan subcategorías desarrolladas a partir del análisis de la información del estudio de caso. Asimismo, se proporciona unos rasgos de las subcategorías, estos rasgos hace referencia sobre los usos o intencionalidades de la tecnología que surgieron con base en la información sobre el conocimiento que pone en juego el profesor en los escenarios de la planeación e impartición de la clase, de igual manera se contribuyen indicadores referentes a dicho conocimiento agrupados en las subcategorías. Además, el conocimiento que evidencia el profesor en torno a la tecnología alcanza un impacto didáctico-tecnológico, lo anterior es posible sólo si existe una asociación entre un contenido matemático y el objetivo didáctico.

ABSTRACT

Based on the review of research concerning the education and knowledge derived from teacher to teach the derivative, we identified the lack of studies investigating the knowledge of teachers to teach the concept of using technology derived educational resources. Before this we ask the question that heads this study: What knowledge brings into play the teacher to teach the derivative in the use of technological teaching resources? This study aims to characterize the knowledge that a teacher puts into play to teach using technology derived educational resources. The characterization is done under the teacher's knowledge; which it is at the Mathematics Teacher's model Specialised Knowledge (MTSK), developed at the University of Huelva, Spain. This study is qualitative and descriptive, which is considered the case of a professor degree in Mathematics that he teaches Calculus and Geometry Laboratory II. Thus, the focus will be the teacher's knowledge regarding the teaching of the derivative with the use of digital technology resources. Finally, subcategories developed

subcategories is provided, these features refers to the use or intentionality of technology that emerged based on the information on the knowledge that brings into play the teacher in the stage of planning and teaching of the class, likewise indicators for contributing to such knowledge is grouped into subcategories. In addition, the knowledge that Professor evidence about the technology reaches a didactic-technological impact, the above is possible only if there is an association between a mathematical content and pedagogical purpose.

PALABRAS CLAVES: Conocimiento del profesor, Enseñanza de la derivada, Recursos didácticos, Tecnología.

El trabajo de grado está organizado en siete capítulos. A continuación se describirá la estructura que se ha propuesto para la presentación de esta tesis, con la intención de que el lector pueda tener una visión general de la manera en que se ha organizado la investigación y lo que puede hallar en cada uno de los capítulos que se muestran.

En el capítulo 1, planteamiento del problema, se ha realizado un recorrido por las investigaciones referentes a la problemática que subyacen en el conocimiento del profesor al enseñar la derivada. La revisión anterior permitió plantear el problema y la pregunta de investigación, además de los objetivos, la hipótesis y justificación que delimitan el tema de interés; evidencia de este recorrido son los antecedentes presentados en el capítulo 2.En dicho capitulo2, que se refiere a los antecedentes, se presentan investigaciones analizadas sobre el conocimiento del profesor al enseñar la derivada, acerca de la enseñanza de la derivada y relativo a la enseñanza de la derivada utilizando algún recurso didáctico tecnológico.

En el capítulo 3, que se refiere a los fundamentos matemáticos y al marco teórico, se muestran definiciones matemáticas referentes al tópico de derivada. En el apartado de marco teórico se presentan y describen a diversos modelos relacionados con el conocimiento del profesor, para después aterrizar en el modelo MTSK. En el capítulo 4, se justifica la metodología empleada en esta investigación, se muestran los instrumentos con los cuales se recolecta la información y los instrumentos de análisis, asimismo se describe brevemente el estudio de caso.

En el capítulo 5 se presentan el análisis de la información, donde se consideran dos primeros acercamientos. El primero tiene que ver con indicadores hipotéticos; es decir se realiza un análisis a priori por parte del investigador de lo que se espera podría ser evidenciado por el profesor al enseñar la derivada con recursos tecnológicos. El segundo se relaciona con lo realizado por el profesor en estudio en torno a su planeación y las clases video grabadas. En el capítulo 6 se muestran los resultados de la investigación, lo anterior se realiza a través de los subindicadores evidenciados de la planeación y de las clases, además de su contrastación con aquellos indicadores hipotéticos. Estos subindicadores se agrupan de acuerdo a sus características, para proporcionar categorías, subcategorías e indicadores.

En el capítulo 7 se presentan las conclusiones de la investigación, estas consisten en aportaciones a la categoría Recursos y Materiales, mejoras al instrumento de análisis, además de las limitaciones y futuras investigaciones arrojadas a la luz de dicho estudio. Finalmente se muestra una reflexión del autor de esta tesis que surge a raíz de la experiencia en el desarrollo de este trabajo de investigación.

CAPÍTULO I

PLANTEAMIENTO DEL

PROBLEMA DE

CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE

INVESTIGACIÓN

I.1. Problemática

El profesor es uno de los ejes principales para mejorar la enseñanza y el aprendizaje, por lo tanto su formación debe ser fundamental. Pino, Godino y Font (2011), señalan que el desarrollo del pensamiento matemático de los alumnos de una institución educativa, depende esencialmente de la formación del profesor.

Investigar las creencias y concepciones es muy importante para averiguar el conocimiento del profesor, como lo señalan Pino, Godino y Font (2011), que estos estudios son primordiales si se desea explorar o indagar el conocimiento de los futuros profesores, puesto que las creencias y concepciones son parte esencial de dicho conocimiento. García, Azcárate y Moreno (2005) afirman que las investigaciones de las creencias y concepciones no son suficientes, ya que es necesario continuar avanzando en aspectos tales como indagar en el conocimiento del contenido y el conocimiento de la enseñanza, pero de aspectos concretos tales como el conocimiento del profesor sobre el objeto matemático derivada y su relación con otras áreas.

En lo referente al conocimiento, Thompson (1992) señala que “el conocimiento depende de encontrar criterios tales como cánones de evidencia que se discute como parte del conocimiento sintáctico del profesor” (p. 31).

Por otra parte, el conocimiento profesional del profesor se considera como resultado de la experiencia práctica apilada en la realización de tareas docentes específicas, que se va edificando desde su formación inicial y durante toda su carrera profesional (Estepa, 2000; Llinares y Sánchez, 1990; Climent, 2002).

Existen investigaciones que han analizado el conocimiento del profesor al enseñar la derivada, a continuación se describen algunos trabajos.

García, Azcárate y Moreno (2006) señalan que el conocimiento del profesor está relacionado con la formación que tuvo de estudiante, se basa en lo empírico, los libros de texto y la propia experiencia. Según estos autores los docentes tienden a unificar los programas, obviando la diferenciación entre las materias afines de diferentes carreras; además de, reproducir las mismas metodologías de trabajo que siguieron en su etapa de estudiante, ignorando metodologías alternativas disponibles y no se involucran con el estudiante. Asimismo, Stump (2001, citado por Gavilán, 2005, p.17), considera importante la necesidad de “los profesores de conocer diferentes representaciones y las conexiones entre las mismas, además de la necesidad de conocer y usar materiales curriculares no tradicionales para el desarrollo del conocimiento de contenido pedagógico”. También el

trabajo de Badillo (2003) menciona que algunos profesores pueden convivir con la complejidad semiótica asociada a los macro objetos f’(a) y f’(x) y otros tienen dificultad para hacerlo. Estas dificultades que tienen los profesores en la comprensión de los macro objetos se convierten en obstáculos, y esos obstáculos se ven reflejados en la enseñanza de los mismos, provocando confusiones y errores en los alumnos.

Siguiendo en la misma línea de las investigaciones enfocadas al conocimiento del profesor con respecto a la derivada. Chávez (2009) afirma que se debe reflexionar acerca de qué es lo que debiera conocer el profesor no sólo de la derivada si no una reflexión profunda de la utilidad de la derivada en el contexto matemático. En particular su importancia en el estudio de las funciones, de las condiciones necesarias y suficientes en los teoremas que se mencionan y especialmente en el cálculo. Sin embargo, Pino, Godino, Font y Castro (2012) revelan que el conocimiento del contenido de los futuros profesores no es suficiente para hacer frente a las tareas que surgen en un escenario de enseñanza, así que, se necesita un cierto grado de conocimiento de los contenidos tanto especializado y extendido; además, existe una desconexión entre los diferentes significados de la derivada.

Hasta el momento las investigaciones dan evidencia de que el conocimiento del contenido no es suficiente pero si necesario para una excelente enseñanza y aprendizaje del contenido en cuestión; por lo que es importante que el profesor tenga información que complemente la enseñanza del contenido en cuestión. Al respecto y para el caso de la derivada se puede justificar su importancia pues de acuerdo con Apóstol (2001) es la idea central del cálculo diferencial e integral, su origen se debe a un problema de geometría: el problema de hallar la tangente en un punto a una curva (Apóstol, 2001). Esta complementación de conocimientos es importante; sin embargo, algunos profesores basan la enseñanza de este concepto en que los alumnos memoricen los algoritmos de la derivada, y en algunas ocasiones los profesores proporcionan esos algoritmos como un formulario, originando que el alumno memorice el concepto y no comprenda su interpretación y su representación. Al respecto Artigue (1995) advierte que aunque se puede enseñar a los alumnos a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y a resolver algunos problemas, se encuentran grandes dificultades para que los estudiantes alcancen una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento que es el enfoque de esta área de la matemática.

Las complicaciones de los alumnos con el concepto de la derivada se pueden deber a que sus profesores también tienen esas confusiones en sus conocimientos, y esto pudo ser provocado por la formación académica del docente. El conocimiento que manifiesta el profesor entorno a la derivada influye en su enseñanza. Y es que en ciertas circunstancias, el docente no posee un dominio de las matemáticas que enseña (Badillo, 2003), es decir, el educador no comprende en su totalidad el concepto, sus representaciones y aplicaciones. Cantoral y Farfán (2004) afirman que el docente controla los conceptos, sin embargo no posee el conocimiento de las herramientas didácticas para enseñar eficazmente esos saberes

a sus alumnos. Además, García, Azcárate y Moreno (2006) reportan que los docentes repiten los mismos métodos de instrucción, que adquirieron en su etapa de estudiante, ignorando metodologías de enseñanza nuevas y alternativas.

Por su parte, Hitt (2003) muestra que algunos problemas a los que se enfrentan los profesores y los estudiantes en el proceso de enseñanza del cálculo, es la falta de acercamiento visual para el entendimiento de los conceptos del cálculo, y propone utilizar diferentes representaciones en forma coherente para los problemas, además que es importante promover la visualización matemática, también que el desarrollo de habilidades ligadas a ésta puede impulsar a los estudiantes a un nivel más profundo de los conceptos del cálculo. De igual modo Asiala, Cottrill, Dubinsky y Schwingendorf (1997) enfatizan que se debe realizar una enseñanza de la derivada sobre la coordinación entre los modos de representación gráfico y analítico, así como sobre la relaciónexplícita entre los significados gráficos de la función y los correspondientes a laderivada, de esta manera ayudarán a que los estudiantes lleguen a coordinar los dos modos derepresentación.

También la derivada ha sido objeto de investigación desde una óptica de enseñanza con recursos didácticos tecnológicos. Existen investigaciones que indican la importancia del uso de la tecnología para mejorar la enseñanza y el aprendizaje, en seguida se describen algunas. Cantoral y Mirón (2000) analizan los efectos de la incorporación de calculadoras con capacidad gráfica al enseñar las relaciones entre 𝑓 𝑦 𝑓´, es decir, entre una función y su derivada o la función y sus primitivas, concluyen, entre cosas, que la edificación de conocimientos por parte de los alumnos, implementa varios procesos como el reconocimiento de patrones, la búsqueda persistente de semejanza y el apoyo en sus conocimientos anteriores, agregándolos a las capacidades que les ofrece las propiedades técnicas del medio tecnológico, además agregan que la visualización de conceptos y desarrollo matemáticos, no es un resultado del recurso tecnológico, sino se acata a la articulación entre “un diseño teórico de la situación didáctica”(p. 291), donde “es el diseño de la situación la que permite el uso de la tecnología”(p.291). Por su parte, Marquez y De los Ríos (2013), dan una propuesta para la enseñanza de la derivada y sus aplicaciones en un entorno informático usando Geogebra, finalizan mencionado que el hecho de que los estudiantes trabajarán cada uno en una computadora, propicia a un aprendizaje fundamentado en la construcción y reflexión, asimismo añaden que ante cada problema premostrado el estudiante efectúa varias acciones: “calcula, interpreta, saca conclusiones, simula nuevas situaciones y se encuentra en condiciones de plantear hipótesis”(p. 7216). Además Marquez y De los Ríos (2013) consideran importante integrar al salón de clases el trabajo con software, “sin descuidar el rigor y la formalización requeridos en la enseñanza del cálculo en la universidad” (p. 7217).Con las investigaciones descritas anteriormente se pretende dar un panorama sobre los estudios sobre la enseñanza de la derivada, acerca de la enseñanza de la derivada usando tecnología, y sobre nuestro foco de atención, el conocimiento del profesor y la derivada.

Los resultados de las investigaciones sobre el conocimiento del profesor al enseñar la derivada (Stump, 2001; Badillo, 2003; Chávez, 2009; García, Azcárate y Moreno, 2006; Pino, Godino, Font y Castro; 2012) muestran que existen diversos factores que influyen en el conocimiento del docente al enseñar la derivada y esto se ve reflejado en su práctica docente.

Siguiendo en la misma línea acerca de las investigaciones analizadas referentes al conocimiento del profesor al enseñar la derivada, nos percatamos que dichos trabajos reportan que algunos profesores enseñan la derivada de forma algorítmica, esto se puede deber a su formación y experiencia, en el caso de los recursos didácticos tecnológicos en la enseñanza de la derivada se enfocan en los alcances y limitaciones de la utilización de dichos recursos en el aula; sin embargo no hacen alusión de los conocimientos que el docente evidencia. Agregado a lo anterior nos percatamos que aún no se han realizado investigaciones alusivas al conocimiento que pone en juego el profesor al enseñar la derivada implementando recursos didácticos tecnológicos. Por lo tanto, con lo mencionado anteriormente y enfocándonos en la práctica del profesor en el aula y la planeación, se identifica el siguiente problema de investigación: La caracterización del conocimiento del docente al enseñar el concepto de la derivada al utilizar recursos didácticos tecnológicos. Por tal motivo, la pregunta de investigación que por consecuencia se hace es la siguiente:

¿Qué conocimiento pone en juego el profesor al enseñar la derivada en cuanto al uso de recursos didácticos tecnológicos?

En este sentido, se ha propuesto avanzar en la caracterización del conocimiento del profesor referente a la enseñanza de la derivada utilizando recursos didácticos tecnológicos.

Con base en el planteamiento anterior, el objetivo general de este trabajo es: Caracterizar el conocimiento del profesor al enseñar la derivada en cuanto a recursos didácticos tecnológicos.

Para llegar al objetivo general se han planteado los siguientes objetivos particulares:

 Identificar el conocimiento que evidencia el profesor para enseñar la derivada al utilizar recursos didácticos tecnológicos.

 Comprender el conocimiento del profesor al enseñar la derivada con recursos didácticos tecnológicos.

 Obtener las potencialidades del conocimiento que pone en juego el profesor referente a la enseñanza de la derivada implementando recursos didácticos de índole tecnológica.

I.2. Hipótesis

Consideramos que algunos profesores saben que los recursos didácticos tecnológicos pudieran ser una alternativa para enriquecer su labor docente, para el caso de la derivada

pudiera ayudar a la transición entre los diferentes registros de representación (gráfica, verbal, algebraica y numérica). Asimismo conocen que los recursos didácticos tecnológicos permiten enseñar desde los distintos acercamientos que tiene la derivada (la pendiente de la recta tangente a la curva, tasa de variación instantánea y/o velocidad instantánea).

Por otro lado, se espera que aquellos profesores que usan los recursos didácticos tecnológicos en el aula tengan conocimientos de la potencialidades y desventajas del recurso que empleen, así como el objetivo matemático que justifique dicho uso, mismo que deberá ser especificado en su planeación y ejecutado en su práctica.

I.3. Justificación

Los estudios revisados hasta el momento, enfocados en el conocimiento del profesor sobre la derivada, evidencia que la formación académica del docente, los libros texto y la experiencia, influyen en la práctica del docente, provocando en algunas ocasiones confusiones y errores en los estudiantes. Por tal motivo se debe de investigar el conocimiento que pone en juego el profesor para enseñar la derivada, y cómo implementa recursos didácticos tecnológicos en la enseñanza de la misma. En este sentido, coincidiendo con Gavilán (2005), quien afirma que no hay suficientes investigaciones centradas en el profesor en relación al concepto de la derivada. Agregando a lo mencionado por Gavilán (2005), también afirmamos que no hay muchas investigaciones enfocadas en el conocimiento del docente en vinculación a la derivada con recursos didácticos tecnológicos.

Investigar el conocimiento del profesor servirá para detectar las potencialidades que tiene el profesor con respecto al contenido matemático (la derivada), y conocimiento didáctico del contenido (recursos didácticos tecnológicos), asimismo para comprender el proceso de enseñanza de la derivada con recursos didácticos tecnológicos para beneficiar su desarrollo profesional y de este modo el docente ejerza eficientemente su práctica para favorecer el aprendizaje del estudiante. Llinares (2009) menciona que el conocimiento del profesor es una variable potencial para llegar a comprender los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el salón de clases, generados en las situaciones de aprender a enseñar matemáticas, y del desarrollo profesional de los profesores de matemáticas.

Moreno (2005) afirma que el docente es clave para el éxito e indispensable para implementar cualquier cambio o propuesta didáctica que tengan su principio en la investigación, además menciona que hablar del profesor implica hacerlo desde su conocimiento y de su desarrollo profesional. Moreno y Azcárate (2003) señalan que la sociedad necesita de personas más competitivas en sus trabajos, más cualificadas y versátiles, esto obliga tanto a profesores como a la propia universidad a redefinir sus metas, y agregan que, la universidad debería potenciar la instrucción profesional del profesor

equilibrando los tres ámbitos de responsabilidad que este puede asumir: investigación, docencia y gestión.

Otras investigaciones revisadas, reportan distintas dificultades de los estudiantes al aprender la derivada (Zandieh, 2000; Berry y Nyman, 2003; Habre y Abboud, 2006), esto se puede deber a que sus profesores también tienen esas dificultades en sus conocimientos, y esas dificultades se pueden deber a que su formación académica fue de esa manera (Badillo, 2003). Además, los docentes repiten los mismos métodos de instrucción, que adquirieron en su etapa de estudiante, ignorando metodologías de enseñanza nuevas y alternativas (García, Azcárate y Moreno, 2006), cómo la tecnología.

Por otro lado, también existen investigaciones que indican la importancia del uso de la tecnología para mejorar la enseñanza y el aprendizaje. Se ha considerado la importancia de que el docente conozca y utilice los recursos didácticos tecnológicos para mejorar la instrucción de la derivada y facilitar el aprendizaje de sus estudiantes. De acuerdo con Marquez y De los Ríos (2013) quienes afirman que es importante que los profesores incorporen la tecnología en su instrucción, ya que en la vida cotidiana estamos haciendo uso constante de las tecnologías, es por ello que los docentes deben incorporarlas a la educación, para asegurar la educación tecnológica de los estudiantes.

La transendencia del uso de recursos didacticos tecnológicos en la enseñanza, ha sido mencionado por Akkoc, Bingolbali y Ozmantar (2008), quienes afirman que los profesores necesitan la tecnología para enriquecer su comprensión del contenido tecnológico y pedagógico, ideas detrás de este contenido que afecten directamente sus conocimientos del contenido tecnológico, para una integración exitosa de la tecnología para enseñar derivada en un punto. Por su parte, Kendal y Stacey (2002) indican que el implemento de un recurso didáctico tecnológico de los profesores hará cambios en el contenido que enseñan en respuesta a un nuevo conocimiento. Asimismo, Villanueva (2004), señala que las TIC (Tecnología de la Información y Comunicación) en la educación son una herramienta de apoyo pedagógico, reforzando las actividades escolares y colaborando a la educación no formal y alternativa, también agrega que las TIC ofrecen condiciones tecnológicas para la alteración de la enseñanza tradicional.

Con base en lo mencionado en las investigaciones anteriores, nos percatamos de que el realizar este estudio sobre el conocimiento del profesor al enseñar la derivada usando recursos didácticos tecnológicos, nos podría permitir entender (mediante lo que evidencie el profesor) las potencialidades asociadas a los recursos didácticos tecnológico para poder comprender el proceso de enseñanza de la derivada con dichos recursos, con el objetivo de poder realizar la caracterización de dicho conocimiento. Además creemos que el uso de la tecnología puede provocar cambios en el conocimiento didáctico del contenido y en el conocimiento matemático del profesor.

Los resultados de esta investigación son enfocados en una caracterización de los conocimientos que le permite al profesor optimizar y potenciar, el uso de los recursos didácticos tecnológicos para favorecer la enseñanza de la derivada.

A su vez, con los resultados que arroje esta investigación, se espera que puedan servir para los profesores, formadores de profesores y como un punto de partida para la creación de diseños de instrumentos de actualización de planes de formación matemáticas, y desarrollar conocimientos didácticos matemáticos tecnológicos que se necesita para la enseñanza de la derivada, asimismo se desea que con los resultados de este estudio se comprenderá el proceso de enseñanza-aprendizaje de la derivada, provocado por la situación de aprender a enseñar la derivada. De igual forma, esperamos que con nuestra investigación se aporte criterios para seleccionar problemas, y actividades matemáticas a incluir en los programas y procesos de formación.

Los resultados esperados se sitúan bajo el marco del conocimiento especializado del profesor de matemáticas (MTSK, Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge) (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013). El MTSK se ocupa de ese conocimiento especializado del profesor de matemáticas (Santana y Climent, 2015), que toma en cuenta las diferentes naturalezas, tanto del conocimiento matemático como conocimiento didáctico del contenido (Carrillo, Escudero y Flores, 2014).

Este modelo a través de sus dominios, subdominios y categorías, considera el conocimiento del profesor de matemáticas tomando en cuenta a la matemática, la didáctica y el currículo, como un todo que está integrado en el profesor. En este modelo nos enfocaremos en

particular en el subdominio Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT) y su categoría Recursos y Materiales, que se describirán más adelante.

CAPÍTULO II

CAPÍTULO II. ANTECEDENTES

El cálculo es una rama importante de la matemática, su surgimiento se asocia a problemas físicos y gran parte de su potencia deriva de la variedad de sus aplicaciones (Apostol, 2001). Pino (2013) se refiere al cálculo como una ciencia fundamental con otras áreas de las matemáticas tales como la probabilidad, la topología, la teoría de grupos y aspectos del álgebra, la geometría y la teoría de números. Sin el cálculo, la tecnología moderna y la física podrían ser difíciles de imaginar (Kleiner, 2001).

Sánchez-matamoros, García y Llinares (2008) indican que la noción de derivada de una función, junto con la de integral, son conceptos clave del cálculo, también añaden que, la derivada implica varios aspectos desde: su perspectiva gráfica, como pendiente de la tangente a la curva; su perspectiva analítica, como límite del cociente incremental; su carácter puntual o global y, según exija la solución de una determinada tarea.

Además, la derivada ha sido un concepto importante de atención desde varias teorías, que van desde cuestiones cognitivas e instruccionales (Pino, Godino y Font, 2011), como también se menciona en Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008).

Las anteriores investigaciones dan muestra de que el concepto de derivada es considerado fundamental para el cálculo y otras áreas. Sin embargo, la enseñanza y el aprendizaje de conceptos de cálculo, ha sido una fuente de serios problemas, tanto para los estudiantes como para los profesores, de cara al entendimiento de sus conceptos básicos (Hitt, 2003). Estos problemas pueden estar ligados a que los profesores que enseñan este concepto basan su enseñanza en la memorización de los algoritmos entorno a la derivada, originando en los estudiantes dificultades en la comprensión de la derivada. Artigue (1995) indica que los métodos tradicionales de enseñanza de las matemáticas tienden a enfocarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo que acaba siendo rutinaria. Selden, Mason y Selden (1994) señalan que algunos de los problemas detectados como consecuencia de enseñar de forma algorítmica es que si bien el conocimiento adquirido por los alumnos les puede ser útil para resolver ejercicios y problemas rutinarios, en el momento en el que se les enfrentan a contexto y situaciones que requieran mayor conocimiento conceptual de la derivada, muchos de los estudiantes fallan y no saben abordar la situación.

En seguida se muestra un panorama de algunos trabajos que hacen referencia al problema que nos compete: el conocimiento del profesor al enseñar la derivada usando recursos didácticos tecnológicos. Los cuales fueron organizados de la siguiente manera:

 Investigaciones sobre el conocimiento del profesor al enseñar la derivada.  Investigaciones sobre la enseñanza de la derivada.

 Investigaciones sobre la enseñanza de la derivada utilizando algún recurso didáctico tecnológico.

II.1. Investigaciones sobre el conocimiento del profesor al enseñar la

derivada

El conocimiento del profesor ha sido investigado desde un panorama cognitivo desde los primeros análisis enfocados en el pensamiento del docente sobre la planificación y la toma de decisiones (Clark y Peterson, 1986, citado por Llinares, 2009).

Ponte y Chapman (2006) indican que las investigaciones realizadas dentro del campo de formación de profesores de matemáticas, se han centrado en diversos aspectos del conocimiento y la práctica del profesor, los cuales pueden ser agrupadas en cuatro categorías: 1) conocimiento matemático de los profesores, 2) conocimiento de los profesores para la enseñanza de las matemáticas, 3) creencias y concepciones de los profesores, y 4) la práctica del profesor.

En el campo del conocimiento del profesor existen varias propuestas de modelos que tratan de describir y determinar las características deseables en el conocimiento de los docentes de matemáticas para realizar su práctica de manera eficiente. Sin embargo Pino (2013) señala que aún no existe un consenso acerca de lo que un profesor debería conocer para la enseñanza de tópicos concretos como el de derivada.

Con respecto al conocimiento del profesor relacionado con el concepto de derivada, se han realizado investigaciones que han abordado esta problemática. Por ejemplo, el trabajo de García, Azcárate y Moreno (2006), en el cual se estudian las creencias, concepciones y conocimiento profesional de diez profesores universitarios del área de ciencias económicas, respecto de cómo abordan la enseñanza del cálculo diferencial, qué ejemplos matemáticos o no matemáticos consideran los más adecuados para llegar al concepto de la derivada, y qué tipos de aplicaciones de la derivada enseñan a sus estudiantes. Estos investigadores concluyen, con respecto al conocimiento del profesor que, el conocimiento del profesor está relacionado con la formación que tuvo de estudiante, se basa en lo empírico, los libros de texto y la propia experiencia, los docentes tienden a unificar los programas, obviando la diferenciación entre las materias afines de distintas carreras, y además, los profesores reproducen las mismas metodologías de trabajo que siguieron en su etapa de estudiante, ignorando metodologías alternativas disponibles y no se involucran con la profesión del estudiante.

Asimismo, Chávez (2009), estudia el conocimiento de profesores de bachillerato de cálculo acerca del significado y las interpretaciones de la derivada. Se realizó un estudio de casos de carácter cualitativo que hace uso del método de encuesta. Para tal efecto se diseñaron varios cuestionarios de los cuales se aplicó uno en el que se tomó en cuenta la precisión de las preguntas en cuanto al significado y las interpretaciones de la derivada así como las condiciones de acceso indirecto a las creencias y conocimientos de los profesores

responder y crear un ambiente que evitara que los profesores se sintieran sujetos de evaluación en cuanto al conocimiento del tema. El cuestionario incluye tres tipos de tareas (a) calificación con valores de verdad de algunas afirmaciones, (b) descripción de conceptos y (c) resolución de problemas. El análisis se hace en dos niveles, uno micro (individual) y uno macro (comunidades de enseñanza).

Chávez (2009) concluye que, se debe reflexionar acerca de qué es lo que debiera conocer el profesor no sólo de la derivada si no una reflexión profunda de la utilidad de la derivada en el estudio de las funciones, de las condiciones necesarias y suficientes subyacentes en los teoremas que se mencionan y tienen una importancia especial en el cálculo, y también agrega que se debe de reflexionar acerca del concepto mismo de función y sus elementos subyacentes como su dominio y el papel de los contraejemplos en la construcción del significado, entre otros. Los resultados de este tipo de estudio a la vez que son importantes para la investigación deben serlo también para diseñar programas adecuados de formación y actualización de profesores.

Siguiendo en la misma línea de las investigaciones enfocadas al conocimiento del profesor con respecto a la derivada, Pino, Godino y Font (2011), plantean la siguiente pregunta: ¿Qué debería conocer un profesor para que su enseñanza de las derivadas tenga la mayor idoneidad didáctica posible? Para responder a esta pregunta los autores abordan a partir de la caracterización de la faceta epistémica del CDM (Conocimiento Didáctico-Matemático) para la derivada utilizando las herramientas teóricas y metodológicas que proporciona el EOS (Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática). Esta investigación aproxima dos estudios orientados hacia la caracterización del conocimiento didáctico-matemático sobre la derivada. El primer estudio se centra en la descripción del significado global de la derivada, distinguiendo los significados parciales de la misma y su articulación. En el segundo estudio aborda el análisis y síntesis de las investigaciones didácticas sobre la derivada, sistematizando los conocimientos aportados en las diferentes facetas de la enseñanza y aprendizaje de este concepto.

Pino, Godino y Font (2011) finalizan diciendo que, la reconstrucción de un significado global de la derivada resulta especialmente importante puesto que el diseño, implementación y evaluación de planes de formación matemática y de procesos instruccionales sobre un contenido matemático específico, requieren un estudio en profundidad sobre el significado de los objetos matemáticos que componen dicho contenido. Tal estudio debe aportar criterios para seleccionar los problemas y prácticas matemáticas a incluir en los planes y procesos de formación, según las necesidades sociales y profesionales del grupo de personas a quien se dirigen.

En este mismo sentido, otra investigación es la desarrollada por Badillo, Azcárate y Font, (2011), en este trabajo se analiza la comprensión de los macro-objetos f’(a) y f’(x) que muestran cinco profesores de matemáticas de secundaria de diferentes institutos públicos. Estos profesores enseñaban la derivada en primero y segundo curso de

bachillerato (16-18 años). Se trata de un estudio de caso, se diseñó un cuestionario indirecto, en el cual se les pedía a los profesores que trataran de explicitar por escrito, lo más detalladamente posible, lo que consideraban que debería responder uno de sus estudiantes que hubiera comprendido el concepto de derivada, como resultado del proceso de estudio que ellos hubieran impartido. Para lo cual, previamente, tenían que resolver los problemas propuestos.

Badillo, Azcárate y Font (2011) concluyen que, las categorías teóricas y analíticas adaptadas de la teoría APOE y los niveles de desarrollo del esquema permiten explicar por qué algunos profesores pueden convivir con la complejidad semiótica asociada a los macro-objetos f’(a) y f’(x) y otros tienen dificultad para hacerlo. Estas dificultades que tienen los profesores en la comprensión de los macro-objetos se convierten en obstáculos, y esos obstáculos se reflejan en la enseñanza de los mismos, provocando confusiones y errores en los alumnos.

De igual manera, Pino, Godino, Font y Castro (2012), presentan algunos de los resultados obtenidos tras la aplicación de un cuestionario que, basado en el modelo propuesto por Godino (2009) para la evaluación y el desarrollo del conocimiento didáctico-matemático, el cuestionario fue diseñado con el fin de explorar las características clave del conocimiento didáctico-matemático de la derivada de los futuros profesores de secundaria.

De las respuesta dadas por los futuros profesores a las tareas incluidas en el cuestionario, los investigadores indican que, los futuros profesores muestran un mejor desempeño en la resolución de tareas en las que la derivada se entiende como la pendiente de la recta tangente, destacan la necesidad de mejorar el conocimiento avanzado de los futuros profesores, ya que esto ayudaría a resolver tareas como esta. Los futuros profesores carecen de ciertos aspectos no sólo de conocimiento especializado (uso de diferentes representaciones, el uso de diferentes significados de la derivada, la solución del problema a través de diversos procedimientos, dando una serie de argumentos válidos para justificar estos procedimientos, etc.), sino también del conocimiento común necesario para resolver cierta tarea. Los futuros profesores experimentaron dificultades cuando tuvieron que utilizar la derivada como la tasa instantánea de cambio en una situación relativamente compleja.

El cuestionario aplicado por Pino, Godino, Font y Castro (2012) reveló que el conocimiento del contenido es tan común, que no es suficiente para hacer frente al tipo de tareas que surgirá en el contexto de enseñanza, por lo que los maestros necesitan un cierto grado de conocimiento de los contenidos tanto especializado y extendido. Por último, los resultados muestran que los futuros profesores carecen de ciertos aspectos del conocimiento especializado y prolongado, pero también que hay una desconexión entre los diferentes significados de la derivada.

comprensión del concepto de la derivada como un referente para ayudar a profesores en formación, donde el objetivo de la investigación es caracterizar cómo los profesores de matemáticas en formación aprenden a notar los signos de comprensión de los estudiantes del concepto de derivada.

Este trabajo de investigación se realizó con la participación de ocho estudiantes para profesores de matemáticas en el nivel secundaria, que cursaban una asignatura de didáctica de las matemáticas para la educación secundaria. Se diseñó un cuestionario con la intención de recolectar información sobre el concepto de derivada y de la compresión de los estudiantes con la derivada.

Sánchez-Matamoros, Fernández y Llinares (2014) concluyen con una cita de Wilson, Mojica y Confrey (2013).

Reconocimiento explícito de los elementos matemáticos utilizados por los futuros profesores para resolver problemas y la forma en que se vinculan con los modos de representación es una de las características de un desarrollo de la capacidad para notar comprensión de los estudiantes (p.23).

Sánchez-Matamoros, Fernández y Llinares (2014) añaden que la descripción del desarrollo, puede ser utilizado por los formadores de docentes como una herramienta para el diseño de programas de capacitación para los futuros profesores de matemáticas, y además, la información sobre el desarrollo de esta habilidad podría proporcionar los medios para evaluar el nivel de desarrollo de futuros profesores de matemáticas cuando los formadores de docentes describen su progreso en términos de niveles de creciente sofisticación.

II.2. Investigaciones sobre la enseñanza de la derivada

A continuación se mencionan algunas investigaciones que están enfocadas en la enseñanza de la derivada.

En ese sentido, Dolores (2000a) en su propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada, menciona que las dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje del concepto de derivada pueden crecer si los alumnos necesitan de herramientas para plantear y resolver problemas relacionados con la variación. Agrega diciendo que las causas atribuibles a estas dificultades son:

 No existe una conexión entre la planeación y ejecución del proceso de enseñanza del cálculo diferencial relacionado con el aprendizaje de sus conceptos básicos.  Existe poca estructura entre los objetivos, contenidos y métodos de enseñanza.  Los libros de texto de cálculo diferencial que se utilizan para enseñar la derivada, lo

abordan desde un punto de vista teórico y sólo se enfocan en la instrucción de algoritmos.

 Existe mucho contenido teórico, sin relación con problemas físicos.

Por su parte Azcárate, Bosh, Casasdevall y Casellas (1990, citado por Pineda, 2014), afirman que para que haya éxito de la enseñanza y aprendizaje de la derivada, el profesor debe considerar cuatro componentes que son:

 Iniciar de las concepciones previas que los alumnos tengan del concepto de velocidad.

 Utilizar gráficas de funciones que ayuden a visualizar notablemente las ideas, en especial, cuando se refiere a pendiente de una recta y tasas medias de variación.  Utilizar problemas precisos en los cuales el alumno conecte lo que aprende con

situaciones de la vida diaria.

 Estar consciente de las dificultades que se presentan cuando se realiza el proceso de límite en una función, y entender que el límite no sólo es un proceso de sustitución de una variable por un valor y realizar unas operaciones.

Hitt (2003) muestra que algunas dificultades a las que se enfrentan los profesores y los estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del cálculo, es la falta de acercamiento visual para el entendimiento de los conceptos del cálculo, y propone la necesidad de utilizar diferentes representaciones en forma coherente para los problemas, y que es importante promover la visualización matemática, y que el desarrollo de habilidades ligadas a ésta puede impulsar a los estudiantes a un nivel más profundo de los conceptos del cálculo.

La investigación de Flores y Salinas (2003), tiene como objetivo averiguar en estudiantes de administración de empresas si al introducir el concepto de derivada en la asignatura de Matemática Aplicada I utilizando una metodología basada en las aplicaciones de pertinencia del contexto social de la carrera, mejoraría positivamente el rendimiento de los estudiantes en la asignatura de matemática financiera. Para la investigación se dividió un grupo de estudiantes en dos partes, a una parte de los estudiantes le impartió clases el profesor A, en cuya metodología se contemplan las aplicaciones de la derivada en el contexto social de la carrera y, al otro grupo le impartió clases el profesor B que no utiliza las aplicaciones de la derivada en el contexto social de la carrera citada anteriormente.

Flores y Salinas (2003) concluyen que, los estudiantes, a los que se les introdujo el concepto de derivada a través de sus aplicaciones en el contexto-social, tuvieron mejor rendimiento en la asignatura matemática financiera que aquellos a quienes se les introdujo este concepto de forma clásica. El profesor B, sigue utilizando una metodología tradicional para enseñar el concepto de derivada basada en aspectos físico-matemáticos o geométricos, descartando alternativas innovadoras relacionadas con la pertinencia de la carrera de los estudiantes; mientras que el profesor A, mantiene una línea de instrucción transformadora del concepto de derivada, a través de la relación con las aplicaciones que viven los estudiantes en su carrera. Además, se detectan algunas carencias didácticas relacionadas con la pertinencia del contexto. El investigar la enseñanza del profesor con respecto a la

derivada, puede arrojar sus carencias didácticas o matemáticas. El docente necesita saber de aplicaciones de la derivada en diferentes contextos, para mejorar el aprendizaje del alumno. Font (2000a, citado por Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008) plantea la cuestión de crear una enseñanza enfocada a que los alumnos puedan coordinar los diferentes sistemas de representación, asumiendo que dicho enlace es una prueba de la comprensión.

Este trabajo de investigación parte de la hipótesis de que el cálculo de 𝑓′(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) se puede interpretar como un proceso en que se ha de considerar a tres subprocesos donde intervienen diferentes modos de representación:

 “Traducciones entre distintas formas ostensivas de representar 𝑓(𝑥) .  El paso de una forma de representación ostensiva de 𝑓(𝑥) a una de 𝑓 ′(𝑥) .

 Traducciones entre las distintas formas ostensivas de representar 𝑓 ′(𝑥) ” (p. 282). La palabra “ostensivo es utilizada en el sentido de que se puede mostrar a otro directamente. Por representación ostensiva se entiende, a manera de ejemplo, la fórmula de la función que el profesor escribe en la pizarra y el alumno ve directamente” (p. 282).

Font (2000a, citado por Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008) diseñó una unidad didáctica para estudiantes de tercer año de bachillerato unificado polivalente, cuyas edades eran de 15 y 16 años, y primer año de bachillerato científico tecnológico, con actividades donde el alumno debía de realizar alguno de los tres subprocesos, “como una manera de modelizar los mecanismos de coordinación mentales entre los diferentes modos de representación. Como representaciones ostensivas puso a la expresión simbólica y gráfica, la tabla y la descripción verbal de la situación” (p. 282).

Las actividades propuestas por Font (2000a, citado por Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008) tenían la intencionalidad de calcular la función derivada con el uso de los procedimientos límite del cociente incremental, pendiente de la tangente y tabla, que se auxilian de los procedimientos ostensivos de expresión simbólica, gráficos y tablas. Los resultados no sólo ponen de manifiesto la dificultad que tienen los alumnos con los conocimientos previos (el concepto de función, traducción entre diferentes representaciones de una función, variación de una función, pendiente, tasa de variación media, velocidad), sino también que la definición de función derivada 𝑓′(𝑥), como límite del cociente incremental y como pendiente de la tangente, presenta una complejidad semiótica considerable. Sin embargo, la introducción de la derivada a partir de una tabla resultó más fácil de entender.

Los resultados del estudio anterior muestran que si se unen en la enseñanza de la derivada las tres aproximaciones como límite del cociente incremental, como pendiente de la recta tangente y como tabla de valores, se facilita la comprensión del estudiante.

Por su parte, García, Gavilán y Llinares (2012) describen y explican la práctica del profesor de matemáticas acerca de la enseñanza de la derivada, bajo la teoría APOE analizan la

práctica de un profesor, finalizan mencionando que la modelación de los diversos mecanismos constructivos elaborada por el docente “permite dar cuenta de cómo construye las situaciones de aula para que los estudiantes puedan llegar a organizar la colección de procesos y objetos que constituyen el esquema de la noción de derivada”(p.231), de igual manera afirman que la modelación de la descomposición genética deducida desde la práctica del docente se elaboró partir de cómo el profesor estructuraba el contenido matemático que intentaba instruir y de cómo utilizaba los diversos “modos de representación para potenciar la construcción de los significados por parte de los estudiantes”(p.231). Agregado a lo anterior, estos autores señalan que la descripción del quehacer del docente a través de “la modelación de diversos mecanismos de construcción del conocimiento que realiza permite identificar, al menos de manera potencial, el esquema de derivada que los estudiantes pueden construir en el aula” (p.232).

Por último, Hitt (2003) sugiere que es importante que el docente fomente la visualización matemática utilizando diferentes representaciones y promoviendo una utilización razonables de las nuevas tecnologías (calculadoras gráficas y computadoras) “que permitan dar un significado concreto a las nociones matemáticas, para favorecer la construcción de conceptos a través de la coordinación, libre de contradicciones, de las diferentes representaciones relacionadas con dichos conceptos” (p. 23). De igual manera Hitt (2003) argumenta que los profesores qué estén a favor del uso de tecnología en el aula de matemáticas deben saber que actividad se propondrá para utilizar la tecnología de manera que promueva la construcción de conceptos y una mejor actuación en la resolución de problemas.

II.3. Investigaciones sobre la enseñanza de la derivada utilizando algún

recurso didáctico tecnológico

La enseñanza de la derivada también se ha abordado desde una perspectiva tecnológica. Se ha considerado la importancia de que el docente conozca y utilice los recursos didácticos tecnológicos para mejorar la instrucción de la derivada y facilitar el aprendizaje de sus estudiantes. Al respecto, Kendal y Stacey (2002), realizaron observaciones de aula y entrevistas más de dos años a dos profesores, este trabajo presenta cómo dos profesores hicieron la transición del uso de calculadoras gráficas a calculadoras CAS mientras enseñaba cálculo diferencial a estudiantes de la escuela secundaria superior. Ambos profesores enseñan con CAS en formas que eran coherentes con sus creencias sobre el aprendizaje y la enseñanza. En dos años sucesivos, dos maestros voluntarios, utilizaron CAS (TI-92) para enseñar 22 lecciones sobre introducción al cálculo diferencial a alumnos de 16 a 17 años de edad. Ambos eran profesores experimentados de las matemáticas, cuyos estudiantes habían usado las calculadoras gráficas en el aula durante varios años. Durante seis meses antes del comienzo de la enseñanza con CAS, los docentes trabajaron

Los resultados de Kendal y Stacey (2002) arrojan que durante los dos años, los enfoques de enseñanza de los profesores y el propósito para el uso de la tecnología eran estables, y eran influenciados por sus creencias sobre el aprendizaje. Por el contrario, los profesores hicieron cambios en el contenido que enseñan en respuesta a un nuevo conocimiento institucional. Escoger el contenido parecía estar guiado por los propósitos de los profesores para la enseñanza. Otras influencias afectadas en lo que enseñaron los profesores y cómo lo enseñaron fue: el conocimiento de los docentes del contenido, su conocimiento didáctico del contenido, y la falta de legitimidad del CAS como una herramienta para el aprendizaje y durante la examinación en la escuela y más amplia comunidad educativa. La magnitud de las diferencias observadas entre las respuestas de sólo dos profesores indica que habrá muchas respuestas al uso de CAS en las aulas, ya que los maestros pretenden lograr diferentes objetivos de aprendizaje e interpretar sus responsabilidades a los alumnos de diferentes maneras. El uso de una tecnología en la enseñanza del profesor puede provocar cambios en sus creencias, en el conocimiento didáctico, en el conocimiento matemático, y en el aprendizaje de los alumnos.

De igual manera, Murphy (2004), realizó un estudio donde compara dos métodos que utiliza la tecnología de gráficos de computadora para enseñar el concepto de derivada a estudiantes de pregrado. El primer método utiliza laboratorios basados en microcomputadoras, donde los estudiantes caminan frente a un sensor de movimiento y ven un gráfico de su movimiento producido en la pantalla de ordenador. Estudios anteriores han demostrado que este método es muy eficaz en la enseñanza de interpretación gráfica, pero es caro y, a menudo inconveniente (Barclay, 1985; Mokros, 1985; Mokros y Tinker, 1987). El segundo método utiliza un applet de Java, escrito por el investigador, en el que los estudiantes utilizan un ratón para mover una figura en la parte superior de la pantalla del ordenador, mientras que un gráfico de movimiento de la figura se produce enseguida. Este método es menos caro y más conveniente. Investigadores anteriores habían especulado que el enfoque del sensor de movimiento se basa en el movimiento de todo el cuerpo y el sentido kinestésico, lo que sugiere que el enfoque de Java, en el que el movimiento de todo el cuerpo durante varios pies se sustituye por una parte en movimiento unas pocas pulgadas, podría no ser tan exitoso (Mokros, 1985; Mokros y Tinker, 1987).

Este estudio refuta esta afirmación, lo que demuestra que el applet de Java es tan eficaz como los sensores de movimiento en esta aplicación. En esta investigación participaron sesenta estudiantes de cálculo de primer semestre, que asistieron en poco tiempo en actividades de instrucción fuera de clase. Se usaron treinta y dos sensores de movimiento, y 28 utilizan el applet de Java. En todos los otros aspectos, la instrucción era lo más idéntico posible. Antes y después de la instrucción, los sujetos completaron una prueba de rendimiento de opción múltiple y una encuesta de actitud. La mitad de los sujetos también señaló a los gráficos para representar determinadas situaciones que implican movimiento y ocho participaron en entrevistas individuales.

Murphy (2004) señala que, la prueba de rendimiento estableció que los sujetos habían logrado avances significativos en su capacidad para interpretar gráficos de líneas de